Sáng kiến kinh nghiệm - Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản

A. Đặt vấn đề Các bài toán về phân số tối giản và hai số nguyên tố cùng nhau có 1 vị trí đặc sắc trong toán học nói chung và trong đời sống nói riêng. Đây là 1 trong những toán khó, hay và thực sự thu hút nhiều người tham gia giải. Bài toán này giúp chúng ta giải được nhều dạng toán có liên quan đến nó. Nhờ đó ta đã có nhiều kĩ năng biến đổi bài toán và góp phần làm cho kho tàng toán học thêm phong phú và đa dạng. Trong toán học người ta thường sử dụng bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản để: - Chứng minh phân số tối giản với mọi tham số tự nhiên n. - Chứng minh 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi tham số tự nhiên n. - Tìm tham số tự nhiên n để phân số tối giản. - Tìm tham số tự nhiên n để 2 số nguyên tố cùng nhau. - ứng dụng giải 1 số bài toán liên quan . Qua đó chúng ta thấy ứng dụng của nó rất to lớn. Tuy vậy mỗi bài toán có 1 cách giải riêng đòi hỏi người học phải có kiến thức và kĩ năng giải các bài toán về phân số tối giản và 2 số nguyên tố cùng nhau. Điều đó góp phần khắc sâu được kiến thức và rèn luyện tính sáng tạo, phát triển tư duy,kĩ năng cho học sinh. Trong thực tế, sau khi học xong khái niệm số nguyên tố, phân số ở chương trình số học 6, học sinh chúng ta thường gặp các dạng toán: Cho các cặp số, các phân số đều chứa tham số tự nhiên n, ta chứng minh hoặc tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau; để phân số là phân số tối giản mà đa số học đều gặp khó khăn, thấy rất mới mẽ, khó hiểu và bở ngỡ khi giải nó.Vì vậy cần giúp học tháo gỡ được khó khăn này đồng thời có thêm điều kiện phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng giải các bài toán lí thú và hóc búa. Thực sự, đối với học sinh nói chung và học sinh lớp 6 nói riêng đa số đều bị động, chưa có kĩ năng giải bài toán loại này. Do đó tôi chọn đề tài: “ Kinh nghiệm giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản” để nghiên cứu. B. Nội dung I. Định nghĩa hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản: - Định nghĩa hai số nguyên tố cùng nhau: Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1. - Định nghĩa phân số tối giản: Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. II. Phương pháp chung để giải: - Dựa vào định nghĩa hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản, gọi d là ƯCLN hoặc d thuộc ƯC;ước nguyên tố của hai số đã cho hoặc của tử và mẫu của phân số, tùy theo đề bài, tìm d rồi biện luận theo d để giải bài toán. III. Một số dạng toán tiêu biểu: 1. Dạng 1: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau: * Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a. Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau. b. Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. c. 2n +1 và 3n + 1 (n ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải a. Gọi d ƯC (n, n + 1) => (n + 1) - n d => 1 d => d = 1. Vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. b. Gọi d ƯC (2n + 1, 3n + 1) => (2n + 3) - (2n + 1) d => 2 d => d Ta có d 2 vì d là ước của số lẻ. Vậy d = 1. Do đó: 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. c. Gọi d ƯC (2n + 1, 3n + 1) => 3(2n + 1) - 2(3n + 1) d => 1 d => d = 1. Do đó: 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. * Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: