Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh nắm chắc các cách giải phương trình vô tỉ

Phần I Đặt vấn đề Toán học là một môn khoa học tự nhiên , nhiệm vụ chủ yếu của Toán là nghiên cứu các phương pháp tư duy đặc thù của toán học. Nhiệm vụ trong nhà trường hiện nay làgiáo dục đào tạo thế hệ tretrở thành những người toàn diện, vừa có đức vừa có tài, có bản lĩnh vững vàng và tư duy sáng tạo có trí hướng rèn luyện , để đưa đất nước tiến lên công nghiệp hoá, hiện đại hoá . Toán học là là một môn khoa học trí tuệ cao nhấ, đồng thời là chìa khoá mở cửa tạo nền cho tất cả các ngành khoa học. Song Toán học mà chúng ta đã đang và tiếp tục nghiên cứu đang chiếm ưu thế quan trọng trong giáo dục, đặc biệt là trong dạy học, học tập nó đòi hỏi ở người thầy một sự lao động nghệ thuật sáng tạotìm ra những phương pháp để dạy các em học sinh giải các bài toán, đó là nhiệm vụ trọng tân của những người thầy dạy Toán. Để học được môn toán trước hết phải luyện tập thật nhiều không chỉ là những bài toán trong sách giáo khoa mà cần sưu tầm các bài toán nâng cao, giải các bài toán đa dạng một cách khoa học, kiên nhẫn tỉ mỉ để tìm ra phương pháp giải súc tích ngắn gọn một cách nhanh nhất. Vì vậy tôi xin đưa ra sáng kiến " Giúp học sinh nắm chắc các cách giải phương trình vô tỉ " . Đây là một vấn đề mà học sinh lớp 9 gặp không ít khó khăn vì có thể kiến thức về căn bậc hai chưa nắm vững hay các bước tiến hành để giải phương trình chưa thành thạo. cho nên việc hướng dẫn, giúp đữ học sinh giải phương trình vô tỉ của giáo viên là hết sức quan trọng không những khắc sâu và nắm cách giải phương trình vô tỉmà còn nhằm phát huy tính tích cực tư duy sáng tạo gây hứng thú và lòng say mê học tập môn Toán. Phần II Nội dung Cơ sở khoa học Trong chương trình toán học phổ thông thì phương trình nói chung phương trình vô tỉ nói riêng là một trong những đơn vị kiến thức rất cơ bản và phổ biến, không những thế phương trình vô tỉ cũng thường xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi lớp 9. Vì vậy đối với học sinh lớp 9 các cách giải phương trình vô tỉ chẳng những giúp học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi mà còn là tiền đề cho học sinh học tốt chương trình toán học của bậc học cao hơn. B.Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy tôi thấy dạng phương trình vô tỉ`chiếm một phần kiến thức không nhỏ trong chương trình Đại số 9. Ngoài ra, qua tham khảo tôi thấy kiến thức này cũng quan trọng trong chương trình toán bậc THPT ...Hơn thế nữa phần kiến thức về cách giải phương trình vô tỉ học sinh nắm chưa vững hoặc có thể hiểu được các cách giải nhưng chưa vận dụng được vào bài toán cụ thể, Chính vì các lí do trên tôi chọn sáng kiến " Giúp học sinh nắm chắc các cách giải phương trình vô tỉ ". C. Nội dung cụ thể I. Hệ thống lí thuyết: Để giải được phương trình vô tỉ học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản : + Công thức của định nghĩa căn bậc hai số học = x x 0 và x2 = a + Hằng đẳng thức 2 = |A| + Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. + Cách đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn. + Cách tính nhẩm nghiệm. + Kiến thức về bất đẳng thức. II. Các cách giải a/ Cách 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học Bài 1: Giải phương trình = x (1) Giải Ta có : = x x 0 và x2 = 3x + 4 x2 = 3x + 4 x1 = -1: x2 = 4 Đối chiếu với điều kiện x 0 thì nghiệm của phương trình là x=4. b/ Cách 2 : Sử dụng Hằng đẳng thức 2 = |A| để đưa phương trình vô tỉ về dạng phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . Bài 2 : Giải phương trình += 4 (2) Giải Với điều kiện x4 ta có : += 4 2 + 2 | -2  | + | +2  | = 4 -2  + +2  = 4 Vì +2 0 x 4 Nếu -2 0 x 8 thì ta có : 2. = 4x = 8 ( thoả mãn ) Nếu -2 < 0 x< 8 thì ta có : +2+2- = 4 4= 4 Vậy phương trình có vô số nghiệm