Sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải Toán tổ hợp

Sở GD&ĐT Yên Bái Trường THPT thị xã Nghĩa Lộ SáNG KIếN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán tổ hợp người viết: Hoàng Thị Hoa Tổ: Toán- Tin Trường: THPT thị xã Nghĩa Lộ Nghĩa lộ, ngày 7 tháng 04 năm 2009 mục lục Phần I : Mở đầu 1- Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán học THPT chương “Tổ hợp và xác suất” là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, chủ đề này có rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới và chủ đề này cũng có nhiều bài toán khó. Vì vậy trong quá trình dạy và học sẽ gặp những khó khăn nhất định. Thực tế giảng dạy cho thấy không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ toán học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa. Đặc biệt học sinh hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng với quy tắc nhân. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tổ hợp nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải toán tổ hợp ” 2- Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung tổ hợp và xác suất được trình bày trong một số SGK (những năm trước đây và hiện tại) nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy đồng thời nghiên cứu chủ đề này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán tổ hợp. 3- Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khối 11 bậc trung học phổ thông. - Nội dung phần tổ hợp và xác suất trong chương trình toán THPT. 4- Phạm vi nghiên cứu và áp dụng của đề tài - Phạm vi nghiên cứu: Phần tổ hợp của chương II: “ Tổ hợp và xác suất” lớp 11 phân ban. - áp dụng đề tài: Lớp 11 ban A trường THPT thị xã Nghĩa Lộ. 5- Nhiệm vụ của đề tài: - Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản đại số tổ hợp. - Rèn luyện những kỹ năng và thao tác khi làm các bài toán về đại số tổ hợp, cụ thể: +) Các bài toán cơ bản giúp học sinh củng cố lại kiến thức dẫn đến các em sẽ hiểu và biết cách trình bày bài. +) Các bài toán được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp học sinh trở nên linh hoạt trong việc chọn lựa phương pháp giải. +) Các bài toán được đưa ra cùng những lời giải sai mà nhiều học sinh dễ mắc phải, giúp các em hiểu một cách thấu đáo hơn, cặn kẽ hơn giúp các em tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng hơn. 6- Phương pháp nghiên cứu - Điều tra, quan sát. - Thực nghiệm sư phạm - Tổng kết rút kinh nghiệm - Xây dựng một hệ thống bài tập hợp lý, phân loại các dạng bài tập từ đó lựa chọn các ví dụ cụ thể hướng dẫn cụ thể từng loại, phân tích tỉ mỉ những sai lầm để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. 7- Thời gian nghiên cứu Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 11 ban KHTN (SGK thí điểm) và khối 11 ban A bậc phổ thông trung học. Từ năm 2005 cho đến nay. Phần II: nội dung của đề tài ChưƠng 1: Cơ Sở lý luận của đề tài - Trong khoa học cũng như trong đời sống chúng ta thường gặp bài toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó. Ta gọi đó là bài toán đếm. Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu nhiều vấn đề mang cấu trúc rời rạc trong đó có bài toán đếm. Kỹ năng và kiến thức của toán tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều môn khoa học từ kinh tế tới sinh học, tin học, hoá học, quản trị kinh doanh. - Phần tổ hợp trong chương II “ Tổ hợp và xác suất” lớp 11 phân ban có mục đích trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm cơ bản, các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Nhờ đó chúng ta có thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần liệt kê và nhiều khi cũng không thể liệt kê được vì số lượng các phần tử đó là rất lớn. - Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT. - Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh khối 11 ban A của hệ THPT trong việc học tập bộ môn đại số và giải tích. Chương 2: Thực trạng của đề tài. Trong nội dung Tổ hợp và xác suất thì tổ hợp lâu nay vẫn được xem là dạng toán khó, bởi những khái niệm khó nhớ, khó phân biệt. Do đó các khái niệm và các công thức ở chương này là hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh. Với quy tắc cộng thì trên thực tế học sinh đã làm quen từ lớp dưới một cách chưa có ý thức. Bản chất toán học của quy tắc cộng là công thức tính số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau. Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không có phần tử chung thì . Tuy nhiên quy tắc cộng trong SGK được trình bày dưới dạng mô tả: Giả sử có một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện theo phương án A và m cách thực hiện theo phương án B. Khi đó công việc được thực hiện theo n + m cách. Quy tắc này đơn giản nhưng do không nắm vững nên học sinh vẫn hay mắc sai lầm. Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này, bởi vì: Những nội dung này mới được đưa vào chương trình, cách suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học. Còn đối với học sinh, lần đầu tiên học sinh được học các quy tắc cộng và quy tắc nhân, các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là mới và khó. Do đó vấn đề dạy và học chủ đề Tổ hợp và Xác suất cần được nghiên cứu rèn luyện cho học sinh nắm vững bản chất của các khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và phân biệt các khái niệm đó với nhau. Nắm vững các kí hiệu: là số chỉnh hợp chập k của n chứ không phải là chỉnh hợp chập k của n phần tử, là số tổ hợp chập k của n chứ không phải là tổ hợp chập k của n phần tử, là số hoán vị của n phần tử . Cần rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài toán đếm số tổ hợp ,chỉnh hợp, các bài toán về hoán vị thẳng, hoán vị vòng, các bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập...với mức độ phổ thông, cơ bản, theo yêu cầu sát với thực tiễn Chương 3: Giải quyết vấn đề. A – Kiến thức cơ bản Trong các giờ lý thuyết cần làm rõ cho học sinh các khái niệm cơ bản, để học sinh phân biệt được quy tắc cộng với quy tắc nhân, khi nào thì dùng quy tắc cộng, khi nào thì dùng quy tắc nhân. Phải phân biệt rõ cho học sinh các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Để làm được điều đó cuối tiết lý thuyết bài “ Hai quy tắc đếm cơ bản” cần dành một thời gian để củng cố bằng cách Bước 1: Cho học sinh phân biệt thế nào là công việc được thực hiện bởi nhiều phương án, thế nào là công việc được thực hiện bởi nhiều giai đoạn. Bước 2: Cho học sinh làm một số bài tập trắc nghiệm về việc đếm số thực hiện một công việc nào đó bằng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân. Để sau tiết học đó học sinh phân biệt được một công việc có nhiều phương án thực hiện tức là ta có thể thực hiện theo phương án này thì không cần thực hiện theo phương án kia vẫn hoàn thành công việc, khi đó để đếm số cách có thể thực hiện công việc này dùng quy tắc cộng. Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn tức là để hoàn thành công việc đó phải lần lượt thực hiện từng bước không được bỏ qua bước nào mới xong được công việc khi đó dùng quy tắc nhân. Cuối bài “ Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp” cần phân biệt rõ cho học sinh các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp bằng cách cho học sinh tìm sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập của phần tử và tổ hợp chập của phần tử (), tìm sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập của phần tử và hoán vị của n phần tử. Để cuối tiết học học sinh rút ra được kinh nghiệm là sau khi chọn được một nhóm đối tượng ta tráo đổi vai trò của hai phần tử cho nhau nếu được một cách chọn mới thì đó là chỉnh hợp. Nếu không được cách chọn mới thì đó là tổ hợp. 1- Quy tắc cộng, quy tắc nhân. a) Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo hai phương án Phương án có thể làm bằng n1cách Phương án có thể làm bằng n2 cách Khi đó công việc đó có thể được thực hiện bởi n1+ n2 cách Ví dụ: Một lớp có có 18 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cần chọn một học sinh hoặc là nam hoặc là nữ để đi dự đại hội đoàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này Giải Công việc chọn một học sinh đi dự đại hội đoàn trường có thể được thực hiện bởi hai phương án là việc chọn học sinh nam hoặc chọn học sinh nữ Nếu chọn học sinh nam có 18 cách chọn. Nếu chọn học sinh nữ có 12 cách chọn. Theo quy tắc cộng có cách b) Quy tắc cộng dạng tổng quát Giả sử một công việc có thể thực hiện một trong phương án T1, T2,…Tm các phương án đó có thể làm tương ứng bằng n1, n2, …nm cách khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1+ n2+…+nm cách Ví dụ: Một cửa hàng có 15 đôi dép khác nhau. 8 cái mũ khác nhau và 7 quyển sách khác nhau. Bạn Nam muốn chọn một đồ vật ( dép hoặc mũ hoặc sách) để làm quà sinh nhật tặng bạn. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua quà sinh nhật. Giải Ta nhận thấy công việc mua quà sinh nhật của Nam có thể thực hiện một trong ba phương án Nếu chọn mua dép có 15 cách mua. Nếu chọn mua mũ có 8 cách mua. Nếu chọn mua sách có 7 cách mua. Do đó bạn Nam có 15+8+7 = 30 cách chọn mua quà sinh nhật. c) Quy tắc nhân Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn Công đoạn thứ nhất có thể làm bằng n1cách Công đoạn thứ hai có thể làm bằng n2 cách sau khi công đoạn thứ nhất đã được hoàn thành. Khi đó sẽ có n1. n2 cách làm cách thực hiện công việc này Ví dụ: Bạn Mai có 6 cái áo khác nhau và 5 cái quần khác nhau. Hỏi bạn Mai có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc. Giải Chọn một bộ quần áo để mặc chia làm hai việc Chọn áo có 6 cách chọn Chọn quần có 5 cách chọn Do đó bạn Mai có 65 = 30 cách chọn một bộ quần áo để mặc. d) Quy tắc nhân dạng tổng quát Giả sử một công việc H có nhiều giai đoạn liên tiếp a1, a2, …am Có k1 cách khác nhau để thực hiện giai đoạn a1 Sau khi thực hiện xong giai đoạn a1 có k2 cách khác nhau để thực hiện giai đoạn a2 … Sau khi thực hiện xong giai đoạn a1, a2, …am-1 có km cách khác nhau để thực hiện giai đoạn am Khi đó có tất cả k1 k2 …km cách thực hiện công việc H Ví dụ: Một bé trai có thể mang họ cha là Nguyễn hoặc họ mẹ là Lê. Chữ lót có thể là: Văn, Hữu, Hồng, Bích. Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, Trí, Đức hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách có thể đặt họ tên cho bé? ( gồm họ chữ lót và tên). Giải Việc đặt tên cho bé có thể chia ra làm ba giai đoạn: chọn họ, chọn chữ lót và chọn tên. Chọn họ có 2 cách chọn Chọn chữ lót có 4 cách chọn Chọn tên có 5 cách chọn. Theo quy tắc nhân có: 245 = 40 cách có thể đặt họ tên cho bé. * Ghi nhớ: Một công việc có nhiều phương án thực hiện tức là ta có thể thực hiện theo phương án này thì không cần thực hiện theo phương án kia khi đó để đếm số cách có thể thực hiện công việc này dùng quy tắc cộng Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn tức là để hoàn thành công việc đó phải lần lượt thực hiện từng bước không được bỏ qua bước nào mới xong được công việc khi đó dùng quy tắc nhân. 2-Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. a) Định nghĩa hoán vị * Định nghĩa: Cho một tập hợp có phần tử () mỗi một bộ sắp xếp gồm phần tử của tập gọi là một hoán vị của tập Ví dụ: Cho tập các hoán vị của tập là * Số các hoán vị của phần tử là * Qui ước b) Định nghĩa chỉnh hợp * Định nghĩa: Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với khi đó lấy ra phần tử của và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập của phần tử của . Ví dụ: Cho tập các chỉnh hợp chập 2 của là , , , , , . * Số các chỉnh hợp chập của phần tử là Qui ước c) Định nghĩa tổ hợp * Định nghĩa: Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với . Mỗi tập con của có phần tử gọi là một tổ hợp chập của phần tử của . Ví dụ: Cho tập các tổ hợp chập 2 của là , , . * Số các tổ hợp chập của phần tử là Qui ước d) Phân biệt: Cần phân biệt rõ cho học sinh các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, cụ thể : Từ định nghĩa cho một tập A có n phần tử * Mỗi một hoán vị là một bộ xắp xếp tất cả n phần tử của A * Mỗi một chỉnh hợp là một bộ sắp xếp các phần tử của một tập con của tập A. Do đó một hoán vị chập n của tập A là một chỉnh hợp chập n của tập A ( ). * Sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập của và tổ hợp chập của () - Giống nhau: Đều là một tập con gồm phần tử của tập A. - Khác nhau: Mỗi một chỉnh hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử , kể cả thứ tự của một tập phần tử Mỗi một tổ hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử không kể thứ tự của một tập phần tử. Tức là muốn hình thành các chỉnh hợp chập