Rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh hình học cho học sinh lớp 7

A. Phần mở đầu. I. Lý do chọn đề tài. - Trong quá trình giảng dạy, để đạt được kết quả tốt thì việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh có tầm quan trọng đặc biệt. Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn toán ở trường THCS. Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn toán do vậy việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho hócinh là việc làm hết sức cần thiết. Giải toán hình học là hình thức tốt để rèn luyện các kĩ năng tư duy, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận, tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác. Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành cảm xúc thẩm mĩ qua học tập môn toán. Việc tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy trong suy nghĩ, trong lập luận, trong việc giải quyết vấn đề... qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo và các phẩm chất trí tuệ khác. Bên cạnh đó chúng ta đã biết hình học lớp 7 có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy học toán ở bậc THCS vì ở lớp 7 lần đầu tiên học sinh được làm quen với các định lý hình học, được rèn luyện có hệ thống kĩ năng vẽ hình, vận dụng các định lý, kỹ năng suy luận... đó là các kĩ năng đặc trưng cho tư duy toán học. Việc dạy học giải toán cho học sinh lớp 7 có tầm quan trọng đặc biệt (nhất là đối với hình học) do vậy tôi chọn đề tài: "Rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh hình học cho học sinh lớp 7 ", nhằm mục đích rút ra được các kinh nghiệm bổ ích trong giảng dạy nói chung và giảng dạy hình học nói riêng. II. Mục đích nghiên cứu: Trong quá trình dạy học cũng như trong qáu trình nghiên cứu, tôi đã tích luỹ được một số kinh nghiệm giúp ích cho bản thân, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số kinh nghiệm về vấn đề "Rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh hình học cho học sinh lớp 7 ” để: Trước hết nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán. Sau đó tôi hy vọng những vấn đề được trình bày ở đây sẽ góp được phần vào việc giúp học sinh lớp 7 có những kỹ năng tốt để giải các bài toán hình học. Bên cạnh đó cũng mong muốn rằng đề tài sẽ có thể trở thành tài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo đang giảng dạy hoặc có quan tâm đến môn toán ở bậc THCS của huyện nhà. III. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7A, 7B trường PTDT Nội trú Bá Thước IV. Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu các loaị tài liệu có liên quan đến dạy hình học nói chung và dạy hình học 7 nói riêng . - Bằng thực nghiệm, thực tế giảng dạy trên lớp - Bằng dự giờ và học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp ở trường THCS. V. Nội dung nghiên cứu: - Cơ sở lý luận của việc rèn luyện kĩ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7 ”. - Những kỷ năng về vẽ hình. - Kỹ năng về suy luận, chứng minh. - Kỹ năng đặc biệt hoá. - Kỹ năng tổng quát hoá. - Những điều cần chú ý khi giải toán chứng minh hình học. - Những thiếu sót trong phương pháp giải toán thường gặp ở học sinh. - Hệ thống bài tập ví dụ bám theo chương trình SGK - SBT Toán 7 (có lời giải hoặc hướng dẫn). Vi. Phạm vi nghiên cứu: Những bài toán hình học có kỷ năng vẽ hình, phân tích, chứng minh, bám sát chương trình sách giáo khoa và sách bài tập Toán 7. VII. Những đóng góp mới cũng như thực tiễn của đề tài. Sử dụng đề tài này có thể giúp GV toán đang trực tiếp giảng dạy môn Toán 7 có thể xậy dựng cho mình giáo án dạy học sinh giải tốt bài toán chứng minh hình