Phương trình và bất phương trình Đại số

Chương 0 - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Định nghĩa giá trị lượng giác OP cos OQ sin AT tan BT ' cot         Nhận xét :  a , 1 sin a 1 ; 1 cosa 1        tan a xác định khi và chỉ khi cosa 0 a k 2       cota xác định khi và chỉ khi sina 0 a k    Chú ý . Từ ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác ta có : a)  sin a k2 sin a   và  cos a k2 cosa   ( với k Z ) ;  tan a k tan a   và  cot a k cota   ( với k Z ) b)     sin a khi k 2lsin a k k, l Zsin a khi k 2l 1        và     cosa khi k 2lcos a k k, l Zcosa khi k 2l 1        2. Dấu của giá trị lượng giác Cung phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sin a + + - - cosa + - - + tana + - + - cota + - + - 3.Các hằng đẳng thức cơ bản 2 2 2 2 2 2 1sin a cos a 1 ; 1 tan a cos a 11 cot a ; tan a .cota 1 sin a        4. Cung liên kết I - HỆ THỨC CƠ BẢN cosin O cotang si n ta ng p A M Q B T'  T " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 2 - Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau  cos a cos a   sin a sin a  sin a cosa 2          sin a sin a   cos a cos a  cos a sina 2          tan a tana   tan a tana  tan a cota 2          cot a cota   cot a cota  cot a tana 2         Cung hơn kém nhau  Cung hơn kém nhau 2   sin a sin a  sin a cosa 2          cos a cosa   cos a sina 2           tan a tana   tan a cota 2          cot a cota  cot a tana 2         Công thức cộng :     1) sin a b sin a.cos b cosa.sin b 2) sin(a b) sin a.cos b cosa.sin b 3) cos a b cosa.cos b sin a.sin b 4) cos(a b) cosa.cos b sin a .sin b                 tan a tan b5) tan a b 1 tana. tan b tan a tan b6) tan a b 1 tana. tan b       Chú ý : 1 tan x 1 tan xtan x , tan x 4 1 tan x 4 1 tan x                       1.Công thức nhân đôi 2 2 2 2 2 2 sin2a 2.sin a.cos a cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a 2 tana cot a 1tan2a ; cot2a 2 cota1 tan a           2. Công thức hạ bậc : 3 . Công thức nhân ba : II . CÔNG THỨC CỘNG III . CÔNG THỨC NHÂN " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 3 - 2 2 2 1 cos2asin a 2 1 cos2acos a 2 1 cos2atan a 1 cos2a     3 3 3 2 sin 3a 3 sin a 4 sin a cos 3a 4 cos a 3 cos a 3 tana tan atan 3a 1 3 tan a       4 . Công thức biểu diễn sin2a , cos2a , tan2a theo tan a : 2 2 2 2 2 tana 1 tan a 2 tanasin2a ; cos2a ; tan2a 1 tan a 1 tan a 1 tan a       1.Công thức biến đổi tổng thành tích : a b a bsin a sin b 2.sin .cos 2 2 a b a bsin a sin b 2.cos .sin 2 2 a b a bcosa cos b 2.cos .cos 2 2 a b a bcosa cos b 2.sin .sin 2 2             sin(a b)tana tan b cos a.cos b sin(a b)tana tan b cosa.cos b sin(a b)cota cotb sin a.sin b sin(a b)cota cotb sin a.sin b         Chú ý : sin x cos x 2.sin x sin x cos x 2.sin x 4 4                        2.Công thức biến đổi tích thành tổng 1 11)cosa .cos b . cos(a b) cos(a b) 2)sin a .sin b . cos(a b) cos(a b) 2 2 1 13) sin a .cos b . sin(a b) sin(a b) 4)cos a. sin b .[sin(a b) sin(a b)] 2 2                             V. Phải ghi nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Đơn vị độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 Đơn vị Rađian 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   sin 0 12 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2  -1 tan 0 1 3 1 3 Kxđ 3 -1 1 3  0 cot Kxđ 3 1 1 3 0 1 3  -1 3 Kxđ IV . CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 4 - Chương 2 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Kiến thức cần nhớ 1. Hàm số y = sinx  Hàm số y = sinx có tập xác định R và -1≤ sinx ≤ 1 , x R   Hàm số y = sinx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2  Hàm số ĐB trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 ) 2 2       và NB trên mỗi khoảng 3( k2 ; k2 ) 2 2       Đồ thị là một đường hình sin Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 .    – Chu kỳ: T = 2 – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2    – Tịnh tiến theo véctơ v 2k .i    ta được đồ thị y = sinx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2       và nghịch biến trên , . 2        2. Hàm số y = cosx  Hàm số y = cosx có tập xác định R và -1≤ cosx ≤ 1 , x R   Hàm số y = cosx là hàm số chẵn và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k2 ;k2 )    và NB trên mỗikhoảng(k2 ; k2 )     Đồ thị là một đường hình sin Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 .    – Chu kỳ: T 2  x 0 2   3 2  2 y 1 0 –1 0 0 1 3 2    2   0 2  3 2    5 2  y = sinx –1 y  x 1 3 2    2   0 2  3 2    5 2  y = cosx –1 y  x " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 5 - – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :    – Tịnh tiến theo véctơ v 2k .i    ta được đồ thị y = cosx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, 2       và nghịch biến trên khoảng 3, . 2       3 . Hàm số y = tanx  Hàm số y = tanx có tập xác định 1D R \{ k ,k Z }2     và có tập giá trị là R  Hàm số y = tanx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ   Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k ; k ) 2 2       Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx. – Tập xác định: D = R\ k , k Z 2           – Tập giá trị: R. – Giới hạn: x 2 lim y    x : 2    là tiệm cận đứng. – Chu kỳ: T =  . – Bảng biến thiên trên , 2 2        : – Tịnh tiến theo véctơ v k .i    ta được đồ thị y = tanx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D. 4. Hàm số y = cotx  Hàm số y = cotx có tập xác định 2D R \{ k ,k Z }   và có tập giá trị là R  Hàm số y = cotx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ   Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k ; k )    Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. x 0 2   3 2  2 y 0 –1 0 1 1 x 2   0 2  y 0 – + x y 3 2    2   O 2   3 2  2 5 2  y = tanx " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 6 - – Tập xác định: D = R  \ k , k Z  – Tập giá trị: R. – Giới hạn: x 0 x lim y , lim y       tiệm cận đứng: x = 0, x =  . – Chu kỳ: T =  – Bảng biến thiên trên đoạn 0,    : – Tịnh tiến theo véctơ v k .i    ta được đồ thị y = cotx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn giảm trên tập xác định D. II. HỆ THỐNG PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP A. PHƯƠNG PHÁP Sử dụng các mệnh đề tương đương đương sau :  f(x)y g(x)  xác định g(x) 0   y f(x) xác định f(x) 0   y sin u(x)     xác định u(x) xác định  y cos u(x)     xác định u(x) xác định  y tan u(x)     xác định u(x) k ( k Z )2       y cot u(x)     xác định u(x) k ( k Z )    B. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 . Tìm tập xác định của các hàm số sau : a) sin xy cos x 1   b) 1 sin xy 1 cos x   c) y tan(4x )6   Vấn đề 1 : Tìm tập xác định (TXĐ) của một hàm số chứa hàm số lượng giác x 0 2   y 0 + – x y 2  3 2   O 2   2   3 2  y = cotx  2 " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 7 - d) 1 sin xy cos x  e) y = tanx + cotx f) sin 3xy sin x cos x   g) y tan(x ) 6   h) 2y cot(2x ) 3   i) 2y tan(3x ) 3   Câu 2 . Tìm tập xác định của các hàm số sau : a) 2y cos x  b) y sin x c) 1 xy sin 1 x   d) cotxy cos x 1   e) 2 sin xy 1 cos x   f) 2 2 3y cos x sin x   A . PHƯƠNG PHÁP : Cho hàm số y f(x) xác định trên D 1. Hàm số y f(x) gọi là chẵn trên D nếu : x D ; x D f( x) f(x)       2. Hàm số y f(x) gọi là lẻ trên D nếu : x D ; x Df( x) f(x)       Chú ý 1. Nếu hàm số y f(x) có tập xác định là D mà tập D không phải là tập đối xứng thì hàm số f(x) không chẳn cũng không lẻ . 