Sáng kiến kinh nghiệm - Dùng ẩn phụ để giải phương trình

Mục lục Phần thứ nhất. Lời mở đầu .. trang 03 I. Cở sở khoa học của SKKN 1. Cơ sở lý luận.. trang 03 2. Cơ sở thực tiễn.. trang 03 II. Mục đích của SKKN. trang 03 III. Đối tượng của SKKN; Phạm vi nghiên cứu.. trang 06 IV. Phương pháp nghiên cứutrang 06 V. Kế hoạch nghiên cứu... trang 06 Phần thứ hai. Nội dung .......từ trang 05 đến trang 21. Trong đó: A/ Nội dung lý luận liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm - Những kiến thức cơ bản ........ trang 06 B/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu trang 07 C/ Mô tả các giải pháp mới mà tác giả đã thực hiện làm cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi có chất lượng và hiệu quả... trang 08 I/ Giải phương trình bậc cao bằng phương pháp đặt ẩn phụ .. trang 08 II/ Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ . trang 16 III/ Hệ thống bài tập vận dụng trang 21 Phần thứ ba. Kết luận .trang 23 1. Những kết luận, đánh giá cơ bản về nội dung, ý nghĩa, hiệu quả của SKKN......... trang 24 2. Những đề xuất, khuyến nghị trang 24 Phần thứ tư. Tài liệu tham khảo trang 25 Phần thứ năm: Kết quả chấm của SKKN.................... trang 26 Phần thứ nhất Mở đầu I. Cơ sở khoa học của SKKN: 1. Cơ sở lý luận: Qua việc giảng dạy toán ở Phổ thông tôi nhận thấy: Việc giải phương trình và hệ phương trình là một trong những vấn để rất trọng tâm của chương trình toán học ở phổ thông. Có những phương trình và hệ phương trình đã có đường lối giải cơ bản. 2. Cơ sở thực tiễn: Ví dụ như phương trình bậc nhất 1 ẩn số (học ở Toán lớp 8), phương trình bậc 2 một ẩn số (học ở Toán lớp 9) thậm chí đối với phương trình bậc 3, bậc 4 một ẩn số cũng đã có đường lối giải cơ bản như sách phát triển Toán 8 đã trình bầy và hệ phương trình bậc nhất một ẩn số (Toán lớp 9)... Nhưng trong khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 và dạy ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ban A và lớp 10 THPT năng khiếu Toán - Lý - Hoá thì chúng ta gặp không ít những bài giải phương trình, hệ phương trình không có đường lối giải cơ bản dẫn đến việc giải rất khó khăn có khi không thể giải được, ví dụ như trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trong những năm gần đây đều có bài giải phương trình và hệ phương trình không có đường lối giải cơ bản. Nếu dùng một số thuật giải thì việc giải các phương trình đó sẽ dễ dàng hơn. Một trong những thuật giải mà tôi muốn trình bầy ở đây đó là: "Dùng ẩn phụ để giải phương trình". II. Mục đích của SKKN: Đây là những kiến thức mà tôi tổng hợp được qua việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, qua việc ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên ban A và kiểm nghiệm trong thực tế dạy chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phương trình" đã viết trước đó. Việc dùng ẩn phụ để giải phương trình có thể coi là một trong các đường lối chủ yếu để giúp giáo viên, học sinh có cách nhìn sâu hơn, rộng hơn khi giải phương trình, đặc biệt trong bồi dưỡng học sinh giỏi. Dùng ẩn phụ, ta đưa từ một phương trình phức tạp, nhất là các phương trình bậc cao, phương trình vô tỉ về những phương trình bậc thấp hơn, đơn giản hơn và những