Phương trình chứa tham số - Lý thuyết và bài tập

Phương trình chứa tham số: I/. Cơ sở lý thuyết: Phương trình bậc nhất: ax + b = 0 (1) TH1: a = 0 và b = 0 phương trình (1) có vô số nghiệm. TH2: a = 0 và b ạ 0 phương trình (1) vô nghiệm. TH3: a ạ 0 phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x = Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) (1) = b2 – 4ac * Nếu < 0 phương trình (1) vô nghiệm. * Nếu = 0 phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = * Nếu > 0 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 = x2 = Trường hợp nếu b chẵn: đặt b’ = ’ = (b’)2 – ac. * Nếu ’ < 0 phương trình (1) vô nghiệm. * Nếu ’ = 0 phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = * Nếu ’ > 0 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 = x2 = Hệ thức Viét: Định lí thuận. Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) (1) có hai nghiệm x1; x2 thì ta có. Tổng hai nghiệm S = và tích hai nghiệm P = Định lí đảo: Nếu có hai số u; v mà u + v = S và u.v = P thì u; v là hai nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 (2). Chú ý: Phương trình (2) chỉ có nghiệm khi S2 – 4.P ³ 0. I/. Bài tập áp dụng Bài tập 1: Cho phương trình bậc ba: x3 - (2m-1)x2+ (m2-3m - 2) x + 2m2 + 2m = 0 (1) a- Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm x= -2 với mọi m b- Xác định m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm. c- Xác định m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 sao cho biểu thức S = x12+x22+x32 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải a- Thế x = -2 vào phương trình (1) ta có: (-2)3- (2m-1)22- (m2 - 3m-2) 2 + 2m2 + 2m = 0 - 8 - 8m + 4 -2m2 + 6m + 4 + 2m2 + 2m = 0 Đẳng thức đúng với mọi m => x = -2 là nghiệm với mọi m. b- Chia đa thức ở vế phải của phương trình (1) cho x + 2 Ta có: (x+2) [x2- (2m + 1) x + m2 + m] = 0 Phương trình (1) có đúng hai nghiệm nếu một và chỉ một trong hai trường hợp sau đây xảy ra. Hoặc là: Phương trình (2) có nghiệm kép khác - 2 Hoặc là: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là - 2. TH1: Cần xác định m để: trường hợp này không xảy ra. TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm là Nếu một trong hai nghiệm bằng –2 ta có: Vậy với m = -2 hoặc m= -3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm. c- Khi: m ạ -2; -3; phương trình có ba nghiệm phân biệt: x1 = m; x2 = m + 1; x3 = -2 => S = = = Vậy: min S = Bài tập 2: Cho phương trình bậc ba: (1) a- Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có ba nghiệm phân biệt: x1, x2, x3; trong đó x1 = 1 với mọi m. b- Xác định m để biểu thức: E = x1 + -đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm min E và các nghiệm x1, x2, x3 tương ứng. Giải. Thay x1 = 1 vào vế trái của phương trình (1) ta có đẳng thức đúng. Vậy phương trình có nghiệm x1 = 1 Chia đa thức ở vế trái của (1) cho đa thức x - 1; ta có: Chỉ cần chứng minh với " m ta đều có: (đúng với " m) Vậy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 trong đó: x1 = 1 còn x2, x3 là hai nghiệm của phương trình: b- Ta có: E = nhỏ nhất nhỏ nhất nhỏ nhất. Xét: Suy ra min M = 2 khi m = Vậy: min E = 3 khi m = Thay m = giải phương trình ta được x1 = 1, x2 = -, x3 = Bài tập 3: Giải và biện luận phương trình: x3 + 3ax2 +3(a2 - bc) x + a3 +b3 + c3 - 3abc = 0 (1) Giải Biến đổi (1) Đặt: Xét phương trình (2): * Nếu phương trình (2) vô nghiệm, do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x + a = -b-c *Nếu b = c: => , phương trình (2) có nghiệm kép: t1 = t2 = b Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm Bài tập 4: Cho phương trình: (1) a- Giải phương trình khi a = 1 b- Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm nhỏ nhất? Tìm nghiệm nhỏ nhất đó. Giải a- Khi a = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = { 2; -2} b- Biến đổi thành tích: Có ba nghiệm: x1 = -2a, x2 = a + 1, x3 = -a-1. Xét ba trường hợp: TH1: x3 nhỏ nhất TH2: x1 nhỏ nhất TH3: x2 nhỏ nhất Bài tập 5: Cho phương trình: x4 + 2(2a+1)x2 – 3a = 0 Giải phương trình khi a = -3 Xác định a để phương trình có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn. x4-x3 = x3-x2 = x2-x1 Giải Khi a = -3 ta có phương trình: x4 – 10x2 +15 = 0. Đặt y = x2 (*) với y0 => y2-10y+15 = 0 Û Thay vào (*) giải ra ta được: Tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {; } Ta thấy nếu phương trình trùng phương có 4 nghiệm thì tổng của 4 nghiệm bằng 0. Tức x1+ x2+ x3+ x4 = 0. Theo đề bài ta có: x2+ x4= 2x3 ; x1+x3= 2x2 => x1+ x2+ x3+ x4 = 2(x2+ x3) = 0 => x2+ x3 = 0 Ta có : x2+ x4= 2x3 => x2+ x4 +x3 = 3x3 => x4 = 3x3. Đặt x2=y0 ta có phương trình: y2+2(2a+1)y-3a = 0. Vì x4 = 3x3 => , bài toán đưa về xác định a để phương trình (1) có 2 nghiệm y1; y2 mà y2 = 9. y1 (). Ta có y1+y2 = -2(2a+1) và y1.y2= -3a. => 12a2+37a+3 = 0 (12a+1)(a+3) = 0 Chỉ có a = -3 thoả mãn