Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cho tam thức bậc hai Bài toán 1: Muốn chứng minh , ta chứng minh Hoặc chứng minh , ta chứng minh Bài toán 2: Muốn chứng minh Ta chứng minh Bài toán 3 Muốn chứng minh ,ta chứng minh f(x) có nghiệm và có thể chọn một trong các cách sau : Chỉ ra nghiệm cụ thể của f(x). Chỉ ra một số mà Chỉ ra 2 số Bài toán 4 Sử dụng kết quả: 1 CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG I . Áp dụng bài toán 1 Muốn chứng minh , ta chứng minh Hoặc chứng minh , ta chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh rằng Hướng dẫn: Xét f(a) = Ta có Vì nên Vậy Dấu ‘=’ xảy ra 2.V í d ụ 2 : Chứng minh rằng : (1) Hướng dẫn: Biến đổi (1) về dạng : f(x) = 3x2 + 4(y + 2)x + 5y2 – 2y + 9 0 2 * Các ví dụ tương tự: 1. 2. 2. Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: Hướng dẫn Ta có: Nếu y = 0 thì (2) được chứng minh Nếu yđặt t = x/y Khi đó (2) Xét f(t) = Có Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên Vậy BĐT (1) được chứng minh. 3.Ví dụ 3: Chứng minh rằng:thì Hướng dẫn (*) Xét f(x) = Có 3 Vậy (*) được chứng minh. * Các ví dụ tương tự 1. Cho t < z < y. Chứng minh rằng 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và x, y, z thoả mãn ax + by +cz = 0 Chứng minh rằng: a. xy + yz +zx 0 b. yz + bxz +cyz 0 4. Ví dụ 4: a. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh rằng: với p,q thoả mãn p + q = 1. b. Ngược lại cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn và p + q = 1 thì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Hướng dẫn a. a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Xét f(p) = Thay q = 1 – p vào f(p) ta có Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên (đpcm) 4 b. Ngược lại nếu a, b, c là độ dài ba đoạn thẳng thoả mãn: (*) với p + q = 1 thì f(p) = a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác 5. Ví dụ 5: Cho và abc = 1. Chứng minh rằng (*) Hướng dẫn Có bc = nên (*) Xét f( b+c ) = Có Vì nên đpcm. II. Áp dụng bài toán 2 Muốn chứng minh Ta chứng minh 1. Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki: Chứng minh rằng: 5 Hướng dẫn Chọn tam thức bậc hai sao cho tam thức đó có: Ta luôn có: đpcm. Dấu ‘=’ xảy ra 2. Ví dụ 2: Cho học sinh chứng minh những bài toán cụ thể của bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 4 số a, b, x, y ,chứng minh rằng: III. Áp dụng bài toán 3: Muốn chứng minh ,ta chứng minh f(x) có nghiệm và có thể chọn một trong các cách sau : Chỉ ra nghiệm cụ thể của f(x). Chỉ ra một số mà Chỉ ra 2 số 6 1. Ví dụ 1: Cho a, b, c và m thoả mãn .Chứng minh rằng: Hướng dẫn 1. Nếu a = 0 thì (luôn đúng) 2. Nếu a Xét tam thức bậc 2: f(x) = Từ giả thiết ta có Mà Nên f(m)f(-m) 0 hay tam thức bậc hai f(x) luôn có nghiệm (đpcm) 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Hướng dẫn Xét f(x) = Ta có: f(1) = 1- = 7 Vì nên f(1) f(x) luôn có nghiệm 3. Ví dụ 3: Cho Chứng minh rằng: Hướng dẫn Từ giả thiết có: Nên một trong hai số hạng phải có một số luôn lớn hơn 0 Không mất tính tổng quát nếu giả sử Xét f(x) = = Vì nên p 0 Ta có f(x) luôn có nghiệm 8 đpcm. * Ví dụ tương tự (Chứng minh bất đẳng thức Aczela) Cho Chứng minh rằng: IV. Một số ví dụ trong lượng giác: 1.Ví dụ 1 a) Cho x, y , chứng minh rằng: b) Cho chứng minh rằng: Hướng dẫn a) Xét tam thức f(x) = Ta có b) Xét tam thức f(x) = Ta có 2.Ví dụ 2: Cho , chứng minh rằng: a) b) c) 9 d) e) Hướng dẫn + Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng f(t) 0 (t: là một hàm số lượng giác) + Tính và chứng minh cho a) cosA + cosB + cosC - Xét f(t) = Với t = sin Có đpcm. 10 Chương III : Phương pháp nghiên cứu - Kết quả nghiên cứu ) Phương pháp nghiên cứu : Tìm tòi , sưu tập trong tài liệu ,xây dựng hệ thống bài tập dạy thử nghiệm trên nhiều lớp học sinh, qua đó rút kinh nghiệm để xây dựng một hệ thống bài tập hoàn chỉnh . )Kết quả : Học sinh thấy hứng thú hơn trong nghiên cứu bất đẳng thức III. Phần kết luận Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” không những giúp học sinh hoàn thiện hơn về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà còn củng cố kiến thức về tam thức bậc hai, vì vậy theo tôi đây là một phương pháp mặc dù hơi khó nhưng rất cần được phổ biến rộng rãi trong đông đảo học sinh. Sai sót là điều khó tránh trong chuyên đề này, vì vậy tôi xin trân trọng mọi ý kiến đóng góp và nhận xét của độc giả qua địa chỉ “Đoàn Thị Hồng Cẩm – Gv Tổ Toán Trường THPT Hòn Gai – Tp Hạ Long” IV.Tài liệu tham khảo 1.