Sáng kiến kinh nghiệm - Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ

A. Đặt vấn đề. Nhờ có sự quan tâm của Đảng và Nhà nước về công tác giáo dục - đào tạo (GD-ĐT), cùng với sự nỗ lực của học sinh, thời gian qua chúng ta đã đạt được một số thành tích đáng kể trong ngành GD-ĐT. Tuy nhiên nếu đánh giá một cách thổng thể, khách quan, thì hiện nay chất lượng, hiệu quả GD-ĐT còn thấp, chưa đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Nhìn chug trình độ kiến thức của học sinh, khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành.... còn yếu kém, chưa thích ứng được với thực tiễn xã hội, khả năng vận dụng kiến thức vào sản xuất, đời sống còn hạn chế. Đặc biệt trong chương trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các trường chuyên nghiệp thương gặp nhiều bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. Như vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có thể giải được loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là vấn đề khó khăn. Do đó khai gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt được cũng không cao ( không có điểm tối đa). Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có được những kiến thức và kỹ năng giải được thành thạo loại toán này, đáp ứng được mục tiêu tư duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em bạn một số phương pháp giải cơ bản về loại toán này. Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán... về phương trình và bất phương trình vô tỷ. B. Tên đề tài nghiên cứu: “Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ”. C. Mục đích nghiên cứu. - Tìm hiểu trên cơ sở lý luận về việc chuẩn bị lựa chọn phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. - Trên cơ sở tìm hiểu lý luận nhằm giới thiệu khái quát một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình. - Phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, áp dụng vào thực tế của từng bài toán. - Giải quyết triệt để những yếu kém mà học sinh thường mắc phải khi gặp các loại toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. D. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Tìm hiểu về phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. - Dự kiến được những khó khăn của học sinh khi giải các loại toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. E. Phương pháp nghiên cứu. - Nghiên cứu cơ sở lý luận về khả năng tư duy, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán phương trình và bất phương trình vô tỷ. - Tổng kết vận dụng cơ sở lý luận để đưa ra được một số phương pháp giải phù hợp đạt hiệu quả vào giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. Chương I: Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỷ. 1. Định lý 1: Phương trình = g (x) tương đương với hệ g (x) > 0 f (x) > g2(x) 2. Định lý 2: Bất phương trình > tương đương với hệ g (x) > 0 f (x) > g2(x) Chương II: Một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải phương trình và tỉ. Ta gọi phương trình vô tỉ là những phương trình tính chứa ẩn trong dấu căn cần tách các sai lầm sau: Ví dụ: Giải phương trình. (1) 1. Lời giải chuyển vế: (2) Bình phương hai vế: x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2 (3) Rút gọn: 2-7x = 2 (4) Bình phương hai vế. 4 - 28x + 49x2 = 4(15x2 - 13x + 2) (5) Rút gọn: (11x-2) (x-2) = 0 x1 = ; x2 = 2 II. Phân tích sai lầm. a. Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức. Thật vậy ở căn thức , phải có x > 1, do đó giá trị x = không phải là nghiệm của (1). Để khắc phục sai lầm này cần tập xác định của nghiệm phương trình (1) hoặc thử lại các giá trị tìm được của x vào phương trình ban đâu.f b. Sai lầm thứ hai. Là không đặt điều kiện để biến đổi triết học tương đương (4), (5) không tương đương, phương trình (4) tương đương với hệ. 2 - 7x > 0 (2 - 7x)2 = 4 ( 15x2 - 13x + 2) Do vậy phương trình (50 là phương trình hệ quả của phương trình (4) nó chỉ tương đương với 94) với điều kiện 2-7x > 0. Do đó x = 2 cũng không là nghiệm của (1). III. Cách giải đúng. Đặt điều kiện tồn tại của (1) là x > 1. Do đó x < 5x suy ra x - 1 < 5x - 1. Như vậy vế trái của (10 là số âm, còn vế phải không âm. Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 3. Định lý 3: Bất phương trình > g(x) tương đương với 2 hệ: f(x) > 0 g(x) < 0 g(x) > 0 f(x) > g2(x) 4. Định lý 4: Bất phương trình: < g(x) tương đương với hệ f(x) > 0 g(x) > 0 f(x) < 0 Chương III: Giới thiệu một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. I. Phương án 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn. Một trong các nguyên tắc để giải phương trình hoặc bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn, thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình, thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đưa phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dàng hơn. Ví dụ 1: Giải bất phương trình. Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là. 5x - 1 > 0 3x - 2 > 0 hay là x > 1 (*) x - 1 > 0 Với điều kiện (*) phương trình cho tương đương với phương trình. Cả hai vế của phương trình đều không âm, nâng lên luỹ thừa hai của cả hai vế ta được phương trình tương đương. 5x - 1 = 4x - 3 + 2 Hay là x + 2 = 2 Với x > 1 thì cả hai vế của phương trình trên đều không âm, bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương: (x+2)2 = 4 (x-1) (3x-2) Hay là: 11x2 - 24x + 4 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm: x1 = 2 và x2 = Ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện (*). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 Ví dụ 2: Giải bất phương trình. (1) Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 1 + x > 0 - 1 < x < 1 1 - x > 0 Ta xét các khả năng có thể sảy ra sau đây: 1. Nếu - 1 < x < 0: Khi đó (1) - x < (2) Do - 1 < 1 - x + 1 + x* - 2 2 - x2 > 2 4 - 4x2 = x4 > 4 - 4x2 x4 > 0 luôn đúng Với mọi x thoả mãn - 1 < x < 0. Vậy - 1 < x < 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. 2. Nếu 0 1 - x => < 0 (1) 1 + x + 1 - x - 2 < x2 2 - x2 < 2 4 - 4x2 + x4 - 4x2 x4 x = 0 Nghiệm này bị loại: Vậy nghiệm của bất phương trình là: -1 < x < 0 II. Phương pháp 2: Phương pháp khoảng. Nội dung của pháp pháp này là đưa các bất chương trình căn thức về bất phương trình tách, tìm nghiệm các thừa số rồi xét dấu để tìm nghiệm. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (x-3) < x2 - 9 (1) Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là x2 - 4 > 0 => |x| > 2 Hay là: x 2 Khi đó ta có: (1) (x-3) () < 0 (2) Xét phương trình: = 0, khio đó ta có: = 0 = x +3 x + 3 > 0 x2 - 4 = x2 + 6x + 9 x > - 3 => x = x = Xét dấu của vế trái của (20 ta có: - -2 2 + 3 - Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 3. Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x < x2 - 6 (1) Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 10 - x2 > 0 => x2 < 10 => |x| = Với điều kiện đó ta có: (1) x - x2 + 6 < (2) Xét phương trình: x - - x2 + 6 = 0 x = x2 - 6 x (x2 - 6) > 0 x2 (10 - x2) = x4 - 12 x2 + 36 - x4 = 11x2 + 18 = 0 - x2 = - - x = + 3; x = + x = 3 x = - Xét dấu vế trái của (2) ta có: - 3 + - Vậy nghiệm của bất phương trình là: < x < -, 3 < x < III. Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ. Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số. Thông thườngcó thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Chúng ta thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau: Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới. Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn mới. Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai). Ví dụ 5: Giải phương trình: x = + = 2 (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x > 0 x > 1 x - 1 > Đặt triết học = x + do x > 1 nên t > 1 Khi đó ta có: t2 = x = x - 1 + 2 => x = Phương trình (1) trở thành: t + = 2 => t2 + 2t - 3 = 0 => t = 1, t = -3 (loại) Vậy ta có: t = 1 => + = 1 => x + x - 1 + 2 => - x 1 - x > 0 x2 - x = 1 - 2x + x2 x < 1 <=. x = 1 Vậy ta có x = 1 x = 1 Ví dụ 6: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện phương trình có nghĩa là: 3x2 - 7x + 3 > 0 x2 - 2 > 0 (*) 3x2 - 5x - 1 > 0 x2 - 3x = 4 > 0 Đặt = b = b = c = d Điều kiện a, b, c, không âm, d dương. Khi đó ta có: 3x2 - 7x + 3 = a2 x2 - 2 = b2 => 3 (a2 - c2) = 2 (d2 - b2) 3x2 - 5x - 1 = c2 x2 - 3x = 4 = d2 Khi đó với điều kiện (*) ta có: (1) a - b = c - d a - b = c - d 3 (a2 - c2) = 2 ( d2 - b2) (b - d) (3a+3c+2b+2d) = 0 a,b,c > 0; d > 0 a, b, c > 0; d > 0 b = d > 0 x2 = 2 = x2 - 3x + 4 x = 2 thoả mãn điều kiện (*) Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1). Ví dụ 7: Giải phương trình: 7x2 + 7x = (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: 4x + 9 > 0 => x > Đặt: = t + (t > ) => = t2 + t + => 7t2 = 7t = x + khi đó. 7t2 = 7t = t + (2) (1) Lấy (2) trừ đi (3) ta có 7t2 = 7t = t + (3 ) 7(x2 - t2) + 7(x - t) = t -x => (x - t) (7x + 7t + 8) = 0 => xét hai khả năng xảy ra a. Nếu x - t = 0 => t= x. Thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = x + => 14x2 + 12x - 1 = 0 => x = Do điều kiện x = t ³ nên x = là ghiệm. b. Nếu 7x + 7t + 8 = 0 => t = thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = + => x = Kết hợp với điều kiện t³ ta có: x = Vậy nghiệm của phương trình là: x = , x= * Nhận xét: Muốn sử dụng phương pháp hệ phương trình ta thường đưa về hệ phương trình đối xứng hoặc quy về phương trình tích. Khi đặt ẩn phụ ta phải chú ý kiểm tra điều kiện của các ẩn mới và ẩn cũ. Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 (1 - x) = x2 - 2x - 1 (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x2 + 2x - 1³ 0 (2) Đặt t = => t2 = x2 + 2x - 1. Thay vào phương trình (1) ta có: 2(1-x)t = t2 - 2x + 1 - 2x - 1 hay t2 - 2(1-x)t - 4x = 0 Ta coi đây là một phương trình bậc hai đối với ẩn t. Khi đó ta có. = (1-x)2 + 4x = (1+x)2 => t1 = 1 - x + 1 + x = 2 t2 = 1 - x -1 -x = -2x Xét hai trường hợp: a. Với t = 2, từ đó suy ra x2 + 2x - 1 = 4 =>x2 + 2x - 5 = 0 => x = -1 Thoả mãn điều kiện bài toán b. Với t =-2x, = - 2x Phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho (1) có nghiệm x = -1 Ví dụ 9: Giải phương trình: 5. = 2(x2 + 2) (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x3 + 1 0 => x -1 Khi đó (1) 5.= 2(x2 + 2) Đặt U = (với điều kiện U 0; V0) V = Khi đó ta có: U2 = x + 1 => U2 + V2 = x2 + 2. V2 = x2 - x + 1 Thay vào phương trình trên Ta có: 5UV = 2(U2 +V2) => 2U2 - 5UV + 2V2 = 0 => U1 = 2V, U2 = V (Xét đó là phương trình bậc hai ẩn U) Xét hai trường hợp: a. Với U = 2V từ đó suy ra = 2 x + 1 = 4(x2 - x +1) 4x2 - 5x + 3 = 0 => = 52 - 4.4.3 <0 phương trình này vô nghiệm b. Với U = V => = 4(x + 1) = (x2 - x +1) x2 - 5x - 3 = 0 => x = IV. Phương pháp 4: Nhân với biểu thức liên hợp để quy về phương trình hoặc bất phương trình tích. Mục tiêu của phương pháp này là nhân với biểu thức liên hợp của căn thức nào đó