Phương pháp học giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai

i. LờI NóI ĐầU Đây là tài liệu nói về phương pháp học giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học. Tài liệu này là cầu nối giữa lí thuyết và thực hành toán học. Học giải toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS. Nội dung giới thiệu: 1. Các bài toán điển hình, mỗi bài toán đều gồm: Đề bài Tìm hiểu đề bài Hướng dẫn cách tìm lời giải Cách giải Khai thác bài toán. 2. Các bài toán tự giải Các vị phụ huynh học sinh, các thầy cô giáo có thể dùng tài liệu này làm tài liệu hướng dẫn con em mình học tập. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp ích nhiều cho học sinh để có thể phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và học toán nói chung. ii. Nội dung Giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai A. Các bài tập điển hình Bài 1: a. Tìm hai số biết tổng là 22 và tổng các bình phương là 250. b. Tìm một số có hai chữ số biết rằng số này gấp 8 lần tổng hai chữ số của nó và nếu thêm 13 và tích hai chữ số đó thì sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại. Tìm hiểu đề bài Đây là bài toán tìm số. ở câu a phải tìm hai số khi biết tổng và tổng các bình phương của chúng. ở câu b phải tìm một số có hai chữ số theo một số điều kiện cho trước. Hướng dẫn cách tìm lời giải a. Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là 22 - x. Tổng các bình phương của chúng là x2 + (22 - x)2 = 250. Tiếp tục giải phương trình bậc hai này. b. Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị heo thứ tự là x và y. Số phải tìm sẽ là 10x + y, số viết theo thứ tự ngược lại là 10y + x. Từ đó mà lập phương trình. Cách giải a. Gọi số thứ nhất là x (x > 0), số thứ hai sẽ là 22 - x. Theo bài ra ta có phương trình: x2 + (22 - x)2 = 250, hay x2 + 484 - 44x + x2 - 250 = 0; 2x2 - 44x + 234 = 0 hay x2 - 22x + 117 = 0. Giải ra ta sẽ tìm được = 13; = 9, thỏa mãn điều kiện ở trên. Vậy hai số phải tìm là 13 và 9. b. Gọi chữ số hàng chục là x (0 y. Theo bài ra ta có hệ phương trình: (1) 10x + y = 8x + 8y => 2x = 7y => x = Thay giá trị x vào (2) ta được: 10y + = .y +13 => 7y2 - 27y + 26 = 0 => = 2; (loại). Từ đó suy ra , thỏa mãn điều kiện ở trên. Vậy số phải tìm là 72. Khai thác bài toán Có thể giải hai bài toán tương tự: a. Tổng các bình phương của hai số hơn kém nhau 3 thì bằng 98. Tìm hai số đó. b. Phân tích số 270 thành hai thừa số mà tổng bằng 33. - Với bài toán a ta gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là x + 3. Theo bài ra ta có phương trình: x2 + (x + 3)2 =89 2x2 + 6x - 80 = 0 => (loại) Vậy hai số phải tìm là 5 và 8. - Với bài toán b nếu gọi số thừa số thứ nhất là x thì thừa số thứ hai là 33 - x. Theo bài ra ta có phương trình: x(33 - x) = 270 x2 - 33x + 270 = 0. => Vậy số 270 có thể phân tích thành hai thừa số là 18 và 15. Bài 2: a. Đa giác mà số đường chéo lớn hơn số cạnh là 12 là đa giác gì? b. Đường cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành hai đọan hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền. Tìm hiểu đề Đây là loại toán có nội dung hình học. Câu a đòi hỏi phải nắm được công thức tính số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh. Câu b liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông. Hướng dẫn cách tìm lời giải a. Một đa giác lồi n cạnh có số đường chéo là . Từ đó mà lập phương trình để tìm n khi biết số đường chéo hơn số cạnh là 12. b. Gọi hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6. áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông h2 = b'.c' (h là độ dài đường cao, b' và c' là hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền). Từ đó tìm được x và độ dài cạnh huyền của tam giác vuông. Cách giải a. Gọi n là số cạnh của đa giác (n là số nguyên dương). Ta biết rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là Theo bài ra ta có phương trình: Vậy đa giác phải tìm là bát giác (hình tám cạnh). b. Gọi hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6 (m) với x > 0. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: h2 = b'.c' hay: 9,62 = x(x + 5,6) x2 + 5,6x - 92,16 = 0 => = 7,2 (thỏa mãn) = -12,8 (loại) Ta có hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền là 7,2m và 7,2 + 5,6 = 12,8m. Vậy cạnh huyền có độ dài là: 7,2 + 12,8 = 20m. Khai thác bài toán Bài toán có nội dung hình học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức về hình học. Ta có thể xét thêm bài toán sau: Cho một số điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng qua từng cặp điểm một là (đường thẳng). Theo bài ra ta có phương trình: = 45 n2 - n - 90 = 0 => n = 10 Lưu ý: nếu trong n điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được sẽ giảm đi 2 (vì qua 3 điểm không thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng còn qua 3 điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được một đường thẳng). Bài 3: a. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược dòng 36 km. Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Tìm vận tốc của canô khi xuôi và khi ngược dòng. b. Một người đi xe đạp từ địa điểm M đến địa điểm N trong một thời gian đã định. Khi còn cách N 30 km người ấy nhận thấy nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì sẽ đến N chậm mất giờ , do đó đã tăng vận tốc lên 5 km/h nên đến sớm hơn giờ. Tìm vận tốc xe đạp lúc đầu? Tìm hiểu đề bài Đây là loại toán chuyển động. ở câu a là canô xuôi dòng và ngược dòng, ở câu b là người đi xe đạp sẽ đến nơi chậm và đến nơi sớm hơn thời gian dự định nếu tăng vận tốc. ở cả hai câu đều yêu cầu tìm vận tốc. Hướng dẫn cách tìm lời giải a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h, vận tốc khi ngược dòng sẽ là x - 6 km/h. Hãy tính thời gian khi xuôi dòng và khi ngược dòng, từ đó mà lập được phương trình bậc hai. Sẽ tìm được hai đáp số. b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h. Hãy tính thời gian đi 30 km lúc đầu và thời gian đi 30 km khi đã tăng vận tốc thêm 5 km/h. Từ đó mà lập được phương trình bậc hai. Cách giải a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h (x > 0), vận tốc khi ngược dòng sẽ là x - 6 km/h. Thời gian xuôi dòng là giờ, khi ngược dòng là giờ. Do thời gian xuôi nhiều hơn thời gian ngược là 2 giờ nên ta có phương trình: => (t/m) ; (t/m) Vậy vận tốc canô khi xuôi dòng là 15 km/h hoặc 18 km/h. vận tốc canô khi ngược dòng là 9 km/h hoặc 12 km/h. b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h, khi đã tăng vận tốc là(x + 5) km/h, (x > 0). Thời gian đi 30 km lúc đầu là, lúc sau là (giờ) Theo bài ra ta có phương trình: . Ta được phương trình bậc hai . Giải ra ta được nghiệm là (loại). vậy vận tốc xe đạp lúc đầu là 10km/h. Khai thác bài toán Sau đây là bài toán tương tự Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với canô xuôi từ bến A là một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B canô trở ngay về A và gặp bè khi bè trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của canô biết rằng vận tốc riêng của canô không đổi. Thời gian từ lúc đi đến khi về gặp bè là 2giờ 40phút. Trong bài này cần lưu ý là có chiếc bè trôi, như thế vận tốc bè trôi 3km/h chính là vận tốc dòng nước. Gọi vận tốc riêng của canô là x km/h ( x>o). Thời gian lúc xuôi là, thời gian lúc ngược làgiờ. Theo bài ra ta có phương trình: , ( đổi 2giờ 40 = giờ ). Giải ra ta sẽ tìm được x= 27. Vậy vận tốc riêng của canô là 27km/h. Bài 4: a) Người ta trộn lẫn 8g dung dịch A vời 6g dung dịch B có khối lượng riêng nhỏ hơn nó là 200 kg/m3 để được một dung dịch có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi dung dịch. b) Hai vòi A và B cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu mới đầy bể ? Tìm hiểu đề bài a) Đây là bài toán về hỗn hợp, trộn hai dung dịch A và B để được một dung dịch mới. b) Loại toán này là toán về vòi nước chảy. Hướng dẫn cách tìm lời giải a) Gọi khối lượng riêng của dung dịch A là x kg/m3, khối lượng riêng của dung dịch B sẽ là x- 200kg/m3. Hãy tính thể tích của dung dịch A và của dung dịch B rồi tính