Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

I.Lý DO CHọN Đề TàI Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh được làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại tán này tiếp tục đựơc dạy kỹ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kỳ, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, lớp 10, tuyển sinh vào các trường THPT, chuyên Hạ Long......... Một số em chưa biết cách làm loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức còn có các dạng toán: giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên.... Vì vậy, phần trên mà không rút gọn đượcbiểu thức thì học sinh không thực hiện tiếp được các bài toán tiếp theo cần có kết quả của rút gọn biểu thức. Vậy cách trình bày 1 bài toán rút gọn biểu thức như thế nào, phương pháp giải bài toán đó ra sao. Trong bài viết này tôi xin đóng góp vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh thực hiện tốt loại toán đó. II.NộI DUNG Đề TàI A.Phương pháp giải Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa ( mà ta gọi tắt là tìm “ điều kiện xác định” cho những biểu thức chứa chữ) Quy đồng mẫu số chung (nếu có) Đưa bớt thừa số chung ra ngoài căn thức (nếu có) Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn Cộng trừ các số hạng đồng dạng Với điều kiện xác định đã tìm được, trả lời kết quả rút gọn của biểu thức A B.CáC Ví Dụ MINH HọA 1. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức Giải: 2. Ví dụ 2: Cho A = (với x > 0; x 4) Rút gọn biểu thức Tìm giá trị nguyên của x sao cho 2A-1 0 (Đề thi tốt nghiệp lớp 9 Quảng Ninh năm 2002- 2003) (2 điểm) Giải: Với x > 0 và x 4 2A - 1 0 (ĐK: x > 0 và x 4) ( bình phương 2 vế không âm) thỏa mãn điều kiện x > 0 và x4 Kết luận: Với thì 2A - 1 0 3. Ví dụ 3:( Đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội năm 2001- 2002) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị của x thỏa mãn P < 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P Giải: ĐKXĐ: Điều kiện để biểu thức P có nghĩa là x0 và x 1 Rút gọn: Với x 0 và x 1 (Thêm điều kiện x4) Với x 0 ; x 1 và x 4 thì biểu thức P = b) P < 0 (Điều kiện : ) (Vì ) Kết hợp với điều kiện phần a với thì P < 0 c) P có GTNN có GTNN có GTNN ( do phân thức có tử và mẫu dương) có GTNN (Thỏa mãn điều kiện xác định) Kết luận: Với x = 0 thì P có GTNN là 4. Ví dụ 4: Cho biểu thức P = Rút gọn biểu thức Tính giá trị của biểu thức P khi x= Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị lớn nhất. Giải: Xét: * ĐKXĐ: Với và thì biểu thức P có nghĩa Với và ta có: P = Với và thì biểu thức P có kết quả rút gọn là: hoặc b) Với thay vào biểu thức P = ta được P = Với giá trị x= (thỏa mãn điều kiện xác định ) Thì P = c) P có GTLN có GTNN do ( Thỏa mãn điều kiện ) Thay vào P ta được P = 5. Ví dụ 5( Đề thi THCS của thành phố Hà Nội năm 2002-2003) (2,5 đ) Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P =-1 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: Giải: Xét: ĐKXĐ: Với x > 0 và có: P = ( Thêm ĐK x9) Với x > 0 , x thì P = P =-1 ( ĐK: x > 0, ) Đặt điều kiện y > 0 Ta có phương trình: Các hệ số a + b + c = 4- 1-3 =0 (không thỏa mãn điều kiện y > 0) ( thỏa mãn điều kiện y > 0) Với thì x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với x = thì P = - 1 c) (ĐK: x > 0; ) ( do 4x > 0) Xét Có x > 9 ( thỏa mãn điều kiện xác định) ( hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có cùng mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn) Theo kết quả phần trên ta có: Kết luận: với thì 6. Ví dụ 6 ( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm học 2005-2006) Cho biểu thức: P(x) = Tìm x để P(x) có nghĩa và rút gọn P(x) Giải phương trình P(x) = (2,5 đ) Giải: Xét: P có nghĩa Vậy với thì biểu thức P (x) có nghĩa Với thì: P(x) = Kết luận : Vậy với thì P(x) = ( ĐK: ) Đặt ĐK: Ta có phương trình : Các hệ số: a + b +c = 1- 4 + 3 =0 ; (thỏa mãn điều kiện y > Với ( thỏa mãn ĐKXĐ) ( không thỏa mãn ĐKXĐ) Kết luận: Nghiệm của phương trình P(x)= là x = 1 7. Ví dụ 7:( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm học 1999-2000) Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P với x = c) Tìm các giá trị chính phương x để P có giá trị nguyên (3 đ) Giải: Xét: nên : ĐKXĐ: Với thì P có nghĩa Có: Điều kiện để phép chia thực hiện được là x0 Vậy ĐKXĐ của P là : x > 0 và x Với x > 0 và x ta đặt P =A : B A = Vậy P = Với x > 0 và thì P = b) Thay vào P ta được : P = * Với x = thì P = c) Theo kết quả phần a ta có: P = Vì x là số chính phương nên P có giá trị nguyên có giá trị nguyên Ư (4) 1 -1 2 - 2 4 - 4 x 1 Không xđ 4 Không xđ 16 Không xđ Với x =1 và x = 16 thỏa mãn điều kiện xác định phần a x = 4 không