Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển bài tập 30 hình học SGK toán 9 tập 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Thứ 4, 27/04/2022 | 08:15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Đề tài: Khai thác và phát triển bài tập 30 hình học SGK toán 9 tập 1 Phần A: Mở đầu I. Bối cảnh của đề tài Toán học là môn khoa học quan trọng, nó là chìa khóa cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên, hiện nay nó đang phát triển mạnh mẽ và phục vụ cho Tin học, Vật lý, Hóa học, Sinh học... Nó có tác dụng lớn đối với kỹ thuật, với sản xuất. Toán học còn là một môn thể thao trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp 1 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo. Nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác như: Cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lý. Để đáp ứng những yêu cầu mà xã hội đặt ra, Giáo dục và đào tạo phải có những cải tiến, điều chỉnh, phải thay đổi về nội dung chương trình, đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp.Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. II. Lý do chọn đề tài. Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Trong đó có đổi mới dạy học môn toán, Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng 2 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán. Để rèn luyện kỷ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần giúp học sinh trang bị tốt kiến thức cơ bản, hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản, xâu chuổi các bài toán để học sinh khắc sâu kiến thức, tạo lối mòn-tô đậm mạch kiến thức, có kinh nghiệm suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới từ những bài toán ban đầu. Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên. Vẫn còn trong giáo viên chúng ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuổi bài toán liên quan, hay chí ít là tập hợp những bài toán có một số đặc điểm tương tự ( về kiến thức, về hình vẽ, hay về yêu cầu...). Trong giải toán nếu chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán, lâu dần làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học, không có thói quen suy nghĩ theo kiểu đặt câu hỏi: liệu có bài nào tương tự không mà ta đã gặp rồi? Cho nên khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu? Cần vận dụng kiến thức nào? Bài toán có liên quan đến những bài toán nào đã gặp mà có thể vận dụng, hay tương tự ở đâu? Trong quá trình dạy học toán tôi thấy rằng việc tập hợp các bài tập hình tương tự, gần gũi, tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một hướng đem lại nhiều hiệu quả cho việc dạy học. Quá trình 3 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 này bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến bài tập khó dần là b‐ ước đi phù hợp để rèn kỷ năng các thao tác trong lập luận và phân tích - trình bày lời giải, góp phần rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh, nhất là với học sinh hạn chế về năng lực nắm và vận dụng kiến thức. Góp phần đưa chất lượng môn toán đi lên giúp các em có vốn kinh nghiệm nhất định trong các kì thi, đặc biệt là kì thi vào lớp 10 hằng năm. Chính vì những lẽ đó, trong bài viết này tôi xin đa ra một số bài toán mà tôi xem là có tác dụng tập hợp, khai thác kết quả và mở rộng bài toán trong sách giáo khoa toán 9 đó là: Khai thác và phát triển bài tập 30 hình học SGK toán 9 tập 1 Trong chuyên đề này, tôi đã chọn lọc ra một số ví dụ minh hoạ với tình huống đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ năng khi chứng minh hình học. III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu a) Phạm vi -Môn hình học lớp 9 -Các bài toán -SGK và SBT toán 9 tập 1và một số tài liệu tham khảo b) đối tượng nghiên cứu Là học sinh lớp 9, giáo viên dạy toán 9 IV. Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp học sinh rèn luyện phương pháp suy luận có căn cứ, các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, khái quát 4 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 hoá, trừu tượng hoá, tương tự hoá, lật ngược vấn đề, quy lạ về quen, có thói quen dự đoán, tìm tòi, nhìn nhận một vấn đề d‐ ưới nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, đặt vấn đề, diễn đạt một vấn đề có sức thuyết phục, sử dụng kí hiệu và thuật ngữ chính xác Giúp học sinh nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản, có kỹ năng vận dụng các kiến thức vào bài tập và thực tiễn. Cung cấp cho các em phương pháp tự học từ đó các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán. Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy môn toán. Đặc biệt đây là kinh nghiệm giúp cho giáo viên tham khảo khi thiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trong quá trình dạy học của mình. Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập nâng cao chất lượng học tập của học sinh. V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu 1.Tính linh hoạt biểu hiện ở các mặt sau: + Kĩ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phương pháp 5 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 mới để giải quyết vấn đề. + Kĩ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược lại với cách đã học. + Kĩ năng nhìn một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau. 2.Tính độc lập biểu hiện: + Kĩ năng tự mình thấy được vấn đề cần giải quyết, tự mình giải đáp vấn đề đó không đi tìm lời giải có sẵn, không dựa vào ý nghĩ của người khác. + Có khả năng đánh giá ý nghĩ của người khác và tự đánh giá ý nghĩ của bản thân. 3. Tính sáng tạo biểu hiện: + Tự mình biết tìm ra phương pháp ngắn gọn, hay nhất, phát hiện kiến thức mới từ vấn đề. + Tự mình phát hiện vấn đề và đặt ra vấn đề ( Biết khai thác và phát triển bài toán, biết vận dụng bài toán vào các vấn đề khác, biết tự mở rộng kiến thức, ). Phần B: Nội dung của đề tài I.Cơ sở lí luận Trong các buổi dạy chuyên đề hay là dạy theo chủ đề tự chọn việc “Khai thác kết quả từ một bài tập trong sách giáo khoa” là hết sức cần thiết bởi như thế học sinh sẻ thấy được một minh chứng thực tế là không phải đâu xa lạ mà ngay trong 6 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 những bài tập ở SGK mà chúng ta học hằng ngày nó cũng tiềm ẩn những điều thú vị mà ta cũng không ngờ, qua đó học sinh được trải nghiệm, được phát triễn tư duy sáng tạo tìm ra cái mới một cách tự nhiên. Biết khai thác kết quả của một bài toán để vận dụng nó vào giải một bài toán khó hơn tức là đã khai thác được những đặc điểm của bài toán, điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” ( Poolia-1975) Ở trường THCS, dạy toán là hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học. Tuy nhiên, trong quá trình thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể, tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai. II.Thực trạng của vấn đề 7 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán, học sinh là chủ thể của hoạt động do đó cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo. Thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Muốn vậy giáo viên phải biết vận dụng những kết quả có được để phát triển bài toán hướng dẫn học sinh biết cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thức mới. Qua thực tế giảng dạy trong nhiều năm tôi thấy cách học của học sinh còn quá thụ động, lười tìm tòi sáng tạo, kỉ năng phân tích tổng hợp còn yếu, đứng trước một bài toán không tìm ra hướng giải, chưa biết vận dụng khai thác các bài toán, giải một bài toán chỉ dừng lại ở bài toán đó chưa biết xâu chuỗi kiến thức để giải quyết thêm các bài toán khác có liên quan. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này nhằm phần nào giải quyết được một số khiếm khuyết trên. III.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề + Thường xuyên tập dượt cho học sinh khả năng dự đoán và suy luận có lý, dự đoán thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp, để học sinh tự mình phát hiện vấn đề. + Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc, phương pháp nào đó cần đưa ra các bài tập có cách giải quyết riêng. + Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán. Việc tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều khía cạnh khác 8 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 nhau mở đường cho sự sáng tạo phong phú. + Rèn luyện cho học sinh khả năng nhanh chóng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch. Sau đây tôi xin đưa ra một bài toán trong sách giáo khoa và phát triển thêm các bài toán mới để học sinh xâu chuổi và khắc sâu kiến thức khi giải toán hình học. Phần vận dụng Bài toán 1( Bài 30 HH SGK toán 9 tập 1 trang 116) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắtAx, By theo thứ tự ở C và D.Chứng minh: a) b) CD = AC + BD c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 9 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Giải Cách 1.Vì Ax và By là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) suy ra và Mà Hay Cách 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OC và OD là tia phân giác của hai góc kề bù và nên suy ra Cách 3.Gọi I là trung điểm của CD là đường trung bình của hình thang ABDC vuông tại O hay Cách 4. Kẻ CO cắt By kéo dài tại P.Ta có: ACO = BPO ( g.c.g) ( vì có: ; OA = OB; ) CA = BP; OC = CPCM + MD = DB + BPDC = DP CPD cân tại D có OD vừa là tia phân giác, vừa là đường cao hay b). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có (đpcm) c). Dovà (câu a) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông COD không đổi khi M di chuyển 10 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Khai thác, phát triển bài toán 1 Bài 2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB.Vẽ đường thẳng cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D sao cho . Kẻ Chứng minh: a) CD là tiếp tuyến (O) b) CD = AC + BD c) Chứng minh AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn 11 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Giải a) Gọi K là giao điểm của CO và DB. tại O suy ra cân tại D tia phân giác Vì (Theo Tính chất tia phân giác của một góc) CD là tiếp tuyến của nữa đường tròn (O) b) CD là tiếp tuyến của (O) tại M CD cắt Ax, By lần lượt tại C, D. (đpcm) c) OM đường cao của tam giác vuông COD suy ra OM2 = CM.MD =AC.BD = R2 không đổi .