Phương trình bậc hai

Dạng : Phương trình bậc hai . Trong chương trình THCS chúng ta chỉ xét chủ yếu là phương trình bậc hai một ẩn- SGK lớp 9 tập 2. 1. Định nghĩa: Là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (1). Trong đó x là ẩn ; a, b, c là những hằng số cho trước gọi là các hệ số và a ạ 0. 2. Cách giải: + Nếu b = 0 (phương trình khuyết b) thì phương trình (1) có dạng ax2 + c = 0 với c > 0, phương trình vô nghiệm. với c < 0, phương trình có hai nghiệm x1,2= với c = 0, phương trình có 1 nghiệm x = 0. + Nếu c= 0 (phương trình khuyết c ) thì phương trình (1) có dạng ax2 + bx = 0 ta đưa về phương trình tích. + Nếu b = c = 0 (phương trình khuyết b và c) thì phương trình (1) có dạng ax2 = 0 + Nếu b; c ạ 0: C1: Đưa về phương trình tích đối với học sinh lớp 7, 8. C2: Nhẩm nghiệm bằng viét. C3: Dùng công thức nghiệm thu gọn (D/). C4: Dùng công thức nghiệm thu gọn (D)... 3. Ví dụ áp dụng: VD 1: Giải các phương trình sau: a, 2x2 – 5 = 0 c, - 3x2 – 5x = 0 b, 6x2 + 2005 = 0 d, 2006x2 = 0 VD2: Giải các phương trình sau: a, x2 – 2006x + 2005 = 0 e, x2 = 12x + 288 b, 3x2 +7x + 4 = 0 g, c, 2x2 -7x +3 =0 4. Bài toán tổng hợp kiến thức và kĩ năng: Cho phương trình dạng : ax2 + bx + c = 0 (a; b; c chứa tham số ) 4.1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số. VD1: Giải phương trình : x2 - 2(m+1)x + m2 – 5 = 0 (1) a, Giải phương trình (1) khi m = -1 b, Tìm m để phương trình (1) có nghiệm (Trích đề thi vào lớp 10 Tỉnh TháI Bình 1999-2000) Giải: a, Khi m = -1 phương trình (1) trở thành x2 – 4 = 0 Û x = Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho có nghiệm là S = VD2: Cho phương trình : (m - 1) x2 – 2 (m+ 1)x + m = 0 Giải phương trình khi m = 1 ; m = ? Học sinh tự giải và cho thêm các TH: m = -1; m = 0 ; m = 2 ; m = 1/2; m = -1/4 4.2: Tìm giá trị của tham số khi biết phương trình thoả mãn điều kiện: VD1: Tìm m để phương trình : x2 - 2( m+1)x + m2 - 5 = 0 có nghiệm . Giải: Ta thấy: a = 1 ạ 0 nên phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với x. có D/ = = m2 + 2m + 1 – m2 + 5 = 2m + 6 Để phương trình đã cho có nghiệm thì D/ ³ 0 Û 2m + 6 ³ 0 Û m ³ - 3 Vậy m ³ -3 thì phương trình trình đã cho có nghiệm . VD2: Cho phương trình: mx2 – (m2 + 2 )x + 2m = 0 .Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng -1 . Tìm nghiệm còn lại? VD3: Cho phương trình: (m-1)x2 – 2(m + 1 )x + m = 0 .Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu? VD4: Cho phương trình : (m-1)x2 + 2(m -1)x – m = 0 Tìm m đẻ phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? VD5: Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10 VD6: Cho 2 phương trình x2 + x + k + 1 = 0 (1) x2 – (k + 2)x + 2k + 4 = 0 (2) a, Giải phương trình (1) với k = -1; k = - 4 b, Tìm k để phương trình (2) có 1 nghiệm bằng . Tìm nghiệm còn lại? c, Với giá trị nào của k thì 2 phương trình tương đương. (Trích đề thi vào lớp 10- Tỉnh Thái Bình : 98-99) 4.3 Chứng minh rằng phương trình luôn: có nghiệm, vô nghiệm, ... (không thể... ) VD1: Cho phương trình : x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 a, Giải phương trình khi m = 2; m = -3. b, Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 c, Tìm m sao cho x12 + x22 ³ 10 Hướng dẫn: b, Ta thấy a = 1 ạ 0 nên phương trình đã cho là phương trình bậc2 đối với x có D/ = = m2 – 2m + 1 + 3 + m = m2 – m + 4 = Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1; x2 (điều pcm) VD2: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m -1 = 0 a,Chứng tỏ rằng phương trình không thể vô nghiệm. b, .. (Học sinh tự khai thác theo hướng dẫn của giáo viên) VD3: Chứng minh rằng phương trình : 12x2 + 70x + k2 + 1 không thể có hai nghiệm dương. (Học sinh tự giải) 4.4 So sánh nghiệm của phương trình với một số. TH1: So sánh với số 0: + Hai nghiệm cung dấu (cùng dương , cùng âm). + Hai nghiệm trái dấu. TH2: So sánh với số khác 0: VD1: Cho phương trình : (m-1)x2 – 2(m+ 1)x + m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu? Giải: Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi : (m-1)(m) ạ 0 Û Û Vậy m ạ 0 và m ạ 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu. VD2: Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x – m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm? VD3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm không âm : x2+ mx + (2m – 4 ) = 0 (1) Cách 1: Ta có D = (m- 4)2³ 0 P = 2m – 4 S = -m Phương trình (1) có nghiệm Phương trình có 2 nghiệm đều âm khi: Vậy điều kiện để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm là mÊ 2 Cách 2: D = (m- 4)2³ 0 P = 2m – 4 S = -m Nếu PÊ 0 Û m Ê 2 thì phương trình (1) luôn $ nghiệm không âm. Nếu P > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu. Để thoả mãn bài toán thì S > 0 Do đó (không xảy ra) Vậy m Ê 2 Cách 3: Giải phương trình (1): D = (m- 4)2³ 0 x1 = 2 - m x2 = - 2 phải có x1 ³ 0 Û m Ê 2 Vậy m Ê 2 VD4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không nhỏ hơn 2: x2 + mx – 1 = 0 (HS tự giải) 4.5. Giải và biện luận phương trình theo tham số. Phương pháp chung: + B1: Xét TH a = 0 + B2: Xét trường hợp a ạ 0. Tính D (D/) Chia làm 3 trường hợp: Nếu D < 0 ị S = ặ - vô nghiệm Nếu D = 0 ị S = - nghiệm kép Nếu D > 0 ị S = - 2 nghiệm phân biệt. VD1: Giải và biện luận phương trình : (m - 1)x2 + (2m – 3 0 x + m + 2 = 0 (1) TH1: Nếu m – 1 = 0 Û m = 1 Lúc đó (1) Û - x + 3 = 0 Û x = 3 TH2: Nếu m - 1 ạ 0 Û m ạ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với x có D = (2m - 3)2 – 4 (m – 1) (m+ 2) = - 16m + 17 Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm Nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép: x1= x2 = Nếu thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1,2 = Vậy... VD2: Giải và biện luận phương trình : mx2 + 2(m+ 1)x + 4 = 0 (mẻR) (Trích đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thái Bình: 2000-2001) (HS tự giải) 4.6 Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm: Các dạng thường gặp: 1, x12 + x22 4, x13 + x23 2, 5, 3, 6, . VD1: Cho phương trình : x2 – 2 mx + 2m – 1 = 0 (1) a, Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm. b, Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) Tính A = 2(x12 + x22) – 5 x1 x2 theo m Giải: b, + Theo câu a phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1; x2 + Theo vi ét ta có + Ta có : A = 2(x12 + x22) – 5 x1x2 = 2 (x12 + 2x1x2+ x22) - 5x1x2 – 4x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 9(2m- 1) = 8m2 – 18m + 9 Vậy A = 8 m2 – 18m + 9 VD 2: Cho phương trình : x2 – 2(m-1)x – 3 – m = 0 Tính A = x12 + x22 theo m ( x1,, x2 là nghiệm của phương trình ) (HS tự giải) VD3: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0 a, Xác định m để phương trình có nghiệm không âm b, Khi đó tính K = theo m. 4.7 Nghiệm hữu tỷ của phương trình bậc 2. VD1: Cho phương trình : x2+ mx + n = 0 (*) (m, n ẻZ) a, Chứng minh rằng: nếu phương trình (*) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là số nguyên . b, Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình (*) khi n = 3. Giải : a, Nếu (1) có nghiệm x = 0 thì thoả mãn Nếu (1) có nghiệm hữu tỉ x = trong đó a; b ẻZ; bẻZ*+ ; (a; b) = 1 Ta có ị a2 = -mab –nb2 ị a2: b mà (a; b) = 1 nên b = 1 do đó xẻZ b, Khi n = 3 phương trình (*) có dạng x2 + mx + 3 = 0 D= m2 – 12 Để (*) có nghiệm hữu tỉ thì D chính phương. Đặt m2 – 12 = k2 (kẻN) Û m2 – k2 = 12 Û (m-k) (m+k) = 12 Û Vì m+ k , m-k là ước của 12, cùng tính chẵn lẻ, m+k m-k. nên Với m = 4 phương trình (*) là x2 + 4x + 3 = 0 có 2 nghiệm x1 = -1 x2 = - 3 Với m= -4 phương trình (*) là : x2 - 4x + 3 = 0 có 2 nghiệm x1 = 1 x2 = 3 VD2: Cho biết: x = là một nghiệm của phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 (a, b, cẻQ). Tìm các nghiệm còn lại? Giải: Ta có D = n2 + 16 > 0. Nếu nghiệm của phương trình (1) là các số nguyên thì n2 + 16 chính phương Đặt n2 + 16 = k2 (kẻZ) Û n2 – k2 = 16 Û (n-k) (n+k) = 16 Ta thấy (n+k), (n-k) cùng tính chẵn lẻ do (n+k) – (n –k) = 2k mà tích=16 (chẵn) nên (n+k) và (n-k) cùng chẵn. do n+k ³ n-k .nên n + k 8 2 4 n - k -2 -8 -4 n 3 -3 0 Với n = 3 thì phương trình (1) trở thành x2-7x+6 = 0 ị x1 = 1 x2 = 6 Với n = -3 thì phương trình (1) trở thành x2-x- 6 = 0ị x1 = -2 x2=3 Với n = 0 thì phương trình (1) trở thành x2- 4x = 0 ị x1 = 0 x2 = 4 Vậy n ẻớ3; -3;0ý thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên vd3:Tìm số nguyên tố p, biết rằng phương trình x2+px -12p = 0 có 2n0 đều là những số nguyên VD4: Cho phương trình (m+1)x2 - (m-1)x+m+3= 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều là những số nguyên ( Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Thái Bình: 2005-2006) 4.9 Quan hệ giữa các nghiệm của 2 phương trình bậc hai VD1: Tìm các giá trị của a để 2 phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung x2+ ax + 8 = 0 (1) x2 + x + a = 0 (2) Giải: Giả sử xo là nghiệm chung của 2 phương trình . Khi đó ta có: x02 + ax0 + 8 = 0 (1/) x02+ x0 + a = 0 (2/) ị (a-1)x0 + 8 - a = 0 Nếu a ạ 1 thì x0 = .Thay vào (2/) và rút gọn ta có a3- 24a +72 = 0 Û (a + 6) (a2- 6a +12) = 0 Û Û a = - 6 Với a = - 6 phương trình (1) trở thành : x2- 6x + 8 = 0, có 2 nghiệm x1 = 2 x 2 = 4 phương trình (2) trở thành: x2+x- 6 = 0 có 2 nghiệm x1 = 2 x2 = - 3 do đó (1) và (2) có 1 nghiệm chung là x = 2 Với a = 1 thì (1) trở thành x2 +x+8 = 0, phương trình vô nghiệm . (2) trở thành x2 +x+1 = 0, phương trình vô nghiệm . Vậy với a = -6 thì 2 