Phương pháp tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

MỘT PHƯƠNG PHÁP TIM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC I . PHƯƠNG PHÁP 1 1 ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC để biến đổi biểu thức đưa về dạng : * A = m + m suy ra minA = m khi f(x) =0 * B = n -n suy ra max B = n khi f(x) = 0 Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau : a) A = 4x2 + 4x + 11 B = (x -1) (x+ 2 ) ( x + 3 ) ( x +6 ) C = x2 – 2x + y2 – 4y +7 Giải A = 4x2 + 4x + 11 = (2x + 1)2 + 10 10 => min A = 10 khi x = -0,5 B = (x -1) (x+ 2 ) ( x + 3 ) ( x +6 ) = ( x2 + 5x – 6 )( x2 +5x +6 ) = (x2 + 5x )2 - 36 - 36 suy ra min B = - 36 khi x = 0 hay x = -5 C = ( x2 -2x + 1 ) + (y2 – 4y + 4 ) + 2 = ( x - 1 ) 2 + ( y – 2 )2 + 2 2 Suy ra minC = 2 khi x – 1 = 0 và y- 2 =0 suy ra x = 1 và y = 2 Ví dụ 2 Tìm giá tri lớn nhất các biểu thức a) A = 5 - 8x – x2 b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải a) Ta có A = - ( x2 + 8 x + 16 ) + 21 = - ( x + 4 ) 2 + 21 21 => max A = 21 khi x = -4 Ta có B = - ( x2- 2 x + 1 ) – ( 4y2 +4y + 1 ) + 7 = - ( x - 1 ) 2 - ( 2y + 1 ) 2 + 7 7 => max B = 7 khi x = 1 và y = - 0,5 Bài tập tương tự : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất các biểu thức sau M = x2 + 5y2 -2xy +4y + 3 N = x2 – 4xy + 5 y2 + 10 x - 22y +28 P = Q = II . PHƯƠNG PHÁP 2 2. ÁP DỤNG TÍNH CHẤT Để tìm GTNN hay GTLN dấu “=” xảy ra khi x.y 0 Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất biểu thức Bài giải a) suy ra min A =4 khi (2x- 5 ).(1 – 2x ) 0 b) Ta có Dấu“ = “ xảy ra khi ( x- 1) (x -3) 0 Mà nhỏ nhất khi x = 2 Vậy min B = 2 khi x = 2 c) Ta có Dấu “ = “ xảy ra 3x + 5 Vậy max C = 12 d) Ta có D = Dấu “ =” xảy ra 4x2 – 1975 4x2 - 2005 0 Vậy max D = 50 khi và chỉ khi Chú ý : Khi sử dụng phương pháp trên lưu ý các trường hợp sau 1. Nếu với (a < b) thì Min y = b – a khi a x b 2. Nếu với ( b < c) thì Min y = c - b khi 3. Nếu với ( b < c ) thì Min y = c - b khi III. PHƯƠNG PHÁP 3 3. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Để tìm GTLN dấu “ = “ xảy ra khi b(a-b) = 0 b = 0 hay a = b Để tìm GTNN dấu “ = “ xảy ra khi a.b = 0 ,=> a = 0 hay b = 0 Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a) b) Bài giải a) Ta có Dấu “ =” xảy ra khi x – 8 = 0 => x = 8 Vậy max A = 3 khi x = 8 b) Ta có Dấu “ =” xảy ra khi 2x- 2007 = 0 => x = Vậy max B = 1 khi x = Ví dụ Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức a) b) Bài giải a) ĐKXĐ : Ta có Dấu “ = “ xảy ra khi x = 3 hoăc x = 5 Suy ra min A = khi x = 3 hay x = 5 b) Tương tự như câu a IV . PHƯƠNG PHÁP 4 4. AP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Cô Si Với a0 , b 0 dấu “ = “ xảy ra khi a = b Từ bất đẳng thức trên ta có + Nếu a.b = k ( không đổi ) thì min ( a + b ) = a = b + Nếu a + b = k ( Không đổi ) thì max (a,b) = *Mở rộng bất đẳng thức CôSi cho n số a1,a2,a3 ,...............an không âm a1 + a2 + a3 + ...........+ an dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ..........= an Từ bất đẳng Cô Si mở rộng ta có + Nếu a1.a2. a3 ............an = k ( không đổi ) thì min ( a1 + a2 + a3 +...........+an ) = n a1 = a2 = a3 = ..........= an + nếu a1 + a2 + a3 +............+an = k ( Không đổi ) thì max (a1.a2. a3 ............an ) = a1 = a2 = a3 = ..........