Sáng kiến king nghiệm - Phân tích đa thức thành nhân tử

phần một : mở đầu 1.L‏‎‎‎‏ý do chọn đề tài. Đa thức và phân tích đa thức thành phân tử là một trong những nội dung kiến thức cơ bản, trọng tâm trong chương trình toán ở trường phổ thông. Đặc biệt là chương trình Đại số ở trường THCS, nó là cơ sở xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài toán khác nhau trong chương trình như : Quy đồng và rút gọn phân thức, giải phương trình, nhất là phương trình bậc cao, giải bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm cực trị. Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm được lời giải và lời giải tối ưu cho một bài toán. Nhưng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn đối với học sinh, đó là trong trường hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu áp dụng những phương pháp thông thường đã được học như trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích được thành nhân tử. Ngoài ra còn có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể phân tích được thành nhân tử. Vì vậy một câu hỏi thường được đặt ra trong trường hợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích được thành nhân tử ? Nếu trả lời được câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải được một cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể. Ví dụ: Khi xét một phương trình bậc hai, học sinh có thể kết luận được phương trình đó có hay không có nghiệm thực mà không cần giải phương trình . Bên cạnh đó ngoài những phương pháp thông thường còn có thể sử dụng một số phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trường hợp nhất định, những phương pháp này trong trương trình của sách giáo khoa chưa có điều kiện để đề cập đến nhưng nếu được giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể có hiểu được một cách toàn diện hơn về lý thuyết có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp một cách nhanh chóng . Để có thể cung cấp cho học sinh một cách hệ thống đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần phải hiểu và nắm vững các kiến thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức một cách chính xác, có hệ thống, hiểu được gốc của mọi vấn đề. Từ đó giáo viên biết được phải cho và chỉ cần cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có thể vận dụng hợp lý, đưa vào bài giảng của mình những nội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh, đưa ra những bài tập thích hợp . 2. Mục đích nghiên cứu : - Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết trường vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình đại số ở các lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp. 3. Nhiêm vụ nghiên cứu: 3.1. Về lý thuyết: - Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản : + Các cấu trúc đại số : Nhóm, vành,Trường, vành đa thức. + Các khái niệm về đa thức, nghiệm của da thức, đa thức bất khả quy. +Một số định lý về nghiệm của đa thức. +Một số định lý, mệnh đề về phân tích đa thức thành tích của các đa thức bất khả quy 3.2. Về thực tiễn giảng dạy: - Nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa để nắm được mức độ, giới hạn nộidung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh. - Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình đại số THCS. - Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức thành nhân tử. 4. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. - Phương pháp thử nghiệm sư phạm. - Phương pháp điều tra thực tiễn. 5.Giới hạn phạm vi nghiên cứu. - Đề tài chỉ tâp trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa thức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức ( một ẩn ) thành nhân tử ở chương trình đại số lớp 8 và ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các phương trình bậc cao cho học sinh trong việc mở rộng kiến thức. 1.1.Định nghĩa nhóm, nhóm giao hoán, nhóm: Một vị nhóm A được gọi là một nhóm nếu với mỗi phần tử a ẻ A sao cho aa’ = e = a’a. a’ được gọi là phần tử nghịch đảo của a và được ký hiệu bởi a-1 - Một vị nhóm cộng A được gọi là một nhóm nếu vời mỗi phần tử a ẻ A đều tồn tại một phần tử a’ẻ Asao cho a + a’ = 0 = a’+ a. a’ được gọi là phần tử đối của a và được ký hiệu bởi – a. - Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhóm giao hoán hay một nhóm aben. - Một tập hợp con B của nhóm A được gọi là một nhóm con của nhóm A nếu B cũng là nhóm đối với phép toán trong A. 1.2 Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con. -Tập hợp A được gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân soa cho: + A với phép cộng là một nhóm giao hoán. + A với phép nhân là một vị nhóm. + Phép nhân phân phối đối với phép cộng. - Vành A được gọi là giao hoán nếu phép nhân giao hoán. Một tập con B của vành A được gọi là một vành con củaA nếu B là một vành đối với phép toán trong A. 1.3Định nghĩa trường, trường con. - Một trường là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo . - Một tập con B có ít nhất là hai phần tử của trường A được gọi là một trường con của A nếu B cũng là một trường đối với các phép toán trong A. 2.Nhắc lại về đa thức : 2.1. Định nghĩa vành đa thức một ẩn: - Giả sử A là một vành của E giao hoán có đơn vị ,uẻ E. Phần tử : a0+a1u+a2u2++anun+(1)-trong đó ai ẻA, (với mọi i=0,1,n,) và chỉ có một số hữu hạn ai ≠ 0 được gọi là một đa thức của phần tử u trên vành A. Tập hợp các đa thức của u trên vành A được kí hiệu là [u]. - Khi coi u là môt phần tử tuỳ ý thì ta gọi u là một ẩn , mỗi đa thức của u được ký hiệu là f(u),g(u)và được gọi là đa thức của ẩn u. - Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các ai không đồng thời bằng 0 mà a0+a1u +a2u2++an un = 0 ẻ E thì ta nói u là một phần tử đại số trên A. Trái lại ta nói u là một phần tử siêu viêt trên A. Định nghĩa giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn: Giả sử f(x) =a0+a1x +a2x2++anx n và k. Nếu trong đa thức f(x) ta thay x = thì f=a0+a1 +a2 2++an n K .f được gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x = 2.2 Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết ,phép chia có dư ) và hệ quả : - Định lý : Giả sử K[ x] là vành đa thức trên trường K. Khi đó với hai đa thức bất kỳ f (x), g(x) và g(x) ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q (x) và r (x) sao cho f(x) = g(x) . q(x) +r(x); r(x) = 0 hoặc bậc r(x) < bậc g(x) . q(x) được gọi là thương , r(x) được gọi là dư trong phép chia đa thức đa thức f(x) cho đa thức g(x) . Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) g(x) Nếu f(x) 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) còn dư Hệ quả : Giả sử K là một trường , f(x) K (x) và K . Khi đó f() là dư trong phép chia f(x) cho x- 2.3 Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn. - Giả sử A là một vành .Phần tử A được gọi là nghiệm của đa thức . f(x) nếu f() = 0 2.4 Định lý Bơ du về nghiệm của một đa thức : Giả sử K là một trường . Phần tử K là nghiệm của đa thức f(x) K [x] khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x-. 3. Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử : 3.1, Định nghĩa đa thức bất khả quy : - Đa thức f (x) 0 và khác ước của 1 được gọi là đa thức bất khả quy nếu từ đẳng thức f(x) =g(x) . h(x)suy ra g(x) lả ước của đơn vị . 3.2. Tiêu chẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy: -Giả sử f(x) =a0+a1x+a2x2++an xn,vứi các a1ẻ Z Nếu có một số nguyên tố p thỏa mãn các điều kiện sau: p không phải là ước của an p là ước của a1với i = 0,1,2,,n-1. p2không phải là ước của a0 thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q(x) 3.3.Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy : 3.3.1. Giả sử R là trường số thực .Trong R(x) mọi đa thức bậc nhất ax+b và mọi đa thức bậc hai ax2+bx +c với biệt thức D = b2- 4ac < 0 đều là đa thức bất khả quy. Ngược lại mọi đa thức bất khả quy trong R đều là đa thức bậc nhất hoặc là đa thức bậc hai ax2+bx+c với biệt thức D < 0 3.3.2. Giả sử K là một trường. Nếu p(x) là một đa thức bất khả quy thuộc Kcòn f(x) là một đa thức tùy ý thuộc k thì f(x) chia hết cho p(x) hoặc f(x) nguyên tố với p(x) . 3.3.3.Giả sử K là một trường .Trong vành K, nếu đa thức bất khả quy p(x) là ước của tích f(x) .g(x) thì p(x) là ước của f(x) hoặc g(x). 3.3.4. Giả sử K là một trường .Trong vành K, nếu tích f(x) .g(x) chia hết cho h(x) đa thức bất khả quy p(x) và ( h(x), g(x)) = 1 thì f(x) chia hết cho h(x) . 3.3.5. Giả sử K là một trường. Trong vành K,nếu f(x) chia hết cho hai đa thức nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng . 3.4. Định lý về sự phân tích một đa thức ( có bậc n1) thành tích các đa thức bất khả quy . - Giả sử K là một trường .Mỗi đa thức f(x) ẻK có bậc lớn hơn 1 đều có thể phân tích được thành tích của các đa thức bất khả quy . II. Vận dụng các nội dung lý thuyết trên vào giảng dạy: Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chương trình sách giáo khoa : Trong chương trình đại số lớp 7, ở chương IV, học sinh đã được học khái niệm đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, định nghĩa nghiệm của một đa thức và bước đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của một đa thức đơn giản ( bậc nhất, bậc hai) ở chương I của sách giáo khoa môn đại số lớp 8, học sinh đã được học về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức ( phép chia hết và phép chia có dư ) nhưng học sinh mới chỉ biết cách phân tích thành nhân tử các đa thức tương đói đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông thường, chưa có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức đó thành nhân tử, về giá trị của đa thức,dư trong phép chia của đa thức với việc tìm nhiệm của đa thức nên học sinh chưa có sự hiểu biết một cách toàn diện và có hệ thống về đa thức. -Trong trương trình cuối của chương trình Đại số lớp 8, học sinh xẽ được học về phương trình và cách giải một số phương trình, trong đó có cách giải một số phương trình bậc cao bằng cách đưa về phương trình tích. Để có thể đưa các phương trình bậc cao về dạng phương trình tích để giải, học sinh cần phải thành thạo kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc này có thể thực hiện với đa thức phức tạp hơn rất nhiều so với các dạng đa thức mà học sinh đã được làm quen trước đó. Trong một số trường hợp, các đa thức cần phân tích thành nhân tử có bậc cao, lại không có nghiệm hữu tỉ, do đó việc áp dụng phương pháp cơ bản để phân tích là rất khó khăn hoặc không thể thực hiện được, đôi khi có thể gặp những đa thức không có nghiệm (thực) nên không thể phân tích được thành nhân tử. 2. những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử : 2.2. các