phương trình có một nghiệm chung VD2: Cho các phương trình bậc hai : ax 2+ bx + c = 0 px2+ qx + r = 0 có ít nhất 1 nghiệm chung. CMR :( pc – ar)2 = (pb – aq)(cq - rb) (HS tự giải). VD3: Xét 2phương trình: x2+x+k +1= 0 (1) x2- (k+2)x+2k + 4= 0 (2) a. Giải phương trình (1)với k = -1; k = - 4 b. Tìm k để phương trình (2) có 1 nhgiệm bằng .Tìm nghiệm còn lại ? c. Với giá trị nào của k thì 2 phương trình tương đương ? (Trích đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thái Bình : 1998- 1999 ) 4.10 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng . Nếu 2 số u và v thoả mãn : u+v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình : x2 - Sx + P = 0 (1) Nhận xét: Nếu (1) có 2 nghiệm x1,x2 (S2 ³ 4P) thì u = x1 và v = x2 hoặc u = x2 và v = x1 VD1: Tìm 2 cạnh của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 6m và diện tích bằng 2m2 Giải: Gọi u,v là độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật (u, v ủ o), ta có Do đó u,v là nghiệm của phương trình : t2 -3t +2 = 0 Û Vậy 2 cạnh của hình chữ nhật có độ dài là 1m và 2m VD2: Giải các hệ phương trình sau: a, b, c, d, VD3: Giải phương trình : += 4 HD: - đkxđ : x ³ 0 - Đặt a = b = ị 0 < a Ê b a. b = 3 - Do đó a + b = 4 a . b = 3 4.11 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số. Phương pháp chung: B1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 B2: áp dụng hệ thức viétta có x1+x2 = f(m) x1.x2 = g(m) B3: Khử m ta được hệ thức cần tìm. VD1: Cho phương trình : x2 – 2mx – m2 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m. Giải: - Ta thấy D/ = 2m2 ³ 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2;m - Ta có x1 + x2 = 2m (1) x1. x2 = - m2 (2) Từ (1) ị m = Thay m = vào (2) ta có : (x1+x2)2 + 4x1x2 = 0 Vậy hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc m là: (x1+x2)2 + 4x1x2 = 0 VD2: Cho phương trình: x2 – 2xsina + cosa -1 = 0 a, Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm " a b, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc a. (HS tự giải) VD3: Cho phương trình x2 – 2xtga -1 – cotg2a = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa cac nghiệm của phương trình không phụ thuộc a. Chú ý: + Sin2a + Cos2a = 1 tga. cotga = 1,... + Nếu x1 + x2 hoặc x1. x2 không chứa m thì ... 5) Phương trình quy về phương trình bậc hai Trong thực tế ta có thể sử dụng phương trình bậc hai để giải những loại phương trình sau: 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. 2. Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 3. Phương trình bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx = 0 4. phương trình trùng phương: ax4 + bx2+ c = 0 5. Phương trình hồi quy: ax4 + bx3 + cx2 bx + a = 0 6. Phương trình dạng: (x+ a)(x+b)(x+c)(x+d) = m với a+b = c+ d 7. Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c 8. Phương trình: sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai. 9. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 10. Phương trình vô tỷ. ........................................... VD1: Giải các phương trình sau: a, b, 3x4 + 4x2 + 1 = 0 c, x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 d, (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0 VD2: Giải các phương trình sau: a, b, x2+ Bài tập tự luyện: Bài 1. Cho phương trình ẩn x: x2- 2(a+b+c)x + 3(ab + ac + bc) = 0 a, Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm " a,b,c. b, Trong trường hợp phương trình đã cho có nghiệm kép, hãy tính a, b, c nếu a3 – 2b2 - 3c = 0, đồng thời tính nghiệm kép đó? (Trích đề thiHSG Toán 9: 2004-2005- Hưng Hà) Bài 2: a, Cho phương trình : (m+1)x2 – (m-1)x + m + 3 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều những số nguyên? b, Cho 3 số a, b, f. Đặt a = a +b + b = ab +b+a c = ab Cmr các phương trình sau có nghiệm : x2 + 2ax + 3b = 0 ax2 – 2 bx + 3c = 0 (Trích đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Thái Bình: 2005-2006) Bài 3: Cho phương trình: a, Giải phương trình khi m = . b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 16 . (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Trần Phú –Hải Phòng) Dạng 6: Phương trình bậc cao. Trong chương trình phổ thông chúng ta chủ yếu xét phương trình bậc cao một ẩn: anxn + an-1xn-1+....... + a1x + a0 = 0 (với ai Z ; n N; n³ 3) A) Phương trình bậc ba. ax3 +bx2 + cx + d = 0 (a ạ 0) (*) 1. Để giải phương trình bậc3: ax3 +bx2 + cx + d = 0 ta thường thực hiện các bước sau: Bước 1: Đoán nghiệm x0 của (*). Bước 2: Đưa về phương trình tích khi đó (*) Bước 3: Giải từng phương trình rồi kết hợp ngiệm . Chú ý: + Dự đoán nghiệm dựa vào một số cách sau: - Nếu a + b + c+ d = 0 thì (*) có nghiệm x = 1 - Nếu a+ c = b+ d thì (*) có nghiệm x = -1 - Nếu a,b,c,d nguyên và (*) có nghiệm nguyên x = m thì m là ước của d. - Nếu a, b, c, d nguyên và (*) có nghiệm hữu tỉ x = thì p là ước của d, q là ước của a. - Nếu ac3 = bd3 (a;d ạ 0) thì (*) có nghiệm x = + Biện luận phương trình bậc 3 theo tham số: - Phương trình bậc 3 (*) có 3 nghiệm phân biệt khi: (2) có D > 0 g(x0) ạ 0 - Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi: (2) có: D = 0 và g(x0) ạ 0 D > 0 và g(x0) = 0 - Phương trình (*) có đúng 1 nghiệm khi D = 0 và g(x0) = 0 D < 0 + Phương trình bậc 3 nào cũng đưa được về dạng: y2+ my2 + ny +c = 0 bằng cách đặt y = phương trình sẽ có dạng x3 + ax+b = 0 Để giải phương trình x3 + ax + b = 0 ta biểu thị ẩn x thành tổng 2 ẩn u và v tức là x = u + v. (v chọn tuỳ ý). (phương pháp Các- đa – nô). 2, Các ví dụ minh hoạ: VD1:Giải các phương trình sau: a, x3 – 4x2 – 3x +6 = 0 b,3x3+ 4x2 – 5 x – 6 = 0 c, x3 – 6x2 + 15x – 14= 0 d,3x3 – 5x2 –x +2 = 0 e, 2x3 + 3x2 + 6x -4 = 0 Giải: a, Vì a+ b + c + d = 1- 4 – 3 + 6 = 0 nên x0 = 1 là 1 nghiệm do đó: x3- 4x2 – 3x + 6 = 0 Û (x-1)(x2 – 3x - 6) = 0 Û x- 1 = 0 (1) x2 – 3x – 6 = 0 (2) Giải (2): x2 – 3x – 6 = 0 Û x1; x2 = Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = b, Ta thấy a – b + c – d = 3 – 4 – 5 + 6 = 0 do đó 3x3+ 4x2 – 5 x – 6 = 0 Û (x+1)(3x2 + x - 6) = 0 Û x+ 1 = 0 3x2 + x – 6 = 0 Û x= -1 x1,2= Vậy phương trình có tập nghiệm là S = c, x3 – 6x2 + 15x – 14 = 0 + Tìm 1 nghiệm của phương trình : Ư(14) = Ta thấy 2 là 1 nghiệm của phương trình nên: x3 – 6x2 + 15x – 14 = 0 Û (x-2)(x2 – 4x + 7 ) = 0 Û x- 2 = 0 Û x= 2 Û x= 