Phương trình bậc nhất và bậc hai

30 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN . 1. Quy tắc cơ bản biến đổi phương trình. a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia thì phải đổi dấu hạng tử đó. Ví dụ: Cho phương trình: – , chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2 ta được Ví dụ : Phương trình chuyển hạng tử 3 sang vế trái ta được b) Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Ví dụ: Cho phương trình: , nhân hai vế của phương trình với 2 ta được x = 6 Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0. Ví dụ: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: . 2. Phương trình dạng . Xét phương trình ( nếu ta gọi là phương trình bậc nhất) Để giải phương trình này ta dùng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để tìm được nghiệm (Quy tắc chuyển vế đổi dấu) (Quy tắc chia hai vế phương trình cho ) Các trường hợp nghiệm của phương trình dạng  Nếu phương trình trở thành phương trình có 1 nghiệm.  Nếu phương trình trở thành  Với ta được phương trình có nghiệm tùy ý.  Với ta được phương trình vô nghiệm. 3. Phương trình dạng . Các trường hợp nghiệm của phương trình dạng  Nếu trở thành phương trình dạng bậc nhất.  Nếu phương trình chính là phương trình bậc 2. Lập biệt thức ( Nếu ta lập )  phương trình có hai nghiệm phân biệt hay . 31  phương trình có hai nghiệm trùng nhau (nghiệm kép)  phương trình vô nghiệm. Các trường hợp đặc biệt:  Nếu thì phương trình có nghiệm  Nếu thì phương trình có nghiệm Hệ thức Viet: Nếu là hai nghiệm của phương trình thì Thông thường ta ký hiệu Hai số có tổng và tích khi đó hai số x; y là hai nghiệm của phương trình B. CÁC DẠNG TOÁN. 1. Phương trình dạng bậc nhất . Cách giải: - Thu gọn phương trình bằng cách khử mẫu, quy đồng mẫu số, khai triển dấu ngoặc… - Chuyển các hạng tử chứa ẩn về một vế các hạng tử hằng số về vế còn lại. - Chia hai vế của phương trình cho hệ số đứng trước x để được nghiệm của phương trình. Ví dụ: Giải phương trình Giải: ể ạ ử ứ ẩ ề ộ ế ươ ệ ố ướ ọ ệ Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ: Giải phương trình Giải: Ta có phương trình trở thành 32 Vậy phương trình có một nghiệm . Ví dụ : Giải phương trình Giải : Điều kiên Phương trình trở thành: Vậy phương trình có một nghiệm . Ví dụ: Giải phương trình Giải: Vậy phương trình trên vô nghiệm. Ví dụ : Giải phương trình Giải: Vậy phương trình có một nghiệm Bài tập 1. Giải phương trình. 33 – – 2. Giải phương trình. a) b) c) d) e) f) g) h) 3. Giải phương trình 2. Phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương trình dạng có vô số nghiệm trên tập số thực. Tập nghiệm của nó biểu diễn bởi một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Nghiệm tổng quát của phương trình  Nếu nghiệm tổng quát là  Nếu nghiệm tổng quát là là đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung.  Nếu biết một nghiệm thì phương trình có nghiệm là ớ ố ấ 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp thế: 34  Biến đổi hệ phương trình để được một hệ mới trong đó có một phương trình một ẩn.  Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ. Phương pháp cộng đại số  Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hệ phương trình của hệ bằng nhau hay đối nhau.  Cộng hay trừ hai phương trình để được một phương trình mới chỉ có một ẩn  Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ. Ví dụ: Giải hệ phương trình: Giải: Xét hệ Từ phương trình (1) (3) thay vào phương trình (2) ta có Thế y vào phương trình (3) ta được Vậy hệ phương trình có nghiệm là . Ví dụ: Giải hệ phương trình: Giải : Ta có Ví dụ: Giải hệ phương trình Giải: Nhân hai vế phương trình đầu cho 2 phương trình sau cho 3 ta được Vậy hệ có nghiệm là . 35 Ví dụ: Giải hệ phương trình Giải Chia phương trình (2) cho ta được Vậy hệ có nghiệm Bài tập Giải các hệ phương trình sau đây a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) 4. Phương trình bậc hai Phương pháp: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải Cần chú ý một số dạng đặc biệt ta có thể giải như sau:  Phương trình khuyết dạng (ta đưa về phương trình tích)  Phương trình khuyết dạng (chuyển vế và đưa về dạng lấy căn)  Nếu phương trình có hai nghiệm  Nếu phương trình vô nghiệm do vế phải âm. 36 Ta có thể giải bằng phương pháp tính cho kết quả tương tự. Ví dụ : Giải phương trình: Giải : Biệt thức Phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ Giải phương trình Giải (phương trình khuyết c) Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ Giải phương trình Giải (phương trình khuyết b) Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ Giải phương trình Giải Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Biệt thức vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là 37 . Ví dụ: Giải phương trình: Giải : Biệt thức Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập : Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) Giải các phương trình a) b) Đáp số: 5. Hệ thức Viet Nếu phương trình có hai nghiệm thì Chú ý:  Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm thì mới có tổng và tích hai nghiệm Chẳn hạn phương trình ta kết luận tổng hai nghiệm của phương trình là -3 và tích hai nghiệm của phương trình là 5 là sai vì phương trình đã cho không có nghiệm.  