học, và rèn luyện cho các em có được những kỷ năng tốt nhất trong giải toán, đặc biệt trong các tiết dạy luyện tập và ôn tập chương, trong công tác bồi dưỡng học sinh mũi nhọn. B - Phần nội dung I. Cơ sở lí luận. Hình học là môn học suy diễn bằng lý luận chặt chẽ, từ những nguyên nhân nào đó nhất thiết phải suy ra kết luận chính xác, không mơ hồ. Mỗi một câu nói trong lúc chứng minh đều phải có lý do xác đáng, tuyệt đối không qua loa được. Người mới học nên tuân theo những quy cách nhất định. Khi học hình mà miễn cưỡng nhớ được các định nghĩa, định lý thì khi chứng minh bài tập sẽ thấy khó và nhiều khi không làm được. Nói đến kỹ năng giải toán chứng minh hình học chính là: Những thao tác tư duy chính xác, khoa học, những suy diễn có lôgíc. Chứng minh hình học không giống như số học chỉ áp dụng các quy tắc cố định, hay như đại số đã có sẵn các công thức, mà phải nắm vững phương pháp suy xét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một cách khoa học, lôgíc. Khi giải một bài toán chứng minh hình học ta thường thực hiện theo các bước sau: * Phần chuẩn bị. - Đọc kỹ đề bài một lượt, phải hiểu rõ tất cả các danh từ trong bài, nhằm hoàn toàn hiểu ý của bài tập đó. - Phân biệt phần giả thiết và kết luận của bài toán, rồi dựa vào những điều đã cho trong giả thiết để vẽ hình, dùng chữ để làm kí hiệu những đường thẳng và điểm, các giao điểm, hai đầu mút của đoạn thẳng. - Dựa vào bài toán và các ký hiệu trong hình vẽ để viết giả thiết, kết luận; thay những danh từ toán học trong bài bằng ký hiệu, làm cho bài toán đơn giản và dễ hiểu. -Tìm hiểu các định lý, tính chất phục vụ cho việc giải bài toán. * Phần chứng minh. - Suy sét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một, phân tích từng chi tiết, nghiên cứu từng điều kiện, để tìm ra cách giải của bài toán. - Trình bày phần chứng minh. Phương pháp chủ yếu dùng để chứng minh hình học chính là phương pháp phân tích - Bắt đầu từ kết luận, tìm những điều kiện cần phải có để dẫn đến kết luận đó, rồi nghiên cứu từng điều kiện, xem xét điều kiện nào có thể đứng vững được, ngoài ra cần có những điều kiện gì nữa. Cứ như vậy suy ngược từng bước cho đến lúc những điều kiện cần thiết phù hợp với giả thiết mới thôi. Còn khi chứng minh ta bắt đầu từ giả thiết, từ những điều kiện đã biết (tiên đề, định lý, định nghĩa) chọn ra những điều thích hợp, từng bước một suy ra kết luận. Đó chính là phương pháp tổng hợp. Phương pháp phân tích là từ kết luân đi ngược lên giả thiết, chứng minh hơi phiền nhưng lại dễ phát hiện các điều kiện liên quan đến việc chứng minh, dễ tìm ra manh mối hơn. Phương pháp tổng hợp là từ giả thiết mà suy ra kết luận chứng minh đơn giản hơn, nhưng muốn chọn được những điều kiện cần thiết và thích hợp cho việc chứng minh trong rất nhiều điều kiện khác thì phiền hơn, và đôi khi không làm được. Ii. Thực trạng của vấn đề: Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc giải toán hình học, mà tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể chúng ta có các cách giải hợp lý để được đến những kết quả hay và độc đáo, hay nói cách khác đó là một sự sáng tạo trong khi giải toán. Hơn nữa, đối với các em học sinh lớp 7 bước đầu là quen với việc chứng minh hình học nên các em còn rất yếu trong các kỷ năng giải toán. Như kỹ năng vẽ hình, vận dụng định lý vào chứng minh, suy luận để tìm hướng giải và trình bày một bài toán chứng minh. Đặc biệt nhất là kỹ năng suy luận và chứng minh. Chính vì vậy việc rèn luyện các kỹ năng giải toán chứng minh hình học cho các em là công việc cần thiết và quan trọng trong quá trình giải toán