Rèn kỷ năng vẽ hình Hình học cho học sinh THCS

MỤC LỤC A. Lý do viết đề tài. Trang 5 B. Kết quả điều tra thực tiễn và nguyên nhân. Trang 6 C. Cơ sở lý luận khi vẽ hình hình học. Trang 9 D. Cách tiến hành và kết quả. Trang 17 E. Kết luận chung . Trang 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Định lý hình học và các phương pháp chứng minh. HỨA THUẦN PHỎNG – NXB GD – 1976 2. Phương pháp giải các dạng toán – Lớp 9. Tập 1 + tập 2. NGUYỄN VĂN NHO – NXB GD – 2005 3. Rèn kỷ năng giải bài tập toán 8 – Tập 1 + tập 2. NGUYỄN ĐỨC TẤN – NXB Tổng hợp Đồng Nai – 2005 4. Rèn kỷ năng giải bài tập toán 9 – Tập 1 + tập 2. NGUYỄN ĐỨC TẤN – NXB Tổng hợp Đồng Nai – 2005 5. Sách giáo khoa toán 6, toán 7, toán 8, toán 9. 6. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 2. Xin chân thành cảm ơn BGH, Tổ trưởng Toán – Lý và đặc biệt nhóm GV bộ môn toán Trường THCS Nhơn Phúc đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành Chuyên đề này. A. LÝ DO VIẾT ĐỀ TÀI. Ở bậc trung học cơ sở, học sinh làm quen với hình học ở lớp 6 với những khái niệm cơ bản về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tia và nhận biết thông qua cảm tính, trực quan hay đo đạc trực tiếp. Sang lớp 7, lớp 8 học sinh tiếp cận với một số khái niệm hình học rộng hơn và bước đầu nhận thức bằng suy luận có căn cứ ( chứng minh hình học). Đến lớp 9 học sinh hoàn thiện phân môn hình học với những kiến thức rộng hơn, phức tạp hơn và tiếp cận những bài tập tổng hợp mang tính suy luận cao hơn. Việc học tốt môn hình học ở bậc trung học cơ sở là cần thiết và hết sức quan trọng, góp phần hoàn thiện kỷ năng phán đoán, tư duy, suy luận logic cho học sinh, bên cạnh đó gíup các em có cơ sở để học tốt môn hình học ở bậc trung học phổ thông. Yếu tố quan trọng để học sinh học tốt môn hình học là kỷ năng vẽ hình, bởi vì: - Học sinh vẽ hình được thì mới giải toán hình học được. - Học sinh vẽ hình đúng, chính xác thì sẽ dự đoán, định hướng được cách giải, nhất là loại toán chứng minh hình học. Ví dụ: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, so sánh hai đoạn thẳng, hai góc; nhận biết tứ giác, tam giác, chứng minh tam giác bằng nhau Tuy nhiên, trong thực tế học sinh không vẽ hình được hoặc vẽ được hình nhưng không chính xác dẫn đến học sinh không làm được bài hoặc làm nhưng không đúng. Từ đó các em chán nản, không còn hứng thú khi học phân môn hình hoc, thậm chí có học sinh khi đứng trước một đề toán thì chỉ chú ý phần đại số còn phần hình học coi như bỏ ( mặc dù bài hình học không phải khó lắm, chỉ vẽ được hình là các em có thể định hướng giải được một phần yêu cầu của đề bài) Là một giáo viên nhiều năm đứng trên bục giảng, tôi rất trăn trở về vấn đề “ kỷ năng vẽ hình của học sinh”. Đối với học sinh khá giỏi thì tạm ổn, còn đối với học sinh trung bình, yếu, kém thì làm thế nào để rèn luyện kỷ năng vẽ hình cho các em để từ đó các em vẽ được hình ở tất cả các dạng bài tập, trên cơ sở đó các em có hứng thú khi làm bài tập hình học và dần dần làm tốt hơn. Với những lý do nêu trên và qua nhiều năm thử nghiệm trên các đối tượng học sinh khác nhau, đặc biệt