phương trình đó đã biết cách giải. Ví dụ 1: Giải phương trình: (x + 1)4 + (x + 3)4 = 16 Nếu ta hướng dẫn học sinh giải phương trình này bằng cách khai triển thông thường các kiến thức ở lớp 8 thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc 4 chưa có đường lối giải cụ thể. Tuy nhiên, nếu ta đặt ẩn phụ: t = x + 2. Thì ta đưa phương trình trên trở thành: (t - 1)4 + (t + 1)4 = 16 t4 + 6t2 - 7 = 0 Đây là phương trình trùng phương mà học sinh đã biết cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến số) như trang 54-57 sách giáo khoa Toán lớp 9 đã trình bầy. * Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 - 4x3 + 2x2 + 4x - 3 = 0 Rõ ràng đây là phương trình bậc 4 đầy đủ (lùi) mà học sinh chưa có công thức, đường lối giải. Nhưng chỉ nhờ phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) và một vài bước biến đổi tương đương thì học sinh sẽ biết cách giải ngay. x4 - 4x3 + 2x2 + 4x -3 = 0 (x4 - 4x3 + 4x2) - (2x2 - 4x) - 3 = 0 (x2 - 2x)2 - 2(x2 - 2x) - 3 = 0 Khi đó ta đặt: t = x2 - 2x. Lúc đó phương trình đựơc đưa về dạng: t2 - 2t - 3 = 0 Đến đây việc giải đơn giản đi rất nhiều. * Ví dụ 3: Giải phương trình: 19 + 10x4 - 14x2 = (5x2 - 38) Nếu không dùng ẩn số phụ thì chắc chắn khi dự thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm đó học sinh sẽ không thể giải được bài toán này. Nhưng nếu học sinh đã được dạy chuyên đề này thì học sinh sẽ giải bài toán này một cách dễ dàng và độc đáo. Điều kiện: x ; Đặt: t = ; (t ; t ) Khi đó phương trình đã cho trở thành: 19 + 10(t4 + 4t2 + 4) - 14(t2 + 2) = [5(t2 + 2)- 38]t Hay 10t4 - 5t3 + 26t2 + 28t + 31 = 0 10t2(t- )2 + .t2 + 28t + 31 = 0 (*) Ta thấy vế trái của (*) lớn hơn 0, t . Từ đó suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. Quả thật, dùng ẩn phụ đã giúp ta giải quyết được bài toán trên một cách nhanh gọn và chính xác. Chính vì thế mà phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) trong việc giải phương trình là điều kiện tốt, rèn luyện khả năng sáng tạo toán học cho học sinh, vận dụng linh hoạt các kiến thức của mình vào giải phương trình như biến đổi đồng nhất...Giúp học sinh giỏi có thể khái quát một vấn đề cụ thể, cách giải tổng quát của một phương trình, qua đó còn góp phần rèn luyện và nâng cao tư duy biện chứng cho học sinh. Ngoài ra, nó còn tạo cho học sinh biết nhìn nhận một sự vật hiện tượng theo quan điểm động. Dùng ẩn phụ để giải phương trình và hệ phương trình là một ví dụ sống động đối với chủ đề phương trình, hệ phương trình. Trong chương trình ở phổ thông hiện nay thì phương pháp đổi biến số chưa được đề cập và hệ thống hoá thành một công cụ quan trọng trong cách giải phương trình, hệ phương trình. Nó chỉ được giới thiệu qua, khi học sinh học bài giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số ở trang 19-20 và bài giải phương trình quy về phương trình bậc hai ở trang 54-57 sách giáo khoa Toán lớp 9 và nó cũng chỉ được giới thiệu và được phổ biến khái quát ở các lớp năng khiếu, lớp bồi dưỡng chuyên đề cho học sinh giỏi.... Chính vì vậy mà tôi viết đề tài này xin trân trọng giới thiệu cùng đồng nghiệp và lắng nghe những đóng góp của Ban giám khảo, của độc giả để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn./. Địa