2 x2 – 4x + 7 = 0 xẻặ Vậy tập nghiệm của phương trình là:S = d, 3x3 – 5x2 –x +2 = 0 (f(x) = 0) * Tìm 1 nghiệm x0 của phương trình: - u(2) = - u(3) = - Lập các tỷ số: - Tính f(): ......... - Thấy f () = 0 nên x = là một nghiệm của phương trình . Do đó 3x3 – 5x2 – x + 2 = 0 Û 3(x - )(x2 – x - 1) = 0 Û x- = 0 x2 – x – 1 = 0 Û x = x = Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S = e, 2x3 + 3x2 + 6x - 4 = 0 (đặt f(x)= 2x3 + 3x2 + 6x - 4) Ư(4) = Ư(2) = Lập các tỷ số: . Tính f() Thấy f() = 0 nên x = là một nghiệm của f(x). Do đó 2x3 + 3x2 + 6x – 4 = 0 Û (x- )(2x2 + 4x + 8) = 0Û x - = 0 2x2 + 4x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm ) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = VD2: Cho phương trình : x3 – (2m + 1 )x2 + (3m + 1)x – (m+ 1) = 0 (1) . (m là tham số). Xác định m để phương trình (1) : a. có 3 nghiệm phân biệt. b. có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn. c. có 1 nghiệm bội ba. d. có 3 nghiệm. e. có 1 nghiệm duy nhất. Giải: Ta có x3 – (2m + 1)x2 + (3m + 1)x – (m+1) = 0 Û (x- 1)(x2 – 2mx + m +1) = 0 Xét D/g = m2 – m – 1 Xét dấu: m -Ơ +Ơ D/ + 0 _ 0 + a, Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: g(1) ạ 0 D/g > 0 Vậy... b. Phương trình (1) có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn khi và chỉ khi: Vậy ... c. Phương trình (1) có nghiệm bội ba (x1 = x2 = x3) khi và chỉ khi: g(1) = 0 Û Û D/g = 0 m = 2 M = m ẻ ặ Vậy ... d, Phương trình (1) có 3 nghiệm Û D/g ³ 0 Û m Ê m ³ Vậy... Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải phương trình sau: a, 2x3 + x2 – 5x + 2 = 0 b, 2x3 + x + 3 = 0 c, 3x3 – 8x2 – 2x +4 = 0 d, x3 + x2 - x -2 = 0. Bài 2: Cho phương trình. x3 – (2m +1)x2 +3(m+4)x – m - 12 = 0 (1) a, Giải phương trình (1) khi m = -12 b, Xác định m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. Bài 3: Cho phương trình: mx3 + (3m-4)x2 + (3m -7)x + m - 3 = 0 a, Giải phương trình khi m = 3. b, Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phan biệt không âm. Bài 4: Giải và biện luận theo a nghiệm của phương trình : x3 – (2a+ 1)x2 + (a2+ 2a - b)x – (a2 - b) = 0 Bài 5: Xác định m trong phương trình : 6x3 – 7x2 – 16x + m = 0. Biết rằng x = 2 là một nghiệm của phương trình. T ìm nghiệm còn lại? (Trích đề thi chuyên Thái Bình 1999-2000) Bài 6: Xét các đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx +c Q(x) = x2 + x + 2005. Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Còn phương trình Q(x) = 0 vô nghiệm. Cmr: P(2005) > (Trích đề thi chuyên Thái Bình : 2005- 2006) B. Phương trình bậc bốn một ẩn. I, Khái niệm. Phương trình bậc bốn một ẩn với hệ số nguyên là phương trình có dạng: ax4 +bx3 + cx2 + dx + e = 0 trong đó: a, b, c, d, e ẻ Z a ạ 0 x: ẩn Giải phương trình đa thức bậc cao là một vấn đề phức tạp và khó khăn.. Người ta đã chứng minh được rằng không thể giải bằng căn thức các phương trình bậc cao hơn bốn dưới dạng tổng quát. Ta chỉ xét một số phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt. II, Các dạng phương trình bậc bốn đặc biệt thường gặp. 1, Phương trình bậc bốn giải bằng phương pháp phân tích: Để giải phương trình