hình học, tạo nền tảng khi học lên các lớp tiếp theo. Hơn thế nữa trong các tiết luyện tập và ôn tập chương việc rèn luyện kỹ năng giải toán lại rất quan trọng. Khi giải toán chứng minh hình học với học sinh thường có tư tưởng hoang mang, lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu . Gặp một bài tập là muốn chứng minh ngay nếu gặp bài dễ thì chứng minh được nếu gặp bài khó thì đành chịu. Bài không làm được có nhiều nguyên nhân, nhưng nguyên nhân chủ yếu là bỏ qua phần chuẩn bị cần thiết trong đó có khâu vẽ hình. Hơn nữa hình vẽ phải chính xác mới có thể giúp ta quan sát trong lúc suy diễn và gợi ý cho ta cách giải, nếu vẽ tuỳ tiện không những chẳng có ích gì, mà đôi khi còn giải sai, đó chỉ mới là khâu chuẩn bị trước khi giải toán. Còn khi bắt tay vào chứng minh đa số các em không biết bắt đầu từ đâu và làm như thế nào đặc biết nhất là khâu trình bày như thế nào cho đầy đủ và khoa học. Đối với các em học sinh lớp 7 bước đầu giải toán hình học, nếu các em mắc phải một số sai lầm mà không kịp thời sửa chữa thì sau một thời gian dài các em khó uốn nắn được và khi đó sẽ thu được kết quả học tập không như ý muốn, thậm chí còn hoàn toàn bó tay trước môn học. Đối với giáo viên vấn đề rèn luyện các kỹ năng giải toán chứng minh hình học cho học sinh không phải ai cũng làm được tốt. Vậy muốn làm tốt điều này yêu cầu người thầy phải có được những đúc rút kinh nghiệm cho riêng mình, từ đó truyền cho học sinh những cách quan sát, phát hiện, dự đoán để có những sáng tạo hợp lý. Bên cạnh đó người thầy phải luôn tự học tự bồi dưỡng để trang bị cho mình vốn kiến thức cần thiết. Đây là một thực trạng mà người dạy toán và những người quan tâm đến việc dạy và học môn toán ở trường THCS cần phải nhân thức rõ và làm tốt. Trong năm học 2004 - 2005 khi chưa áp dụng kinh nghiệm này, thì kết quả của học sinh khối 7 như sau: Xếp loại Lớp Giỏi Khá T.bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 7A 3 10,0 6 20,0 14 46,7 6 20,0 1 3,3 7B 2 6,7 4 13,3 15 50,0 7 23,3 2 6,7 IIi. Những kinh nghiệm trong rèn luyện kỹ năng giải toán hình học cho học sinh lớp 7. Trong quá trình giảng dạy phần hình học 7 ta cần lưu ý rèn luyện một số kỹ năng khi giải toán chứng minh: - Kỹ năng vẽ hình. - Kỹ năng suy luận và chứng minh. - Kỹ năng vận dụng định lý. - Kỹ năng đặc biệt hoá. - Kỹ năng tổng quát hoá. 1. Rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Hình vẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giải toán, hình vẽ chính xác, rõ ràng sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải bài toán. Một số học sinh vẽ hình không chính xác cho bài toán, bởi vậy tôi luôn chú ý đầu tiên phải hướng dẫn giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Ví dụ 1: (Bài 14 sách bài tập toán tập 1 trang 75) Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau: Vẽ góc xOy có số đo bằng 600. Lấy điểm A vẽ trên tia Ox, rồi vẽ đường thẳng d1 vuông góc với tia Ox tại A. lấy điểm B trên tia Oy rồi vẽ đường thẳng d2 vuông góc với tia Oy tại B gọi giao điểm của d1 là C. Phân tích: Bài tập này là yêu cầu học sinh vẽ góc 600 phải chính xác thông thường học sinh thường mắc các lỗi sau: - Vẽ góc 600 không chính xác. - Vẽ các đường thẳng vuông góc không chính xác. - Không xét hết các trường hợp có thể vẽ được. 0 d2 x A 600 B d1 y C x A 0 600 B y C d2 0 600 d2 y d1 x C A B Đối với tài tập này thì không thể vẽ chừng được và phải phân biệt giữa bài toán dựng hình và bài toán vẽ hình để chứng minh, cần có độ chính xác khác nhau, ngoài ra cần chú ý cho học sinh có nhiều hình vẽ khác nhau tuỳ theo vị trí điểm