Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài tập cực trị hình học trong chương trình sách giáo khoa THCS

Phần 1: đặt vấn đề T rong quá trình giải toán, ta thường gặp các bài toán về tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó (độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích của một hình nào đó...). Các bài toán này gọi là các bài toán cực trị hình học. Bài toán cực trị hình học là một dạng toán giúp phát triển tư duy mạnh, nó đòi hỏi HS phải có cái nhìn “động” đối với một hình tưởng như “chết cứng” trên giấy, do đó nó chỉ thích hợp với đối tượng là học sinh khá, giỏi. Chính vì lẽ đó mà các bài toán cực trị hình học trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở có số lượng rất khiêm tốn, nó thường được đưa vào câu b) hay c)... của một bài toán sau khi đã giải quyết các yêu cầu - thường có mục đích phục vụ cho việc tìm cực trị. Khi giải các bài tập hình học, nhiều khi học sinh khá, giỏi rất “ngại” phải tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hình nếu như chưa được trang bị các công cụ cần thiết để giải, còn giáo viên - nếu như có đối tượng học sinh không phải “chất lượng cao” thì hầu như bỏ qua loại bài tập này. Bản thân tôi, trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập tôi cũng thường lướt qua chúng mà chưa kịp định hướng cho các em sử dụng các “công cụ chuyên dụng” - các bất đẳng thức, do vậy các em gặp rất nhiều khó khăn khi phải lục tìm trong trí nhớ của mình các kiến thức để có thể vận dụng được. Trong các tiết luyện tập trên lớp, thường không có đủ thời gian để có thể hướng dẫn cho học sinh biết, cũng như hiểu tất cả các bất đẳng thức trên. Do vậy giáo viên có thể đưa nội dung này vào thành nội dung của một tiết tăng cường trong các buổi học 2. Phần 2: nội dung A. Các kiến thức cơ bản Các bài toán cực trị hình học thường được trình bày theo hai cách: Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của mọi hình khác. Cách 2: Thay điều kiện một đại lượng cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí các đại lượng hình học để đạt cực trị. Để giải bài tập loại này ta cần phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản trong hình học và trong đại số sau đây: Bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc các điểm Trong tam giác ABC, ta có: |AB – AC| < BC < AB + AC ABC ACB AC AB Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: ABAC + BC. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Quan hệ này thường được sử dụng như sau: Trong các tam giác vuông có cạnh góc vuông AH, cạnh huyền AB thì ABAH, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B trùng với H. Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất. Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Các bất đẳng thức đại số Các bất đẳng thức thường sử dụng: Bất đẳng thức Cô-si: Nếu x0, y0 thì . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Nếu x0, y0 thì . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Nếu x 0, y 0 mà x + y là hằng số thì xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = y. Nếu x 0, y 0 mà xy là hằng số thì x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. Ví dụ 1 (bài 21-tr 64/sgk toán 7 tập 2): Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B(hình 19). Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất. B C B A Hình 19 B. Các ví dụ Bài tập này đưa ra khi HS học xong bài “Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác”. Đây là bài toán thực tế nên học sinh sẽ dễ dàng tìm thấy vị trí của điểm C bằng cách dóng đường thẳng AB, rồi chọn điểm C nằm trên đoạn thẳng AB này. Tuy nhiên việc các em chứng minh được: khi điểm C nằm trên đoạn thẳng AB - độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất thì chắc chắn còn lúng túng. Giáo viên nên gợi ý: Nếu điểm C không nằm trên đoạn thẳng AB thì tổng độ dài đường dây dẫn được tính như thế nào? So sánh độ dài này với độ dài AB. Giải: Dóng đường thẳng AB, trên bờ sông gần khu dân cư, lấy điểm C nằm trên đoạn thẳng AB, khi đó độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất. Thật vậy: Nếu điểm C nằm ngoài đường thẳng AB (ba điểm A, B, C không thẳng hàng), trong tam giác ABC ta có AC + CB > AB. (1) Nếu điểm C nằm trên đoạn thẳng AB, ta có AC + CB = AB (2) Từ (1) và (2) suy ra AC + CB AB. Vậy khi điểm C nằm trên đoạn thẳng AB thì độ dài dây dẫn là nhỏ nhất. Bài tập này là cơ sở để làm bài tập 24 tr 26/sbt toán 7 tập 2.Ví dụ 2 (bài 24-tr 26/sbt toán 7 tập 2): Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất. . A . B d Bằng hoạt động trực quan, giáo viên có thể vẽ minh hoạ một vài điểm C1, C2, ... ở rất xa so với C để học sinh rút ra nhận xét. Từ đó dự đoán được điểm C cần tìm và chứng minh. d A B C C’ Giải: Gọi C là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng AB, C’ là điểm bất kì nằm trên đường thẳng d (CC’). Trong tam giác ABC’ ta có: AC’ + C’B > AB. Mà AB = AC + CB. Suy ra mọi điểm C’ C đều có AC’ + C’B > AC + CB. Vậy điểm C cần tìm là giao của đường thẳng d và đoạn thẳng AB. Ví dụ 3 (bài 48-tr 77/sgk toán 7 tập 2): Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN. M L y I N x Bài toán nằm trong phần kiến thức về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, học sinh sẽ phải sử dụng các kiến thức này, tuy vậy, công cụ chính cũng vẫn là bất đẳng thức tam giác. Giải: L đối xứng với M qua xy nên đường thẳng xy là đường trung trực của đoạn thẳng ML, điểm I nằm trên đường thẳng xy nên IM = IL. Gọi K là giao điểm của xy và LN. Nếu I trùng với K, ta có: IM + IN = KM + KN = LK + KN = LN. Nếu I không trùng với K, trong tam giác ILN ta có IM + IN = IL + IN > LN. Vậy IL + IN LN. Ví dụ 4 (bài 62-tr 31/sbt toán 7-2): Cho hình vẽ sau, M là một điểm tuỳ ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC. Hãy so sánh MA + MB với BC. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất. A C a M B Có nội dung tương tự như trên, đó là bài tập 62 tr.31/sbt toán 7 tập 2. Giải: Gọi H là giao diểm của đường thẳng a với AC. A C a M B H N MHA = MHC (c.g.c)=> MA = MC. Do đó MA + MB = MC + MB. Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC, ta có NA = NC. Nếu M không trùng với N thì MA + MB = MC + MB > BC (bất đẳng thức trong tam giác MBC). Nếu M trùng với N thì MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC. Vậy MA + MB BC. Từ câu a) suy ra khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất. Cũng giống như ví dụ 1, các bài tập trên là gợi ý cho bài toán thực tế sau: Ví dụ 5 (bài 49-tr 77/sgk, bài 63 tr.31/sbt toán 7-2): Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm A và B (h. 44). Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất. A B C Hình 44 Giải: Coi bờ sông là đường thẳng xy, hai vị trí xây nhà máy ở A và B chính là hai điểm M và N, áp dụng bài 48 ở ví dụ trên, ta suy ra cách xác định .A .B C x y vị trí xây trạm bơm như trong hình vẽ. Bài toán có nhiều ứng dụng trong thực tế, là một dạng bài toán quy hoạch đơn giản. Ví dụ sau cũng cùng dạng đó. Ví dụ 6 (bài 85 tr 33/sbt toán 7-2): Cho bốn điểm A, B, C, D như hình vẽ. Hãy tìm một điểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất. .A .B .C D. A B M CA DA Giải: Xét M là một điểm tuỳ ý. Ta luôn có: MA + MC AC (xảy ra dấu “=” khi M thuộc đoạn thẳng AC). MB + MD BD (xảy ra dấu “=” .C D. . M .A .BA khi M thuộc đoạn thẳng BD). Do đó: MA + MB + MC + MD AC + BD (xảy ra dấu “=” khi M thuộc đoạn thẳng BD và M thuộc đoạn thẳng AC hay M là giao điểm của AC và BD). Vậy tổng MA + MB + MC + MD nhỏ nhất bằng AC + BD khi M là giao điểm của AC và BD. Ví dụ 7 (bài 39 tr 88/sgk toán 8-1): a) a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với A qua d, D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D). Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB. b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B. Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào? A. . B Bài toán này nhằm củng cố cho học sinh kiến thức về đối xứng trục. Nói rằng đây là kiến thức mới cũng đúng, mà nói rằng nó là cũ cũng vẫn đúng vì thực ra nó chính là ví dụ 4 ở trên (bài 62-tr 31/sbt toán 7-2), nhưng được phát biểu dưới nội dung của kiến thức mới. Nếu các em nắm chắc các kiến thức về phép đối xứng, và bất đẳng thức tam giác thì đây là bài toán đơn giản. C D E B A d Giải: Ta có: AD + DB = CD + DB = CB; (1) AE + EB = CE + EB; (2) CB < CE + EB. (3) (bất đẳng thức trong tam giác BCE) Từ (1), (2), (3) suy ra: AD + DB < AE + EB Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường ADB. Thông qua các bài toán này, các em sẽ thấy được các ứng dụng quan trọng của toán học đối với cuộc sống, thấy được toán học gần gũi thế nào. Chính vì vậy khi hướng dẫn các em giải bài tập ta nên giải quyết hết số bài tập trên. Muốn vậy, cần cung cấp đủ công cụ cho các em.Thực hiện việc này không khó vì các kiến thức vừa học được áp dụng ngay sau đó.Tuy nhiên khi lên lớp 8, các em có thể “quên” công cụ này , do vậy giáo viên cũng cần nhắc lại kiến thức. Nhận xét: Các bài toán trên thuộc loại toán quy hoạch, có liên hệ để ứng dụng nhiều trong thực tế, chúng có thể còn được phát biểu như sau: Hai công trường A và B ở cùng phía một con đường thẳng. Cần đặt bãi tập kết vật liệu ở vị trí nào cạnh con đường để tổng độ dài quãng đường từ bãi tập kết vật liệu đến A và đến B là nhỏ nhất? Có bốn khu dân cư ở bốn điểm A, B, C, D. Tìm một địa điểm để đặt một trạm biến thế sao cho tổng độ dài đường dây từ trạm đến các khu dân cư là nhỏ nhất. ... Ví dụ 8 (bài 12tr 106- tổng hợp kiến thức toán THCS 8): Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với AB. Tìm trên d một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Giải: Chu vi tam giác ABC bằng tổng AB + AC + BC. Để chu vi tam giác nhỏ nhất thì tổng trên phải có giá trị nhỏ nhất. Vì AB cố định nên A B C C’ d B’ I chu vi tam giác chỉ phụ thuộc vào tổng AC + BC. Khi đó, bài toán trở thành tìm điểm C trên d để tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định cho trước là nhỏ nhất. Dựng điểm B’ đối xứng với điểm B qua d d là đường trung trực của đoạn thẳng BB’. Nối AB’, đường thẳng d cắt AB’ tại C, đó là điểm cần tìm. Thật vậy: Vì C nằm trên đường trung trực của BB’ nên BC = B’C, do đó: CA + CB = CA + CB’ = B’A, đoạn thẳng B’A ngắn hơn bất kì tổng C’A + C’B nào (C’ là điểm bất kì thuộc d, C’C) vì theo bất đẳng thức tam giác thì C’A + C’B > AB’. Ví dụ 9 (bài 114tr 72 sbt toán 8-1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4 cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tứ giác ADME là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất. Để giải bài tập này cần phải huy động kiến thức về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, ứng dụng kiến thức mới học là tính chất hình chữ nhật. Giải: Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. DBM vuông, có B = 450 nên là tam giác vuông cân. Suy ra DM = DB. A B C D E M H Chu vi hình chữ nhật ADME bằng: 2.(AD + DM) = 2.