chỉ góp ý xin liên hệ với: Vũ Sỹ Hiệp Phó hiệu trưởng trường THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hưng Yên ĐTCQ: 0321.3832216; NR: 03213832099; DĐ: 01668859018 III. Đối tượng nghiên cứu, Phạm vi nghiên cứu: Là các phương trình bậc cao và các phương trình vô tỷ trong chương trình THCS, các đề thi chọn học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT chuyên các năm gấn đây khi gải phải đặt ẩn phụ mới gải được; Đề tài chỉ dạy cho học sinh giỏi cấp trường và được tập trung bồi dưỡng mỗi tuần ba buổi, mỗi buổi ba tiết ngay từ đầu năm học đến khi thi chọn học sinh giỏi cấp huyện (cuối tháng 12) xong tiếp tục ôn luyện để thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh (đầu tháng 4) và thi vào lớp 10 THPT chuyên (đầu tháng 7). IV. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp phân tích; - Phương pháp tổng hợp bằng bản đồ tư duy; - Phương pháp phân tích và tổng hợp; - Phương pháp khái quát hóa và tổng hợp hóa; - Phương pháp đặc biệt hóa. V. Kế hoạch nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức viết thành đề cương hướng dẫn chi tiết, lập kế hoạch chi tiết cho từng phần từng giai đoạn. Chọn đối tượng học sinh và tiến hành dạy chuyên đề song cùng với việc trải nghệm thực tế các đề thi có liên quan đến vấn đề cần giải quyết. Phần thứ hai Nội dung A – Nội dung lý luận liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm (những kiến thức cơ bản): I. Hiểu ẩn phụ như thế nào cho đầy đủ: Trước hết ẩn phụ phải xem là không phải ẩn ban đầu đã cho của bài toán. Việc thay ẩn phụ là mong rằng: Bài toán với ẩn phụ dễ giải hơn bài toán đã cho. Quy trình thống nhất của việc giải bài toán trong trường hợp này bao gồm hai bước: + Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn các ẩn phụ thích hợp (có thể là 1 hoặc nhiều ẩn phụ) rồi chuyển bài toán đã cho thành bài toán đối với ẩn phụ. + Bước 2: Tìm ẩn phụ rồi trở về tìm ẩn số ban đầu. II. Dấu hiệu để nhận biết các bài toán đặt ẩn phụ để giải: - Chỉ có những bài toán mà giữa các đại lượng tham gia trong bài toán có một mối liên hệ nào đó mà chính nhờ mối liên hệ này, các đại lượng này biểu diễn được qua các đại lượng kia mới có khả năng đặt được ẩn phụ. - Với các bài toán mà ẩn phụ có tác dụng thay đổi dạng bài toán thì các dấu hiệu dùng được ẩn phụ thông thường đã biết, đã được đúc kết trong lý thuyết hoặc trong kinh nghiệm có tính chất kỹ viện, ví dụ như việc đặt ẩn phụ để giải phương trình trùng phương - Toán lớp 9. III. Về việc tìm điều kiện cho ẩn phụ: Khi chuyển bài toán từ ẩn ban đầu sang bài toán đối với ẩn phụ, một trong các công việc phải làm là: Chuyển điều kiện của ẩn ban đầu sang điều kiện cho ẩn phụ đúng, chính xác. * Ví dụ: Giải phương trình: Điều kiện ban đầu x2 10 ; Đặt ẩn phụ: Ta có hệ phương trình: Với điều kiện của ẩn phụ là: B/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong khuôn khổ của chuyên đề, tôi xin trình bầy hai loại cơ bản mà khi thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT Chuyên ban, THPT năng khiếu và thi học sinh giỏi các cấp thường gặp đó là: Giải phương trình bậc cao bằng phương pháp đặt ẩn phụ và giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ. C/ Mô tả các giải