A, B được chọn. Ví dụ 2: Vẽ D ABC cân tại A. - Khi vẽ D cân một số học sinh yếu thường vẽ không chính xác bởi vậy tôi thường hướng dẫn cho học sinh vẽ cạnh đáy trước, sau đó dựng trung trực của cạnh đáy, trên trung trực đó lấy một điểm bất kỳ (điểm đó khác trung điểm của cạnh đáy) nối điểm đó với hai đầu của đoạn thẳng chứa cạnh đáy ta sẽ được D cân. - Hoặc ta vẽ cạnh đáy trước, sau đó trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh đáy ta vẽ hai góc cùng hợp với cạnh đáy hai góc bằng nhau. (thường khác 600) ta sẽ được D cân. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy một số học sinh khi làm bài tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, hình vẽ không chính xác hoặc vẽ không hết các trường hợp. Ví dụ 3: (Bàì tập 77 trang 32 SBT Toán tập II) Cho D ABC có AH là đường cao, AM là trung tuyến Trên tia đối của HA lấy điểm E sao cho HE = HA Trên tia đối của MA lấy điểm I sao cho MI = MA. Nối B với E, C với I. Chứng minh BE = CI. Phân tích: Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt: D ABC cân tại A thì lúc này đường cao AH và trung tuyến AM sẽ trùng nhau. Dẫn đến việc giải bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt. Do vậy: Để giúp học sinh tránh được những sai lầm này trong dạy học tôi luôn lưu ý nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không nên vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác sẽ dễ quan sát, giúp ích rất nhiều cho việc chứng minh. 2. Rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh. Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt và học sinh cần có kỹ năng này không những chỉ khi giải toán chứng minh mà cả khi các bài toán về quỹ tích dựng hình và một số bài toán tính toán. 2.1. Rèn luyện kỹ năng vận dụng định lý. Chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng định lý vận và khi xét một vấn đề phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra. Ví dụ 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? A. Hai góc có chung đỉnh và bằng nhau thì đối đỉnh. B. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh. C. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Đây là dạng bài tập trắc nghiệm, chỉ yêu cầu học sinh lựa chon phương án, không cần giải thích. Vậy nên học sinh thường hay lựa chọn sai vì những lý do sau: Không nắm chắc định lý “Hai góc đối đỉnh”, không phân biệt rõ phần giả thiết và kết luận, dẫn đến cách suy luận không đúng và chọn khẳng định B là đúng. Còn nếu chọn khẳng định A là đúng, tức là các em chưa xét hết các trường hợp có thể xảy ra, hoặc chưa nắm rõ khi nào một khẳng định được coi là đúng và khi nào được coi là sai. Vì vậy để rèn luyện tốt kỹ năng giải toán, trước hết phải yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức, nhớ được các định lý, tính chất hình học và vận dụng đúng, phù hợp. 2.2. Rèn luyên kỹ năng nhận dạng và vận dụng các định lý. 2.2.1. Các định lý, tính chất mà học sinh cần nắm vững trong chương trình hình học lớp 7: - Ba định lý về quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc. - Một số tính chất của tam giác: Các định lý về tổng các góc của tam giác, về góc ngoài của tam giác. - Tính chất và cách nhận biết một số dạng của tam giác đặc biệt: Tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân. - Định lý Pytago áp dụng cho tam giác vuông. - Ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác. - Các trường hợp bằng nhau của hai tam gíc vuông. - Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác. - Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác - Bất đẳng thức tam