Phương trình vô tỷ

Phương trình vô tỷ I. Định nghĩa : Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn ở biểu thức dưới căn bậc hai . II. Một số phép biến đổi tương đương 1) 2) 3) III. Một số phương pháp giải: a) Phương pháp 1: Phương pháp nâng lên luỹ thừa. Ví dụ1: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: (1) Phương trình viết lại dưới dạng: (*) ĐK: 2x + 1 => x (2) Hai vế không âm. BP 2 vế của phương trình (*) ta có: (1 – 2x) (1 – x) = (2x + 1)2 2x2 + 7x = 0 Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 0 Ví dụ2: Giải phương trình: (1) áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) Lập phương 2 vế của (1) ta có: 3x – 1 + x + 1 + 3 (2) Thay (1) vào (2) ta được: (3x – 1) (x + 1) . 2x = 8x3 2x [(3x – 1) (x + 1) – 4x2] = 0 x (x2 – 2x + 1) = 0 Thay x = 0 vào phương trình (1): Thoả mãn Thay x = 1 vào phương trình (1): không thoả mãn Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 0 b) Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ: Ví dụ: Giải phương trình: (1) Giải: ĐKXĐ: x Nhân 2 vế của phương trình (1) với , ta được: (*) * Nếu Phương trình (*) là: . Hai vế không âm, bình phương 2 vế ta được: 2x – 1 = 1 x = 1 (2) (Thoả mãn ĐKXĐ và thuộc khoảng đang xét). * Nếu Phương trình là: 0. => Phương trình có vô số nghiệm thoả mãn: (3) Kết hợp (2) và (3) ta có: Phương trình có vô số nghiệm thoả mãn c) Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ: Giải phương trình: 6x2 + 15x + (1) Giải: Đặt (*) (t ) => 2x2 + 5x + 1 = t2 6x2 + 15x = 6x2 + 15x + 3 – 3 = 3(2x2 + 5x + 1) – 3 = 3t2 – 3 Ta có phương trình (1) là: 3t2 + t – 4 = 0=> (3t + 4) (t – 1) =0 Với t = 1. Thay vào (*) ta có: 2x2 + 5x + 1 = 1 2x2 + 5x = 0 x(2x + 5) = 0 - Với x = 0 và x = TMĐK: 2x2 + 5x + 1 > 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = c) Phương pháp 4: dùng bất đẳng thức: Ví dụ: Giải phương trình: (1) Giải: VT = = VP = 2 ( -2x2 + 2x + 1) = -4x2 + 4x – 1 + 3 = - (2x – 1)2 + 3 3 Cả 2 vế đều bằng 3 khi và chỉ khi x = Vậy phương trình có nghiệm là x = IV. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình a) b) c) d) e) g) h) i) k) l) m) Bài 3: a) b) c) d) e) f) g) i) j) k) Bài 3. áp dụng bất đẳng thức giải các phương trình sau: a) b) c) d) e)