của phần tử ta có thể tiến hành theo 2 bước liên tiếp Bước 1: Tìm tất cả các tổ hợp chập của Bước 2: Tìm tất cả các hoán vị trong từng tổ hợp Ví dụ : Cho tập - Các tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của tập là: - Mỗi một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử cho ta 6 chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử chẳng hạn từ tổ hợp cho ta các chỉnh hợp chập 3 của 4 là: Do đó từ 4 phần tử của tập cho ta 64=24 chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. * Ghi nhớ: Sau khi chọn được một nhóm đối tượng ta tráo đổi vai trò của hai phần tử cho nhau nếu được một cách chọn mới thì đó là chỉnh hợp. Nếu không được cách chọn mới thì đó là tổ hợp. B– Bài tập áp dụng Những dạng toán chủ yếu cần rèn luyện kỹ năng cho học sinh là: 1. Bài toán đếm số chỉnh hợp, số tổ hợp 2- Bài toán về hoán vị thẳng và hoán vị vòng 3- Bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập và các chữ số đôi một khác nhau. 4- Bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập và các chữ số có thể trùng nhau. Vì thời gian học chính khoá cho phần tổ hợp chỉ có 6 tiết đối với ban A nên phần bài tập cần phụ đạo thêm cho học sinh vào hai buổi chiều, thời gian cho mỗi buổi là 2 tiết. 1. Bài toán đếm số chỉnh hợp, số tổ hợp Khi sử dụng kiến thức về chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán giáo viên cần lưu ý học sinh các đối tượng đếm không bị lặp lại. Đây cũng là sai lầm rất dễ mắc phải. Do đó chúng ta cần cho học sinh được thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc với những sai lầm thì mới sửa chữa được sai lầm. Ví dụ 1: (bài 58 sgk Đại số và giải tích 11- nâng cao) Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập đã cho * Sai lầm thường gặp Cứ 4 điểm không đồng phẳng thì tạo được một tứ diện do đó số tứ diện lập được với các đỉnh thuộc tập 9 đỉnh đã cho là tứ diện * Nguyên nhân sai lầm: Cách giải trên đã tính lặp 4! lần số tứ diện vì bốn đỉnh của một tứ diện không có tính xếp thứ tự chẳng hạn tứ diện ABCD và tứ diện BACD là một * Lời giải đúng Cứ 4 điểm không đồng phẳng thuộc tập hợp đã cho thì tạo được một tứ diện. Ngược lại, mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con của tập đã cho (vì bốn đỉnh của một tứ diện không có tính xếp thứ tự). Do đó số tứ diện lập được với các đỉnh thuộc tập 9 đỉnh đã cho là tứ diện Ví dụ 2: Lớp 11A1 có 40 học sinh, cần bầu một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 2 uỷ viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự. * Sai lầm thường gặp Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó có cách chọn Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại có Theo quy tắc nhân có cách. * Nguyên nhân sai lầm Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự. Chẳng hạn khi đã chọn 2 học sinh A và B để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó thì có hai cách: A làm lớp trưởng còn B làm lớp phó và B làm lớp trưởng còn A làm lớp phó. Nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 40 phần tử do đó số cách chọn là = * Lời giải đúng Trước tiên để định hướng cách giải cho học sinh, giáo viên cần phân tích: Để chọn được một ban cán sự cần thực hiện 3 công đoạn chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải Cách 1 Công đoạn 1: Chọn 1 lớp trưởng có 40 cách. Công đoạn 2: Chọn 1 lớp phó trong 39 học sinh sau khi đã chọn lớp trưởng có 39 cách. Công đoạn 3: Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại (3 uỷ viên cần chọn không có thứ tự nên dùng tổ hợp) có Theo quy tắc nhân có cách Cách 2 Để chọn được một ban cán sự có thể thực hiện 2 công đoạn chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng 1 làm lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải Công đoạn 1: Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là = Công đoạn 2: Chọn 2 học sinh trong 38 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là . Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là:.