Phương trình lượng giác trong đề thi đại học 2002-2010

Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC www.mathvn.com TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002-2010 Baøi 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình: x xx x x cos3 sin 35 sin cos2 3 1 2sin 2 æ ö+ + = +ç ÷+è ø HD: Điều kiện: x m x n 12 7 12 p p p p ì ¹ - +ï í ï ¹ + î . PT Û x x5cos 2 cos2 3= + Û x 1cos 2 = Û x x 3 5 3 p p é =ê ê ê = ë . Baøi 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình: x x x x2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6- = - HD: PT Û x x xcos .sin 9 .sin 2 0= Û x xsin 2 .sin 9 0= Û x k x k 9 2 p p é =ê ê ê =êë . Baøi 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình: x x xcos3 4 cos2 3cos 4 0- + - = HD: PT Û x x24 cos (cos 2) 0- = Û xcos 0= Û x x x x3 5 7; ; ; 2 2 2 2 p p p p = = = = . Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: x x a x x 2sin cos 1 sin 2 cos 3 + + = - + (a là tham số). 1. Giải phương trình khi a 1 3 = . 2. Tìm a để phương trình có nghiệm. HD: 1) x k 4 p p= - + 2) a1 2 2 - £ £ (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx) Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: xx x x x x2tan cos cos sin 1 tan .tan 2 æ ö + - = +ç ÷ è ø . HD: x k2p= . Chú ý: Điều kiện: x x cos 0 cos 1 ì ¹ í ¹ -î và xx x 11 tan .tan 2 cos + = . Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: ( )x xx x 2 4 4 2 sin 2 sin 3tan 1 cos - + = . HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û x x k x k1 2 5 2sin 3 ; 2 18 3 18 3 p p p p = Û = + = + . Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: x x x x x 4 4sin cos 1 1cot 2 5sin 2 2 8sin 2 + = - . HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û x x x k2 9cos 2 5cos2 0 4 6 p p- + = Û = ± + . Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: x x2 1 sin 8cos = . HD: Điều kiện: x x cos 0 sin 0 ì ¹ í >î www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM Trang 2 PT Û x k x k x k x k3 5 72 ; 2 ; 2 ; 2 8 8 8 8 p p p pp p p p= + = + = + = + Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình: ( )x x x x m4 42 sin cos cos4 2sin 2 0+ + + - = (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 2 pé ù ê úë û . HD: m10 2 3 - £ £ - . Đặt t = sin2x. (*) có nghiệm thuộc 0; 2 pé ù ê úë û Û f t t t m2( ) 3 2 3= - = + có nghiệm tÎ[0;1] Baøi 10. (ĐH 2003A) Giải phương trình: xx x x x 2cos2 1cot 1 sin sin 2 1 tan 2 - = + - + . HD: Điều kiện: x x xsin 0, cos 0, tan 1¹ ¹ ¹ . PT Û x x x x x2(cos sin )(1 sin .cos sin ) 0- - + = Û x k 4 p p= + . Baøi 11. (ĐH 2003B) Giải phương trình: x x x x 2cot tan 4sin 2 sin 2 - + = . HD: Điều kiện: x x sin 0 cos 0 ì ¹ í ¹î . PT Û x x22 cos 2 cos2 1 0- - = Û x k 3 p p= ± + . Baøi 12. (ĐH 2003D) Giải phương trình: x xx2 2 2sin tan cos 0 2 4 2 pæ ö - - =ç ÷ è ø . HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x x x x(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0- + + = Û x k x k 2 4 p p p p é = + ê = - +ê ë . Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: ( )x x x2cos2 cos 2 tan 1 2+ - = . HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û x x x2(1 cos )(2 cos 5cos 2) 0+ - + = Û x k x k(2 1) , 2 3 pp p= + = ± + Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: ( )x x x x3 tan tan 2sin 6 cos 0- + + = . HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û x x x x k2 2(1 cos2 )(3cos sin ) 0 3 p p+ - = Û = ± + Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: x x x6 23cos4 8cos 2 cos 3 0- + + = . HD: PT Û x x x x k x k4 2cos2 ( 2 cos 5cos 3) 0 , 4 2 p p p- + - = Û = + = Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình: ( ) xx x 22 3 cos 2sin 2 4 1 2 cos 1 pæ ö- - -ç ÷ è ø = - . HD: Điều kiện: x 1cos 2 ¹ . PT Û x x x k3 cos sin 0 (2 1) 3 p p- + = Û = + + Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: ( )x x x x x 2cos cos 1 2(1 sin ) sin cos - = + + . HD: Điều kiện: xsin 0 4 pæ ö + ¹ç ÷ è ø . Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 3 PT Û x x x k x k2(1 sin ) (1 cos ) 0 , 2 2 p p p p+ + = Û = - + = + Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: xx x x 2 cos4cot tan sin 2 = + . HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û x x x k22 cos 2 cos2 1 0 3 p p- - = Û = ± + . Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình: x x x25sin 2 3(1 sin ) tan- = - . HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x x22sin 3sin 2 0+ - = Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = +ê ê ê = + ë . Baøi 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình: x x x x x(2 cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin- + = - . HD: PT Û x x x(2 cos 1)(sin cos ) 0- + = Û x k x k 2 3 4 p p p p é = ± +ê ê ê = - + ë . Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: ( )x x x x3 34 sin cos cos 3sin+ = + . HD: Baøi 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: x x1 sin 1 cos 1- + - = . HD: Baøi 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x x x 1 12 2 cos 4 sin cos pæ ö + + =ç ÷ è ø . HD: Baøi 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: x x x xsin 4 .sin 7 cos3 .cos6= . HD: Baøi 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: x x x x x x2sin .cos2 sin 2 .cos sin 4 .cos+ = . HD: Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: x x x xsin sin 2 3(cos cos2 )+ = + . HD: Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình: x x x2 2cos 3 .cos2 cos 0- = . HD: PT Û x x22 cos 4 cos4 3 0+ - = Û x k 2 p = . Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình: x x x x1 sin cos sin 2 cos2 0+ + + + = . HD: PT Û x x x(sin cos )(2 cos 1) 0+ + = Û x k x k 4 2 2 3 p p p p é = - +ê ê ê = ± + ë . Baøi 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: x x x x4 4 3cos sin cos sin 3 0 4 4 2 p pæ ö æ ö + + - - - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø . HD: PT Û x x2sin 2 sin 2 2 0+ - = Û x k 4 p p= + . Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: x x x2 2 34sin 3 cos2 1 2 cos 2 4 pæ ö - = + -ç ÷ è ø . www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM Trang 4 HD: PT Û x xcos 2 cos( ) 6 p p æ ö + = -ç ÷ è ø Û x x x5 17 5; ; 18 18 6 p p p = = = . Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: x x x32 2 cos 3cos sin 0 4 pæ ö - - - =ç ÷ è ø . HD: PT Û x x x x x x x x3 3 2 2cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0+ + + - - = Xét 2 trường hợp: a) Nếu xcos 0= thì PT Û x x x3 cos 0 sin sin 0 ì = í - =î Û x k 2 p p= + . b) Nếu xcos 0¹ thì ta chia 2 vế của PT cho x3cos . Khi đó: PT Û x x cos 0 tan 1 ì ¹ í =î Û x k 4 p p= + . Vậy: PT có nghiệm: x k 2 p p= + hoặc x k 4 p p= + . Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : ( )x x x x x2 2 3sin .cos2 cos tan 1 2sin 0+ - + = . HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x x22sin sin 1 0+ - = Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = +ê ê ê = + ë . Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : xx x x 2 2 cos2 1tan 3tan 2 cos pæ ö - + - =ç ÷ è ø HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x3tan 1= - Û x k 4 p p= - + . Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: xx x 3 sintan 2 2 1 cos pæ ö - + =ç ÷ è ø + . HD: Điều kiện: xsin 0¹ . PT Û x2sin 1= Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = +ê ê ê = + ë . Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: x x x xsin 2 cos2 3sin cos 2 0+ + - - = . HD: PT Û x x x(2sin 1)(sin cos 1) 0- - - = Û x x 1sin 2 2sin 4 2 p é =ê ê æ öê - =ç ÷ê è øë Û x k x k x k x k 2 6 5 2 6 2 2 2 p p p p p p p p é = +ê ê ê = + ê ê = +ê ê = +ë . Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình: ( )x x x x x 6 62 cos sin sin .cos 0 2 2sin + - = - . HD: Điều kiện: x 2sin 2 ¹ . PT Û x x23sin 2 sin 2 4 0+ - = Û x k 4 p p= + . Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x m5 2 4 p p= + . Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình: xx x xcot sin 1 tan .tan 4 2 æ ö + + =ç ÷ è ø . Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 5 HD: Điều kiện: xx xsin 0, cos 0, cos 0 2 ¹ ¹ ¹ . PT Û x x x x cos sin 4 sin cos + = Û x 1sin 2 2 = Û x k x k 12 5 12 p p p p é = +ê ê ê = + ë . Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình: x x xcos3 cos2 cos 1 0+ - - = . HD: PT Û x x2sin (2 cos 1) 0+ = Û x k x k2 2 3 p p p é = ê = ± +ê ë . Baøi 39. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: x x x x3 3 2 3 2cos3 .cos sin3 .sin 8 + - = . HD: PT Û x 2cos4 2 = Û x k 16 2 p p = ± + . Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: x x2sin 2 4sin 1 0 6 pæ ö - + + =ç ÷ è ø . HD: PT Û ( )x x xsin 3 cos sin 2 0+ + = Û x k x k7 2 6 p p p é = ê = +ê ë . Baøi 41. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ( ) ( )x x x2 2 22sin 1 tan 2 3 2 cos 1 0- + - = . HD: Điều kiện: xcos2 0¹ . PT Û ( )x x2cos2 tan 2 3 0- = Û x k 6 2 p p = ± + . Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: x x x xcos2 (1 2 cos )(sin cos ) 0+ + - = . HD: PT Û x x x x(sin cos )(cos sin 1) 0- - + = Û x k x k x k 4 2 2 2 p p p p p p é = +ê ê ê = + ê ê = +ë . Baøi 43. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: x x x3 3 2cos sin 2sin 1+ + = . HD: PT Û x x x x(cos sin )(1 cos )(sin 1) 0+ - + = Û x k x k x k 4 2 2 2 p p p p p é = - +ê ê =ê ê = - +êë . Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: x x x x3 24sin 4sin 3sin 2 6 cos 0+ + + = . HD: PT Û x x x2(sin 1)( 2 cos 3cos 2) 0+ - + + = Û x k x k 2 2 2 2 3 p p p p é = - +ê ê ê = ± + ë . Baøi 45. (ĐH 2007A) Giải phương trình: ( ) ( )x x x x x2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2+ + + = + HD: PT Û x x x x(sin cos )(1 sin )(1 cos ) 0+ - - = Û x k x k x k 4 2 2 2 p p p p p é = - +ê ê ê = + ê ê =ë . www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM Trang 6 Baøi 46. (ĐH 2007B) Giải phương trình: x x x22sin 2 sin 7 1 sin+ - = . HD: PT Û ( )x xcos4 2sin3 1) 0- = Û x k x k x k 8 4 2 18 3 5 2 18 3 p p p p p p é = +ê ê ê = + ê ê = +êë . Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình: x x x 2 sin cos 3 cos 2 2 2 æ ö + + =ç ÷ è ø . HD: PT Û x x1 sin 3 cos 2+ + = Û x 1cos 6 2 pæ ö - =ç ÷ è ø Û x k x k 2 2 2 6 p p p p é = +ê ê ê = - + ë Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: x x x x x 1 1sin 2 sin 2 cot 2 2sin sin 2 + - - = . HD: Điều kiện xsin 2 0¹ . PT Û ( )x x x2cos2 2 cos cos 1 0+ + = Û x k 4 2 p p = + . Baøi 49. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: x x x x x22 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )+ + = + . HD: PT Û x x22 cos 3cos 0 6 6 p pæ ö æ ö - - - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Û x k2 3 p p= + . Baøi 50. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: 5 3sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x xæ ö æ ö - - - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø p p HD: PT Û x x 3 cos 2 cos 2 0 2 4 pæ öæ ö + + =ç ÷ç ÷ è øè ø Û x k x k x k 2 3 3 2 2 2 p p p p p p é = +ê ê ê = + ê ê = +ë . Baøi 51. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: x x x x x x sin 2 cos2 tan cot cos sin + = - . HD: Điều kiện: xsin 2 0¹ . PT Û x xcos cos2= - Û x k2 3 p p= ± + . Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: x x2 2 sin cos 1 12 pæ ö - =ç ÷ è ø HD: PT Û x 5sin 2 cos sin 12 12 12 p p pæ ö - = =ç ÷ è ø Û x k hay x k 4 3 p pp p= + = + . Baøi 53. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: x x x(1–tan )(1 sin 2 ) 1 tan+ = + . HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x x x(cos sin )(cos2 1) 0+ - = Û x k x k 4 p p p é = - +ê ê =ë . Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình: x x x 1 1 74sin sin 43sin 2 p p æ ö + = -ç ÷ è øæ ö -ç ÷ è ø . Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Trang 7 HD: Điều kiện: x x 3sin 0, sin 0 2 pæ ö ¹ - ¹ç ÷ è ø . PT Û x x x x 1(sin cos ) 2 2 0 sin cos æ ö + + =ç ÷ è ø Û x k x k x k 4 8 5 8 p p p p p p é = - +ê ê ê = - + ê ê = +êë Baøi 55. (ĐH 2008B) Giải phương trình: x x x x x x3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cos- = - . HD: PT ( )x x xcos2 sin 3 cos 0+ = Û x k x k; 4 2 3 p p p p= + = - + . Baøi 56. (ĐH 2008D) Giải phương trình: x x x x2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2 cos+ + = + . HD: PT Û x x(2 cos 1)(sin 2 1) 0+ - = Û x k x k2 2 ; 3 4 p pp p= ± + = + . Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: x x x2 2 34sin 3 cos2 1 2 cos 2 4 pæ ö - = + -ç ÷ è ø . HD: PT Û x x x2 cos 3 cos2 sin 2- = - Û ( )x xcos 2 cos 6 p p æ ö + = -ç ÷ è ø Û x k hay x h5 2 7 2 18 3 6 p p p p= + = - + Do x (0; )pÎ nên chỉ chọn x x x5 17 5; ; 18 18 6 p p p = = = . Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: x x x32 2 cos 3cos sin 0 4 pæ ö - - - =ç ÷ è ø . HD: PT Û x x x x x x x x3 3 2 2cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0+ + + - - = Xét 2 trường hợp: a) Nếu xcos 0= thì PT Û x x x3 cos 0 sin sin 0 ì = í - =î Û x k 2 p p= + . b) Nếu xcos 0¹ thì ta chia 2 vế của PT cho x3cos . Khi đó: PT Û x x cos 0 tan 1 ì ¹ í =î Û x k 4 p p= + . Vậy: PT có nghiệm: x k 2 p p= + hoặc x k 4 p p= + . Baøi 59. (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: ( )x x x x x2 2 3sin cos2 cos tan 1 2sin 0+ - + = . HD: Điều kiện: cos 0 2 x x k¹ Û ¹ +p p . PT Û x x22sin sin 1 0+ - = Û x k x k52 ; 2 6 6 p pp p= + = + . Baøi 60. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: xx x x 2 2 cos2 1tan 3tan 2 cos pæ ö - + - =ç ÷ è ø . HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x3tan 1= - Û x k 4 p p= - + . www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM Trang 8 Baøi 61. (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: xx x 3 sintan 2 2 1 cos pæ ö - + =ç ÷ è ø + . HD: Điều kiện: xsin 0¹ . PT Û x x(cos 1)(2sin 1) 0+ - = Û x k x k 2 6 5 2 6 p p p p é = +ê ê ê = + ë . Baøi 62. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2 cos2 3sin cos 2 0x x x x+ + - - = HD: PT Û x x x(2sin 1)(sin cos 1) 0- - - = Û x x 1sin 2 2sin 4 2 p é =ê ê æ öê - =ç ÷ê è øë Û x k x k x k x k52 ; 2 ; 2 ; 2 6 6 2 p p pp p p p p= + = + = + = + . Baøi 63. (ĐH 2009A) Giải phương trình: x x x x (1 2sin )cos 3 (1 2sin )(1 sin ) - = + - . HD: Điều kiện: x x 1sin 1, sin 2 ¹ ¹ - . PT Û x x x xcos 3 sin sin 2 3 cos2- = + Û x xcos cos 2 3 6 p pæ ö æ ö + = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Û x k 2 18 3 p p = - + . Baøi 64. (ĐH 2009B) Giải phương trình: ( )x x x x x x3sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos4 sin+ + = + . HD: PT Û x x xsin 3 3 cos3 2 cos4+ = Û x xcos 3 cos4 6 pæ ö - =ç ÷ è ø Û x k x k 2 6 2 42 7 p p p p é = - +ê ê ê = + ë . Baøi 65. (ĐH 2009D) Giải phương trình: x x x x3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0- - = . HD: PT Û x x x3 1cos5 sin 5 sin 2 2 - = Û x xsin 5 sin 3 pæ ö - =ç ÷ è ø Û x k x k 18 3 6 2 p p p p é = +ê ê ê = - + ë . Baøi 66. (ĐH 2010A) Giải phương trình: x x x x x (1 sin cos2 )sin 14 cos 1 tan 2 pæ ö+ + +ç ÷ è ø = + HD: Điều kiện: x xcos 0; 1 tan 0¹ + ¹ . PT Û x xsin cos2 0+ = Û x k x k72 ; 2 6 6 p pp p= - + = + . Baøi 67. (ĐH 2010B) Giải phương trình: x x x x x(sin 2 cos2 )cos 2 cos2 sin 0+ + - = . HD: PT Û x x x(sin cos 2)cos2 0+ + = Û x k 4 2 p p = + . Baøi 68. (ĐH 2010D) Giải phương trình: x x x xsin 2 cos2 3sin cos 1 0- + - - = . HD: PT Û x x x(2sin 1)(cos sin 2) 0- + + = Û x k x k52 ; 2 6 6 p pp p= + = + .