trong hai năm học 2006 – 2007, 2007 – 2008 tôi thấy có hiệu quả rõ rệt. Do đó, tôi quyết định viết chuyên đề “ Rèn luyện kỷ năng vẽ hình hình học cho học sinh trung học cơ sở” để quý thầy cô giáo cùng các em học sinh tham khảo. Rất mong sự góp ý nhiệt tình của quý thầy cô giáo. B. KẾT QUẢ ĐIỀU TRA THỰC TIỄN VÀ NGUYÊN NHÂN I.Kết quả điều tra thực tế. Kết quả điều tra thực tế “ Kỷ năng vẽ hình hình học” của học sinh trong đầu năm học. Năm học Lớp Sĩ số Nhóm đối tượng I Nhóm đối tượng II Nhóm đối tượng III SL % SL % SL % 2006-2007 9A3 47 28 59,6 11 23,4 8 17 9A4 45 27 60 9 20 9 20 2007-2008 9A4 40 19 47,5 12 30 9 22,5 9A5 39 21 53,8 11 28,2 7 18 Nhóm đối tượng I: Học sinh không vẽ hình được Nhóm đối tượng II: Học sinh vẽ được hình nhưng chưa hoàn thiện. Nhóm đối tượng III: Học sinh vẽ hình hoàn chỉnh đúng theo yêu cầu của đề bài. II. Phân tích nguyên nhân. 1. Nhóm đối tượng I. Ø Kiến thức cũ học sinh không nắm được, các khái niệm hình học ở các lớp 6, 7 , 8 học sinh quên đi. Ví dụ: - Khi xác định trọng tâm của tam giác, các em quên đi tính chất “Ba đường trung tuyến trong tam giác” đã học ở lớp 7 nên không xác định được. - Khi xác định hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng, các em quên đi khái niệm này đã học ở lớp 7 nên không vẽ được. - Khi “Vẽ tam giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa”, các em quên đi cách vẽ đã học ở lớp 6 nên cũng không vẽ được một cách chính xác theo yêu cầu của đề bài. Ø Các em không hiểu được nội dung diễn đạt của đề bài: Cùng một nội dung yêu cầu nhưng mỗi đề bài diễn đạt một cách khác nhau. Ví dụ 1: - Cách 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 20cm; AB = 12cm. Tính HC. - Cách 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi H là hình chiếu của điểm A trên cạnh huyền BC. Biết BC = 20cm; AB = 12cm.Tính HC. Ở ví dụ này ta thấy cùng một nội dung là tính đoạn HC, nhưng ở cách diễn đạt thứ hai thì phức tạp hơn. Nếu HS quên đi khái niệm “ Hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng” thì không vẽ hình được và hiển nhiên là không giải được bài toán này. Ví dụ 2: - Cách 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho AB = R - Cách 2: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho Với cách diễn đạt thứ hai thì học sinh phải hiểu được . Do đó AB = R thì học sinh mới vẽ được. 2. Nhóm đối tượng II. Ø Học sinh vẽ hình thiếu giả thiết của bài toán, hầu hết học sinh thuộc diện này mang tính chủ quan, không đọc kỹ đề bài nên hình vẽ thiếu một số yếu tố so với yêu cầu của đề bài. Ø Học sinh vẽ thiếu một số yếu tố hoặc ký hiệu mà đề bài không đề cập đến dẫn đến hình vẽ mất tính trực quan gây khó khăn cho việc tìm tòi cách chứng minh. Ø Học sinh vô tình vẽ hình rơi vào một số trường hợp đặc biệt dẫn đến hình vẽ mất tính tổng quát và cuối cùng là các em không làm được bài tập hoặc không chứng minh được định lý. Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE. Chứng minh năm điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của . Gọi I là giao điểm của BC và DE, chứng minh: AB2 = AI.AH BH cắt đường tròn O ở K. Chứng minh: AE//CK * Trường hợp thứ nhất: Học sinh chỉ vẽ các tiếp tuyến thông thường và H là trung điểm của DE. * Trường hợp thứ hai: Học sinh vẽ thêm các bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm và OH vuông góc với DE( Đường kính vuông góc dây tại trung điểm); nối O với A. Ở trường hợp thứ hai khi nhìn vào hình vẽ học sinh sẽ dễ dàng chứng minh được câu a. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Nếu học sinh vẽ tam giác ABC cân tại A thì đường cao và đường trung tuyến trùng nhau. 3. Nhóm đối tượng III. Ø Học sinh vẽ hình thiếu chính xác: Trong quá trình vẽ hình học sinh thường vẽ mang tính chất đại khái, vẽ “độ” dẫn đến các yếu tố trong hình vẽ không như giả thiết, mất tính trực quan của hình vẽ. Do đó, gây rất nhiều khó khăn cho học sinh sau này. Ví dụ: Đề bài yêu cầu chứng minh: Hai đoạn thẳng bằng nhau; hai góc bằng nhau; ba điểm thẳng hàng; tam giác cânnhưng trên hình vẽ hai đoạn thẳng không bằng nhau; hai góc không bằng nhau; ba điểm không thẳng hàng; không phải là tam giác cân Với hình vẽ như vậy thì khi nhìn vào học sinh không định hướng đựơc cách chứng minh cũng như tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong hình vẽ. Ø Hầu hết học sinh không có kỷ năng sử dụng thành thạo các dụng cụ vẽ hình như thước đo góc, Com pa, thước Êke,đặc biệt là sử dụng com pa trong việc vẽ hình. Ví dụ: Khi vẽ đường trung trực của đoạn thẳng; tia phân giác của góc; tam giác đều nếu học sinh sử dụng thành thạo compa để vẽ thì hình vẽ rất chính xác. Ø Học sinh rất hạn chế trong việc sử dụng các bài toán dựng hình cơ bản để vẽ hình. **************************************** C. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHI VẼ HÌNH HÌNH HỌC 1. Đọc kỹ đề bài một lượt, phải hiểu rõ định nghĩa của tất cả các từ, cụm từ thể hiện khái niệm hình học trong đề bài nhằm hòan tòan hiểu ý bài tập đó. 2. Phân biệt cho được giả thiết và kết luận của bài tập, rồi dựa vào những điều đã cho trong giả thiết để vẽ hình, dùng chữ để làm ký hiệu những đường và điểm, các giao điểm, hai đầu mút của đọan thẳng. 3. Dựa vào bài tập và các ký hiệu trong hình vẽ để viết giả thiết và kết luận; thay những cụm từ tóan học trong bài bằng các ký hiệu làm cho bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn. 4. Các hình nói chung không thể chỉ vẽ một nét cho nên cần phân biệt đường nào vẽ trước đường nào vẽ sau; khi dùng ký hiệu ( dùng chữ ) phải theo thứ tự của bài ra, không nên lẫn lộn. Ví dụ: Khi chứng minh bài “Lấy hai cạnh AB và AC của tam giác ABC làm cạnh, Dựng hình vuông ABEF, ACGH ra phía ngoài của tam giác, từ A dựng đường vuông góc với BC gặp BC tại D và FH tại M. Chứng minh FM = MH”. Khi vẽ hình nên chú ý những điểm sau đây: Dựng tam giác ABC trước, tiếp đó là dựng các hình vuông ABEF và ACGH sau cùng dựng đường vuông góc với BC và đi qua A. Khi dùng kí hiệu chú ý không nên lẫn lộn E và F, phải theo thứ tự trong bài ra là ABEF . Nếu đảo lộn F với E thì không tài nào chứng minh được FM = HM . Một điều cần chú ý nữa là khi vẽ đường vuông góc thì D nằm trên BC còn M nằm trên FH. 5. Hình vẽ cần giữ đúng những điều kiện mà