ax4 + bx3 +cx2 + dx + e = 0 (1) ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Đoán nghiệm x1, x2,.... của phương trình (1): Căn cứ: Nếu a + b + c + d + e = 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm : x1 = 1 Nếu a – b + c – d + e = 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm : x = -1 Nếu (1) có nghiệm nguyên x= x0 thì x0 là ước của e. Nếu (1) có nghiệm hữu tỉ thì p là ước của e. q là ước của a. Bước 2: Phân tích (1) thành: (x – x1)(x-x2)(ax2 + b1x + c1) = 0 Û x = x1 x = x2 ax2 + b1x + c1 = 0 (1/) Bước 3: Giải (1/) rồi kết luận nghiệm của phương trình (1) VD1: Giải phương trình: x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0. Giải: Ta thấy a + b + c + d + e = 1 – 4 + 16 – 12 = 0 Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1 Khi đó : x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0. Û (x – 1)(x3 - 3x2 – 4x +12) = 0 Û (x - 1)(x - 2)(x2 - x - 6) = 0 x – 1 = 0 Û x – 2 = 0 x2 - x – 6 = 0 x = 1 Û x = 2 x = -2 x = 3 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = Chú ý: Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng ta có thể biến đổi thành phương trình tích (tích của hai tam thức bậc hai. VD2: Giải phương trình: x4 – 2x3 + 10x – 25 = 0. (2) Giải: (2) Û ( x4 + 2x3 +x2) – ( x2 – 10x + 25) = 0 Û ( x2 + x)2 – (x - 5)2 = 0 Û ( x2 + 2x -5)(x2 +5) = 0 Û x2 + 2x -5 = 0 x2 +5 = 0 (vô nghiệm) Û x = -1+ x = -1- Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1,2 = -1 VD3: Giải phương trình : x4 – 6x3 + 12 x2 -14x + 3 = 0. (3) Giải: Phương trtình trên không có nghiệm hữu tỉ. Đặt f(x) = x4 – 6x3 + 12 x2 -14x + 3 = 0. Nếu f(x) phân tích được thành thừa sốthì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) Ta có : (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: a + c = -6 a = -2 ac + b + d =12 b = 3 ad + bc = -14 c = -4 bd = 3 d = 1 Khi đó (3) Û (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) = 0 Û x2 - 2x + 3 = 0 (3.1) x2 - 4x + 1 = 0 (3..2) Giải (3.1): x2 - 2x + 3 = 0 (vô nghiệm) Giải (3.2): x2 - 4x + 1 = 0 có x1,2 = 2 Vậy phương trình đã cho có 2nghiệm phân biệt : x1,2 = 2 2. Phương trình hệ số đối xứng bậc bốn. Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 +bx + a = 0. (a ạ 0) VD1: Giải phương trình: 10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x +10 = 0 (1) GIải: Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) x ạ 0 x2 ạ 0 Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x2 ta được: 10x2 – 27x- 110 - = 0 Û 10(x2 + ) – 27(x+) -110 = 0 Đặt x+ = t x2 + = t2 – 2 Ta có : 10t2 – 27t – 130 = 0 Û t1 = - t2 = Với t1 = - x+ = - Û 2x2 +5x + 2 = 0 Û x1 = x2 = - 2 Với t2 = x+ = Û 5x2 - 26x + 5 = 0 Û x3 = x4 = 5 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = Chú ý: + Nếu phương trình có dạng : ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0. (a ạ 0) thì đặt x - = t. + Phương trình hệ số đối xứng bậc 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0. (a ạ 0) (*) có 1 nghiệm x = -1 Vì tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của luỹ thừa bậc lẻ Nên (*) Û (x – 1) ax4 + (b-a)x3 + (c +a-b)x2 + (b-a)x + a = 0 Khi đó ta đã chuyển phương trình đối xứng bậc 5 về phương trình đối xứng bậc chẵn . 