để xuất hiện thừa số chung ở hai vế (nếu là bất phương trình thì có thể bằng phương pháp khoảng) Ví dụ 10: Giải bất phương trình: 2 - > x - 2 (1) Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:=> => x > 1 (2) Nhân hai vế của bất phương trình (1) với 2 + > 0 ta có: 4( x - 10 - (x + 2) > (x - 2) (2 + ) 3(x-2)(2 + - 3) <0 (3) Xét phương trình: 2 + = 0 2 + = 3 4( x - 1) + x + 2 + 4 = 9 4= 11 - 5x => x = 7 - 4 Xét dấu vế trái của (3) ta có: + + - 7-4 1 2 Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là: 7 - 4<x<2 Ví dụ 11: Giải phương trình + = + (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: => (8) Khi đó: (1) - = - = 2(x+2)=0 x + 2 => x = -2 Thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x = -2 V. Phương pháp 5: Phương pháp hàm số. Để sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là một dạng toán khá quen thuộc. Ta có ba hướng áp dụng sau: Hướng 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) =k Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử là hàm số đồng biến). Bước 3: Nhận xét - Với x = xo => f(x) = f(x) = k, do đó x = xo là nghiệm. - Với x > xo => f(x) > f(x) = k, do đó phương trình vô nghiệm. - Với x f(x) < f(x) = k, do đó phương trình vô nghiệm. Vậy x = xo là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng dẫn: Thực hiệnh theo các bước. Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = g(x) Bước 2: Xét hàm số; y = f(x) và y = g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến càn hàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến. Xác định xo sao cho f(xo) = g(xo) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = xo. Hướng 3: Thực hiện theo các bước. Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = f(x) Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó f(u) = f(V) U = V " U, V ẻ Df Ví dụ 12: Giải phương trình: Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x > 4x - 1 > 0 4x2 - 1 > 0 Nhận xét rằng: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị của hàm số y = và đường thẳng y = 1 Xét hàm số: y = Miền xác định: D = [ Đạo hàm: y’ = hàm số luôn đồng biến Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Thấy x = Ví dụ 13: Giải phương trình: (1) Giải: Đặt t = x2 - x Viết lại phương trình dưới dạng: (2) Điều kiện: - 3x < t < 2 Xét hàm số: f = Miền xác định: D = [-3; 2] Đạo hàm: f’ = hàm số tăng tiến D Xét hàm số g = 1 + Miền xác định D = [-3;2] Đạo hàm: g’ = hàm số giảm trên D Do đó phương trình (2) f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó phải là nghiệm duy nhất. Thấy t = 1 thoả mãn phương trình Khi đó: x2 - x = 1 x = Vậy phương trình có nghiệm x = VI. Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của nó. Ví dụ 14: Giải phương trình: Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa x > 1 (*) x2 + 2x + 5 > 0 x - 1 > 0 Nhận xét rằng: Chương IV: Một số bài tập đề nghị tự làm 1. Giải các phương trình Bài 1: x2 - 4x = 8 Bình phương 2 vế đưa về: (x2 + 8)(x2 - 8x + 8) = 0 Đáp: x = 4 + 2 Bài 2: HD: Đặt 2x2 - 9 x + 4 = a > 0, 2x + 1 = b > 0 đưa về Rút gọn => b = 0 hoặc b = a Đáp: Bài 3: HD: Điều kiện x > 1 Bình phương hai vế xuất hiện điều kiện x < - 1 nghiệm x = -1. Bài 4: 5 HD: Đặt Đưa về dạng: 5ab = 2(a2 + b2) Đáp số: Bài 5: Tìm được 2 < y < 3 Đáp: 6 < x < 11 Bài 6: HD: Ta thấy vế trái lớn hơn x, vế phải không lớn hơn x suy ra phương trình vô nghiệm VT= = ³ 2 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT= 2 x - 1 = 0 x = 1 * Chú ý: Việc sử dụng các tính chất trị tuyệt đối để giải phương trình, bất phương trình cũng là một hướng trong “phương pháp đánh giá” Ví