2 . Nếu hàm số y f(x) có tập xác định D thỏa mãn : 0 0x D ; x D    nhưng 0 0f(x ) f(x )  thì hàm số f(x) không chẵn cũng không lẻ . 3 . Sử dụng cung đối nhau để xét tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác B. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 . Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau : a) y x.cos 3x b) 1 cos xy 1 cos x   c) 3y x .sin 2x d) 3x sin xy cos2x  e) y 1 cos x 1 cos x    f) y x sin x  Câu 2 . Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau : a) y sin2x b) y sin x cos x  c) y sin x.cos x Câu 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau : a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sin2x + cos2x d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx g) y = sin x tan x sin x cotx   h) y = 3 3 cos x 1 sin x  i) y = tan x Vấn đề 2 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác Vấn đề 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giác trên tập D " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 8 - A.PHƯƠNG PHÁP Sử dụng miềm giá trị của hàm số lượng giác trên một đoạn :  1 sin x 1 ; 1 cos x 1       2 20 sin x 1 ; 0 cos x 1     Sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số lượng giác B.BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau : a) y 3 cos x b) 2y 5 sin x  c) 2y 7 cos x  d) y tan x trên đoạn ; 3 6       e ) y sin x cos x  f) y 3 sin2x cos2x  Câu 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau : a) y 2 sin 3x 5        b) 2 2y 5 cos x sin x   c) 2y 7 cos x  d) 2 1y 3 sin x   e ) y sin 3x 3 cos 3x  f) y 9 4co2x  Chú ý . Các em cần ghi nhớ một số công thức : a) 2 2 2 2 2 2 a ba sin x bcos x a b .sin x .cos x a b a b           . Đặt 2 2 2 2 a bcos ; sin a b a b       thì :  2 2a sin x bcos x a b . sin x     b) 4 4 2 6 6 2 1 3sin x cos x 1 sin 2x ; sin x cos x 1 sin 2x 2 4       Câu 3 .Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau : a) y = 3sin3x + 5 b) y= sin3x + cos3x c) y 2 2(4 3 sin x)   d) y = sin4x + cos4x e) y = sin6x + cos6x f) 2 2 1y 4 (cos x sin x) 3    g) 2y cos x 5 cos2x  h) y 3 sin 4x cos 4x 6   i) sin 3x 2 cos 3x 1y sin 3x cos 3x 2     k) sin x cos x 1y sin x cos x 3     l) 2 sin x cos x 3y 2 cos x sin x 4     m) 2y 2sin x 4sinxcosx 5   n) y 5 sin(3x ) 6 3    p) y 2 cos(3x ) 3 6    q) y 5 cos(2x ) 1 4    A. PHƯƠNG PHÁP Giả sử hàm số y f(x) có đồ thị là (C) . 1. Đồ thị (C’) của hàm số y f(x b)  với b > 0 , được suy từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) sang trái b đơn vị theo phương song song với trục hoành Vấn đề 4 : Suy ra đồ thị hàm số lượng giác từ đồ thị một hàm số lượng giác cho trước " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 9 - 2. Đồ thị (C’) của hàm số y f(x b)  với b > 0 ,được suy từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) sang phải b đơn vị theo phương song song với trục hoành 3. Đồ thị (C’) của hàm số y f(x) c  được suy từ đồ thị (C ) bằng cách :  Tịnh tiến theo phương của trục tung lên trên c đơn vị nếu c > 0  Tịnh tiến xuống dưới theo phương của trục tung c đơn vị nếu c < 0 4. Đồ thị (C’) của hàm số y k.f(x) ( k 0)  , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :  Nếu k > 1 thì giản (C) dọc theo trục Oy k đơn vị .  