(Theo bài toán 1) 12 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB.Vẽ đường thẳng cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D, giả sử CD = AC + BD Kẻ .Chứng minh: a) CD là tiếp tuyến (O) b) c) Chứng minh AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. Bài 3 13 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Giải. a) Gọi Q là giao điểm của CO và DB. Có cân tại D suy ra OD vừa là đường trung tuyến vừa là đuờng phân giác của tam giác CDQ. Do là tiếp tuyến của nữa đường tròn O Câu b, câu c: Chứng minh tương tự bài toán 1 Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm(O,R) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB.Vẽ đường thẳng cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D Chứng minh: a) Nếu AC.BD = R2 thì b) CD là tiếp tuyến (O) c) AC+BD = CD 14 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Giải AC.BD = OA.OB =R2 Xét và có Suy ra (c.g.c) và Mà b) CD là tiếp tuyến chứng minh theo bài toán 2. c) AC+ BD = CD Chứng minh theo bài toán 2. Bài 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB.Vẽ đường thẳng cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D, giả sử CD = AC + BD .Chứng minh: a) b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD, còn đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 15 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Giải a)Theo bài 3 ta có b. Gọi I trung điểm CD suy ra OI là đ‐ ường trung bình của hình thang ABDC, OI bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác COD suy ra OI //Ax // By mà tại A, tại B tại O (đpcm). Bài 6 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi H giao điểm của MN và AB, N là giao AD với BC.Chứng minh a) MN vuông góc với AB b) MN = NH 16 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Giải Theo bài 1 ta có CM = CA, MD = DB. (vì BD AB tại B) b). Cách 1. ta có Cách 2. BM cắt AC tại P, CO cắt AM tại I suy ra đường trung bình của theo câu a) 17 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 Cho nửa đường tròn (O, AB = 2R). Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nữa đường tròn và tia Oz vuông góc với AB. Gọi E là điểm bất kỳ của nửa đường tròn. Qua E vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax, By, Oz theo thứ tự ở C, D, M. a) Chứng minh: AC.BD không đổi b) M di chuyển như thế nào khi E di chuyển trên nửa đường tròn. c) Tìm vị trí E để SACDB nhỏ nhất và tìm diện tích nhỏ nhất đó Bài 7 Giải a) Theo bài 1 suy ra AC.BD không đổi, b) Gọi I là giao Oz với nữa (O) là đường trung bình hình thang ABDC mà Oz, Ax, By không đổi suy ra . Mặt khác 18 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 vậy khi E di chuyển trên nửa đường tròn O (Theo bài 1 ta có AC + BD = CD) c) Theo bài 1 ta có vàtại E suy ra CE.DE = R2 (áp dụng bất dẳng thức côsi) 2 Suy ra SABDC nhỏ nhất bằng 2R khi và chỉ khi CE = DE =R hay E là điểm chính giữa cung AB. Tóm lại : Với cách chọn bài tập và hướng đi như trên thì đảm bảo được mọi đối tượng học sinh đều có “việc làm” . Hệ thống bài tập được xây dựng từ dễ đến khó và nó được xâu chuổi khá chặt chẽ và logic theo mạch tư duy của toán học ( dùng kết quả của bài toán này để phát hiện ra cách giải của bài toán khác qua đó khái quát thành bài toán tổng quát và từ bài toán tổng quát đó lại được ứng dụng vào thực tiễn) Bài tập vận dụng sau khi thực hiện đề tài Bài 1.Cho Ax và By là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) (A, B là tiếp điểm) a)Cm AB là đường kính b)Một tiếp tuyến thứ 3 của (O) cắt Ax, By tai M và N cho biết AM = 3.2 ; BN = 5. Tính R của (O) Bài 2.Cho đoạn thẳng AB.Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By song song với nhau. a)Dựng (O) tiếp xúc với AB và tiếp xúc với Ax ,By. b) Tính góc AOB 19 of 24 3/4/2025, 9:20 AM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2021-2022 c)Gọi các tiếp điểm của (O) với Ax, By, AB theo thứ tự M, N, H.Cm MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB d)Các tia Ax, By có vị trí như thế nào thì HM =HN Bài 3: Cho nửa đường tròn O, đường kính AB =2R.Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đó (M khác A và B).Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc voéi AB tại H.Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD tới đương tròn tâm M (C và D là tiếp điểm) a) Chứng minh C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M b) Chứng minh AC +BD không đổi, khi đó tính AC.BD theo CD c) Giả sử CD cắt AB tại K.Chứng minh OA2 =OB 2 =OH.OK IV.Hiệu quả của sáng kiến Với ý tưởng sáng tạo này tôi đã thực hiện trong tiết luyện tập toán ở các lớp khác nhau nhưng đều nhận được một điểm chung đó là các em đều chăm chú theo dõi, háo hức đón chờ những niềm vui mới điều đó góp phần vào việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh và giúp học sinh yêu thích môn toán hơn. Với việc đầu tư cho tiết dạy theo định hướng trên tôi thấy bản thân ngày càng đúc rút được nhiều nghiệm giảng dạy quý báu và tìm ra được nhiều cái mới trong toán học, còn học sinh 20 of 24 3/4/2025, 9:20 AM