phần giả thiết đã cho, không nên bỏ sót một điều gì. Như bài ra cho một hình thang, ta không nên vẽ một tứ giác bất kỳ; nếu hình vẽ bỏ sót một vài điều kiện đã cho thì bài sẽ không chứng minh được. Mặt khác, ta cũng không nên vẽ thêm vào hình những phần không cần thiết. Có trường hợp đề bài cho một góc đem vẽ thành một góc vuông hay khi giả thiết cho một tam giác lại dựng một tam giác đều. Làm như vậy khi chứng minh thường hay hiểu lầm. Như ở ví dụ trong mục 3 ở trên nếu dựng tam giác ABC thành tam giác vuông như ở hình bên có góc BAC vuông thì bài sẽ trở thành một trường hợp đặc biệt. Ta sẽ hiểu lầm FAC và HAB là những đường thẳng đã cho trước, và sẽ chứng minh như sau: Vì AF = AB và AH = AC (gt) Do đó: AFH = ABC Mà: Nên: FM = MA ( Trong một tam giác đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau) T.tự: MH = MA Vậy: FM = MH Chứng minh như vậy, mới xem qua tưởng là đúng lắm rồi. Thực ra không đúng với điều kiện đã cho của đề bài. Vì hai cặp góc đối đỉnh và tam giác vuông ABC đều không có trong bài ra. Phần chứng minh chỉ đúng với một trường hợp đặc biệt. 6. Hình vẽ chính xác mới có thể giúp ta quan sát trong lúc suy diễn và gợi ý cho ta. Như muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, nhìn vào hình vẽ chính xác ta dễ phát hiện hai tam giác bằng nhau có chứa hai đoạn thẳng đó, cộng thêm sự suy diễn của bản thân nữa ta có thể tìm được cách chứng minh một cách dễ dàng. Nếu vẽ tuỳ tiện, không những chẳng có ích gì mà đôi khi còn chứng minh sai. Sau đây là một ví dụ cụ thể. Ví dụ: Chứng minh: “ Mọi tam giác đều cân” Dựng đường phân giác AO của góc A, đường trung trực OD của BC; hai đường gặp nhau tại O; từ O dựng OE AC và OF AB. Nối OB và OC. Ta có: ( OA là phân giác) AFO = AEO ( cạnh huyền góc nhọn) AF = AE và OF = OE (1) Mà: OB = OC ( OD là trung trực của BC) Do đó: BFO = CEO ( cạnh huyền cạnh góc vuông) FB = EC (2) Từ (1) và (2) suy ra: AB = AC Vậy: Tam giác ABC cân tại A Bài ra cho tam giác bất kỳ, Nhưng sao lại cân được? Định lý này chẳng quái lạ lắm hay sao? Nhưng cách chứng minh ở trên có đầy đủ lý do, hình như không có chỗ nào sơ hở cả! Thực ra nếu xem kỹ hình vẽ chúng ta thấy hình vẽ không chính xác nên mới dẫn tới kết luận kỳ quái này. Nếu hình vẽ chính xác, ta sẽ thấy chân của hai đường vuông góc hạ từ O xuống AB và AC không phải đều nằm trong hai đoạn thẳng đó mà một điểm phải nằm trong AC hoặc AB kéo dài. Tuy qua chứng minh vẫn rút ra được AF = AE, FB = EC nhưng hai đẳng thức này không cộng vào nhau để rút ra AB = AC được, nên phần chứng minh trên sai. 7. Đối với hình vẽ trong phần hình học không gian thì học sinh cần phải lưu ý qui tắc vẽ “ Những đường nhìn thấy thì ta vẽ bằng nét liền, những đường không nhìn thấy thì ta vẽ bằng nét đứt.”