= an Dạng 1 : Tìm GTLN của biểu thức có dạng A = bậc f(x) và g(x) bằng nhau Phương pháp giải : Ta tìm GTLN bình phương của biểu thức đó .Sau đó áp dung BĐTCô Si Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất biểu thức A = Bài giải ĐKXĐ : Ta có A2 = (3x - 5 ) + ( 7 – 3x ) +2 Dấu “ = “ xảy ra khi 3x - 5 = 7 - 3x x = 2 Vậy max A2 = 4 khi x = 2 Do đó Max A = 2 khi x = 2 Kết luận : Nếu biểu thức M = Với ( b < c ) thì Max M2 = 2 ( c b ) khi Suy ra Max M =) khi Dạng 2 : Tìm GTLN của biểu thức có dạng A bậc f(x) bằng bậc g(x) Phương pháp giải : Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 , sau đó áp dung BĐT Cô Si Ví dụ : Tìm GTLN của biểu thức A = Bài giải : ĐKXĐ : x 9 Ta có Dấu “ = “ xảy ra khi Vậy max A = khi x = 18 Kết luận : Nếu biểu thức N = thì Max N = khi xn = Dạng 3 : Tìm GTNN của biểu thức có dạng A = bậc của f(x) lớn hơn bậc g(x) Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là hằng số ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau ) , rồi áp dụng BĐT Cô Si Ví dụ Cho x > 0 , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) b) c) Bài giải a) Ta có A = 3x + = x + x + x + Dấu “ = “ xảy ra khi Vậy Min A = 8 khi x = 2 b)Ta có Dấu “ =” xảy ra khi x = -5 ( loại ) Vậy min B = 4 khi x = 3 c) Tương tự như câu a, b Bài tập tự giải : Tìm giá tri nhỏ nhất các biểu thức a) A với x > y và x.y = 5 B = với x > 0 C = Dạng 4 : Tìm GTLN của biểu thức dạng : N = f(x) . g(x) ; bậc f(x) bằng bậc g(x) Phương pháp giải : - Biến đổi f(x) + g(x) = k ( k hằng số ) - Áp dụng BĐT CôSi - Dấu “ = “ xảy ra khi a = b Ví dụ : Tìm GTLN các biểu thức P = x3 ( 16 - x3 ) Q = ( 1 – x ) ( 2x - 1 ) với 0,5 < x < 1 Bài giải a) Ta có P = x3 ( 16 - x3 ) dấu “ =” xảy ra khi x3 = 16 - x 3 x3 = 8 x = 2 Vậy max P = 64 khi x = 2 b) Ta có Q = ( 1 – x ) ( 2x - 1) = Dấu “ = “ xảy ra khi 2 – 2x = 2x – 1 Vậy max Q = Dạng 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức có dạng A = f(x) + g(x) Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức sao cho tích của chúng không đổi ( tách một hạng tử chứa biến thành tồng của một hằng số với một hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho , có thể sai khác một hằng số ) Ví dụ : Cho 0 < x < 12 Tìm GTNN của biểu thức A = Bài giải Ta có A = Dấu “ = “ xảy ra khi Vậy Min A = 7 khi x = Bài tập tương tự : Cho x > 1 , tìm GTNN của các biểu thức sau a) M= b) N = c) P = (với x,y >0 và x + y > 6 ) V . PHƯƠNG PHÁP 5 5.ÁP DUNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI LÀ : ( ) Dấu “ = “ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = , ( x = )..Để tìm GTLN , GTNN của biểu thức Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau : a) A = 5x2 - 4x + 1 b) B = Bài giải a) Gọi a là một giá trị của biểu thức A Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 5x2 – 4 x + 1 = a có nghiệm 5x2 – 4 x + 1 - a = 0 (*) có nghiệm Vậy min A = phương trình (*) có nghiệm kép x = b) ĐKXĐ : x1 Gọi a là một giá trị của B , phương trìn h = a (1) phải có nghiệm Pt (1) (a – 1 ) x2 - (2a – 1 ) x + (a + 1) = 0 (2) - Nếu a = 1 thì x = 0 - Nếu a 1 thì (2) là phương trình bậc hai = ( 2a – 1 )2 -4(a-1) = 4a - 3 Phương trình (2) có nghiệm khi 0 4a – 3 0 Vậy minB = khi phương trình (2) có nghiệm kép x = -1 Bài tập tương tự Tìm GTNN , GTLN các biểu thức sau a) P = b) Q = c) R = Còn nữa hẹn lần sau