Dấu hiệu nhận biết phương trình bậc hai có hai nghiệm 38 o Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi . o Nếu (a,c trái dấu) thì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. Ví dụ: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau : Giải: a Ta có: phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = -7 ; x1.x2 = 12 => x1 = - 4; x2 = -3 hoặc x1 = - 3; x2 = -4 b) Do a.c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = -3 ; x1.x2 = -10 => x1 = - 5; x2 = 2 hoặc x1 = 2; x2 = -5 Ví dụ: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: Giải a) Vì a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và b) Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0 Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và Ví dụ: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: – Giải: a) –  – b) – Vậy phương trình vô nghiệm không tồn tại x1 + x2 và x1.x2 c)  – 6. Hệ thức Viet đảo Nếu hai số có tổng là và có tích là thì hai số là hai nghiệm của phương trình Ví dụ: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 2. 39 Giải: Gọi hai số cần tìm là khi đó nó là nghiệm của phương trình: nên tồn tại hai số Phương trình có hai nghiệm Vậy hai số cần tìm là 1;2 Ví dụ:Tìm hai số biết tổng bằng -5 và tích bằng -14. Giải: Gọi hai số cần tìm là khi đó nó là nghiệm của phương trình: nên tồn tại hai số Phương trình có hai nghiệm Vậy hai số cần tìm là 2;-7. Ví dụ: Cho phương trình bậc hai a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt, tính tổng S của hai nghiệm và tích P của hai nghiệm đó. b) Tìm một phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm lần lượt là S và P. Giải: a) Phương trình có vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. và b) Phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là 6 và 7 nên: Tổng hai nghiệm ; Tích hai nghiệm vậy phương trình bậc hai ẩn y cần tìm là Chú ý: Có nhiều phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là 6 và 7 ví dụ như Bài tập: a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231. b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105. c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P = 9. 7. Phương trình trùng phương Phương pháp giải phương trình dạng  Đặt điều kiện  Phương trình trở thành  Giải phương trình bậc hai ta chọn nghiệm không âm từ đó suy ra được Ví dụ : Giải phương trình Giải : Đặt điều kiện phương trình trở thành 40 Phương trình (*) có hai nghiệm là (loại) Với ta được Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Ví dụ Giải phương trình Giải: Đặt phương trình trở thành: Do nên phương trình có hai nghiệm Với ta được Với ta được Vậy phương trình có bốn nghiệm Ví dụ Giải phương trình Đặt phương trình trở thành: Phương trình có hai nghiệm Với ta được Với loại. Vậy phương trình có hai nghiệm Bài tập : Giải các phương trình sau đây a) b) c) d) Đáp số: 8. Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai Nhiều phương trình có bậc lớn hơn 2 ta có thể dùng các phép biến đổi phân tích thành các nhân tử phù hợp để đưa chúng thành tích các phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai tương ứng Chú ý : Ví dụ Giải phương trình 41 Giải: Điều kiện Đặt Điều kiện phương tình trở thành Phương trình (*) có hai nghiệm là ạ Với Vậy phương trình có một nghiệm . Ví dụ: Giải phương trình Giải: Giải phương trình ta được hai nghiệm là Vậy phương trình có ba nghiệm . Ví dụ Giải phương trình Giải Quy đồng mẫu số hai vế cho 6 ta được Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ Giải phương trình Giải: Điều kiện Quy đồng mẫu số cho ta được phương trình So với điều kiện ban đầu phương trình có hai nghiệm Ví dụ: Giải phương trình 42 Giải: Đặt Phương trình trở thành Với ta được phương trình phương trình vô nghiệm do 1 Với ta được Phương trình có hai nghiệm 9. Phương trình có chứa tham số m a. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số cơ bản giống như trường hợp các hệ số của nó là các số cụ thể tuy vậy công việc tính toán phức tạp hơn Xét hệ phương trình Ta xem hai phương trình của hệ chính là hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình khi đó số nghiệm của hệ chính là số giao điểm của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số ta có thể thực hiện theo các bước sau: B1:Nhân hai vế phương trình (1) cho b’ phương trình (2) cho –b rồi cộng các vế tương ứng ta được B2: Nhân hai vế phương trình (1) cho –a’, phương trình (2) cho a rồi cộng các vế ta được phương trình  Nếu một trong hai phương trình (3) và (4) vô nghiệm thì hệ vô nghiệm.  Nếu cả phương trình (3) và (4) có nghiệm thì hệ có một nghiệm.  