. Không giống như trong hình học phẳng các khái niệm hình học khi vẽ phải bảo đảm tính chính xác, còn trong không gian thì chỉ mang tính chất trừu tượng. Chẳng hạn: Hai đường thẳng vuông góc trong không gian nhưng khi vẽ trên mặt phẳng thì ta thấy chúng không vuông góc; hoặc hình chữ nhật, hình vuông thì lại vẽ là hình bình hành; Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD EFGH có các kích thước là EH = 8; HG = 6; CG = 4. Tính các cạnh EC và EG Trường hợp này ta thấy các cạnh EF, BF, CE, FG, EG bị các mặt phẳng (ADHE), (ABCD), (DCGH) che khuất nên ta vẽ nét đứt thì hình vẽ dễ nhìn. Do đó ta dễ dàng thấy được các cạnh EC và EG là cạnh huyền của những tam giác vuông EGH và EGC cho nên ta dễ dàng tính được. Còn trong trường hợp này thì hình vẽ khó nhìn hơn. 8. Khi chứng minh định lý hình học, trừ một số bài dễ, phần nhiều phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Vì đường phụ có nhiều loại, nên không có một phương pháp vẽ nhất định, đó là một việc rất khó trong lúc chứng minh một bài toán hình học.Để giúp các em HS có cơ sở vẽ thêm đường phụ khi chứng minh hình học, tôi nêu một số điểm lớn như sau. 8.1. Mục đích của việc vẽ đường phụ. a) Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi ( một hình mới), làm cho chúng có liên hệ với nhau. Ví dụ: Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì hình chiếu của chúng trên một đường thẳng thứ ba cũng bằng nhau. Phân tích: Sự bằng nhau của AB và CD và sự bằng nhau của EF và GH không thấy ngay được là có liên quan với nhau. Hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau là EF và GH. Từ định lý “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”. Ta biết AE//BF//CG//DH và có thể dưng thêm EK//AB và GL//CD để tạo nên hai hình bình hành. Từ định lý “ các cạnh đối của hình bình hành thì bằng nhau” ta có EK = AB, GL = CD. Như vậy ta đã dời vị trí của AB và CD đến EK và GL, để tạo thành hai cạnh tương ứng của hai tam giác EKF và GLH trong đó ta cần chứng minh rằng hai đoạn thẳng EF và GH bằng nhau. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh . b) Tạo nên đoạn thẳng thứ ba hay góc thứ ba làm cho hai đoạn thẳng hay hai góc cần chứng minh trở nên có liên hệ. Ví dụ: Cho hình vẽ, biết . Chứng minh: AB//CD. Phân tích: Từ E dựng EF //AB, nếu chứng minh được EF //CD thì sẽ có AB//CD. c) Tạo nên một đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay đoạn thẳng hay góc cho trước, để đạt được mục đích chứng minh định lý hay bài toán. Ví dụ: Hai đường cao BK và AD của cắt nhau ở G. Đường trung trực của BC và AC cắt nhau ở H( . Chứng minh: AG = 2HE và BG = 2HF. Phân tích: Muốn chứng minh AG = 2HE, ta có thể tìm cách dựng một đoạn thẳng mới bằng 2HE. Nhưng nếu kéo dài HE gấp đôi để đạt được mục trên thì đoạn thẳng đó không có quan hệ gì với AG cả, nên phải nghĩ cách khác. Từ giả thiết E là trung điểm của BC ta thử nối CH và kéo dài đến L, sao cho HL = CH. H là trung điểm của CL, HE trở thành đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam gíac BCL. Từ định lý đường trung bình của tam giác ta có BL = 2HE. Xem kỹ hai đoạn LB và AG, ta có thể chứng minh là cạnh đối của hình bình hành nên giải được bài toán này. d) Tạo nên một đại lượng mới( đoạn thẳng hay góc) bằng nhau; thêm vào những đại lượng bằng nhau mà đề bài đã cho để gíup cho việc chứng minh. 2 1 E D C B A Ví dụ: Chứng minh rằng: Trung tuyến thuộc cạnh huyền của một tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền. Phân