Phương trình vi phân thông thường

2.4. Phương Trình Vi Phân Thông Thường Định lý thác triển từ định lý 2.22 mở rộng phạm vi sử dụng các biến đổi Laplace để giải các phương trình khác, sau đây những ứng dụng của biếc đổi Laplace Ví dụ 2.14. Xét phương trình cơ bản d2y + y 1,y(0) y (0) 0. d t2 Ta giả sử đã tìm được nghiệm y thỏa mãn phương trình (2.22). Taking Dùng biến đổi Laplace để giải phương trình sau Ta viết ____1___= s(s2 + 1) Tích phân ta có 1s − 2 . ss +1 Áp dụng ngược lại ta có L(y) y 1 − cos t. L(y’’ ) + L(y)= L(1). Áp dụng kết quả của (2.22) s2 L(y) − s y(0) − y (0) + L(y)= 1 __ , s đó là, L(y) 1 =______ . s(s2 + 1) A Bs + C __ +_____ S s 2 +1 Ta có thể kiểm tra với giá trị ban đầu Chú ý rằng điều kiện ban đầu phụ thuộc vào phương pháp , không giống với các cách giải khác như các phương pháp biến đổi tham số hoặc không xác định hệ số Tóm lại, các phương pháp biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân có các bước sau (i) Biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình.Ta thu được phương trình đã biến đổi. (ii) có được một phương trình L(y)F(s), với F(s) là một đại số có biến (iii) Thử ngược lị phương trình ban đầu ta thu được L−1 F(s) . Các cách khác nhau để xác định nghịc đảo như tích phân từng phần, đặt ẩn Những cách này không sử dụng biến đổi Laplace Ví dụ 2.15. Giải y +y et + t + 1, y(0) y (0) y (0) 0. Biến đổi Laplace cả hai vế phương trình L(y ) + L(y )= Hoặc L(et ) + L(t) + L(1), [s3 L(y) − s2 y(0) − s y (0) − y (0)] +[s2 L(y) − s y(0) − y (0)] Theo giả thiết ban đầu s L(y) + s L(y) 2 111 + 2+ . s−1 ss 2s2 − 1 , s2 (s − 1) với L(y) 2s2 − 1 . s4 (s + 1)(s − 1) ABCDEF + 2+ 3+ 4++, sssss+1 s−1 Áp dụng tích phân từng phần, ta được L(y) 2s2 − 1 s4 (s + 1)(s − 1) ta thấy rằng L(y) y − 1111 + 4−+, s2s2(s + 1) 2(s − 1) 1 s4 1 −1 L 2 1 s+1 1 −1 L 2 1 s−1 −L−1 −t + 1 s2 + L−1 − + 1 3 1 −t 1 t t − e + e. 622 Nói chung, các phương pháp biến đổi Laplace chỉ áp dụng với những nghiệm ban đầu của phương trình tuyến tính thong thường khác với các phương trình có hệ số hằng. dnyd n −1 y a n n + an − 1 n − 1 + · · · + a 0 y dtdt y(0) y0 , y (0) y1 , . . . , y(n−1) (0) f (t), (2.23) yn−1 . một cách máy móc f (t) như là đầu vào,và y y(t) là đầu ra hoặc kết quá. Trong trường hợp f (t) cps đạo hàm và lien tục, thì y y(t) to (2.23) cũng có đạo hàm và lien tục (Định lý A.6). Nó giúp cho biến đổi phương trình Laplace (xem các nhận xét Định lý A.6). Ngoài ra, nếu f ∈ L, ta vẫn có thể giải bằng cách áp dụng định lý 2.12. Với nghiệm y y(t) cho (2.23) Nếu t ≥ 0, có giá trị trên toàn bộ , −∞ < t < ∞, nếu f (t) thuộc miến này. Một thuộc tính quan trọng của biến đổi Laplace Ví dụ 2.16. Giải y +y E ua (t), y(0) 0, y (0) 1. Điều kiện ban đầu cho 0 ≤ t < a va E không đỏi,cho t ≥ a. Sau đó s L(y) − s y(0) − y (0) + L(y) 2 E e−as s và L(y) 1E e−as + s2 + 1 s(s2 + 1) 11s +E− 2e−as . 2+1sss +1 Khi đó y L−1 1 s2 + 1 + E L−1 1s − 2e−as ss +1 sin t + E ua (t) 1 − cos(t − a) , ĐỊnh lý (1.27). ta có thể biến đổi y sin t sin t + E 1 − cos(t − a) 0≤t<a t ≥ a. chú ý rằng y(a− ) y(a+ ) sin a, y (a− ) y (a+ ) cos a, y (a− ) − sin a + E a2 . Do đó y (t) chỉ xác định với –aa, với y (a+ ) Liên tục Ví dụ 2.17. Giải y +y Ta có s L(y) + L(y) 2 0 π sin t 0 ≤ t ≤ π 0 t>π y(0) y (0) 0. e−st sin t dt π 0 −e−st (s · sin t + cos t) s2 + 1 e−πs1 + 2 . s2 + 1 s + 1 do đó, 1e−πs + 2 , (s2 + 1)2(s + 1)2 L(y)