thoả mãn điều kiện 4 x 8. c/ Cách3 : Bình phương hai vế của phương trình đã cho để có phương trình hữu tỉ . Bài 3: Giải phương trình - = 2 (3) Giải : Điều kiện : x (3) = + 2 (3*) Hai vế phương trình (3*) không âm, ta bình phương hai vế và được : 2x+5 = 3x-5+4+44= 6 - x (3**) Với điều kiện 6-x0 x6 Hai vế phương trình (3**) không âm, ta bình phương hai vế và được : 16(3x-5) = 36 +x2 -12x x2 -60x +116 = 0 x1 =2 : x2 = 58 Đối chiếu với điều kiện x và x 6 thì nghiệm của phương trình là x=2. Chú ý rằng: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho hai vế của phương trình đều không âm (không dương) thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở phương trình này nếu chỉ có điều kiện x rồi bình phương hai vế của (3) và được : 2x+5 +3x -5 -2 = 4 2 = 5x - 4 (3***) Bình phương hai vế của (3***) và được : x2 – 60x +116 = 0 x1 =2 : x2 = 58 - Mà khi thử lại thấy, khi x=2 : VT = VP - Khi x=58 : VP # VT Rõ ràng chỉ x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho mà thôi. d/ Cách 4 : Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phương trình vô tỉ đơn giản hơn. Bài 4: Giải phương trình + = + (4) Giải : Ta có (4) +=+ (4*) Với điều kiện x 3 ta có : (4*) (-1)( -) = 0 .+=.+ -1= 0 và -= 0 =1 và = x= 0 ( loại ) và 2=3 (vô lí) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. e/ Cách 5 : Đặt ẩn phụ * Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc hai Bài 5 : Giải phương trình 3x2 +6x+20 = (5) Giải Ta có (5) 3.(x2 +2x +8)-4 = Vì x2 +2x +8 = (x+1)2 +7 TXĐ x Đặt t = t Khi đó ta có : (5) 3t2 -4 = t t = -1 (loại) và t = (loại) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm * Đặt ẩn phụ để có phương trình bậc cao Bài 6 : Giải phương trình x2 +x +12= 36 Giải ĐK x+1 0 x-1 Đặt =t t 0 x+1 = t2 x= t2 -1 x2 = t4 -2t2 +1 Khi đó ta có : t4 -2t2 +1+ t2 -1+12t -36 = 0 t4 -t2 +12t -36 = 0 t4 -2t3 +2t3 -4t2 +3 t2 -6t +18t -36 = 0 t3(t-2) + 2t2(t-2) +3t(t-2) +18(t-2) = 0 (t-2)(t3+2t2 +3t+18)=0 t= 2 hoặc t3+2t2 +3t+18 = 0 (Vô nghiệm vì t 0 ) t3+2t2 +3t+18 18 > 0 t = 2 x=3 >-1 Vậy nghiệm của phương trình là x=3 * Đặt ẩn phụ để có phương trình hữu tỉ đơn giản Bài 7 : Giải phương trình x2 + =2004 Giải ĐK x -2004 Đặt y = y2 = x+2004 Theo phương trình đã cho thì x2 +y = 2004 Vậy ta có hệ : x2 +y =2004 y2 =x + 2004 Giải hệ ta được : x= y và x = -y + Khi x=y x= > -2004 (thoả mãn ) + Khi x= -y x= > ( thoả mãn ) Vậy nghiệm của phương trình là : x= f/ Cách 6 : Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất Bài 8: Giải phương trình + = 2 Giải Ta thấy với x= 0 thì giá trị VT =0 và VP =0 . Vậy x= 0 là nghiệm của phương trình . Giả sử phương trình có nghiệm x> 0. Tiến hành chia hai vế phương trình cho , ta có : + =2 Mà > và > + = 2 vô nghiệm Vậy phương trình + = 2 không có nghiệm x>0 Giả sử phương trình có nghiệm x< 0. Tiến hành chia hai vế phương trình cho , ta có : + =2 Mà > và > + =2vô nghiệm Vậy phương trình + = 2 không có nghiệm x<0 Kết luận chung : x= 0 là nghiệm duy nhất của phương trình g/ Cách 7 : Sử dụng Bất đẳng thức * Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Bài 9: Giải phương trình - = Giải Đk x3 Khi đó ta có < Giá trị của VT nhận giá trị âm, mà 0 Giá trị của Vp lại không âm Do đó phương trình đã cho vô nghiệm * Chứng tỏ tập giá trị của hai vế giao nhau tại cùng một giá trị khi đó phương trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn Bài 10 : Giải phương trình + = 2- 2x- x2 Giải : Ta có Dấu “=” xảy ra x= -1Giá trị VT +=3 Dấu “=” xảy ra khi x= -1 mà 2-2x -x2=-(x2 +2x+1) +3 =-(x+1)2+3 3 Giá trị VP 3. Vậy x= -1 là nghiệm của phương trình đã cho * Sử dụng dấu “=” xảy ra trong BĐT Bài 11 Giải phương trình += 4 Giải ĐK x>2 ta có > 0 ; > 0 áp dụng a+b2ab, a,b0. Dấu “=” xảy ra a=b Ta có : +.= 4 + = 4 = ()2 = 4 x = 6 >2 ( thoả mãn) Vậy nghiệm của phương trình là x= 6 III . Hiệu quả