tích: Trong bài ra chỉ có một cặp đại lượng bằng nhau là DA = DB, Như vậy không chứng minh được DC = DA. Ta lấy trung điểm AC là E, Nối DE thì ta có thêm một cặp đại lượng mới bằng nhau là AE = EC. Từ định lý đường trung bình của tam gíac và cặp góc đồng vị của hai đường thẳng song ta có thể chứng minh được để rút ra DC = DA. Hoặc chứng minh tam giác ADC cân tại D rồi tút ra kết luận DC = DA. e) Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lý đặc biệt nào đó. Ví dụ: Từ ba đỉnh của một tam giác hạ các đường vuông góc xuống một đường thẳng ở ngoài tam gíac đó. Chứng minh rằng: Tổng độ dài của ba đường vuông góc đó gấp ba lần độ dài của đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm của tam giác xuống cùng đường thẳng đó. Phân tích: Bài này muốn áp dụng ( c) để tạo nên một đoạn thẳng bằng tổng độ dài ba đoạn thẳng kia thì không sao làm được, ta phải nghĩ cách khác. Từ định lý “ Những đường thẳng cùng vuông với một đường thẳng cho trước thì song song với nhau”, ta biết 4 đường thẳng đó song song với nhau. Và từ định lý “ Trọng tâm của một tam giác cách đỉnh một đoạn bằng trung tuyến hạ từ đỉnh đó xuống cạnh đối diện”. Biết BO = 2OE, ta có thể lấy trung điểm của BO là M, dựng MN xy ( N ), EPxy ( P ), tạo nên các hình thang MNPE, BHIO, AGKC có OI, MN, EP là các đường trung bình tương ứng.Áp dụng định lý đường TB của hình thang ta chứng minh được bài toán trên. f) Biến đổi hình vẽ làm cho bài toán dễ chứng minh hơn trước Ví dụ: Một tam giác có hai cạnh không bằng nhau, thì tổng của cạnh lớn và đường cao thuộc cạnh ấy, lớn hơn tổng của cạnh bé và đường cao thuộc cạnh ấy. Phân tích: Nếu tạo nên mợt đoạn thẳng bằng AB + CE và một đoạn thẳng khác bằng AC + BD thì không chứng minh được. Do đó ta phải biến đổi kết luận của bài toán thành: Chuyển vế cuả bất đẳng thức kết luận ta được AB – AC > DD – CE. Trên cạnh lớn AB ta lấy điểm F sao cho AF = AC, thì BF = AB – AC; dựng tạo nên nmột đoạn BH = BD – HD = BD – CE. Như vậy ta đã biến đổi bài tập trên thành một bài tập khác phải chứng minh: BF > BH. 8.2. Các loại đường phụ. a) Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý, hoặc bằng một độ dài cho trước, hoặc cắt một đường thẳng. b) Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm cố định (gồm cả hai trung điểm của hai đoạn thẳng, điểm nằm trên một đoạn thẳng cho trước và cách một đầu của đoạn thẳng đó một khoảng cho trước). c) Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước, hoặc dựng đường thẳng song song với một đường mà ta cần chứng minh đường này song song với một đường nào đó. d) Từ một điểm cho trước hạ đường vuông góc xuống một đường thẳng cho trước. e) Dựng đường phân giác của một góc cho trước. f) Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước. Ví dụ: Chứng minh rằng: Góc tạo bỡi cạnh đáy và đường cao ứng với cạnh bên của một tam giác cân bằng một nửa góc ở đỉnh. Phân tích: Cách 1: Rõ ràng ta thấy . Vì vậy, sự cần thiết ta phải vẽ tia phân giác , từ đó ta cần chứnh minh . Vận dụng tính chất đường phân giác đường phân giác ứng với đỉnh của tam giác cân ta sẽ có điều cần chứng