Sáng kiến kinh nghiệm: Khai thác các tỉ số bằng nhau. Những tính chất thú vị

A. Đặt vấn đề Muốn nâng cao hiệu quả giờ lên lớp, người giáo viên phải lựa chọn phương pháp thích hợp để học sinh tích cực tư duy, nâng cao nhận thức, từ đó thúc đẩy tính năng động sáng tạo, giải quyết tốt các tình huống do vấn đề đặt ra. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy tôi thấy việc tìm tòi, mở rộng, khai thác kết quả các bài tập đã học là phương pháp khoa học, có hiệu quả trong dạy học. Từ chổ bị động các em làm chủ được tình huống, tự tin xử lí các thông tin một cách chính xác. Nếu giáo viên biết hướng dẫn học sinh biết tìm tòi, mở rộng, khai thác kết quả các bài toán đã học, đã giải sẽ cuốn hút các em vào quỹ đạo nhận thức tri thức, kích thích óc sáng tạo, sự phát triến tư duy, giúp các em học tập tốt hơn. B. Nội dung I. Lý thuyết: Trong sách giáo khoa toán 7 đã giới thiệu về dãy tỉ số bằng nhau và đưa ra tính chất: Từ = ta suy ra = = = (với b d) Từ đó áp dụng tính chất này cho dãy tỉ số bằng nhau: = = ta suy ra = * Không dừng lại ở đó, phần bài tập đã được bổ sung thêm các tính chất thú vị II. Bài toán Bài toán 1. (Bài tập 73 sách bài tập toán 7 trang 14). Cho a, b, c, d khác 0. Từ tỉ lệ thức = hãy suy ra tỉ lệ thức: Giải: Cách 1: Ta có: = ad = bc ac-ad = ac - bc (c - d)a = (a - b)c Cách 2: Đặt = a = k.b, c = k.d. Từ đó ta có: (1) tương tự (2). Từ (1) và (2) suy ra * ở đây đối với học sinh khá giỏi nên giới thiệu cách 1, còn cách 2 đối với học sinh đại trà. Từ bài toán cơ bản đó ta có thể phát biểu thêm bài toán tương tự như sau: Bài toán 2: Cho a, b, c, d khác 0. Từ tỉ lệ thức = hãy suy ra tỉ lệ thức: Giải: Từ = ad = bc ad + ac = bc + ac a(d + c) = c(a + b) * Từ bài toán 1 và bài toán 2 ta có bài toán 3: (Bài tập 63 sách giáo khoa trang 31) Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức = (a - b 0 và c - d 0) ta có thể suy ra tỉ lệ thức Giải Đặt = = k a = kb và c = kd vì a - b 0 kb - b 0 b(k - 1) 0 k 1 Ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) * Đối với học sinh khá, giỏi ta giới thiệu cách giải Có thể biến đổi = ad = bc Do đó: * Điểm thú vị là ta có bài toán đảo của bài toán 3 như sau Bài toán 4: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức 1 ta có thể suy ra tỉ lệ thức = Giải: Đặt = k 1 a + b = k(a - b) và c + d = k(c - d) (1 + k)b = (k - 1) a và (1 + k)d = (k - 1)c. Với k 1 thì b 0 và d 0 ta có: = = * Ngoài ra ta có thể phát triển thêm nhiều bài toán để học sinh làm quen với các bài toán loại này Bài toán 5: Chứng minh rằng: Từ tỉ lệ thức = ta có thể suy ra các tỉ lệ thức ; Bài toán 6: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức = ta có thể suy ra tỉ lệ thức Bài toán 7: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức = ta có thể suy ra tỉ lệ thức Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng ta đưa ra hệ thống bài toán so sánh giữa các số với nhau Bài toán 1: So sánh các số a, b và c biết rằng: và a + b + c 0 (Bài tập 78 sách bài tập toán 7 tập 1 trang 14) Giải: Cách 1: Ta có: = = 1 = 1 a = b và = 1 b = c Do đó a = b = c Cách 2: Đặt = n. Ta có: a = nb; b = nc; c = na Do đó: a = nb (mà b = nc) a = n(nc) = n[n(na)] = n3a (a 0) 1 = n3 n = 1 Ta có: = 1 a = b = c Cách 3: = m. Ta có: a = mb; b = mc; c = ma Do đó: a.b.c = mb.mc.ma = m3abc 1 = m3 m = 1 Ta có: = 1 a = b = c Cách 4: = .. = .. = 1 = 1 = 1 1 a = b = c * Chúng ta hãy bắt đầu từ bài toán sau: Bài toán 1: So sánh các số a, b và c biết rằng: và a + b + c 0 . Tương tự bài toán trên chúng ta hãy nghĩ đến bài toán tổng quát để bồi dưỡng học sinh giỏi như sau: Bài toán 2: Cho và a1 + a2 + ..... + an - 1 + an 0 Chứng minh rằng a1 = a2 = ...... = an - 1 = an Ta cũng nhận thấy rằng từ và a + b + c 0 ta có a = b = c. Điều đó cho ta đề xuất bài toán sau Bài toán 3: Cho và a + b + c 0. Tính giá trị của biểu thức M = Bài toán 4: Cho và a = - 2011 và a + b + c 0. Tính b và c Bài toán 5: Cho và a + b + c 0. Chứng tỏ rằng: (19a + 5b + 1890c)2012 = 19142012.a2010.b2 Bài toán 6: Cho và a1 + a2 + ..... + an - 1 + an 0 Tính: a, b, Và hơn thế nữa chúng ta có thể đưa ra một số bài toán hay để bồi dưỡng học sinh giỏi dạng chứng minh, dạng tính giá trị của biểu thức Như vậy việc vận dụng các bài toán cơ bản để phát triển các bài toán khó nhằm bồi dưỡng học sinh. Vì trong các kì thi học sinh gỏi chuyên đề tỉ lệ thức cũng là một chuyên đề quan tâm Ví dụ 1 đề thi học sinh giỏi năm 2002 - 2003: Cho = 1. Chứng minh rằng: Ví dụ 2: Đề thi học sinh giỏi năm 2008 - 2009 Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz, y2 = xz, z2 = xy. Chứng minh rằng x = y = z C. Kết luận Trong quá trình giảng dạy toán 7 tôi đã đưa ra phương pháp trên thì đã thu được kết quả khả quan. Học sinh biết chứng minh tỉ lệ thức từ đó tôi bồi dưỡng cũng khá dễ dàng, học sinh nắm bắt rất nhanh, phương pháp trình bày rõ ràng, biết phân tích phán đoán, tìm tòi giải bài toán khác một cách năng động hơn, sáng tạo hơn vào khả năng sáng tạo của mình và có thêm hứng thú học tập toán. Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong việc hướng dẫn học sinh giải bài tập về tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Nhờ áp dụng tính chất này đã phát huy được kiến thức nâng cao, năng lực tư duy, tìm tòi của học sinh. Đây là đúc rút kinh nghiệm của cá nhân tôi, sẽ không tránh khỏi những sai sót. Rất mong đóng góp ý kiến nhiệt tình của các thầy, cô để kinh nghiệm này đi vào thực tiến nhiều hơn. Tháng 4 năm 2011