dụ 15: Giải phương trình (1) Giải: Ta có: (1) + +=1 + = > 0 1< 1 Ê x - 1 Ê 4 => 2 Ê x Ê 5 Vậy nghiệm của phương trình là 2Ê x Ê 5 * Chú ý: - Rất nhiều học sinh giải bài toán này chỉ thu được nghiệm là x = 2 và x = 5 - Bài toán trên có thể giải như sau: = Chương V: Công việc chuẩn 1. Chuẩn bị của giáo viên Để có được những phương pháp giải toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ thì công việc chuẩn bị của giáo viên là hết sức quan trọng. * Việc thứ nhất: Nghiên cứu trước những tài liệu tham khảo nhằm nắm chắc nội dung mục đích yêu cầu của từng dạng toán để xác định rõ việc lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất. * Việc thứ hai: Giáo viên phải sắp xếp những phương pháp đã được chuẩn bị bằng những kiến thức cơ bản như: Định nghĩa, định lý, tính chất ... Nhằm lựa chọn những phương pháp giải thích hợp khai thác triệt để nội dung của từng dạng toán. II. Công việc chuẩn bị của học sinh. Để học sinh có những kỹ năng thực hành giải phương trình và bất phương trình vô tỉ thành thạo. Không lệ thuộc bị động học sinh cần phải có sự chuẩn bị kỹ về kiến thức cơ bản về mở đầu từ số vô tỉ căn bậc hai và các loại phương trình vô tỉ đơn giản nhằm thấy rõ được mục đích của việc lựa chọn và sử dụng phương pháp giải toán phù hợp III. Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp. Như những điều ta đã nói và được biết ai cũng có thể khẳng định bộ môn toán có nhiệm vụ hàng đầu là hình thức kỹ năng và phát triển tư duy thế nhưng để cho học sinh có được những kỹ năng giải loại toán phương trình và bất phương trình vô tỉ thì là vấn đề khó ngoài ra cần phát triển được khả năng phát triển tư duy khoa học. Do đó việc lựa chọn và sử dụng phương pháp giải hợp lý là một việc rất cần thiết. Muốn có được điều này thì trước hết học sinh cần phải nắm và hiểu sâu sắc nội dung và mục tiêu của từng dạng toán mới có được sự lựa chọn phương pháp giải tốt nhất đạt kết quả cao nhất. Như vậy để có được sự lựa chọn phù hợp phương pháp giải cũng như rèn luyện được kỹ năng giải toán của học sinh trước hết mỗi giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh thấy và biết phân nhóm được các loại toán phù hợp với từng phương pháp giải. Từ đó, việc thực hiện quá trình giải đơn giản đi rất nhiều không còn hiện tượng lúng túng tìm cách giải. IV. Kết luận Trên đây tôi đã giới thiệu một vài phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS - THPT đây không chỉ là vũ trang ban đầu về kiến thức và kỹ năng thực hành của học sinh mà còn hành trang cho các em trong những chương trình toán cao hơn đây là một cơ sở để kích thích các em tăng tính ham mê, thích học. Như vậy việc lựa chọn các phương pháp giải toán như đã giới thiệu trên đây bản thân đã nhận thấy được các em đã vận dụng tương đối hiệu quả, dễ dàng tìm cách giải và đạt hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy bản thân đã từng bước đưa các phương pháp này vào vận dụng giải toán và đã được kết quả tương đối tốt. Ngay từ lúc này việc giải loại toán phương trình và bất phương trình vô tỉ đối với các em học sinh không còn là một loại toán khó khăn như trước nữa. Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn thì ngay cả giáo viên và học sinh cần phải nỗ lực hơn nữa, cần phải có sự phân tích từng loại toán một cách chính xác. Tôi tin rằng trong một thời gian không lâu các phương pháp giải này sẽ trở thành một món ăn tinh thần cho những bạn học sinh. Qua đề tài này tôi rất mong được các bạn độc giả tham gia đóng góp ý kiến đề xuất để bài viết sau của tôi sẽ hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!