minh. Cách 2: Liệu ta có thể tạo một góc mới có đỉnh là C mà bằng , ví dụ ( trong hình vẽ). Từ đó ta sẽ chứng minh . Ta thấy tam giác BCE cân tại C ( vì có đường cao vừa là đường phân giác ), do đó: Mà : . g) Từ một điểm cho trước, dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước. h) Bài ra cho hai đường tròn giao nhau thì vẽ được dây cung chung hoặc đường nối tâm. i) Bài ra cho hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta dựng được tiếp chung hoặc đường nối tâm. k) Nếu có bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn thì qua bốn điểm đó ta có thể dựng thêm đường tròn phụ. 8.3. Những điểm cần chú ý khi vẽ đường phụ. a) Muốn đường phụ giúp ích cho việc chứng minh thì vẽ đường phụ phải có mục đích, không nên vẽ tùy tiện. Nếu không thì chẳng giúp được gì cho việc chứng minh mà còn làm cho hình vẽ rối thêm, gây hoa mắt khó mà tìm được cách giải đúng. HS nên đặc biệt chú ý phần này. b) Vẽ đường phụ phải tuân theo phép dựng hình cơ bản. Những đường không có trong phép dựng hình cơ bản thì tuyệt đối không được dựng. Ví dụ: ( Trong 6.1 mục d) Căn cứ vào phép dựng hình, ta thấy “ Tìm trung điểm của một đọan thẳng” và “ nối hai điểm cho trước” là các bước hợp lý. Nếu không nói “ Lấy trung điểm của AC là E, nối DE” mà thay bằng cách nói sau: Ø Dựng đường trung trực của AC là DE. Ø Từ D dựng DE//BC sao cho AE = EC. Ø Từ D dựng DE AC sao cho AE = EC Thì đều không hợp lý. Ở trường hợp thứ nhất, đường trung trực của AC chưa chắc đã đi qua D. Ở trường hợp thứ hai và thứ ba, đều chưa thể xác định đường thẳng đó có chia đôi AC hay không, nên trái với phép dựng hình. c) Có khi đường phụ vẽ thêm cũng là một đường nào đó, nhưng vì cách dựng khác nhau nên chứng minh cũng khác nhau. Vì vậy việc trình bày bài giải cũng khác nhau. **************************************** D.CÁCH TIẾN HÀNH VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC I. CÁCH TIẾN HÀNH. Trên cơ sở kết quả điều tra thực tiễn và phân tích một số nguyên nhân làm hạn chế việc “vẽ hình hình học” của học sinh trong hai năm học 2006 – 2007 và 2007 – 2008, giáo viên tiến hành một số biện pháp nhằm giúp cho học sinh khắc phục những tồn tại nêu trên và rèn luyện kỷ năng vẽ hình tốt hơn. 1. Bước 1: Tiến hành chung cho cả ba đối tượng. GV cho học sinh vẽ hình đối với các khái niệm hình học cơ bản đã học ở lớp dưới như: Đoạn thẳng, đường thẳng, tia phân giác của góc;tam giác, trung điểm của đoạn thẳng; đường trung trực của đoạn thẳng; đường trung bình của tam giác; đường trung tuyến của tam giác; đường cao của tam giác; đường phân giác của tam giác; đường trung trực của tam giác GV tập cho học sinh kỷ năng sử dụng các dụng cụ để vẽ đặc biệt là Compa. GV tiến hành trên lớp ở các tiết Luyện tập hoặc cho học sinh về nhà thực hiện sau đó kiểm tra lại ( yêu cầu học sinh thực hiện lại các thao tác đã làm ở nhà). Sau đó giáo viên sửa sai và nhắc lại một số kiến thức có liên quan. Ø Thời gian tiến hành: Thực hiện trong 3 tuần đầu. 2. Bước 2: Tiến hành cho từng nhóm đối tượng a. Nhóm đối tượng I. Ø GV cho học vẽ hình những bài tập đơn giản, ít yếu tố hình học, thôn