khối lượng của hỗn hợp và thể tích của hỗn hợp. Từ đó mà lập phương trình của bài toán. b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x, số giờ vò B chảy riêng đầy bể sẽ là x+ 2. Hãy tính xem trong 1 giờ mỗi vòi rồi cả hai vòi chảy vào được bao nhiêu phần bể. Từ đó mà lập được phương trình. Cách giải a) Gọi khối lượng riêng của dung dịch A là x kg/m3. Khối lượng riêng của dung dịch B sẽ là (x-200) kg/m3 với x>200. Đổi 8g = 0,008 kg và 6g = 0,006kg. Ta có: Thể tích dung dịch A là , thể tích dung dịch B là . Khối lượng của hỗn hợp là 0,008 + 0,006 = 0,014. Thể tích của hỗn hợp là . Theo bài ra ta có phương trình: , hay ; 400(x - 200) + 300x = x2- 200 ; x2 - 900x + 80 000 = 0. Giải ra tìm được = 800, = 100 ( loại vì nhỏ hơn 200). Vậy khối lượng riêng của dung dịch A là 800kg/m3 và của dung dịch B là 600 kg/m3. b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x( x > 0). Số giờ để vòi B chảy đầy bể sẽ là x + 2. Trong 1 giờ vòi A chảy vào được bể, vòi B chảy vào được bể, cả hai vòi chảy trong 1 giờ được bể (đổi 2giờ 55phút thành giờ). Theo bài ra ta có phương trình: hay 35(x+2) +35x =12x(x+2). Thực hiện phép tính được phương trình 6x2- 23x- 35 = 0. Giải ra ta được hai nghiệm ( loại). Vậy nếu chảy riêng thì vòi A phải chảy trong 5 giờ và vòi B phải chảy trong 7 giờ mới đầy bể. Khai thác bài toán Bài toán về vòi nước còn có thể ra dưới dạng công việc cùng làm chung, chẳng hạn bài toán sau (giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất): Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? Cách giải sẽ như sau. Gọi số giờ mà người thứ nhất làm xong công việc là x, số giờ mà người thứ hai làm xong công việc là y (x,y>0). Trong 1 giờ người thứ nhất làm được công việc, người thứ hai làm được công việc. Đổi 7 giờ 12 phút thành giờ. Theo bài ra ta có hệ phương trình:  Giải ra ta được x= 12, y =18, phù hợp với điều kiện ở trên. Vậy muốn làm xong công việc thì người thứ nhất phải làm trong 12 giờ, người thứ hai làm trong 18 giờ. iii. kết luận Do thời gian có hạn nên chủ đề mà tôi nghiên cứu chắc chắn sẽ còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Rất mong đươc sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để tài liệu của tôi được hoàn thiện hơn. Mọi thông tin góp ý của các bạn đều vô cùng quý giá với bản thân tôi. Cuối cùng tôi xin trân trọng biết ơn! Nhân Hòa, ngày 8 tháng 1 năm 2008. Người viết. Nguyễn Thị Kim Oanh B. bài tập tự chọn Bài 1: Một rạp hát chứa được 300 chỗ ngồi. Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi. Hỏi rạp hát có mấy dãy ghế? Bài 2: Người ta rào một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 20m. Hỏi hàng rào đó dài bao nhiêu nếu diện tích khu vườn là 3500m2 và người ta muốn chừa một cổng ra vào rộng 1m? iv. Phụ lục I. Bản cam kết : Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập -Tự do - Hạnh phúc Bản cam kết 1. Tác giả Họ và tên : Nguyễn Thị Kim Oanh Sinh ngày 15 Tháng 10 Năm 1982 Đơn vị công tác: Trường THCS Nhân Hoà, xã Nhân Hoà, huyện Vĩnh Bảo, Thành phố Hải Phòng. Điện thoại : 0975223450 2. Sản phẩm Tên sản phẩm: giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai 3. Cam kết: Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi. Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với sản phẩm này, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản cam kết này. Vĩnh Bảo, Ngày 15 Tháng 02 năm 2008 Người cam kết Nguyễn Thị Kim Oanh II. Tài liệu tham khảo: 1. Sách giáo khoa đại số 9 tập 2 Nhà xuất bản giáo dục 2005 2. Sách bài tập đại số 9 tập 2 Nhà xuất bản giáo dục 2005 3. Toán bồi dưỡng học sinh đại số 9 Nhà xuất bản giáo dục 2002 4.Tuyển tập Toán học tuổi trẻ Và một số tài liệu khác. III. Danh sách các sáng kiến kinh nghiệm đã viết TT Tên sáng kiến kinh nghiệm Thuộc thể loại Năm viết Xếp loại 1 giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai Toán học 2007-2008 2 Toán học 2006-2007 ..................................................... ......................................................