Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chứng minh bất đẳng thức

I. Đặt vấn đề 1. Lý do chọn đề tài: a. Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần giúp các em tổng hợp phân loại các phương pháp giải và các dạng thường gặp để các em dễ nhớ, dễ vận dụng. b. Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác. Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông, là người thầy, tôi thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phương pháp và bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trước một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức. c. Phạm vi và giới hạn bài viết. Khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9. Để bài viết không quá dài, phần giải các ví dụ tôi không trình bày chi tiết. 2. Kiến thức cần nắm vững 2.1. Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a b a -b 0 a b a -b 0 2.2. Tính chất: 1. a > b ; b >c a > c 2. a >b a + c > b + c 3. a > b ; c > 0 ac > bc a > b ; c < 0 ac < bc 5. a > b ; c > d a + c > b + d a > b ; c < d a - c < b - d 6. a > b 0 ac > bd 7 a > b > 0 ; 0 8. a > b > 0 an > bn a > b an > bn (n lẻ) an > bn ( n chẵn ) 9. Nếu m > n >0 thì a >1 am > an a =1 am = an 0 < a < 1 am = an 10. a > b , ab > 0 < 2.3. Các hằng bất đẳng thức: 1. a2 0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra a = 0 2. 0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra a = 0 3. a với mọi a. Dấu bằng xẩy ra a 0 4. + với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra ab 0 5. - với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra ab > 0 và II. Nội dung: 1. Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh. 1.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) ( + + ) 9 Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( + + ) - 9 = ( + - 2) + ( + - 2) + ( + - 2) = Do a,b,c > 0 H 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức: (a + b + c) ( + + ) 9 Dấu = xẩy ra H = 0 a = b = c Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: Giải: Xét hiệu: A = Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A = (a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b > 0 a + b > 0 mà (a - b)2 0 A 0 Theo định nghĩa Dấu bằng xẩy ra a = b 1.3. Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh: + 2 với ab > 0 Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2 2xy + 2yz - 2x Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh: + + + + 2. Phương pháp sử dụng tính chất 2.1. Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ab > 2b (1) (Tính chất 3) b > 2 , a > 0 ab > 2a (2) (Tính chất 3) Từ (1) và (2) 2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4) ab > a + b (Tính chất 3) Ví dụ 2: Cho x 0, y 0, z 0. Chứng minh rằng: (x + y) (y + z) (z + x) 8xyz Giải: Ta có: (x-y)2 x2 - 2xy +y2 0 x2 + 2xy +y2 4xy (Tính chất 2) (x+y)2 4xy (1) Tương tự ta có: (y+z)2 4yz (2) (x+z)2 4xz (3) Nhân từng vế (1),(2),(3) [(x+y)(y+z)(x+z)]2 (8xyz )2 (Tính chất 6) (x+y)(y+z)(x+z) 8xyz (Tính chất 8) 2.3. Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 +b4 > Bài 2: Chứng minh rằng: + + + + Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x4 + y4 2 3. Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương) 3.1. Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. 3.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 2 (a2 + b2) với mọi a , b. Giải: (a + b)2 2(a2 + b2) (1) a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 0 -(a2 - 2ab + b2) 0 -( a - b)2 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng bất đẳng thức (1) đúng (đpcm) Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1 Chứng minh: a3 + b3 +ab (1) Giải: (1) a3 + b3 +ab - 0 (a + b) (a2- ab + b2) +ab - 0 a2- ab + b2 + ab - 0 (vì a + b = 1) a2 + b2 - 0 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(1 - a)2 - 1 0 ( vì b = 1 - a) 4 (a - (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương đúng Dấu bằng xảy ra a = = b 3.3. Bài tập tương tự Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a4 + b4 a3b + ab3 Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh Bài 3: Chứng minh x4 + y4 với x 4. Phương pháp tổng hợp 4.1. Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh. Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát. 4.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a, b 0. Chứng minh (Bất đẳng thức Côsi) Giải: Theo giả thiết a, b 0 ab 0 xác định. Ta có: ( a - b)2 0 a2 - 2ab +b2 0 a2 + 2ab +b2 4ab ( a - b)2 4ab a + b 2 (vì a + b 0 ) (đpcm) Dấu “ =” xảy ra a = b. Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (ad - bd)2 0 a2d2 - 2adbc + b2c2 0 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2c2 + 2acbd + b2d2 a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) (ac + bd)2 ac + bd ( vì ac + bd > 0) a2 + b2 + 2 + c2 + d2 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2 ()2 (a + c)2 + (b + d)2 (đpcm) Dấu “=” xảy ra Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương đương. 4.3. Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức Bài 1: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca với mọi a, b Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 3(x2 + y2+z2) với mọi x, y, z Bài 3: với a > 0 , b > 0 5. Phương pháp phản chứng: 5.1. Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A B). Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A B ( hoặc A < B) là đúng. Giải như vậy gọi là phương pháp phản chứng. 5.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a2 + b2 2 . Chứng minh: a + b 2 Giải: Giả sử: a + b > 2 a2 + 2ab + b2 > 4 (1) Ta có: (a - b)2 0 a2 - 2ab + b2 0 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2(a2 + b2) Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 2 2(a2 + b2) 4 Suy ra: a2 + b2 + 2ab 4 (2) mâu thuẫn với (1). Vậy phải có a + b 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0. Giải: giả sử a 0 Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0 Nếu a 0 nên b + c > 0 Do abc > 0 nên bc < 0 a(b + c) + bc < 0 Hay ab + ac + bc 0 Vậy a > 0. Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0 5.3. Bài tập tương tự: Bài 1: cho các số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = 0 và ac - b2 = 0 chứng minh mp - n2 0 Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a 3; b 3; a2 + b2 25 thì a + b 7 Bài 3: Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh a + b 2 6. Phương pháp quy nạp toán học 6.1. Phương pháp giải: Nếu cả 2 vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì có thể dùng phương pháp quy nạp toán học. Khi đó đòi hỏi phải chứng minh: + Bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n0 là giá trị tự nhiên bé nhất thừa nhận được của n theo yêu cầu của đề bài) + Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n0) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. 6.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 3 thì 2n > 2n + 1 (1) Giải: Với n= 3 ta có 23 = 8,; 2n + 1 = 7 2n > 2n + 1 đúng với n = 3 Giả sử (1) đúng với n = k (k ) Tức là 2k > 2k + 1. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 hay 2k+1 > 2(k+1) +1 hay 2k+1 > 2k+3 (2) Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1 2k+1 > 2. (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0) (2) đúng với 3 Vậy 2n > 2n + 1 với mọi n nguyên dương và n 3. Ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2n (1) Giải: Với n = 2 thì (1) đúng với n = k (k N, k2) tức là (k+1)(k+2)(k+3).2k > 2k. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)(2k+2) > 2k+1 Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+2)(k+3)(k+4)2k > 2k (k +1)(k+2)(k+3)(2k)(2k+1) > 2k 2(k +1)(k+2)(k+3)(2k)(2k+1) > 2.2k (k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2) > 2k+1 Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n >1 nghĩa là: (n+1)(n+2)(n+3).2n > 2n 6.3. Bài tập tương tự Bài 1: Cho a 0, b0, n N. Chứng minh rằng Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì n2 > n + 5 Bài 3: Chứngminh rằng vớimọi số nguyên dương n thì 7. Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến 7.1. Phương pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x a và x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x a hay x < a x -a < 0. Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trước hết ta chuyển vế để đưa về dạng đó. 7.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh x10 -x9 +x4 - x+ 1 >0 Giải: Xét A = x10 -x9 +x4 - x+ 1 = x9(x-1) + x(x3 -1) +1 (1) Hoặc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x) (2) + Nếu x 1 x9 > 0; x-1 0; x3+1 0 Nên từ (1) A > 0 + Nếu x 0; 1-x > 0 mà x10 0 và x4 0 nên từ (2) A > 0. Ví dụ 2: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0 Giải: xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1) Hoặc B= 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2) + Nếu x 0 thì từ (1) B > 0 ( vì x4 + x3 +x2 +x+1 >0 tương tự ví dụ 1 và 2x4 +x2 > 0; -2x3 -3x > 0 ( do x<0) Vậy B > 0 (đpcm) 7.3. Bài tập tương tự Bài 1: chứngminh x8 +x4 +1 > x7 + x Bài 2: Chứngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + 1 > 0 Bài 3: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + > 0 8. Phương pháp làm trội ( hoặc làm giảm) 8.1. Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B) Tương tự đối với phương pháp làm giảm 8.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có: A = Giải: Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách giảm mẫu Ta có: Do đó: A < Đặt C = = = Vậy: Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có: A = 1+ Giải: A= ở mỗi nhóm trong A ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta được A< = Vậy A < n (đpcm) 8.3. Bài tập tương tự Bài 1: Cho A = Chứng minh 14 < A < 20 Bài 2: Chứng minh: Với n nguyên dương 9. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển ( bất đẳng côsi và bất đẳng thức bunhiacốpxki) 9.1. Phương pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Trong phạm vi chương trình THCS , tôi xin giới thiệu và hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacốpxki để chứng minh các bất đẳng thức khác. a. Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,.,an là các số không âm. Khi đó ta có: Dấu bằng xảy ra a1= a2 = = an b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1,a2,và b1,b2,bn. khi đó ta có: (a1b1+ a2b2 + + anbn)2 (a12 +a22 + + an2)(b12 +b22 + +bn2) Dấu bằng xẩy ra với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0. 9.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: Giải: Do a, b, c >0 và áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số và ta có Tương tự ta có: Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được: Vậy (đpcm) Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số không âm và a+b+c=1. Chứng minh rằng: ++ Giải: a, b, c 0 a+b0; b+c0; c+a0 , , có nghĩa. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với 2 bộ số: a1=1, a2=2, a3=3, b1=, b2, b3= ta có: (1. +1. +1.)2 (1+1+1)(a+b+b+c+c+a) (vì a+b+c=1) ( (đpcm) *Lưu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki ở đây không đề cập mà chỉ hướng dẫn các em chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều bất đẳng thức đã biết khác. + Khi sử dụng bất đẳng thức côsi thì cần chú ý các số áp dụng phải có điều kiện 0 còn bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì không cần điều kiện các số 0 nhưng phải áp dụng cho 2 bộ số. + Ngoài 2 bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS đã nêu ở trên thì các em có thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác. 9.3. Bài tập tương tự: Bài 1: cho a, b, c >0. Chứng minh Bài 2: Cho a+b = 2. Chứng minh a4+b4 10.Phương pháp tam thức bậc hai 10.1. Phương pháp giải: Dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý về dấu của tam thức bậc hai: Định lý về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0) = b2 - 4ac - Nếu 0) - Nếu =0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x, trừ khi x= thì f(x) = 0 (nghĩa là a.f(x) 0, af(x) = 0 khi x=); - Nếu > 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm (x1, x2) và khác dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm. 10.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd 18 - (1) Giải: c + d = 6 d = 6- c . Khi đó bất đẳng thức (1) có dạng: c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ 0 (2) Quan niệm vế trái của (2) là tam thức bậc hai của c, ta có: = - (a+b)2 + 12(a+b) + 2 -12 (3) Do a2+b2 =1 Xét tam thức bậc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 Ta có bảng xét dấu sau: x 12- f(x) - 0 + 0 - Do nên từ (3) và bảng xét dấu . Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì (2) đúng với mọi c. Đó là điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki đã nêu trong phần Giải: Xét tam thức bậc hai F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+.+(bnx - an)2 Ta thấy f(x) với mọi x. Ta viết f(x) dưới dạng sau F(x) =( bx2 - 2(a1b1+a2b2++anbn)x + Do f(x) với mọi x nên từ (1) suy ra: Dấu = xảy ra phương trình f(x) =0 có nghiệm kép * Nhận xét: khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức như ví dụ 1, ví dụ 2 của đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu của tam thức bậc hai nhưng kiến thức đó chưa được chính thức giới thiệu ở bậc THCS nên hơi khó đối với các em. Vì thế tôi xin giới thiệu 2 ví dụ để HS tham khảo chứ không yêu cầu các em tự làm bài tập ở phần này. 11. Phương pháp đồ thị và hình học 11.1. Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đại số. 11.2. Ví dụ áp dụng: B Ví dụ 1: Chứng minh rằng với a, b ta có: A C Giải: Xét ABC có Â = 900, AB = , AC = . Theo định lý Pi ta go ta có: BC = Trong ABC ta có: BC < AB + AC (đpcm) Ví dụ 2: Cho a,b,c,d > 0 . Chứng minh rằng: Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, còn trên trục Oy đặt liên tiếp OC = b, CD = d. Xét hình chữ nhật COAE và DOBF. Theo định lý pitago ta có: y O C B A a b G F c x D d E OE = EF = OF = Mà OE + EF OF Dấu bằng xảy ra OAE EFG Ví dụ 3: Cho x, y là 2số thoả mãn: C O H B A -2 2 -4 1 x y Chứng minh: x2 + y2 Giải: Gọi I(x;y) là điểm trên mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn đề bài. Tập hợp các điểm I(x,y) là miền ặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC. Như vậy muốn chứng minh x2 + y2 ta cần chứng minh : OI2 Mà OH AB; OI OH Vậy OH2 = OI2 Hay x2 + y2 11.3. Bài tập tương tự Bài 1: Chứngminh rằng với a > b > 0 thì Bài 2: Chứng minh rằng với x, y, z, t > 0 thì Bài 3: Chứng minh rằng: III. Kết luận Học sinh biết được càng nhiều phương pháp chứngminh bất đẳng thức thì khi giải các loại bài tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ nên dễ tìm ra cách giải qua đó cũng phát triển được tư duy và nâng cao được năng lực sáng tạo. Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tôi đã tích luỹ trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh học toán, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, các cô cùng các bạn đồng nghiệp. PHòNG GIáO DụC VINH Sáng kiến kinh nghiệm môn toán " Giúp học sinh THCS hệ thống các phương pháp chứng minh bất đẳng thức" (sáng kiến viết lần 1) Năm học 2007-2008