Nếu 0 < k < 1 thì co (C) dọc theo trục Oy k đơn vị . 5. Đồ thị (C’) của hàm số y f(k x) ( k 0)  , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :  Nếu k > 1 thì co (C) dọc theo trục Ox với tỷ 1 k  Nếu 0 < k < 1 thì giản (C ) dọc theo trục Ox với tỷ 1 k 6 . Đồ thị ( C’) của hàm số y f(x) , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :  Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành  Lấy phần đồ thị của (C) nằm phía dưới trục hoành đối xứng qua trục hoành . 7. Đồ thị ( C’) của hàm số  y f x , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :  Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm phía bên phải trục tung  Lấy phần đồ thị của (C) nằm phía bên phải trục tung đối xứng qua trục tung . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 . Từ đồ thị của hàm số y = sinx , hãy suy ra cách vẽ đồ thị của các hàm số sau : a) y sin x 4        b) y sin x 3        c) y sin x 2  d) y sin x 3  e) y sin x f) y sin x Câu 2 . Từ đồ thị của hàm số y = cosx , hãy suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số sau : a) y cos x b) y cos x 1  c) y 2 cos x Bài 2- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sin x a (1) A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  a 1 : Phương trình (1) vô nghiệm  a 1 , đặt sin a , khi đó :  x k2sin x a sin x sin k Zx k2               Chú ý : " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 10 -  Nếu có số thực  thỏa điều kiện :  2 2sin a , a 1          thì ta viết arcsin a  , khi đó nghiệm của phương trình (1) là : x arcsin a k2 ; x arcsina k2        Phương trình : 0 0 0 0 0 0 x k360 sin x sin x 180 k360             Phương trình : sin f(x) sin g(x) sin f(x) sin g(x)         Phương trình : sin f(x) cos g(x) sin f(x) sin g(x) 2          Phương trình : sin f(x) cos g(x) sin f(x) sin g(x) 2           Các trường hợp đặc biệt : sin x 0 x k sin x 1 x k2 ; sin x 1 x k2 2 2 sin x 1 cos x 0 x k 2                        B. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG : Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau : a) 1sin x 2  b) 3sin2x 2  c) sin x 1 6        d) 3sin 3x 2  e) 1sin 4x 3  f) sin 3x 0 4        g) 2 sin x 3 0 6          h) 2 sin x 2 0 4          i) 2sin x 1 4        Ví dụ 2 .Giải các phương trình sau : a)    sin 2x 1 sin x 3   b)    sin 3x cos x 3  c) sin 5x sin2x 0  d) sin 3x cos x 0  e) sin 5x cos x 0  f)  sin 2x 1 sin x 0   Ví dụ 3 . Tìm m để phương trình sau có nghiệm : a) sin 3x 2m 1  b) 2sin 2x 2m m 4         c) sin x m 1 m.sin x   d) m.cos x 2m 1 0   Đáp số : a) 1 m 0   b) 11 m 2    c) m 0 d) 1 m 1 , m 0 3    BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1 . Giải các phương trình sau : a) 1sin x 6 2         b) 2sin x 4 2         " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 11 - c)  0 3sin 2x 30 2  d) 2 3sin x 6 4        Bài 2.Giải các phương trình sau : a) sin 3x sin x 0  b) sin 5x sin2x 0  c) sin 3x cos x 0  d) sin x cos x 0  e)  0sin 9x 30 cos x 04          f) 4 4sin 2x cos 2x 0  ……………………………………………………………………………………………… 2 . Phương trình cos x a (2) A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  a 1 : Phương trình (2) vô nghiệm  a 1 , đặt cos a , khi đó :  x k2cos x a cos x cos k Zx k2               Chú ý :  Nếu có số thực  thỏa điều kiện :   0 cos a , a 1         thì ta viết arc cos a  , khi đó nghiệm của phương trình (2) là : x arccosa k2 ; x arccos a k2       Phương trình : 0 0 0 0 0 x k360 cos x cos x k360            Phương trình : cos f(x) cos g(x) cos f(x) cos g(x)         Phương trình : cos f(x) sin g(x) cos f(x) cos g(x) 2          Phương trình : cos f(x) sin g(x) cos f(x) cos g(x) 2           Các trường hợp đặc biệt : cos x 0 x k 2 cos x 1 x k2 ; cos x 1 x k2 cos x 1 sin x 0 x k                      B. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau : a) 1cos x 2  b) 1cos x 3  c) cos 3x 2 d)  0 3cos x 45 2  e) 2cos 3x 3 2         f)   2cos x 2 5  g) cos 3x 1 3        h) cos x 1 6          i) 3cos 3x 3 2        Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau : a)   2 2 cos x 4 cos x 0   b)   2 cos x 1 2 cos x 0   " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 12 - c)   3 4 cos x 1 cos2x 0   d)   1 2 cos x 2 sin2x 3 0   BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1 . Giải các phương trình sau : a) 2cos 2x 4 2         b) cos x cos2x 0 3         c) cos 3x cos 3x 1 3 3                     d) 2 1cos 4x 4  e)    6 6 4 4 24 sin x cos x 2 sin x cos x 8 4 cos 2x     f) 2 2 2 2sin x cos x cos x cos 3x   g) 16 sin x.cos x.cos2x.cos 4x 3 Bài 2 . Giải các phương trình sau : a) cos 2x cos x 6 3                   b) cos 5x sin x 0  c) cos 2x sin x 3 6                   . d) cos2x 3cos x sin x cos x 2   Bài 3 . Giải các phương trình: 1) cos 2x 0 6        2) cos 4x 1 3        3) cos x 1 5          4) sin 3x 0 3        5) xsin 1 2 4        6) sin 2x 1 6          7)   1sin 3x 1 2  8)   0 2cos x 15 2   9) x 3sin 2 3 2         ……………………………………………………………………………………………… 3.Phương trình tan x tan  A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ a. tan x tan x k ( k Z)        b. tan x a x arctan a k ( k Z)      c. tan f(x) tan g(x) tan f(x) tan g(x)        d. tan f(x) cot g(x) tan f(x) tan g(x) 2         e. tan f(x) cotg(x) tan f(x) tan g(x) 2          Chú ý . Các trường hợp đặc biệt : tan x 0 x k (k Z) ; tan x 1 x k ; tan x 1 x k 4 4                 B.VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau : " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 13 - a) 3tan x 6 3        b) tan 4x 1 c) tan x 5 3        Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau : a)tan 3x 1 6         b)  tan 3x 1 3  c) 3 tan x 1 04         ………………………………………………………………………………………………… 5.Phương trình cot x cot  A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ a. cotx cot x k ( k Z)       b. cotx a x arc cota k ( k Z)      Chú ý . Các trường hợp đặc biệt : cotx 0 x k ; cotx 1 x k 2 4              B. VÍ DỤ ÁP DỤNG : Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau : a) cot4x 0 b) cot 3x 1 4        c) cot 2x 1 3         d)  cot 2x 1 3  e) 3cot 4x 3 3        f) 2x 1 1cot tan 6 3         Ví dụ 2.Giải các phương trình sau : a) 2 cos2x 0 1 sin2x  b) sin 3x 0 cos 3x 1  c) cos x 0 1 sin x  d) sin x 1 0 cos x   BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Giải các phương trình sau : a)  tan 2x 1 3  b)  0 3tan 3x 10 3  c) tan 3x 16         d) cot 2x 1 3        e) tan 2x 3 4         f) 2tan 4x 3 Bài 2 . Giải các phương trình: a) 2 2 2sin x sin x. tan x 3  b)  an2sin x. t x 3 sin x 3 tan2x 3 3   c) 8cotx tanx 2tan2x 4tan4x 3     d) tan x 1 tan x 4         e) 22 1 3 cot x 5 sin x   f) 1 11 tan x 1 tan x 2 3 cos x cos x                  g) 2 2 2 1 sin x tan x 4 1 sin x     h) 