a. 7n + 10 và 5n + 7 b. 2n + 3 và 4n + 8 Lời giải a. Gọi d ƯC (7n + 10, 5n + 7) thì 5(7n + 10) - 7(5n +7) d => 1 d => d = 1. Do đó : 7n + 10 và 5n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. b. Gọi d = ƯCLN (2n + 3, 4n + 8) => (4n + 8) - 2(2n +3) d => 2 d => d Do d là ước của số lẻ 2n + 3 nên d = 1. Do đó: 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. GV: Dựa vào cơ sở hai bài tập trên ta có thể mở rộng bài toán như sau: Nếu gọi hai số đó là tử và mẫu của phân số thì hãy chứng minh phân số đó tối giản. Tương tư như bài toán dạng 1 ta có bài toán dạng 2 sau đây: 2. Dạng 2: Chứng minh phân số tối giản: * Ví dụ 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: a. b. Lời giải a. Gọi d ƯC (n + 1, 2n + 3). Ta có: 2n + 3 - 2(n + 1) d => 1 d => d = 1. Do đó: phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. b. Gọi d ƯC (3n + 2, 5n + 3). Ta có: 5(3n + 2) - 3(5n + 3) = 1d => d = 1. Do đó: phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. Như vậy: Bản chất của hai dạng toán này là như nhau. Nhưng với những cách hỏi khác nhau làm cho học sinh thêm hứng thú học tập và các bài toán đa dạng hơn. 3. Dạng 3: Tìm số tự nhiên n để hai số nguyên tố cùng nhau: * Ví dụ 1: Tìm n để các số 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau: Lời giải Giả sử 9n + 24 và 3n +4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì: 9n + 24 – 3(3n + 4) d => 12 d => d Điều kiên để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là d 2 và d 3. Hiển nhiên d 3 vì 3n + 4 không chia hết cho 3. Muốn d 2 phải có ít nhất một trong hai số 9n + 24 và 3n + 4 không chia hết cho 2. Ta thấy: 9n + 24 là số lẻ 9n lẻ n lẻ 3n + 4 là số lẻ 3n lẻ n lẻ. Vậy (9n + 24, 3n + 4) = 1 khi n lẻ. * Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: a. 4n + 3 và 2n +3 b. 7n + 13 và 2n + 4 c. 18n + 3 vàg 21n + 7. Lời giải Giả sử 4n + 3 và 2n + 3 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì : 2(2n + 3) - (4n + 3) d => 3 d => d = 3. Để (2n + 3, 4n + 3) = 1 thì d 3.Ta có : 4n + 3 không chia hết cho 3 nếu 4n không chia hết 3 hay n không chia hết cho 3. Kết luận: với n khôngchia hết cho 3 thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. b. Giả sử 7n + 13 và 2n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d. Ta có :7(2n + 4) - 2(7n + 13) d => 2 d => d Để (7n + 13, 2n + 4) = 1 thì d 2 . Ta có: 2n + 4 luôn chia hết 2 khi đó 7n + 13 không chia hết cho 2 nếu 7n chi hết cho 2 hay n chia hết cho 2 . Kết luận: n là số chẵn thì 7n + 13 và 2n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. c. Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d. Ta có : 6(21n + 7) - 7(18n + 3) d => 21 d.Vậy d .Hiển nhiên d 3. Vì 21n + 7 không chia hết cho 3. Để (18n + 3, 21n + 7) = 1 thì d 7 tức là 18n + 3 không chia hết cho 7 (ta luôn có 21n + 7 chia hết cho 7) nếu 18n + 3 - 21 không chia hết cho 7 18(n - 1) không chia hết cho 7 n - 1 không chia hết cho 7 n 7k + 1(k N). Kết luận:với n 7k + 1(k N) thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. 