khái niệm cơ bản: 2.1.1. Đa thức: - Đa thức là một biểu thức đại số trong đó phép tính thực hiện đối với các biến chỉ là phép cộng, trừ, nhân. (đa thức là một biểu thức nguyên ) Ví dụ: Biểu thức: f(x) = 2x3- 5x2 + 2x + 4 là một đa thức của biến (ẩn) x. Biểu thức: g(y) = 3y2+ 7y - 1 là một đa thức của biến (ẩn) y. Biểu thức: h(x,y) = 2x3y - x2y2- y3 + 1 là một đa thức của hai biến (ẩn)x và y. 2.1.2.Giá trị của một đa thức tại một giá trị của ẩn: Xét đa thức f(x), nếu thay x = a là một giá trị số cụ thể ta sẽ tính được một giá trị cụ thể của f(x) = f(a) gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x = a. Ví dụ: Xét biểu thức : f(x) = x3- 4x2 + 2x + 4 Nếu thay x=1 vào đa thức ta sẽ có f(1) =13 – 4.12 + 2.1 + 4 = 3 là giá trị của đa thức f(x) tại x = 1. 2.1.3. Nghiệm của một đa thức: - Định nghĩa : Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x)(hay là nghiệm của phương trình f(x) = 0) nếu f(a) = 0. Ví dụ: i) Xét đa thức f(x) = x3 - 4x2 + 2x + 4 Nếu thay x = 2 vào đa thức, ta có: f(2) =23 - 4.22 + 2.2 + 4 = 0 Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) đã cho ii) Xét đa thức h(x,y) = x3y - x2y - y3 +1 Nếu thay x = 1, y = 1 vào đa thức thì ta có h(1,1) = 13.1 – 12.1 – 13 +1 = 1 - 1 – 1 + 1 = 0 - Định lý : Giả sử Pn(x) có bậc n 1. Điều kiện cần và đủ để đa thức Pn(x) có nghiệm là a là nó chia hết cho x – a. Pn(x) = (x – a).Q(x) (1) Trong đó Q(x) là đa thức bậc n – 1 Chứng minh : Điều kiện cần : Nếu Pn(x) có nghiệm là a, ta chia Pn(x) cho x – a ta có Pn(x) = (x – a).Q(x) + r (2) Trong đó Q(x) là đa thức bậc n – 1, còn r là đa thức bậc 0, tức r là hằng số Thay x = a vào 2 vế của (2) ta được Pn(a) = r = 0 => Pn(x) chia hết cho x – a Trường hợp Pn(x) có bậc là 0 (Pn(x) = an = const), thì nó bằng 0 với mọi x nếu an = 0 và khác 0 với mọi x nếu an 0 Điều kiện đủ : Nếu Pn(x) có dạng như biểu thức (1) thì rõ ràng Pn(a) = 0 do đó nó có nghiệm là a. *Chú ý: - Một đa thức bậc nhất ax+b ( với ≠ 0 ) luôn có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất. - Một đa thức bậc n ( n ≥ 2 ) có thể chỉ có một nghiệm, có thể có đúng n nghiệm hoặc cũng có thể vô số nghiệm. 2.2.Phân tích đa thức thành nhân tử: 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử : - Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức đó dưới dạng một tích của đa thức có bậc nhỏ hơn. 2.2.2. Các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử (đã có trong chương trình sách giáo khoa lớp 8 THCS ): a) Phương pháp đặt hạt nhân tử chung. VD : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử . 5x2y – 10xy2 4x(2y – z) + 7y(z – 2y) Giải : Cả hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có 5x2y – 10xy2 = 5xy(x -2y) Đổi dấu hạng tử 7y(z – 2y) = - 7y(2y – z), ta có : 4x(2y – z) + 7y(z – 2y) = 4x(2y – z) - 7y(2y - z) = (2y – z)( 4x – 7y) b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức. VD : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. (x2 + 1)2 – 6(x2 + 1) + 9 9(x + 5)2 – (x +7)2 Giải : Mỗi hạng tử của đa thức trên đều không có nhân tử chung nên không thể phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung. Có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích các đa thức đó thành nhân tử. (x2 + 1)2 – 6(x2 + 1) + 9 = (x2 + 1)2 – 2.