2 2 4 2 2 4 sin x cos x cos x 9 cos x sin x sin x      Bài 3 . Giải các phương trình sau : a) sin2x 2 cos x 0  b) 8 cos2x.sin2x.cos 4x 2 c) tan2x 2 tan x 0  d) 22 cos x cos2x 2  " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 14 - Đáp số : a) x k 2    b) k 3 kx ; x 32 4 32 4        c) x k  d) x k 6     Bài 3 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng Đặt Điều kiện  2a sin x b sin x c 0 a 0    t sin x 1 t 1    2a cos x b cos x c 0 a 0    t cos x 1 t 1    2a tan x b tan x c 0 a 0    t tan x x k 2     2a cot x b cotx c 0 a 0    t cot x x k  Chú ý : * Nếu đặt 2t sin x hoặc t sin x , điều kiện 0 t 1  * Nếu đặt 2t cos x hoặc t cos x , điều kiện 0 t 1  Các công thức thường dùng khi giải các loại phương trình này : I - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.Hằng đẳng thức cơ bản : 2 2 2 2 2 2 1sin a cos a 1 ; 1 tan a cos a 11 cot a ; tana .cota 1 sin a        2. Các công thức nhân đôi : 2 2 2 2 2 2 sin2a 2.sin a.cos a cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a 2 tana cot a 1tan2a ; cot2a 2 cota1 tan a           3. Các công thức hạ bậc : 2 2 2 1 cos2asin a 2 1 cos2acos a 2 1 cos2atan a 1 cos2a     4. Ghi nhớ : 4 4 2 6 6 2 1 3sin a cos a 1 sin 2a ; sin a cos a 1 sin 2a 2 4       " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 15 - Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau : a) 23 sin x 4 sin x 1 0   b)  22 cos x 2 1 cos x 1 0    c)  23 tan x 3 1 tan x 1 0    d) 2cot x 4 cot x 3 0   Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau : a) 23 cos x 2 sin x 2 0   b) 25 sin x 3 cos x 3 0   c) 23cos 6x 8 sin 3x.cos 3x 4 0   d) 2 3 2 3 tan x 6 0 cos x    e) cos2x 7 cos x 8 0   f) 2cos2x sin x 3 0   g) 2 1 3 tan x 5 0 cos x    h) 3tanx + 3 cotx - 3 - 3 = 0 i) 2cos2x sin x sin x 1 0    k) 2 3 3cotx 3 sin x   Ví dụ 3. Giải các phương trình sau : a) 22 cos x 5 sin x 4 0   b) 5cos2x 4 cos x 0 2    c) 22 sin x 4 5 cos x  d) 2cos x.cos2x 1 cos2x cos 3x   e) 4 4 1sin x cos x sin2x 2    f)  4 42 sin x cos x cos 2x 02           g) 4 4 x xsin cos 1 2 sin x 2 2    h) 4 4sin x cos x sin x cos x 0   BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1 . Giải các phương trình sau : a) 2 22 cos 2x 3 sin x 2  b) 2 xcos2x 2 cos x 2 sin 2   c) 4 4 1sin x cos x sin2x 2   d) 2 41 sin x cos x 4    Bài 2 . Giải các phương trình sau : a) 2 2cos 3x.cos2x cos x 0  b) 4 4 3sin x cos x sin 3x cos x 0 4 4 2                      c)   25 sin x 2 3 1 sin x . tan x   d) 6 62(sin x cos x) sin x cos x 0 2 2 sin x     e) 2 24 sin 2x 6 sin x 3 cos2x 9 0 cos x     f) 4 4sin x cos x 1 1cot2x 5 sin2x 2 8 sin2x    Bài 3 . Giải các phương trình sau : a) 5 7sin(2x ) 3 cos(x ) 1 2 sin x 2 2       b) 2cotx tan x 4 sin2x sin2x    c) 2 2 22 cos 2x cos2x 4 sin 2x.cos x  d) tan x 2cot2x sin2x  Bài 4 . Giải các phương trình sau : " Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 16 - a) 2 cos2x 1cotx 1 sin x sin2x 1 tan x 2     b) sin2x 2 tan x 3  c)   1 tan x 1 sin2x 1 tan x    d) xcos x tan 12  e) 5 5 24 cos x.sin x 4 sin x.cos x sin 4x  f) 34 cos x 3 2 sin2x 8 cos x  g) sin2x cos2x tan x 2   h) 2 2 3cos x cos x cos3x cos 3x 4    Bài 5 . Cho phương trình : cos 4x 6 sin x cos x m (1)  a) Giải phương trình ( 1) khi m = 1 b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm x 0; 4       Đáp số : a) kx 2  b) 171 m 8   Bài 6 . Xác định m để phương trình  4 42 sin x cos x cos 4x 2 sin2x m 0     có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0 ; 2     