4. Dạng 4: Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản. Cũng giống như mối quan hệ giữa dạng 1 và dạng 2 ta có dạng 3 và dạng 4 cũng hoàn toàn tương tự. Từ hai ví dụ ở dạng 3, nếu gọi hai số nguyên tố cùng nhau là tử và mẫu của phân số thì hãy chưng minh phân số tối giản ta mở rộng các bài toán ở dạng 4 như sau: * Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên n để phân số là phân số tối giản: Lời giải Giả sử n + 13 và n - 2 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì: n + 13 - (n - 2) d => 15 d => d Để (n + 13, n - 2) = 1 thì d 3 và d 5. Ta có:d 3 khi n - 2 không chia hết cho 3 (khi đó n + 13 không chia hết cho 3) => n 3k + 2 (k N*) Ta cũng có:d 5 khi n - 2 không chia hết cho 5 (khi đó n + 13 không chia hết cho 5) => n 5k + 2 (k N*). Kết luận:Với n 3k + 2 và n 5k + 2 (k N*) thì phân số là phân số tối giản: Ngoài cách giải trên ta còn có cách giải sau: Ta có: (n 2). Để phân số là phân số tối giản thì phân số là phân số tối giản. Muốn vậy 15 và n - 2 phải là hai số nguyên tố cùng nhau.Vì 15 có hai ước khác 1, khác 15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n – 2 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 5 tức là n 3k + 2 và n 5k + 2 (k N*). Các bài toán có thể giải nhiều cách khác nhau, tuy nhiên ta nên sử dụng cách 1 để học sinh có một cách giải quen thuộc và khắc sâu kiến thức hơn. *Ví dụ 2: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản. a. b. c. Lời giải Gọi d là ước nguyên tố của 2n + 3 và 4n + 1.Ta có: 2(2n + 3) - (4n + 1) d => 5 d => d . Ta thấy 2n + 3 5 (khi đó 4n + 1 5) nếu 2n tận cùng bằng 2 hay n tận cùng bằng 1 hoặc 6. Kết luận: Với mọi số tự nhiên n có tận cùng khác 1 và khác 6 thì phân số là phân số tôi giản. b. Gọi d là ước nguyên tố của 3n + 2 và 7n + 1. Ta tìm được d = 11 => d Ta thấy: 3n + 2 11 (khi đó 7n + 1 11) nếu 3n + 2 - 11 11 3(n - 3) 11 n - 3 11 n = 11k + 3 (k N). Kết luận: Nếu n 11k + 3 (k N) thì phân số đã cho tối giản. c. Gọi d là ước nguyên tố của 2n + 7 và 5n + 2. Ta có: 5(2n + 7) - 2(5n + 2) d => 31 d => d = 31. Ta thấy :2n + 7 31 (khi đó 5n + 2 31) nếu 2n + 7 - 31 31 => 2(n - 12) 31 => n - 12 31 => n = 31k + 12(k N). Kết luận: Nếu n 31k + 12(k N) thì phân số đã cho tối giản. 5. Dạng 5: Một số bài toán mở rộng: Từ phương pháp giải các dạng toán trên, ta có thể áp dụng để giải các bài toán tương tự sau: Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được. Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số là phân số tối giản. C.Thực nghiệm. Đối với học sinh bậc THCS đặc biệt là học sinh lớp 6 các em băt đầu làm quen với các bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản và các bài toán liên quan thì thường gặp rất nhiều khó khăn,không biết bắt đầu giải từ đâu.Đa số mới làm được những bài toán đơn giản còn đối với loại toán này thì các em chưa làm được.Tuy nhiên khi tôi đưa ra các ví dụ này cho các em áp dụng giải thì đã có hiệu quả rõ rệt.Hằ như bắt đầu rất khó tiếp thu nhưng sau đó các em đã gây được hứng thú học tập,tiếp thu nhanh và giải quyết được nhiều bài toán hay và khó. Kết quả đạt được sau khi sử dụng kinh nghiệm này như sau: Giỏi: 75% Khá: 20% Trung bình: 5% Yếu: 0% D.Kết luận. Trong quá trình nghiên cứu các bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản tôi thấy bản thân học được rất nhiều và tâm đắc với loại toán này đồng thời dẫn dắt học sinh tự giải quyết được nhiều bài toán có liên quan. Trên đây là ý tưởng nhỏ được đúc rút từ quá trình học tập, nghiên cứu và giảng dạy.Tôi hy vọng rằng bạn đọc sẽ góp ý cho kinh nghiệm nhỏ này được áp dụng có kết quả tốt hơn trong thực tế dạy học. Hà Tĩnh,tháng 4 năm 2008