(x2 + 1).3 + 32 = (x2 + 1 -3)2 = (x2 - 2)2 9(x + 5)2 – (x + 7)2 = [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)] = (4x + 22)(2x + 8) =4(2x + 11)(x + 4) c) Phương pháp nhóm nhiếu hạng tử. VD : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 3xy + x + 15 y + 5 9 – x2 + 2xy – y2 Giải : Cách 1 :Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư ta có : 3xy + x + 15y + 5 = (3xy + x) + (15y + 5) =x(3y + 1) + 5(3y + 1) =(3y + 1)( x + 5) Cách 2 : Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có : 3xy + x + 15y + 5 = 3xy + x + 15 y + 5 = ( 3xy + 15 y) + (x + 5) = 3y(x+ 5) + (x + 5) = (x + 5)(3y + 1) Nhận xét : Trong ví dụ trên ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụng phương pháp đặt nhân tư chung. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử thích hợp. 9 – x2 + 2xy – y2 = 9 – (x2 – 2xy + y2 ) = 32 – (x – y2) =(3 +x – y)( 3 – x + y) Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm 3 hạng tử cuối của đa thức và đưa vào trong dấu ngoặc đằng trước có dấu “ – ” để phân tích đa thức bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. d) Phương pháp tách một hay nhiều hạng tử. Vídụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 - 5x + 6 Nhận xét : Đa thức trên có dạng a x2 + bx + c ta phải tách bx = mx +nx . Trong đó Sau đó nhóm các hạng tử có nhân tử chung. e) Phương pháp thêm bớt một hay nhiều hạng tử. f) Phương pháp đổi biến. 2.3. Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức. 2.3.1. Định nghĩa về phép chia hết và phép chia có dư của một đa thức cho một đa thức: -Với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0, tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) sao cho: f(x) = g(x). q(x) + r(x); r(x) = 0 hoặc bậc r(x) < bậc g(x). q(x) được gọi là thương, r(x) được gọi là dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x). Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) g(x). Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) còn dư. 2.3.2 Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức. Định lý Bơdu (Bezout) về nghiệm của một đa thức. Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thể viết dưới dạng f(x) = g(x) . h(x) thì ta cũng có thể nói f(x) chia hết cho đa thức g(x) (hoặc đa thức h(x)) và khi đó nghiệm của g(x) hoặc h(x) cũng chính là nghiệm của f(x). - Định lý (Bezout): Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a đúng bằng f(a) (là giá trị của đa thức f(x) tại x = a.) Từ định lý Bơdu, ta có thể suy ra một số mệnh đề về sự liên hệ giữa tính chất chia hết và nghiệm của đa thức sau: Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x - a khi và chỉ khi f(a) = 0 hay a chính là một nghiệm của đa thức f(x). (Dựa vào định nghĩa nghiệm của một đa thức ). Như trên ta đã nêu, nếu f(x) chia hết cho nhị thức x – a thì f(x) có thể phân tích thành tích của hai đa thức trong đó có một đa thức là x – a. Vậy nếu đa thức f(x) có một nghiệm là a thì nó có thể phân tích thành tích có dạng: (x – a) . h(x). Ta có thể biểu thị mối liên quan giữa tính chất chia hết, nghiệm của đa thức và khả năng phân tích thành nhân tử của một đa thức như sau: f(x) có một nghiệm là a f(x) phân tích thành tích (x – a).h(x) f(x) chia hết cho x - a ii) Nếu một đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chia hết cho x – 1 Ví dụ: đa thức f(x) = 2x2 – 3x +1 có tổng các hệ số bằng 0 nên nó có một nghiệm là 1. Khi phân tích thành nhân tử, đa thức này có thể viết được thành tích : (x – 1).q(x), tức là có chứa thừa số x – 1: iii) Nếu một đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức này chia hết cho nhị thức x + 1 Ví dụ: Đa thức g(x) = x3 – x2+ 2x + 4 có tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng 3 nên đa thức này có một nghiệm là -, khi phân tích thành nhân tử đa thức