Nếu phương trình (3) và (4) có nhiều nghiệm thì hệ có nhiều nghiệm(vô số nghiệm). Trường hợp a; b; c; a’; b’; c’ khác 0 ta có thể biện luận như sau  Nếu thì hệ có nhiều nghiệm (vô số nghiệm).  Nếu thì hệ vô nghiệm. 43  Nếu thì hệ có một nghiệm Ví dụ: Cho hệ phương trình a. Giải hệ phương trình đã cho. b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa nhỏ nhất, tìm nghiệm đó. Giải: a. Trừ vế theo vế của hệ phương trình ta được Vậy hệ luôn có một nghiệm b. Ta có Dấy bằng xảy ra khi . Khi đó nghiệm của hệ là Ví dụ: Cho hệ phương trình ố a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m. b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm đều là các số nguyên. Giải: 44 a) Nhân phương trình (1) cho 2 rồi trừ cho phương trình (2) ta được Nhân phương trình (1) cho m rồi trừ cho phương trình (2) ta được Nếu k đó ta có hệ . Với phương trình vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Nếu ừ ừ Tóm lại: + hệ có nghiệm với tùy ý. + hệ phương trình vô nghiệm. + hệ có nghiệm b) Theo câu a) ta nhận thấy Khi hệ có nghiệm để hệ có các nghiệm đều là số nguyên thì phải là số nguyên. Khi hệ có nghiệm để hệ có các nghiệm đều là số nguyên thì phải là ước của 2 khi đó . Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên khi Ví dụ: Cho hệ phương trình ố a. Tìm để hệ phương trình có nghiệm, tìm nghiệm đó. b. Xác định giá trị nhỏ nhất của : Giải: a) Nhân phương trình (1) cho rồi cộng với phương trình (2) ta được  Nếu phương trình (3) vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm.  Nếu phương trình (3) ta được 45 b)  Nếu ta được Đặt Dấu bằng xảy ra khi  Nếu ta được Dấu bằng xảy ra khi hai tổng bình phương bằng không hay x và y là nghiệm của hệ phương trình Kết luận: * Giá trị nhỏ nhất của * Giá trị nhỏ nhất của b. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ. Để giải các hệ phương trình ta củng có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ rồi quy về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc sau đó ta tìm lại giá trị của ẩn ban đầu. Ví dụ : Giải hệ phương trình Giải: Điều kiện Ta biến đổi hệ phương trình như sau Đặt ta có hệ 46 Trừ vế theo vế của hệ phương trình ta được . Vậy hệ đã cho có nghiệm là . Ví dụ: Giải hệ phương trình Giải: Điều kiện đặt ta được hệ Vậy hệ có nghiệm Ví dụ: Giải hệ phương trình Nậh xét : ở đây ta chưa có thể đặt ẩn phụ ngay được; trong phương trình (2) nếu ta viết lại như sau như vậy nhận giá trị dương hay ta được Với nhận xét trên và điều kiện hệ phương trình trở thành Thực hiện phép đặt ta được hệ Giải hệ này ta được nghiệm là . Với ta được Vậy hệ có hai nghiệm . Ví dụ : Giải hệ phương trình Giải: Đặt hệ phương trình trở thành 47 Với ta được hệ phương trình Giải hệ trên ta được Bài tập : 1. Giải hệ phương trình 2. Giải các hệ phương trình 3. Cho hệ phương trình a. Giải hệ phương trình. b. Tìm để hệ phương trình có nghiệm sao cho tích bé nhất. 4. Cho hệ phương trình a. Giải hệ phương trình khi . b. Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm. c. Tìm các giá trị nguyên để hệ phương trình có nghiệm đều là số nguyên. 5. Cho hệ phương trình a. Giải hệ phương trình khi . b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. c. Tìm m để hệ có nghiệm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. 6. Cho hệ phương trình ố a. Giải hệ phương trình theo tham số m. b. Biết hệ có nghiệm đều là các số không âm Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . 7. Cho hệ phương trình 48 a. Giải vừa biện luận hệ phương trình theo tham số m. b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm đều là các số nguyên. c. Phương trình bậc hai chứa tham số Phương pháp: Ví dụ Cho phương trình a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa Giải a) Phương trình Biệt thức Do với mọi số m nên phương trình đã cho luôn có nghiệm. b) Theo định lý Viet ta có vậy thỏa bài toán. Ví dụ Cho phương trình a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm đó. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa Giải Phương trình có a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì . b) Phương trình có nghiệm kép khi Với phương trình có nghiệm là Với phương trình có nghiệm là c) Phương trình có nghiệm khi Theo Viet ta có So với điều kiên phương trinh có nghiệm ta được 49 Bài tập: 1. Cho phương trình a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm. b. Gọi là hai nghiệm của phương trình. Chứng tỏ rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào giá trị của m . 2. Cho phương trình: x2 + 4(m - 1)x – 4m +10 = 0. a. Tìm m để phương trình có một nghiệm kép. b. Tìm m để phương trình có một nghiệm , tính nghiệm còn lại. c. Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa đạt giá trị nhỏ nhất. 10. Phương trình chứa căn Phương pháp giải: + Phương pháp bình phương làm mất căn ớ + Phương pháp dựa vào tính chất + Phương pháp nhân lượng liên hợp + Phương pháp đặt ẩn phụ. + Phương pháp dùng bất đẳng thức. + Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.