(AD + DB) = 2AB = 2.4 = 8 (cm). b) Gọi H là trung điểm của BC, ta có AH BC. ADME là hình chữ nhật nên DE = AM. Ta có DE = AM AH. (AM là đường xiên, AH là đường vuông góc). Dấu “=” xảy ra khi MH. Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi điểm M là trung điểm của BC. Ví dụ 10 (bài 127 tr 73/sbt toán 8-1) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. So sánh các độ dài AM, DE. Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất. B A H C D E M Bài tập này và bài Ví dụ 9 (bài 114tr 72 sbt toán 8-1) có nội dung tương tự nhau, chỉ có một chút thay đổi ở phần giả thiết và yêu cầu hơi khác, còn các công việc phải làm để đi đến kết quả là như nhau. Giải: Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Ta có AM = DE. Kẻ AH BC. Ta có DE = AM AH. Dấu “=” xảy ra khi MH. Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường cao kẻ từ A đến BC. A B Ví dụ 11 (bài 3 tr 178/Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 8) Hai làng A và B ở hai bên bờ một con sông mà hai bờ sông được coi như hai đường thẳng song song. Hỏi phải bắc cầu qua sông ở vị trí nào để đường đi từ làng A đến làng B là ngắn nhất? Biết rằng cầu được bắc vuông góc với hai bờ sông. Bài tập này cho ta liên tưởng đến ví dụ 1 trên đây. Tuy nhiên, điểm khác biệt giữa bài này và ví dụ 1 ở chỗ đường thẳng d được thay thế bởi con sông. Cái khó của bài này là tìm mối liên hệ giữa AC và BD – sử dụng tính chất hình bình hành. A B B’ N D Q C M P Giải: Giả sử NM và PQ là hai bờ sông song song với nhau, C, D là hai đầu cầu và CD vuông góc với MN và PQ, còn AC + CD + DB là tổng độ dài đường đi từ làng A đến làng B. Vì độ dài CD không đổi nên AC + CD + DB nhỏ nhất úAC + BD nhỏ nhất. Từ B dựng BB’// CD và BB’ = CD => BB’CD là hình bình hành, nên DB = B’C. Vậy AC + DB nhỏ nhất ú AC + CB’ nhỏ nhất úA, C, B’ thẳng hàng. Ví dụ 11 (bài 6 tr.178/Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 8) a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất? b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ nhất? Đây là một bài toán đòi hỏi phải tư duy, nó không thể trực quan như các ví dụ trên đây, nhưng nó cũng không phải là quá khó, có thể giới thiệu thêm, bởi vì cũng có thể liên hệ ít nhiều đến thực tế. Giải: Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y (x, y > 0). Ta có: (x – y)2 0 ú x2 + y2 2xy ú x2 + 2xy + y2 2xy + 2xy ú (x + y)2 4xy. a) Chu vi hình chữ nhật không đổi nên x + y là hằng số, do đó xy lớn nhất ú x = y. Vậy hình vuông có diện tích lớn nhất. b) Diện tích hình chữ nhật không đổi nên xy là hằng số, do đó x + y nhỏ nhất ú x = y. Vậy hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Phần 3: Kết luận T rong thế giới hình học, mỗi dạng bài tập có một sắc thái riêng, có tác dụng phát triển riêng một năng lực tư duy nào đó, có những ứng dụng nhất định nào đó trong vô vàn những mặt của cuộc sống. Ta có thể thấy rõ ràng các ứng dụng không thể nào bác bỏ được của bài toán cực trị hình học đã được giới thiệu trong chương trình toán THCS qua các ví dụ trên đây, đó chính là một trong những yếu tố góp phần làm cho học sinh thêm yêu môn học. Với kinh nghiệm đã được kiểm chứng của bản thân tôi trong quá trình dạy học: đưa nội dung này thành một chuyên đề thực hiện trong hai tiết học, một tiết hướng dẫn phần tìm hiểu các công cụ - các bất đẳng thức, một tiết giải các bài tập áp dụng phù hợp với kiến thức hiện thời của học sinh, từ đó khi gặp các bài toán cực trị, đa số các em không còn lúng túng như khi chưa được trang bị công cụ này. Hãy là người định hướng, dẫn dắt các em tiếp cận tri thức của loài người một cách chủ động, giống như một người nông dân khi muốn cắt cỏ thì phải biết chọn lấy chiếc liềm trong rất nhiều nông cụ khác.