= cách. Cách 3 Để chọn được một ban cán sự cũng có thể thực hiện 2 công đoạn. Trước tiên chọn cùng 1 lúc 4 học sinh sau đó rồi mới phân công chức vụ. Do đó ta có lời giải: Chọn 4 học sinh để làm một ban cán sự cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là cách. Với mỗi cách chọn 4 học sinh trên chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là =12 cách, tiếp theo chọn 2 học sinh còn lại làm uỷ viên có 1 cách chọn. Theo quy tắc nhân có 91 390121=1 096 680 cách. Ví dụ 3: Trong một hộp có 4 viên bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Cần chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số 4 viên đó không có đủ 3 màu. * Sai lầm thường gặp Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách. Theo quy tắc cộng có cách. * Nguyên nhân sai lầm: Cách giải trên sai ở chỗ đã tính lặp lại 2 lần số các viên cùng một màu đỏ hoặc cùng màu trắng hoặc cùng màu vàng. * Lời giải đúng: Cách 1: ( Chọn trực tiếp ) - Số cách chọn 4 bi cùng một màu là: - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu đỏ và trắng là: ++ - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu trắng và vàng là: ++ - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu vàng và đỏ là: ++ Theo quy tắc cộng có cách. Cách 2 - Số cách chọn tuỳ ý 4 viên là cách. - Tính số cách chọn 4 viên đủ 3 màu: +) Trong đó 2 đỏ , 1 trắng, 1 vàng l có cách +) Trong đó 1 đỏ , 2 trắng, 1 vàng l có cách +) Trong đó 1 đỏ , 1 trắng, 2 vàng l có cách - Số cách chọn cần tìm là: -(++)= 645 cách * Ghi nhớ Với những bài toán có nhiều phương án thực hiện khi chọn trực tiếp, gặp khó khăn trong việc xét đủ các trường hợp, hoặc là khó tính số các phương án chọn, thì có thể lấy số tất cả các phương án có thể xảy ra trừ đi số phương án “đối lập” với nó. Một số bài tập tương tự: Bài 1: Một công viên có 5 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách đi vào bằng một cửa đi ra bằng một cửa khác? HD: Số cách đi vào bằng một cửa đi ra bằng một cửa khác bằng số chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử và bằng cách. Bài 2: Cần chọn từ 9 học sinh nữ và 7 học sinh nam ra 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy nam- nữ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép? HD: Số cách chọn 3 nam là cách Số cách chọn 3 nữ là cách. Số cách chọn 3 nam và 3 nữ là cách Do đó số cách ghép 3 cặp nhảy nam- nữ là Bài 3: Trên mặt phẳng cho một đa giác lồi có 10 cạnh a) Tìm số đường chéo của đa giác? b) Xét các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của đa giác đã cho? HD a) Cách 1: Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là số cạnh của đa giác là 10 nên số đường chéo của đa giác là -10 =35. Cách 2: Từ một đỉnh của đa giác kẻ tới 7 đỉnh kia (trừ đỉnh đó và hai đỉnh kề nó) được 7 đường thẳng nên kẻ được tất cả 107= 70 đường thẳng. Mỗi đường thẳng nói trên đã được tính lặp 2 lần chẳng hạn từ đỉnh A đã nối tới D sau đó từ đỉnh D lại nối tới A . Do đó số đường chéo phân biệt của đa giác lồi 10 cạnh là . b) Số các tam giác phân biệt có 3 đỉnh lấy từ 10 đỉnh của đa giác lồi là tam giác. ứng với một cạnh của đa giác có 8 cách chọn đỉnh để tạo thành một tam giác, do đó có tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho. Trong đó có 10 tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác nhưng bị tính lặp 2 lần chẳng hạn nên số tam giác phân biệt có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho là: 80-10 = 70. Nên số tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của đa giác đã cho là Bài 4: a) Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh? b) Một đa giác lồi có số đường chéo là 35 thì số cạnh bằng bao nhiêu? ĐS: a) b) 2- Bài toán về hoán vị thẳng và hoán vị vòng: Cần chú ý cho học sinh rằng: - Số hoán vị thẳng của phần tử là - Với mỗi hoán vị vòng của phần tử nếu chuyển đổi vị trí liên tiếp cả n phần tử thì kết quả nhận được là như nhau. Chẳng hạn bốn cách sắp xếp sau đây được coi là một cách sắp xếp. C B D A C A B D B C D C A D B A Do đó số hoán vị vòng của phần tử giảm lần so với hoán vị thẳng tức là số hoán vị vòng của phần tử là Ví dụ 4: a) Có bao nhiêu cách xếp 7 người ngồi vào một bàn hình chữ U? b) Có bao nhiêu cách xếp 7 người ngồi vào một bàn tròn? Giải a) Mỗi một cách xếp 7 người ngồi vào một bàn hình chữ U là một hoán vị thẳng của 7 phần tử, nên số cách xếp 7 người ngồi vào một bàn hình chữ U là