giác. - Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu. - Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng. - Tính chất các đường đồng quy trong tam giác: Ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao. Ngài ra đối với học sinh mũi nhọn (khá, giỏi) cần nắm thêm một số tính chất sau: - Tính chất đường trung bình của tam giác. - Góc có cạnh tương ứng song song và tương ứng vuông góc. - Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một phần hai cạnh huyền. - Trong tam giác vuông cạch đối diện với góc 300 bằng một phần hai cạnh huyền. 2.2.2. Rèn luyện kỹ năng vận dụng các định lý cho học sinh Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh cho học sinh nên bắt đầu bằng việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lý và vận dụng các định lí. Nhận dạng một định lý là phát hiện xem một tình huống cho trước có khớp với một định lý nào đó hay không, còn vận dụng định lý là xem xét xem trong bài toán đang giải có những tình huống nào ăn khớp với các định lí đã được học. Ví dụ 5: (Bài 81 SBT tập 2 trang 33) Cho D ABC qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành D DEF. Chứng minh rằng A là trung điểm của EF. F A B D C E Phân tích: - Để chứng minh A là trung điểm của EF ta phải chứng minh AE = AF - ở bài này để có điều trên ta cần chứng minh AE = BC và AF = BC - Muốn vậy ta có thể ghép D ABC với 2 tam giác đó là D CEA và D BAF. - Để giải quyết được vấn đề này thì phải vận dụng định lý, tính chất nào ? GV lập sơ đồ phân tích như sau: A là trung điểm của EF ĩ AE = AF ĩ AE = BC và AF = BC ĩ D ABC = D CEA ĩ CAB = ACE và ABC = CAE và D ABC = D BAF ĩ BAC = ABE và FAB = ABC. Cụ thể: Ta có AC: cạnh chung CAB = ACE ( so le trong, AB // DE) ABC = CAE (so le trong, BC // EF) Do đó D ABC = D CEA (g.c.g) => BC = AE Chứng minh tương tự ta có: BC = AF. Do đó A là trung điểm của EF Như vậy học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với định lý về tính chất 2 đường thẳng song song và định lý: "Nếu hai DABC và DA'B'C' có AB = A'B', AC = A'C', = thì hai tam giác đó bằng nhau". 2.3. Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp. Thông thường để hướng dẫn học sinh tìm lời giải ta thường dùng phương pháp phân tích (đi từ kết luận đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì trình bày theo phương pháp tổng hợp (đi từ giả thiết suy ra kết luận).Cho nên khi chứnh minh một bài tập hình ta thường sử dụng phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh. Ví dụ 6: (Bài 43 SGK tập 1 trang 125) Cho góc xOy khác góc bẹt, lấy các điểm A, B ẻ tia Ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm C, D ẻ tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB, gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: D EAB = D ECD Phân tích: - Để chứng minh D EAB = D ECD - Xét EAB và ECD đã có những yếu tố nào bằng nhau ? - Để kết luận EAB = ECD ta cần có thêm điều kiện gì ? A 2 1 B C D x O y E 1 2 - Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần ghép chúng vào các tam giác nào ? Với việc phân tích trên được gọi là suy luận ngược. Từ kết luận của bài toán ta suy luận đến khi cần điều kiện của giả thiết. Ta có sơ đồ phân tích sau: D EAB = D ECD ĩ Â2 = và AB = CD ĩ AOD = COB Cụ thể: Xét AOD và COB Â chung ; OA = OC (gt); OB = OD (gt) => AOD = COB (c.g.c) => do đó Â2 = => EAB = ECD (g.c.g) Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh lớp 7 của chúng ta mới tập giải toán chứng minh. Do vậy khi dạy tôi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh xắp xếp các luận cứ sao cho lôgic, chặt chẽ. Như ở ví dụ trên tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh suy luận đề dẫn đến việc chứng minh AOD = COB. 2.4. Quy tắc suy luận. Khi dạy giải bài tập thì giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc quy nạp và quy tắc diễn dịch. - Quy tắc quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát. Quy tắc quy nạp, thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. - Quy tắc diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể. - Trong quá trình giải toán, nhiều khi phải phân chia ra các trường hợp có thể xảy ra, các trường hợp riêng, nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đến kết luận hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng ta cần chú ý cho học sinh năng lực phân chia ra các trường hợp riêng. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CE, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho DB = BA. Chứng minh DC = 2 CE. Phân tích: - Muốn chứng minh DC = 2CE ta phải có 1 trong 2 điều kiện sau: đk1: 1/2 độ dài CD = độ dài CE. đk2: 2 lần độ dài CE = độ dài CD - Nếu lấy đk1, để có 1/2CD = CE thì phải chia CD ở F sao cho DF = FC và nghiên cứu xem có hợp với một trong hai điều kiện sau không: đk3: CF = CE đk4: DF = CF - Nếu lấy đk 3, để CF = CE ta cần phải có một trong những điều kiện sau: đk5: CF và CE là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. đk6: CF và CE đều bằng một đoạn thẳng…….. - Nếu lấy đk5 thì phải nối BF và muốn chứng minh DBFC = DBEC lại cần phải có 1 trong các điều kiện sau: đk7: BE = BF; ; BC cạnh chung (c.g.c) đk8: ; BCF = BCE ; BC canh chung ( g.c.g)….. Nghiên cứu kỹ đk 7 và đk 8 ta thấy đk 7 là phù hợp với giả thiết BF là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh nên bằng 1/2AC. Theo giả thiết thì AB = AC, BE = 1/2AB. Thay vào sẽ được BF = BE. Và vì BF // AC nên B = ACB (so le). Mà DABC cân suy ra B1 = ACB suy ra B1 = B2 còn BC là cạnh chung. Cuối cùng D BCF = D BCE suy ra CD = 2CE. Ta có sơ đồ phân tích sau: DC = 2CE ĩ1/2CD = CE ĩ DF = FC và CF = CE ĩ DBFC = DBEC ĩ ĩ BE = BF; ; BC cạnh chung Với cách hướng dẫn như trên, học sinh có thể giải quyết bài toán bằng các cách khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn các điều kiện. Vì vậy giáo viên khi hướng dẫn học sinh lớp 7 cách suy luận tìm hướng chứng minh bài toán, thông thường dùng phương pháp phân tích, không những các em chọn được phương án thích hợp mà còn có nhiều cách giải khác và củng cố kiến thức. 3. Kỹ năng đặc biệt hoá. Đặc biệt hoá là chuyển từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang trường hợp đặc biệt. Ta thừng dặc biệt hoá bài toán bằng cách: - Thay biến số bởi hằng số, cho các số đo góc bằng các số cụ thể, chẳng hạn thay góc a bởi a = 900. - Thay các điều kiện bài toán bởi các điều kiện hẹp hơn, chẳng hạn thay DABC có B > C bởi DABC có góc B = 900. - Thay vị trí bất kỳ của một điểm , của một hình bằng vị trí đặc biệt của nó. - Bổ sung thêm các quan hệ mới vào bài toán, chẳng hạn trong các tam giác ABC , xét tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện AB = AC). Ta biết rằng một tính chất đúng trong trường hợp chung thì cũng đúng trong trường hợp đặc biệt , một tính chất sai trong trường hợp đặc biệt thì cũng sai trong trường hợp chung. Do đó phương pháp đặc biệt hoá dùng để: - Bác bỏ một mệnh đề. điều này được áp dụng rất nhiều đối với các dạng bài tập trắc nghiệm. - Phát hiện một tính chất. - Dự đoán một kết quả. - Xét trường hợp đặc biệt trước rồi sử dụng kết quả đó để chứng minh đối với các trường hợp còn lại. Ví dụ 8 : Mệnh đề sau đúng hay sai? Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau từng đôi một và một cặp góc bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau. Phân tích: Để bác bỏ mệnh đề trên chỉ cần nêu ra một trường hợp đặc biệt: tồn tại một hình thoả mãn giả thiết của mệnh đề nhưng không đúng với kết luận của mệnh đề ấy. Chẳng hạn, vẽ DABC có AB = AC rồi lấy D trên tia đối của tia CB. Các tam giác ABD và ACD có cạnh AD chung, AB = AC, ABD = ADC nhưng hai tam giá đó không bằng nhau. Ví dụ 9 : Chứng minh rằng trong hai đường xiên AB, AC kẻ từ A đến đường thẳng a , đườn xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Phân tích: Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến a. Trước hết ta xét trường hợp B và C thuộc cùng một tia gốc H ( hình a) sau đoa áp dụng trường hợp này vào trường hợp B và C thuộc hai tia đối nhau gốc H ( hình b) bằng cách vẽ điểm C’ sao cho H là trung điểm của CC’. 4. Kỹ năng tổng quát hoá: Để góp phần rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh trong một số trường hợp, nên hướng dẫn học sinh tổng quát hoá các bài toán. Tổng quát hoá, tức là từ trường hợp đặc biệt chuyển sang trường hợp tổng quát hơn. Ta thường tổng quát hoá bài toán bằng cách: - Thay thay hằng số bởi biến số, chẳng hạn thay góc 1200 bằng góc a. - Thay điều kiện trong bài toán bằng điều kiện “rộng hơn” ( điều kiện cũ là trường hợp riệng). - Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kỳ của nó, chẳng hạn thay trọng tâm của tam giác bởi một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. - Bỏ bớt một điều kiện của giả thiết để có bài toán tổng quát hơn, chẳng hạn thay một tam giác vuông bởi một tam giác bất kỳ. Tác dụng của tổng quát hoá: Nếu bài toán tổng quát vẫn đúng, ta có bài toán “mạnh hơn” bài toán ban đầu, đúng với một lớp đối tượng rộng hơn so với bài toán ban đầu. Nhờ tổng quát hoá mà ta có thể đi đến công thức tổng quát, giải được bài toán tương tự nhưng khó hơn. Hơn nữa khi tìm hướng giải của bài toán ta xét trường hợp đặc biệt rồi suy ra cách giải của bài toán. Ví dụ 10: (Bài tập 51 SBT tập 2 trang 29) A D C B E 2 1 I a 2 1 Tính góc A của ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I. Trong đó góc BIC bằng: a. 120o b. ) Phân tích : Bài toán trên câu a là trường hợp riêng của câu b. Nếu không có câu a thì việc tìm lời giải cho câu b gặp nhiều khó khăn hơn. a. BIC có BIC= 120o nên => do đó Â = 180o - 120o = 60o b. Â = = Ví dụ 11: ( Bài tập 8 SBT Tập 2 trang 25) Cho tam giác ABC có , phân giác AD. Chứng minh rằng: BD < DC. Phân tích: Bài toán này đối với học sinh đại trà thì khó tìm ra hướng giải luôn. Nhưng nếu thay một dự kiện của bài toán là góc B = 900, thì bài toán sẽ đơn giản, và tìm ra cách giải ngay. Như vậy ví dụ 9 là trường hợp tổng quát của bài toán sau: Cho tam giác ABC có , phân giác AD. Chứng minh rằng: BD < DC. Cụ thể: Để có DC > DB ta phải vẽ một đoạn thẳng thoả mãn điều kiện bằng DB và có liên quan đến DC. Vậy ta kẻ DE ^ AC là hợp lý. Ta có DADB = DAED ị DB = DE Ta xét DEDC có DC > DE ( cạnh huyền > cạnh góc vuông) - Nếu giáo viên hướng dẫn học sinh giải được bài toán trên thì từ đó các em có thể tự giải được ví dụ 9. ở ví dụ 9 có tổng quát hơn là phải so sánh DE với DC khi DDEC không phải là tam giác vuông. Cụ thể: Do nên AC > AB Trên cạnh AC lấy AE = AB. Ta có DABD = ADE (c.g.c) nên BD = DE và DEC = DBx. Nhưng DBx > C nên DEC > C. Do đó DC > DE. Vậy BD < DC 5. Những điều lưu ý khi hướng dẫn học sinh chứng minh hình học. 5.1. Hướng dẫn học sinh các kỹ năng tìm lời giải trong chứng minh là quan trọng, nhưng việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng trình bày chứng minh cũn