thỏa mãn điều kiện xác định phần a * Với các số chính phương x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên 8. Ví dụ 8:( Đề ôn thi tốt nghiệp THCS của SGD) Chứng minh: Giải: Điều kiện để đẳng thức có nghĩa: Với biến đổi vế trái: Sau khi biến đổi, vế trái có kết quả bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh. C. MộT Số BàI TOáN Về RúT GọN BIểU THứC Bài 1:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2000 - 2001) Cho biểu thức: A = Rút gọn biểu thức A Tính giá trị của A khi x = và y = (2 đ) Bài 2:(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2003 – 2004) Cho biểu thức: P = Rút gọn P Tìm x để P < Tìm giá trị nhỏ nhất của P (2đ) Bài 3:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2002 – 2003) Cho biểu thức: P = với a. Rút gon biểu thức b. Tìm giá trị của a để biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất (2,5đ) Bài 4:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2001 – 2002) Cho biểu thức: A = Rút gọn biểu thức Với giá trị nào của k, phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: (2,5đ) Bài 5:( Đề thi dự bị tốt nghiệp lớp 9 năm học 2001 – 2002) Cho biểu thức: A = với x >0, x Rút gọn biểu thức Với giá trị nào của x thì A = 3 (2đ) Bài 6:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2000 – 2001) Cho biểu thức: A = với x > 0 a. Rút gọn biểu thức A b. Tính các giá trị của biểu thức A khi x = c. Tìm các giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên (2,5đ) Bài 7:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2003 – 2004) a.Thực hiện phép tính b. Gọi là 2 nghiệm của phương trình : Tìm giá trị của m để: (2đ) Bài 8:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2004 – 2005) 1.Tính giá trị của biểu thức 2. Cho phương trình bậc 2: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt Gọi là 2 nghiệm của phương trình (*), hãy tính: theo m (2,5đ) Bài 9:( Đề thi tốt nghiệp của Hà Nội năm học 2000 – 2001) Cho biểu thức: P = a. Rút gọn P b. Tính giá trị của P biết x = c. Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn: (2,5đ) Bài 10:( Đề thi tốt nghiệp của Hà Nội năm học 2003 – 2004) Cho biểu thức: P = Rút gọn P Tính giá trị của P biết x = Tìm giá trị của x thỏa mãn: (2,5đ) III. PHƯƠNG PHáP TIếN HàNH: Trong giờ học chính khóa, tôi giảng dạy các bài tập cơ bản cùng lời giải mẫu để học sinh hình thành kỹ năng, phương pháp giải các bài toán này, cho học sinh thực hành các bài tập tương tự ngay tại lớp. Đặc biệt, trong các giờ luyện tập, ôn tập chương, giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập. Khi giải cần chú ý cách trình bày linh hoạt, sáng tạo cho mỗi dạng bài rút gọn. Cho học sinh làm quen với các dạng bài rút gọn biểu thức trong các đề thi học kỳ, tốt nghiệp lớp 9, tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long để học sinh thấy tầm quan trọng của loại toán này. Thời gian trên lớp có hạn, tôi ch học sinh chép các đề thi này về giải ở nhà, giáo viên chữa trong các giờ ôn tập, luyện chuyên sâu để học sinh thấy được phần đúng sai, rút kinh nghiệm về cách trình bày của mình. IV.PHạM VI, ĐốI TUợNG NGHIÊN CứU Học sinh khối lớp 8, 9 truờng THPT Hòn Gai. V. TổNG KếT Và RúT KINH NGHIệM Qua áp dụng vấn đề trên vào giảng dạy ở khối lớp 8, 9 kết quả thu được là học sinh đã hình thành, định hướng cách giải loại toán này. Bằng phương pháp gợi mở, nêu vấn đề, các câu hỏi dẫn dắt các em tự phát hiện ra hướng giải cho từng loại bài tập, giáo viên tạo ra hứng thú, phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh. Từ năm lớp 8, các em đã định hướng được cách thực hiện loại toán rút gọn biểu thức và các bài toán về rút gọn biểu thức và thực hiện tốt. Đến năm học lớp 9, vận dụng thêm các phép toán về căn bậc 2, học sinh thực hiện được các phép rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai một cách nhanh chóng. Các kỳ thi tốt nghiệp lớp 9 ở các lớp tôi phụ trách, học sinh đạt điểm trung bình trở lên 100%, trong đó có năm đạt điểm khá giỏi 100%. ( Chỉ có 2 học sinh đạt loại khá, còn lại đều đạt loại giỏi môn toán) VI . CáC TàI LIệU THAM KHảO KHI GIảNG DạY LOạI TOáN RúT GọN BIểU THứC Sách giáo khoa lớp 8, 9 cải cách Các đề thi tốt nghiệp lớp 9 của Quảng Ninh Các đề thi tốt nghiệp lớp 9 của Hà Nội Các đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long 36 bộ đề Toán 9 của Võ Đại Mau Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 9 của Võ Đại Mau Bài tập nâng cao đại 9 của Vũ Hữu Bình Toán nâng cao và các chuyên đề toán 9 của Nguyễn Ngọc Đạm Luyện tập đại số 9 của Nguyễn Bá Hòa Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 9 của Bùi Văn Tuyên NGƯờI VIếT Đề TàI Bùi Thị Thúy Nga