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Tg Trần Tuấn Anh. 2. Tam thức bậc hai và ứng dụng - Tg Lê Sĩ Đồng ; Lê Minh Tâm. V. Nhận xết của HĐKH cấp trường Người viết : Đoàn Thị Hồng Cẩm ĐỀ SỐ 1(số 3-2008 báo THTT) (Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu 1. (2 điểm) Cho đồ thị Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1. Tìm m để có các điểm cực đại, điểm cực tiểu và gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông tại O. Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình: Giải hệ phương trình: Câu 3. (2 điểm) Tính các tích phân sau: Cho bốn điểm A (5 ; 1 ; 3) , B (1 ; 6 ; 2), C (5 ; 0 ; 4), D (4 ; 0 ; 6). Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. Câu 4. (2 điểm) Giải phương trình Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B) Câu 5A. (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban) Cho n là số nguyên dương với n. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang? Câu 5B. (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban) Cho đường thẳng có phương trình và elip có phương trình Giả sử đường thẳng cắt tại hai điểm B và C. Tìm điểm A thuộc elip để tam giác ABC cân tại A. Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất -----------------------------------Hết-------------------------------- ĐỀ SỐ 2(số 3 -2008 báo THTT) (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = () 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình Giải hệ phương trình Câu 3. (2 điểm) Tính tích phân Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng Câu 4. ( 2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + z –1 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P). Tính số đo góc tạo bởi (d) và (P). Viết phương trình đường thẳng ()đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng và (d) bằng . II.PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn câu 5a hoặc câu 5b) Câu 5a. (2 điểm) (Theo chương trình THPT không phân ban) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 =0. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức Câu 5b. ( 2 điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm) Giải phương trình Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK. --------------------------------------------Hết--------------------------------------------- ĐỀ SỐ 3(số 5 -2008 THTT) (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). Tìm các giá trị của tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1. Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình Giải hệ bất phương trình Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; 1 ; 4), B (3 ; 3 ; 1), C (1 ; 5 ; 5) , D (1 ; 1 ; 1). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC). Tìm điểm K trên đường thẳng AC và điểm H trên đường thẳng BD sao cho đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất. Câu 4. ( 2 điểm) Tính tích phân Chứng minh rằng với mọi số nguyên m , ta có II. PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B) Câu 5A.(2 điểm) ( Theo chương trình THPT không phân ban) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình Tìm điểm S trên (E) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái của (E) có độ dài nhỏ nhất b)Trong một cuộc đi chơi dã ngoại của một tổ học sinh , cứ hai học sinh bất kỳ đều chụp với nhau một kiểu ảnh để làm kỉ niệm ( mọi kiểu ảnh đều chỉ có hai người). Hỏi tổ học sinh có mấy người , biết rằng cuốn phim có 36 kiểu chụp vừa đủ. Câu 5B.(2 điểm) ( Theo chương trình THPT phân ban) a) Giải bất phương trình b)Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h -------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 1 (Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu 1. (2 điểm) Cho đồ thị Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1. Tìm m để có các điểm cực đại, điểm cực tiểu và gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông tại O. Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình: Giải hệ phương trình: Câu 3. (2 điểm) Tính các tích phân sau: Cho bốn điểm A (5 ; 1 ; 3) , B (1 ; 6 ; 2), C (5 ; 0 ; 4), D (4 ; 0 ; 6). Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. Câu 4. (2 điểm) Giải phương trình Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B) Câu 5A. (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban) Cho n là số nguyên dương với n. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang? Câu 5B. (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban) Cho đường thẳng có phương trình và elip có phương trình Giả sử đường thẳng cắt tại hai điểm B và C. Tìm điểm A thuộc elip để tam giác ABC cân tại A. Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất -----------------------------------Hết---------------------------- ĐỀ SỐ 2 (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = () 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình Giải hệ phương trình Câu 3. (2 điểm) Tính tích phân Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng Câu 4. ( 2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + z –1 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P). Tính số đo góc tạo bởi (d) và (P). Viết phương trình đường thẳng ()đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng và (d) bằng . II.PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn câu 5a hoặc câu 5b) Câu 5a. (2 điểm) (Theo chương trình THPT không phân ban) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức Câu 5b. ( 2 điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm) Giải phương trình Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK. --------------------------------------------Hết----------------------------------------- ĐỀ SỐ 3 (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). Tìm các giá trị của tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1. Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình Giải hệ bất phương trình Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; 1 ; 4), B (3 ; 3 ; 1), C (1 ; 5 ; 5) , D (1 ; 1 ; 1). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC). Tìm điểm K trên đường thẳng AC và điểm H trên đường thẳng BD sao cho đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất. Câu 4. ( 2 điểm) Tính tích phân Chứng minh rằng với mọi số nguyên m , ta có II. PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B) Câu 5A.(2 điểm) ( Theo chương trình THPT không phân ban) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình Tìm điểm S trên (E) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái của (E) có độ dài nhỏ nhất b)Trong một cuộc đi chơi dã ngoại của một tổ học sinh , cứ hai học sinh bất kỳ đều chụp với nhau một kiểu ảnh để làm kỉ niệm ( mọi kiểu ảnh đều chỉ có hai người). Hỏi tổ học sinh có mấy người , biết rằng cuốn phim có 36 kiểu chụp vừa đủ. Câu 5B.(2 điểm) ( Theo chương trình THPT phân ban) a) Giải bất phương trình b)Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h -------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------------- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HÒN GAI ---------------------------------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN : ĐOÀN THỊ HỒNG CẨM TỔ : TOÁN TIN Hạ Long - Tháng 5 năm 2008 I.Phần mở đầu : I.1 .Lý do chọn đề tài Trong quá trình giảng dạy , tôi thấy bài toán : “ Chứng minh bất đẳng thức” là một trong những bài toán khó nhất trong các loại toán ở phổ thông , bởi con đường chứng minh lại rất phong phú và đa dạng. Trong chương trình toán lớp 10, các học sinh được học về tam thức bậc hai , được học về bất đẳng thức nhưng các em lại chưa được dạy cách sử dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức mà đây lại là một phương pháp chứng minh rất hiệu quả , dễ sử dụng.Vì vậy tôi viết đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” giúp các em lớp 10 v à lớp 12 nghiên cứu bất đẳng thức được dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao hơn trong các kỳ thi Học sinh Giỏi các cấp và kỳ thi Đại học cao đẳng. I.2. Mục đích nghiên cứu : Giảng dạy cho đối tượng học sinh lớp 10 và lớp 12 I.3. Thời gian - Địa điểm Từ đầu năm học 2007 – 2008 , tại trường THPT Hòn Gai. I.4. Đóng góp về mặt lý luận , về mặt thực tiễn Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, phong phú toàn diện hơn trong giải quyết bài toán : “ Chứng minh bất đẳng thức”, đồng thời củng cố kiến thức về tam thức bậc hai. II.Nội dung Chương 1: Tổng quan Trong chương trình Toán cấp THPT , lý thuyết về tam thức bậc hai vừa là nội dung vừa là công cụ giải toán quan trọng ; Các dạng toán về bất đẳng thức là dạng toán khó thường gặp trong các đề thi ĐH - CĐ để phân loại thí sinh hoặc trong các đề thi học sinh giỏi ,một số học sinh thường e ngại khi gặp phải dạng toán này , đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” sẽ phần nào giúp đỡ học sinh giải quyết cả hai vấn đề trên. Chương 2 : Nội dung vấn đề nghiên cứu