pháp mới mà tác giả đã thực hiện làm cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi có chất lượng và hiệu quả. I. Giải phương trình bậc cao bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Phương trình bậc cao là loại phương trình mà cách giải rất phức tạp. Trong chương trình dạy học ở nhà trường phổ thông vấn đề này chưa được đề cập sâu. Phương trình bậc cao mới chỉ đề cập đến loại phương trình bậc hai, phương trình trùng phương. Các phương trình bậc cao với hệ số là các số thực chưa có một cách giải tổng quát, những phương trình giải được chỉ là phương trình đặc biệt, đó là những phương trình cụ thể (dễ). Còn những phương trình phức tạp, nếu không có phương pháp giải cụ thể, học sinh sẽ rất lúng túng trong khi giải. Để giải một phương trình bậc ba, bậc bốn ta có thể dùng phép thử trực tiếp để tìm ra một nghiệm đặc biệt, hoặc nhóm các số hạng để phân tích thành tích các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Phương pháp đặt ẩn phụ cũng là một phương pháp được áp dụng để giải một số phương trình loại này. Ta dùng ẩn phụ để đưa phương trình về bậc thấp hơn dễ giải hơn. Trong phần này tôi trình bầy cách giải một số loại phương trình bậc cao hay gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và thi tuyển sinh bằng phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến số) nhằm hỗ trợ các em học sinh một số hiểu biết về phương trình bậc cao. Phương pháp này sẽ tạo cho các em có định hướng tốt khi tiếp xúc với phương trình bậc cao, góp phần rèn luyện khả năng sáng tạo toán học. 1. Phương trình dạng: a[f(x)]4 + b[f(x)]2 + c = 0 (1) Trong đó: f(x) là biểu thức chứa ẩn; a, b, c R Cách giải: Đối với phương trình dạng này ta đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai với ẩn phụ đó, tức là ta đã đưa về phương trình bậc thấp hơn đã có cách giải hoặc đơn giản hơn. Đến đây ta thấy dễ dàng giải được phương trình vì ta đã đưa về dạng phương trình mà sách giáo khoa đã đề cập rõ ràng cách giải (phương trình bậc hai một ẩn số). Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0; (a 0) C1: Nếu a + b + c = 0 => x = 1; x = C2: Nếu a - b + c = 0 => x = -1 ; x= - C3: Nếu 0; () => x + x = - và x . x = => C4: Nếu b = 2b' => = b'2 - ac C5: Nếu b 2b' => = b2 - 4 ac C6: Phân tích vế trái thành tích 2 thừa số bậc nhất (hạ bậc) để giải: A.B = 0 Như sách giáo khoa Toán 9 đã trình bầy từ trang 40-53. * Ví dụ: Giải phương trình: (x2 + 2x)4 - 15(x2 +2x)2 - 16 = 0; ( 1.1) Đặt: t = (x2 + 2x)2; Điều kiện t 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 - 15t - 16 = 0 Giải ra ta được 2 giá trị: t = - 1 (loại) t = 16 (nhận) Với t = 16, thay vào ta có: (x2 + 2x)2 = 16 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = -1 + và x = - 1 - . Qua cách giải trên giáo viên có thể khái quát để giải phương trình dạng tổng quát. a[f (x)]2n + b[f(x)]n + c = 0; ( 1) Trong đó: f(x) là biểu thức chứa ẩn; a,b,c R Cách giải: Đặt: t = [f(x)]n; Điều kiện t 0 nếu n chẵn với cách đặt ẩn phụ trên ta đã đưa phương trình đã cho về dạng: at2 + bt + c = 0; (1'.1) đã biết cách giải. 2. Phương trình đẳng cấp đối với các biểu thức chứa ẩn: Dạng tổng quát: ay2α + byαzα + cz2α = 0; (2) Điều kiện: y = y(x); z = z(x); a, b, c R; a2 +b2 + c2 > 0 Cách giải: Nếu z(x) = 0 hoặc y(x) = 0 không là nghiệm của (2) Chia cả 2 vế của (2) cho z2α (x) ta được: a()2α + b()α + c = 0 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ bằng cách đặt t = ()α đưa phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0 đã biết cách giải. * Ví dụ 1: Giải phương trình: 3(x2 - x + 1)2 - 2(x+ 1)2 = 5(x3+1); (2.1) 3(x2 - x + 1)2 - 5(x + 1)(x2 - x + 1) - 2(x+ 1)2 = 0 Xét thấy x = - 1 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương trình cho: (x + 1)2 0, ta được: (ở đây y(x) = x2 - x + 1; z(x) = x + 1) 3.()2 – 5. – 2 = 0 Đặt: t = Phương trình (2.1) trở thành: 3t2 - 5t - 2 = 0 Giải ra ta được: t= 2; t= - Thay vào ta có: x= và x= Là nghiệm của phương trình đã cho. * Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 3)4 - (x2 + x - 6)2 = 2(x - 2)4 ; ( 2.2) Ta đi biến đổi phương trình để đưa về dạng tổng quát (2) vì x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) nên: (2.2) (x + 3)4 - (x + 3)2(x - 2)2 - 2(x-2)4 = 0 Nhận xét: x = 2 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương trình cho: (x - 2)4 0, ta được: ()4 - ()2 - 2 = 0 (ở đây ta thấy với y(x) = ; z(x) = x - 2) Do đó dùng phương pháp đặt ẩn phụ như sau: Đặt t = ()2; Điều kiện t . Ta có phương trình mới là: t2 - t - 2 = 0. Đến đây học sinh dễ dàng giải được tiếp. 3. Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m Hoặc [f(x) + a][f(x) + b][f(x) + c][f(x) + d] = m; (3) Thoả mãn điều kiện: a + b = c + d; v a + c = b + d; v a + d = b + c Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho tương đương với: [(f(x))2 + (a + b).f(x) + ab][(f(x))2 + (c + d).f(x) + cd] = m Do: a + b = c + d nên ta đặt : t = (f(x))2 + (a + b).f(x) + ab Khi đó phương trình trở thành: t(t - ab + cd) = m t2 + (cd - ab)t - m = 0 Đến đây việc giải tiếp dễ dàng. Qua đây ta cũng thấy được ưu điểm của phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình bậc cao bằng cách hạ bậc phương trình ban đầu để đưa về dạng phương trình bậc thấp hơn đã có cách giải. * Ví dụ: Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3; (3.1) a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 Ta thấy: a + d = b + c. Do đó: (3.1) (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 3 Đặt: t = x2 + 5x + 4; Khi đó (3.1) trở thành t(t + 2) = 3 t2 + 2t - 3 = 0 Giải ra ta được: t = 1 và t = -3 Cuối cùng ta được nghiệm của phương trình là: x = ; x= 4. Phương trình dạng: (ax + b)(ax + b)(ax + b)(ax + b) = x2; (4) Thoả mãn điều kiện: bb = bb. Cách giải: Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương trình cho x2 0. Ta được phương trình mới: [(ax2) + a (b + b) x + bb][(ax)2 + a (b + b)x + bb] = x2 => [a2x + + a(b+ b)][a2x + + a(b + b)] = Đặt: t = a2x + + a(b) Khi đó phương trình trở thành: t2 + a(b + b- b - b)t - = 0 Đến đây ta đã có cách giải phương trình này. * Ví dụ: Giải phương trình: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 6) = 2x2 ; (4.1) Nhận xét: 2.6 =3.4 Và x = 0 không là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế cho x2 0, ta được (4.1) => (x + + 8)( x + + 7) =2 Đặt: t = x + + 8 Ta có phương trình: t(t - 1) = 2 t2 - t - 2 = 0 t= - 1; t= 2 Giải lần lượt 2 phương trình: x + + 8 = - 1 và x + + 8 = 2. Ta có nghiệm của phương trình đã cho 5. Phương trình dạng: [f(x) + a]4 + [f(x) + b]4 = c; (5) Trong đó: f(x) là biểu thức chứa x; a,b,c Cách giải: Đặt: p = ; q = => a = p + q ; b = p - q Khi đó phương trình trở thành: (f(x) + p + q)4 + (f(x) + p - q)4 = c Và đặt: t = f(x) +p Lúc này ta được phương trình tương đương sau: (t + q)4 + (t - q)4 = c Hay: 2t4 + 12q2t2 + 2q4 = c. Như vậy, ta đã đưa phương trình chưa có hướng giải về phương trình đã có cách giải là phương trình với ẩn số mới là t. Mấu chốt ở đây là ta áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ: t = t(x) + p. * Ví dụ: Giải phương trình: (x + 3)4 + (x +5)4 = 16; (5.1) Đặt: t = x + 4 Ta có: (t -1)4 + (t+ 1)4 = 16 Hay: 2t4 + 12t2 + 2 = 16 t4 + 6t2 - 7 = 0 Đặt y = t2; Điều kiện t => y2 + 6y - 7 = 0 => y = 1 (nhận); y = -7 (loại) => t2 = 1 t = Thay vào ta có: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x1 = -3; x2= -5. 6. Phương trình lùi bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + k = 0; (6) Hoặc: ax4 + bx3 + cx2 + b = 0 ( 6) * Ví dụ: Giải phương trình: x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 = 0; (6) Nhận thấy: ; x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x2 0, ta được phương trình mới: => x2 + ()2 - (x - ) - 10 =0 Đặt: t = x - Phương trình trên trở thành: t2 - t - 6 = 0 Giải ra ta được: t Với t = 2; x - = 2 x2 - 2x - 2 =0 => x1 = 1 + ; x Với t = - 3; x - = - 3 x2 + 3x - 2 = 0 => x và x Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x; x; x 7. Phương trình lùi bậc 5: a; (7) Trong đó: a Nếu phương trình có dạng trên, ta thấy x = - là một nghiệm. Ta chia VT' cho x + và được: (x + Trong đó: là phương trình lùi bậc 4. * Ví dụ: Giải phương trình: x5 + x4 + x3 + 2x2 + 8x + 32 = 0; ( 7.1) Nhận thấy: (7.1) (x - 2)(x4 - x3 + 3x2 - 4 x + 16) = 0 Hoặc: x - 2 = 0 x = 2 Hoặc: x4 - x3 + 3x2 - 4x + 16 = 0 Nhận xét: x = 0 không phải là nghiệm . Chia cả hai vế cho x2 0 ta được: x2 + ()2 - ( Đặt: t = x + ta được phương trình mới: t2 - t - 5 = 0 => t Thay vào được hai phương trình bậc hai với ẩn ban đầu x và dễ dàng giải tiếp. II. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Phương trình vô tỉ là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Ngay từ đầu lớp 9 học sinh đã làm quen ở dạng đơn giản (định nghĩa căn bậc hai số học) đặc biệt là chương trình ôn thi chọn học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào THPT, THPT chuyên ban và THPT năng khiếu. Vấn đề này quả thật là khá nặng so với trình độ học sinh cuối cấp THCS. Song nhờ có chuyên đề này mà học nhiều năm gần đây chúng ta có nhiều học sinh thi đỗ học sinh giỏi cấp tỉnh và thi đỗ vào THPT chuyên ban, năng khiếu như các em Nguyễn Trung Hiếu (HQ); Nguyễn Đình Tùng (HQ); Nguyễn Hữu Thịnh (HQ); Mai Văn Nguyên (HQ); Nguyễn Anh Tuấn; Vũ Khánh Chi; Nguyễn Thị Hường (HV); Nguyễn Hồng Hạnh (HV)... Phương trình vô tỉ được hiểu là phương trình có ẩn số nằm trong dấu căn. Khi xét phương trình vô tỉ có rất nhiều phương pháp giải, một phương pháp khá phổ biến thường dùng là biễn đổi phương trình đã cho thành chương trình tương đương, bằng cách luỹ thừa cả hai vế để giảm bớt căn thức (phương pháp hữu tỉ hoá - đ/n căn bậc hai số học), hoặc dùng một số phương