g(x)có thể viết dưới dạng tích (x+1).k(x), tức là có chứa thừa số (x+1). iiii)Xét đa thức f(x)=anxn + an-1xn-1 + + a1x1 + a0 Nếu f(x) có nghiệm nguyên a thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hệ số tự do a0. Vì vậy ta có thể tìm nghiệm của f(x) một cách nhanh chóng bằng cách xét các ước của a0. Để nhanh chóng loại trừ các ước tự do của a0 không phải là nghiệm của f(x) ta có thể dùng nhận xét : + Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) đều khác 0 thì f(1) (a+1). + Đa thức f(x) với các hệ số nguyên a na0, nếu không có nghiệm nguyên mà có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm hữu tỉ đó phải có dạng với p là ước của hệ số tự do a0 còn q là ước dương của hệ số của số hạng bậc cao nhất an. * áp dụng : Khi thực hiện việc phân tích đa thức thành nhân tử, trong trường hợp đa thức cần phân tích là đa thức có bậc cao, phức tạp, khó phân tích, ta có thể vận dụng các mệnh đề lý thuyết trên để làm đơn giản bớt bằng cách nhẩm nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng phương pháp tách các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để phân tích đa thức đó thành phân tử . Ví dụ : Với đa thức g(x) = x3- x2 + 2x + 4, ta đã biết nếu phân tích thành nhân tử nó sẽ chứa nhân tử x + 1 do đó ta có thể thực hiện phép chia đa thức g(x) cho nhị thức x+1 và tìm được đa thức k(x) = x2- 2x+4. Khi đó :g(x) = (x+1).(x2-2x +4). Đến đây không thể phân tích tiếp đa thức k(x) thành phân tử được vì x2- 2x + 4 đa thức này là một đa thức bậc hai nhưng không có nghiệm nên không thể tách thành tích của hai đa thức bậc nhất. Một số bài tập ứng dụng 3.1Các bài tập về phân tích đa thức thành phân tử . Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành phân tử a) 2x3 – 5x2 + 3x + 13 Gợi ý cách giải : Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên đa thức có nghiệm là -1 và do đó khi phân tích đa thức thành nhân tử sẽ có chứa nhị thức x+1 b)x4+4x2-5 Gợi ý cách giải Tổng các hệ số bằng 0 =>có nghiệm là 1 =>có chứa nhị thức x - 1 c)27x4- 9x3 + 14x2 - 4 Gợi ý cách giải Dùng phương pháp tách các hạng tử để đặt nhân tử chung d) (x2+x)2+4(x2+x)-12 Gợi ý cách giả Dùng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức e)x6+27 Gợi ý cách giải áp dụng hằng đẳng thức Một số bài tập vận dụng: f) x4 + 3x2 + 4 Gợi ý cách giải Dùng phương pháp thêm bớt cùng 1 hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức g) (x + 2)(x + 3 )(x + 4)(x + 5) - 24 Gợi ý cách giải Đặt ẩn phụ( ví dụ y = x + 3 )sau đó nhân ra Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng nhiều cách: x3 - 7x - 6 Gợi ý cách giải: * Nhẩm nghiệm thấy - 1 là nghiệm của đa thức => đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x + 1. Sử dụng phương pháp tách, ta có: x3- 7x - 6 = x3 – 7x - 7 +1 Hoặc x3 - 7x - 6 =7x3 –x - 6x – 6 Nếu sử dụng thêm bớt cùng một hạng tử ta có. x3 - 7x - 6 = x3 – x2 + x2 – x - 6x – 6 Hoặc x3 - 7x - 6 = 7x3 - 7x - 6x3 - 6 * Nhẩm nghiệm được - 2 là một nghiệm => đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x + 2. sử dụng phương pháp tách, ta có các cách tách đa thức như sau: x3 – 7x – 6 = x3 - 4x – 3x – 6 Hoặc x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14. * Nhẩm nghiệm được 3 là một nghiệm => đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x- 3.Sử dụng phương pháp tách, ta có các cách tách đa thức như sau: x3 – 7x – 6 = x3 - 9x - 2x – 6 Hoặc x3 -7x – 6 = x3 - 27 - 7x + 21. Bài 3. Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức ( x + a )( x - 4 ) - 7 phân tích được thành tích ( x + b )( x + c ). Gợi ý cách giải: Xét trường hợp x = 4 => ( x + b )( x + c ) = - 7. Từ đó suy ra: 4 + b = 1 và 4 + c = - 7 Hoặc 4 + b = - 1 và 4 + c = 7 Bài 4. Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức x3 + ax2 + bx + c phân tích được thành tích ( x + a )( x + b )( x + c ). Gợi ý cách giải: Nhân (x + a )( x + b )( x+ c ) ta được x3 + ( a + b +c ) x2 + ( ab + bc +ac ) x +abc Từ đó ta có: a = a + b + c b = ab + bc +ac c = abc. Bài 5. Không làm phép chia đa thức hãy xét xem đa thức f(x)=x3-9x2+6x+16 có hay không chia hết cho a) x+1 b)x-3 Gợi ý cách giải áp dụng định lý Bơdu:Tìm f(-1)và f(3)và xét xem có giá trị nào bằng 0 hay không. Bài 6 tìm dư của các phép chia x+x3+x9+x27: a)x-1 b)x2-1 Gợi ý cách giải : Apdụng định lý bơdu :Tìm f(-1)và f(1) Bài 7. Tìmđa thức f(x)biết rằng f(x)chia cho x-3thì dư 7,chia cho x-2thì dư 5,f(x)chia cho(x-2).(x-3)thì được thương là 3xvà còn dư Gợi ý cách giải : Giả sử f(x)=3x.(x-2).(x-3).+r(x). r(x)là đa thức bậc nhất có dạng a x+b áp dụng định lý bơdu ta có f(3)=7,f(2)=5 =>a.3+b=7và a.2+b=5. từ đó ta sẽ tìm được a,b để thay vào f(x) Bài 8. Biết rằng đa thức f(x) chia cho x-3 thì dư 7, chia cho x - 2 thì dư 5, hãy tìm dư trong phép chia f(x) cho (x-2)(x-3). Gợi ý cách giải tương tự như cách giải bài 3 Bài 9. Xác định hằng sốa sao cho: 10x2 -7x+ a chia hết cho 2x - 3 2x2 + ax +1 chia cho x - 3 dư 4 ax5 + 5x4 - 9 chia hết cho ( x - 1)2 Gợi ý cách giải: Biến đổi:10x2 -7x+ a=10x2 -15x+8x- 12+ 12 +a =5x.(2x-3)+ 4.(2x-3) + (12 +a) ==> 12+ a=0 2x2 + ax +1 chia cho x-3 dư 4 => f(3)=4 hay 3a +19= 4 c) Tương tự câu c ta sẽ có f(1)=0 Bài 10. Xác định hằng sốa và b sao cho: x4 +ax2 + b chia hết cho x2- x+1 ax3 +bx2+ 5x -50 chia hết cho x2 +3x-10 ax4 + bx3 +1 chia hết cho(x -1)2 x4 +4 chia hết cho x2 +ax+b 20 Gợi ý cách giải Chia đa thức thứ nhất cho đa thức thứ hai. Tìm đa thức dư xác định a và b bằng cách cho đa thức dư bằng 0 Bài 11. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 +ax+ b chia cho x+1 thì dư 7, chia cho x-3 thì dư 5 Gợi ý cách giải: Ta có f(-1) = 7 và f(3) =- 5 =>-a +b -1= 7 và 3a + b +27 =- 5 Bài 12. Tìm các hầng sốa, b và c sao cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x+ 2, chia cho x2 -1 thì dư x +5 Gợi ý cách giải: Vì ax3 + bx2 + c chia hết cho x+2 nên đa thức có nghiệm là -2. Vậy ta có -8a+ 4b +c= 0(*) Mặt khác, ta có ax3 +bx2 +c= (x2-1). q(x)+5 Với x=1=>a +b + c = 6(* *) Với x= -1 => -a +b +c = 4(* * *) 3.2.Các ví dụ về giải phương trình sử dụng phân tích đa thức thành phan tử Ví dụ1. Giải phương trình: X2- 6x + 8 = 0 ( 1) Đây là phương trình mà học sinh chưa biết cách giải.Bằng kiến thức đã học : Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0. Từ đó dẫn đến suy nghĩ : “có thể phân tích VT của phương trình ( 1) về tích các nhân tử được không ? ” Nhận xét : phương trình(1 ) thuộc dạng a x2 + bx + c = 0 Vế trái muốn phân tích thành phân tử được thì b2 – 4ac phải là bình phương một số . Từ đó ta tách bx = mx +nx . Trong đó Sau đó nhóm các hạng tử có nhân tử chung . Quay trở lại phương trình ( 1 ), ta thấy vế trái của ( 1) phân tích được thành nhân tử vì : ( - 6 )2 – 4.8 = 36 -32 =4 = 22. Vậy ta tách như sau: x2 -2x – 4x + 8 = x( x- 2) = ( x- 4) ( x – 2 ) Đến đây giải phương trình ( 1 ) đã trở thành giải phương trình: (x - 4)(x - 2) = 0 Cho nên :hoặc x - 4 = 0 hoặc x – 2 = 0 Nghiệm của phương trình là x = 2 và x = 4 Ta đã giải được phương trình bậc hai : x2- 6x+8 = 0bằng phươngpháp phân tích VT thành nhân tử đưa về dạng phương trìn