cách. b) Mỗi một cách xếp 7 người ngồi vào một bàn hình tròn là một hoán vị vòng của 7 phần tử, nên số cách xếp 7 người ngồi vào một bàn tròn là cách. * Ghi nhớ: Số hoán vị vòng của phần tử giảm lần so với hoán vị thẳng tức là số hoán vị vòng của phần tử là Một số bài tập tương tự: Bài 1: Có bao nhiêu cách xếp 7 người ngồi vào một bàn tròn? Hai cách ngồi được xem là như nhau nếu cách nàycó thể nhận được từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó. ĐS: cách Bài 2: Một nhân viên bán hàng cần đi giao dịch tại 8 địa điểm khác nhau. Cuộc hành trình có thể bắt đầu từ bất kỳ địa điểm nào đó và đến 7 địa điểm còn lại theo thứ tự tuỳ ý. Hỏi: Có thể đi qua tất cả các địa điểm này theo bao nhiêu lộ trình khác nhau? Cần tìm lộ trình ngắn nhất phải làm thế nào? ĐS: Có lộ trình. Cần tính tổng khoảng cách cho mỗi lộ trình cụ thể. Cụ thể cần tính tổng khoảng cách của 5040 lộ trình. Bài 3: Có 7 viên ngọc màu sắc khác nhau có bao nhiêu cách để xâu 7 viên ngọc thành một sợi dây chuyền đeo cổ? HD: Có hoán vị vòng. Với mỗi hoán vị vòng nếu lật ngược sợi dây chuyền được một hoán vị vòng khác. Nên ĐS cần tìm là 3- Bài toán đếm số các số thoả mãn tính chất hình thành từ một tập và các chữ số đôi một khác nhau. Ví dụ 5: (bài 71 sgk Đại số và giải tích 11- nâng cao). Với các chữ số có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) Sai lầm thường gặp: * Lời giải sai 1: - Gọi số cần tìm là Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn từ tập Chọn các số ở vị trí có cách có 4. 60 số chẵn trong đó có cả số có chữ số 0 đứng đầu Tìm các số chẵn có số có chữ số 0 đứng đầu Vì chữ số 0 đứng đầu nên chọn số ở vị trí có 3 cách chọn từ tập Chọn 3 số ở vị trí có cách ( Trừ số ở vị trí và số 0) có 1.3. số có chữ số 0 đứng đầu - Vậy số các số cần tìm là 60-30= 30 số * Nguyên nhân sai lầm:Lời giải trên sai ở chỗ đã không kể đến thứ tự khi chọn 4 số bởi vì mỗi một hoán vị của 4 số đó đã cho thêm một số khác. Tương tự khi tìm các số chẵn có số có chữ số 0 đứng đầu cũng không kể đến thứ tự khi chọn 3 số ở vị trí * Lời giải đúng 1: - Gọi số cần tìm là Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn từ tập Chọn các số ở vị trí có cách có 4. 4.360=1440 số chẵn trong đó có cả số có chữ số 0 đứng đầu. - Tìm các số chẵn có số có chữ số 0 đứng đầu Vì chữ số 0 đứng đầu nên chọn số ở vị trí có 3 cách chọn từ tập Chọn 3 số ở vị trí có cách ( Trừ số ở vị trí và số 0) có 1.3. số có chữ số 0 đứng đầu Vậy số các số cần tìm là số *Lời giải sai 2: Gọi số cần tìm là Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn từ tập Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có 4.5.5.4.3 = 1200 số * Nguyên nhân sai lầm - Trong trường hợp thì chọn số ở vị trí có 5 cách là đúng -Trong trường hợp thì chọn số ở vị trí có 5 cách là sai vì lúc này chọn số ở vị trí có 6 cách chọn chỉ trừ * Lời giải đúng 2: Cách 1: Dùng quy tắc nhân Gọi số cần tìm là vì số cần tìm là số chẵn nên các số cần tìm có dạng , , . Tìm số các số dạng Chọn số ở vị trí có 6 cách chọn trừ 0 Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ 0 và Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có 6.5.4.3 = 360 số - Tìm số các số dạng Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn trừ và Chọn số ở vị trí có 4 cách chọn Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có 5.5.4.3 = 300 số - Tương tự mỗi dạng , cho ta 300 số Theo quy tắc cộng có 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) Cách 2 (Sử dụng kiến thức chỉnh hợp): Cần làm cho học sinh thấy rõ mỗi một số cần tìm là một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử của tập đã cho, chẳng hạn từ các số 0, 1,2, 5, 7 có thể thành lập được các số chẵn chẳng hạn các số 12570, 12750, 70152, 75012… là các số cần tìm. Hay nói cách khác mỗi số cần tìm là một tập con có tính thứ tự. - Tìm các số các số dạng có số. - Tìm các số chẵn dạng với Chọn số ở vị trí có 3 cách chọn vì Chọn số ở vị trí có 5 cách chọn. Chọn có cách. Theo quy tắc cộng có số * Ghi nhớ - Khi thành lập các số từ một tập hợp cần chú ý xem tập hợp đó có chứa số 0 hay không. Nếu chứa số 0 nên chia thành hai trường hợp. - Với loại toán này nên sử dụng kiến thức về hoán vị,