pháp đặc biệt khác. Một phương pháp mà không thể không đề cập tới là: Phương pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ). Trong phần này tôi sẽ trình bầy ứng dụng của phương pháp đặt ẩn phụ vào giải phương trình vô tỉ phổ biến hay gặp trong các đề thi gần đây, nhằm nâng cao hiểu biết và đặc biệt rèn luyện khả năng sáng tạo, khám phá cái mới của học sinh giỏi toán. Trước khi đi vào cụ thể, ta cần lưu ý một số kiến thức cơ bản sau: a có nghĩa a nếu A hoặc = - A nếu A < 0 ;B ) =; (B) ; () =; (A. a = x3 = ; (A ) * Ví dụ: Giải phương trình: 10 = 3(x2 - x + 6); (1) Điều kiện x - 2 Để phát hiện ẩn phụ, ta hãy tìm các mối liên hệ giữa các biểu thức chứa ẩn tham gia trong phương trình đó là: x+ 2; x2 - x + 6 và x2 - 2x + 4 Dễ thấy rằng: (x+2) ( x2 - 2x + 4) = x3 + 8 Chắc cũng ít ai nghĩ đến mối liên hệ thể hiện bởi hệ thức sau: (x+2)(x2 - 2x + 4) = x2 - x + 6. Khi đó phương trình (1) được biến đổi về dạng: 10- = 3[(x+2) +(x2 - 2x + 4)] ẩn phụ sẽ xuất hiện nếu ta chia cả hai vế cho x2 - 2x + 4 , Phương trình biến đổi về dạng: 10= 3[+1] Đặt U = ; Điều kiện U Thì phương trình với ẩn phụ u có dạng: 3U2 - 10U + 3 = 0 Trở về tìm x, bằng cách giải hai phương trình: = 3 9x2 - 19x + 34 = 0 (Phương trình vô nghiệm) = x2 - 11x - 14 = 0 x = (nhận) Vậy phương trình có 2 nghiệm : x= ; x= * Ví dụ2: Giải phương trình: = 2; (2) Nhận xét : = 1; Với Đặt t = ; Điều kiện: t Ta đưa được (2) về phương trình: t + = 2 Hay: t2 - 2t + 1= 0 (t -1)2 = 0 t = 1 Với t = 1 thay vào ta có: =1 x - = 1 = x-1 x = 1 (nhận). Vậy nghiệm của phương trình là x = 1. * Ví dụ 3 : Giải phương trình: ; (3) Điều kiện: Ta sử dụng phương pháp đổi biến số: Đặt ; Điều kiện U Ta có : U2 + V2 = 13 Giải phương trình (3) tương đương với việc giải hệ phương trình sau: (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. * Ví dụ 4: Giải phương trình: (4x- 1)=2x2 + 2x + 1; (4) Để khử tính vô tỉ, ta chọn u = và để làm xuất hiện u2 = x2 + 1, phương trình đã cho biến đổi về dạng. (4x - 1) (4x - 1)u = 2u2 + (2x-1) 2u- (4x-1)u - (2x+1) = 0 Đây rõ ràng là phương trình đối với ẩn u mà hệ số còn chữa x Có: = (4x - 1)2 - 8(2x+1) = (4x - 3) Phương trình đối với ẩn phụ u có các nghiệm là: u == Trở về tìm x, ta giải phương trình: x = Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là: * Ví dụ 5: Giải phương trình: x2 + =5; (5) Điều kiện: x , ta chọn u = ; u Ta có hệ phương trình: (Là hệ hai phương trình hai ẩn, ẩn x và ẩn u) Ta có hệ phương trình tương đương sau: Từ hệ (a) ta thu được phương trình: x2 - x - 5 = 0 x = (loại vì u) x = (nhận) Từ hệ (b) ta có phương trình: x2 + x - 4 = 0 x = (nhận) x = (loại vì u) Vậy thoả mãn điều kiện x , phương trình chỉ có hai nghiệm là: x và x III - hệ thống bài tập vận dụng: Trong phần này tôi xin trình bày thêm một số bài tập tương tự được sưu tập từ các tài liệu tham khảo nhằm cho học sinh giỏi có nhiều bài bài tập áp dụng ngay. Hỗ trợ tích cực cho các ví dụ của từng dạng bài giúp học sinh tập dượt nghiêm cứu tìm tòi sáng tạo lời giải mới. 1. x4 - 7x3 + 8x2 + 7x + 1 = 0. ĐS: 2. x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 = 0; ĐS: x 3. ; ĐS: x 4. (2x -1)(2x+3)(x+2)(x+4) + 9 = 0; ĐS: ; x 5. ; ĐS : Vô nghiệm 6. ; ĐS: Vô nghiệm 7. (x - 1) (x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297; ĐS: 8. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12; ĐS: 9. x(x+1)(x+2)(x+3) = 3; ĐS: 10. x(x + 1)(x -1)(x + 2) = 24; ĐS: 11. (x -4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680; ĐS: x 12. (2x + 1)( x + 1)2(2x + 3) = 18; ĐS: 13. (x2 - 6x + 9)2 - 15(x2 - 6x + 10) = 1; ĐS: x 14. (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) = 12; ĐS: x 15. 3(x2 + ; ĐS: 16. (; ĐS: x 17. 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0; ĐS: x 18. x4 + (x-1)4 = 97; ĐS: 19. (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82; ĐS: x 20. (x - 1)4 + (x -2)4 = 1; ĐS: x 21. (x - 7)4 + (x - 8) 4 = 82; ĐS: 22. ; ĐS: x 23. 3x2 + x ĐS: Vô nghiệm 24. x2 - 2x + 2(x+1) = 6 ĐS: Vô nghiệm 25. ; ĐS: x 26. - = 3; ĐS: x 27. 1 - = 0; ĐS: x = 5 Phần thứ ba. Kết luận 1. Những kết luận, đánh giá cơ bản về nội dung, ý nghĩa, hiệu quả của SKKN: Nhiều năm học qua, tôi thường xuyên được Ban giám hiệu nhà trường giao trọng trách tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi các môn Toán và Vật lý của nhà trường. Năm học nào trường tôi cũng có học sinh giỏi cấp huyện, được cấp trên tuyên dương động viên khích lệ. Niềm vui nối tiếp niềm vui, trong các năm học từ năm 1991-2008, tôi đã góp phần nhỏ bé vào thành tích mũi nhọn của nhà trường nói riêng và huyện nhà nói chung, cùng với đồng nghiệp đào tạo được nhiều em học sinh giỏi cấp huyện có em được dự thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, như các em học sinh: Trần Thị Vân T6 (HV); TRần Thị Hải Minh T9 (HL); Đỗ Thị Minh T9 (HL); Nguyễn Thị Thắm T7 (HL); Nguyễn Thành Trung T7,8,9 (HL); Nguyễn Duy Hiếu T6 (HL); Nguyễn Thị Hạnh T7 (HL); Nguyễn Xuân Hiệp T9 (HQ); Vũ Đình Đạt L8 (HQ); Nguyễn Thị Toán T9 (HV); Mai Văn Nguyên L9 (HQ); Mai Duy Thành T9 (HQ); Nguyễn Hồng Hạnh L9 (HV); Nguyễn Thị Hường T9 (HV); Nguyễn Trung Hiếu T6,7,8,9 (HQ); Nguyễn Hữu Thịnh L9 (HQ); Nguyễn Anh Tuấn T6,9 (HQ); Vũ Khánh Chi T8,9. Có được thành tích như vậy, phải nhờ đến sự chỉ đạo của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Ân Thi, của Ban giám hiệu, của chính quyền địa phương và của bạn bè đồng nghiệp đã định hướng, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được xây dựng và bồi dưỡng đào tạo mũi nhọn học sinh giỏi trong nhiều năm qua. Chính vì thế mà tôi có nhiều chuyên đề nhỏ, sáng kiến kinh nghiệm cá nhân được thể hiện và kiểm nghiệm qua thực tế dạy và học liên tục. Một trong những chuyên đề thành công nhất của tôi đó là chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phương trình" tài liệu dùng bồi dưỡng học sinh giỏi toán và là trang tham khảo rất bổ ích cho học sinh ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ban A và lớp 10 THPT Năng khiếu lớp Toán-Lý-Hoá. Có đối tượng học sinh hiếu học, có sự định hướng của các cấp lãnh đạo, có sự đồng tình ủng hộ của phụ huynh học sinh và có đội ngũ giáo viên tốt, ắt sẽ có học sinh giỏi. "sẽ có" là có thể có ngay sau khi bồi dưỡng năm đầu tiên mà cũng có thể phải đến những năm tiếp theo miễn là, không sợ chê bai, không dấu dốt. Phải kiên trì, cần cụ, nhẫn lại có lòng tin. Để có kết quả của lớp 9 ta phải định hướng bồi dưỡng đào tạo ngay từ lớp 6