Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững 2 A – Phương trình lượng giác cơ bản 5 Bài tập áp dụng 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8 Bài tập rèn luyện 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác 32 Bài tập áp dụng 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35 Bài tập rèn luyện 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos 59 Bài tập áp dụng 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62 Bài tập rèn luyện 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 84 Bài tập áp dụng 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87 Bài tập rèn luyện 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng 93 Bài tập áp dụng 94 Bài tập rèn luyện 96 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối 97 Bài tập áp dụng 97 Bài tập rèn luyện 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 101 Bài tập áp dụng 102 Bài tập rèn luyện 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương 106 Bài tập áp dụng 106 Bài tập rèn luyện 112 I – Hệ phương trình lượng giác 116 Bài tập áp dụng 117 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác 121 Bài tập áp dụng 122 Bài tập rèn luyện 125 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG ¶¶¶  Công thức cơ bản ● ● ● ● ● ● ‚ Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● ● ● ● ● ● ƒ Công thức cộng cung ● ● ● ● ● ● „ Công thức biến đổi tổng thành tích ● ● ● ● ● ● … Công thức biến đổi tích thành tổng ● ● ● † Một số công thức thông dụng khác ● ● ● ● Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác" @ Một số lưu ý: Điều kiện có nghiệm của phương trình là: . Khi giải phương trình có chứa các hàm số hoặc , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Phương trình chứa , điều kiện: . Phương trình chứa , điều kiện: . Phương trình chứa cả và , điều kiện: . Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm. Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác có số đo là với thì có điểm trên đường tròn lượng giác cách đều nhau". Ví dụ 1: Nếu sđ thì có một điểm tại vị trí (ta chọn ). Ví dụ 2: Nếu sđ thì có 2 điểm tại vị trí và (ta chọn ). Ví dụ 3: Nếu sđ thì có 3 điểm tại các vị trívà , . Ví dụ 4: Nếu sđ thì có 4 điểm tại các vị trí ,, ; (ứng với các vị trí ). Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung và Biểu diễn cung trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: và Biểu diễn cung trên đường tròn thì có p/3 5p/6 4p/3 –p/6 O 2 điểm tại các vị trí: và . Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và cung tổng hợp là: Đối với phương trình ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: . Tương tự đối với phương trình ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức . Lúc đó: Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo '' Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác. Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình , vậy còn phương trình thì sao ? Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: . Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa. Một số cung góc hay dùng khác: và . A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  Dạng: Đặc biệt: ‚ Dạng: Đặc biệt: ƒ Dạng: Đặc biệt: „ Dạng: Đặc biệt: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Giải phương trình: Bài 2. Giải phương trình: Bài 3. Giải phương trình: Bài 4. Giải phương trình: Bài 5. Giải phương trình: Bài 6. Giải phương trình: Bài 7. Giải phương trình: Bài 8. Giải phương trình: Bài 9. Giải phương trình: Bài 10. Giải phương trình: Bài 11. Bài 12. Giải phương trình: Bài 13. Giải phương trình: Bài 14. Giải phương trình: Bài 15. Giải phương trình: . Bài 16. Giải phương trình: . Bài 17. Giải phương trình: Bài 18. Giải phương trình: Bài 19. Giải phương trình: Bài 20. Giải phương trình: Bài 21. Giải phương trình: Bài 22. Giải phương trình: Bài 23. Giải phương trình: Bài 24. Giải phương trình: Bài 25. Giải phương trình: Bài 26. Giải phương trình: Bài 27. Giải phương trình: Bài 28. Giải phương trình: Bài 29. Giải phương trình: Bài 30. Giải phương trình: Bài 31. Giải phương trình: Bài 32. Giải phương trình: Bài 33. Giải phương trình: Bài 34. Giải phương trình: Bài 35. Giải phương trình: Bài 36. Giải phương trình: Bài 37. Giải phương trình: Bài 38. Giải phương trình: Bài 39. Giải phương trình: Bài 40. Giải phương trình: Bài 41. Giải phương trình: Bài 42. Giải phương trình: Bài 43. Giải phương trình: Bài 44. Giải phương trình: Bài 45. Giải phương trình: Bài 46. Giải phương trình: Bài 47. Giải phương trình: Bài 48. Giải phương trình: Bài 49. Giải phương trình: Bài 50. Giải phương trình: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ¶¶¶ Bài 1. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 µ Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung hay cung ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung , ta nên đưa về cung trung gian nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung ". Bài giải tham khảo . . Bài 2. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài giải tham khảo . Bài 3. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 µ Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung và , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo Bài 4. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 . Bài giải tham khảo . µ Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung và cung mà ta nghĩ đến việc chuyển cung về cung bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế Bài 5. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008 . µ Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung và giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác nhau này về cùng một cung chung là . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây Bài 6. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 Bài giải tham khảo Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: Điều kiện: . . Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo'' Ta có: . Giải tương tự như cách giải 1. Bài 7. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999 µ Lời bình: Từ tổng hai cung giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy: . Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: . Nếu không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan, rồi qui đồng thì bài toán trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện. Bài giải tham khảo ĐK: . . Bài 8. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997 Bài giải tham khảo ĐK: . Ta có: . . µ Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau . Bài 9. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001 µ Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin, hoặc xét tổng cung của chúng, . nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem giữa hai cung và có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy: . Từ đó, ta sẽ đặt và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất. Bài giải tham khảo Ta có: . . Đặt . Và . Bài 10. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 Bài giải tham khảo Ta có: Đặt . Lúc đó . Bài 11. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999 Bài giải tham khảo Ta có: . Phương trình: . Đặt . Lúc đó: . Bài 12. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998 Bài giải tham khảo Cách giải 1. Đặt . Lúc đó: . µ Lời bình: Trong , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức . Vậy trong giải phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép để phương trình trở nên đơn giản hơn ". Cách giải 2. . Cách giải 3. Vì không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho , ta được: Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm: . Bài 13. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 Bài giải tham khảo Cách giải 1. Đặt . Lúc đó: . Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải Bài 14. Giải phương trình: µ Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý và . Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản, chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình tích số. Bài giải tham khảo . Bài 15. Giải phương trình: . Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000 µ Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn. Bài giải tham khảo . Bài 16. Giải phương trình: . Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001 Bài giải tham khảo . Bài 17. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999 Bài giải tham khảo . Bài 18. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002 Bài giải tham khảo . Bài 19. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001 Bài giải tham khảo . Bài 20. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998 Bài giải tham khảo . Bài 21. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007 µ Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung và nhận xét , ta có thể định hướng nhóm , lại với nhau, để sau khi dùng công thức tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được phương trình tích số đơn giản hơn. Bài giải tham khảo . Bài 22. Giải phương trình: Bài giải tham khảo . Bài 23. Giải phương trình: Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999 Bài giải tham khảo . Bài 24. Giải phương trình: Bài giải tham khảo . Bài 25. Giải phương trình: Bài giải tham khảo . Bài 26. Giải phương trình: Bài giải tham khảo . Bài 27. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999 Bài giải tham khảo . Bài 28. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000 Bài giải tham khảo . Bài 29. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998 Bài giải tham khảo µ Cách giải 1 . µ Cách giải 2 . Bài 30. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1 Bài giải tham khảo . µ Cách khác Do không là nghiệm của phương trình Chia hai vế của cho , ta được: . Bài 31. Giải phương trình: Bài giải tham khảo µ Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa lẫn , nếu ta sử dụng công thức nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp. Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất hiện số nhằm tối giản được với số phức tạp bên vế phải của phương trình. . Bài 32. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998 Bài giải tham khảo µ Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của , bằng cách nhân thêm hai vế của cho . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm tra xem có phải là nghiệm hay không trước khi nhân. ● Nhận thấy: nên (vô nghiệm) nên không là nghiệm của ● Nhân cả 2 vế của phương trình cho , ta được: với . Bài 33. Giải phương trình: Bài giải tham khảo Do không là nghiệm phương trình , nên nhân hai vế cho , ta được: . Bài 34. Giải phương trình: Bài giải tham khảo ● Khi thì không có nghiệm . ● Khi . Nhân hai vế của cho , ta được: . . Bài 35. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2011 Bài giải tham khảo µ Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc chẳn, ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng nhằm mục đích " đơn giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại. Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình. ● Điều kiện: . ● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là . Bài 36. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: . ● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là . Bài 37. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: . . ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm: . Bài 38. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: . ● So nghiệm với điều kiện: Cách 1: Khi thì (nhận). Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung p/4 p/6 p/2 3p/4 5p/6 7p/6 5p/4 3p/2 7p/4 11p/6 nào trùng nhau. Do đó: là nghiệm của phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian). Cách 3: Nếu thì (vô lí vì ). Vậy họ nghiệm của phương trình là: . Bài 39. Giải phương trình: Bài giải tham khảo ● Điều kiện: . . ● Thay vào nghiệm vào điều kiện, thỏa. Vậy họ nghiệm của phương trình là . Bài 40. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2003 Bài giải tham khảo Điều kiện: . . Bài 41. Giải phương trình: Trích đề thi Tuyển Sinh Đại học Mỏ – Địa chất năm 2000 Bài giải tham khảo Điều kiện: Ta có: . Lúc đó: . Bài 42. Giải phương trình: Bài giải tham khảo Điều kiện: . Ta có: . (Nhận do ) . Bài 43. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 – 1999 Bài giải tham khảo Điều kiện: . Bài 44. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Tài Chính – Kế Toán năm 2000 Bài giải tham khảo ĐK: (Loại do ) (Nhận) . Bài 45. Giải phương trình: Bài giải tham khảo Điều kiện: . (nhận do ) Bài 46. Giải phương trình: Trích đề thi Tuyển sinh Cao đẳng Kinh tế Công Nghiệp Tp. HCM năm 2007 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: . . ● So với điều kiện: Với thì loại nếu k lẻ. Với thì (nhận). Bài 47. Giải phương trình: Bài giải tham khảo Điều kiện: . . Bài 48. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Bách Khoa năm 2000 Bài giải tham khảo Điều kiện: . Ta có: (Nhận do ) . Bài 49. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học Dược Hà Nội năm 2001 Bài giải tham khảo Điều kiện: . Cách khác: (Giải tương tự như trên) Bài 50. Giải phương trình: Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2006 Bài giải tham khảo Điều kiện: . . So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . Giải phương trình: . B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC ¶¶¶ Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện Nếu đặt hoặc thì điều kiện là (tương tự cho ) Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● (mối liên hệ giữa sinx và cosx) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 51. Giải phương trình: Bài 52. Giải phương trình: Bài 53. Giải phương trình: Bài 54. Giải phương trình: Bài 55. Giải phương trình: Bài 56. Giải phương trình: Bài 57. Giải phương trình: Bài 58. Giải phương trình: Bài 59. Giải phương trình: Bài 60. Giải phương trình: Bài 61. Giải phương trình: Bài 62. Giải phương trình: Bài 63. Giải phương trình: Bài 64. Giải phương trình: Bài 65. Giải phương trình: Bài 66. Giải phương trình: Bài 67. Giải phương trình: Bài 68. Giải phương trình: Bài 69. Giải phương trình: Bài 70. Giải phương trình: Bài 71. Giải phương trình: Bài 72. Giải phương trình: Bài 73. Giải phương trình: Bài 74. Giải phương trình: Bài 75. Giải phương trình: Bài 76. Giải phương trình: Bài 77. Giải phương trình: Bài 78. Giải phương trình: Bài 79. Giải phương trình: Bài 80. Giải phương trình: Bài 81. Giải phương trình: Bài 82. Giải phương trình: Bài 83. Giải phương trình: Bài 84. Giải phương trình: Bài 85. Giải phương trình: Bài 86. Giải phương trình: Bài 87. Giải phương trình: Bài 88. Giải phương trình: Bài 89. Giải phương trình: Bài 90. Giải phương trình: Bài 91. Giải phương trình: Bài 92. Giải phương trình: Bài 93. Giải phương trình: Bài 94. Giải phương trình: Bài 95. Giải phương trình: Bài 96. Giải phương trình: Bài 97. Giải phương trình: Bài 98. Giải phương trình: Bài 99. Giải phương trình: Bài 100. Giải phương trình: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC Bài 51. Giải phương trình: (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D năm 2011) ¶¶¶ µ Lời bình: Trong bài toán toán có chứa hai cung và nên ta đưa về cùng một cung là bằng công thức nhân đôi của và công thức hạ bậc . Từ đó, đưa ta về phương trình bậc hai theo . Bài giải tham khảo . Bài 52. Giải phương trình: (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Xây dựng số 2 năm 2007) µ Lời bình: Trong ví dụ này, cũng tồn tại hai cung khác nhau và nên ta đưa về cùng một cung là , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi: . Còn ta sẽ áp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo . Bài giải tham khảo . Bài 53. Giải phương trình: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002) µ Lời bình: Trong bài toán này, có chứa đồng thời ba cung và ta không thể đưa cung của về cungđược (không có công thức lượng giác nào), do đó chỉ còn cách duy nhất là đưa ba cung này về cùng cung. Nhận thấy rằng, trong vế trái phương trình có chứa , ta nên phân tích hai thành phần này trước để tránh lập lại và dài dòng khi giải phương trình. Còn tất nhiên đưa về cung bằng công thức nhân đôi: , nhưng trong ba công thức đó, ta sẽ áp dụng công thức nào ? Câu trả lời là "dựa vào sự biến đổi của vế trái để chọn công thức phù hợp". Bài giải tham khảo ● Điều kiện: . Ta có: . . ● Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm là do . ● Bài 54. Giải phương trình: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2000) µ Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung , ta có thể đưa chúng về cùng một cung theo công thức nhân ba và cộng cung để xuất hiện nhân tử chung (cách giải 1). Hơn nữa, trong bài xuất hiện số và , ta cũng có thể tách và nhóm chúng một cách khéo léo lại với nhau, áp dụng công thức tổng thành tích (cách giải 2). Bài giải tham khảo ● Cách g