3. Phương trình hồi quy. Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. (a ạ 0) Trong đó Phương trình hệ số đối xứng bậc 4 là trường hợp đặc biệt của phương trình hồi quy. Cách giải: -Tương tự phương trình hệ số đói xứng bậc 4. - Đặt VD: Giải phương trình : x4 - 4x3 - 9x2 + 8x + 4 = 0. (1) Ta thấy nên phương trình (1) là phương trình hồi quy. x = 0 không phải là nghiệm của (1) x ạ 0 x2 ạ 0 khi đó (1) Û Đặt = t2+4 , ta có : t2 – 4t – 5 = 0 Û t1= -1 t2 = 5 Nên ta có: = -1 = 5 Û x2 + x - 2 = 0 x2 - 5x- 2 = 0 x1 =1 Û x2 = -2 x3,4 = Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: : S = 4. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (4) Trong đó : a + d = b + c Cách giải: + (4) Û (x+a)(x+d). (x+b)(x+c) – m = 0 +........ + Đặt ản phụ. VD: Giải phương trình : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = -15 (4) Giải: Ta thấy: 1+7 = 3+5 nên (4) Û (x+1)(x+7). (x+3)(x+5) +15 = 0 Û (x2+8x+7) (x2+8x+15) +15 = 0 Đặt x2+8x+7 = y ta có: y2+8y+15 = 0 Û y1 = -3 y2 = -5 Khi đó: x2+8x+7 = -3 x2+8x+15 = -5 x1,2 = -4 Û x3 = -2 x4 = -6 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: : S = . 5. Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 Trong đó ad = bc VD : Giải phương trình : (x-4)(x-5)(x-8)(x-10) = 72x2 (5) Ta thấy (-4)(-10) = (-5)(-8) Nên (5) Û (x-4) (x-10) . (x-5) (x-8) = 72x2 Û (x2-14x+40)(x2-13x+40) = 72x2 Û (vì x2 ạ 0 ) Û Đặt ta có: Û t1,2 = Nên ta có: x2-5x + 40 = 0 x2-22x+40 = 0 Û x1 = 2 x2 = 20 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: : S = . 6. Phương trình dạng: Trong đó : a; b;c ẻ R. Cách giải: Đặt VD: Giải phương trình : (x+3)4 + (x-1)4 = 626 Đặt x+1 = y ta có: (y+2)4 + (y-2)4 = 626 Û y4 + 24y2 – 297 = 0 . Û y1;2 = Do đó: x1 = 2 ; x2 = -4 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 2 ; x2 = -4 . 7. Phương trình bậc bốn giải bằng ẩn phụ bậc hai. Cách giải: + Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: A(x2+b1x+c1)2 + B(x2+b1x+c1) + c = 0 + Bước 2: Đặt x2+b1x+c1 = t ta có : At2 + Bt + c = 0 (*) + Bước 3: Giải (*)t... x... VD: Giải các phương trình sau: a, x4 - 8x3 + 7x2 + 36x - 36 = 0 b, 2(x2-x+1)2 + x3 +1 = (x+1)2 Giải: a, Ta có x4 - 8x3 + 7x2 + 36x - 36 = 0 Û (x2-4x)2 – 9(x2-4x)+ 36 = 0 Đặt x2- 4x = t ta có t2 – 9t + 36 = 0 Û t1 = 12 t2= -3 Do đó: x2- 4x = 12 Û x2- 4x -12 = 0 Û x1 = - 2 ; x2 = 6 . x2- 4x = -3 x2- 4x + 3 = 0 x3 = 1 ; x4 = 3. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: : S = . b, Ta thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. x +1 ạ 0 (x+1)2 ạ 0 Chia cả hai vế của phương trình cho (x+1)2 ta có: Đặt ta có: 2t2+ t - 1 = 0 Û t= -1 t = Do đó: Û x2 + 2 = 0 (vô nghiệm) 2x2-3x+1 = 0 Û x = 1 x = Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: : S = . Bài tập tự luyện. Bài 1: Giải các phương trình sau: a, 2x4-13x3+24x2-13x+2 = 0 b, 3x5-10x4+3x3+3x2-10x+3 = 0 c, x4+5x3-14x2-20x+16 = 0 d, (x2-4x+40)(x2-13x+40) = 72x2 e, (x-90)(x-35)(x+18)(x+7) = -1080x2 g, (x+5)4 + (x+1)4 = 80 Bài 2 : Cho phương trình: x4+ (2m - 1)x3+ (m2 - 2m)x2 - (m2-m+1)x - m+1