Sáng kiến kinh nghiệm - Một số áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân giải bài toán GTLN, GTNN phân tích sai lầm học sinh thường gặp

§Æt vÊn ®Ò Trong chương trình sách giáo khoa mới phân ban hiện nay phần bất đẳng thức chỉ còn lại bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( BĐT CôSi ), bất đẳng thức Bunhiakõpki được các tác giả đưa vào bài đọc thêm . Như vậy về nguyên tắc thì chương trình phổ thông chỉ còn bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân là học sinh được phép vận dụng Như chúng ta đã biết thì bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân là một bất đẳng thức hay và khó được sử dụng và ứng dụng hết sức rộng rãi . Tuy nhiên về mặt tâm lí cũng như kiến thức học sinh rất là ngại giải toán bất đẳng thức , các em hay sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân một cách không hợp lí và hay mắc phải những sai lầm đặc biệt là vấn đề xác định dấu ‘’=’’ của bất đẳng thức xảy ra khi nào. Là người trực tiếp giảng dạy toán, giải toán bất đẳng thức tôi hiểu rất rõ về tình trạng này . Qua kinh nghiệm giảng dạy cũng như tham khảo tài liệu tôi xin đưa ra một vấn đề hết sức cần thiết đối với học sinh là : Mét sè ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n gi¶i bµi to¸n GTLN, GTNN ph©n tÝch sai lÇm häc sinh th­êng gÆp. Đây là một vấn đề mà tất cả những người học toán, làm toán, dạy toán hết sức quan tâm. Bài viết này nhằm nâng cao kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đặc biệt là xác định dấu ‘=’ xảy ra từ đó xác định được hướng sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Môc lôc Trang PhÇn 1 : ViÖc x¸c ®Þnh dÊu b»ng x¶y ra khi ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh céng sang trung b×nh nh©n. 3 PhÇn 2 : Kü thuËt x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng khi ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh nh©n sang trung b×nh céng 18 PhÇn 3 : Bµi tËp ®Ò nghÞ 23 PhÇn 4: KÕt luËn- kiÕn nghÞ 25 Tµi liÖu tham kh¶o 26 PhÇn 1 : ViÖc x¸c ®Þnh dÊu b»ng x¶y ra khi ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh céng sang trung b×nh nh©n 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ : 1.1 BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®èi víi hai sè kh«ng ©m a, b , dÊu b»ng x¶y ra khi a=b. 1.2 BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®èi víi ba sè kh«ng ©m a, b,c , dÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c. 1.3 BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi n sè kh«ng ©m , dÊu b»ng x¶y ra khi . NhËn xÐt BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n th­êng ®­îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«Si. Tuy nhiªn ®©y chØ lµ d¹ng bÊt ®¼ng thøc d¹ng c¬ b¶n theo ch­¬ng tr×mh ph©n ban, chóng ta cßn cã thÓ khai th¸c vµ x©y dùng thªm c¸c bÊt ®¼ng thøc nhá tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn vµ ¸p dông ®Ó gi¶i ®­îc mét sè bµi to¸n trong c¸c kú thi tuyÓn sinh. Trong thùc tÕ viÖc sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng ph¶i lµ mét viÖc dÔ dµng, ®Æc biÖt lµ ®èi víi c¸c em häc sinh trong bµi to¸n cùc trÞ. C¸c em th­êng sö dông theo ®óng c«ng thøc trong khi viÖc ®¶m b¶o dÊu b»ng x¶y ra lµ mét viÖc hÕt søc khã kh¨n. 2. Bµi to¸n më ®Çu Cho hai sè d­¬ng a,b ta lu«n cã . DÊu b»ng x¶y ra khi a=b. Tõ bµi to¸n trªn ta cã thÓ khai th¸c nhiÒu bµi to¸n nh­ sau. VÝ dô 1 Cho . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Sai lÇm cña häc sinh : Ta cã VËy , sai lÇm c¸ch lµm trªn ë chç lµ , ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra v× . Qu¸ tr×nh ph©n tÝch lêi gi¶i : Ta lËp mét b¶ng c¸c gi¸ trÞ t­¬ng øng cña vµ T nh­ sau : a 2 3 4 5 . 100 . T .. Nh­ vËy khi gi¸ trÞ cña a cµng t¨ng th× gi¸ trÞ cña T cµng t¨ng. tõ ®ã ta dù ®o¸n lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T lµ khi a=2 . Hay ta cã thÓ nãi : ®¹t ®­îc t¹i ®iÓm a=2 . Do bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n x¶y ra dÊu b»ng khi c¸c sè tham gia ph¶i b»ng nhau. Do ®ã t¹i a=2 th× ta kh«ng thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi hai sè a vµ . VÊn ®Ò lµ ta chän c¸c sè tham gia bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n nh­ thÕ nµo . Ta thÊy r»ng v× do ®ã ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T ( ttøc lµ T ph¶i cã chiÒu ) th× ta sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®Ó lµm mÊt sè h¹ng , hay sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n trong ®ã cã mét sè lµ , sè cßn l¹i lµ sè cã d¹ng . Nh­ vËy ta sÏ cÇn t×m k sao cho t¹i ®iÓm dÊu b»ng x¶y ra a=2, tøc lµ : S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : th× mµ . Tõ ®©y ta sÏ biÕn ®æi biÓu thøc T theo h­íng x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng nh­ trªn : Bµi gi¶i VËy khi a=2. VÝ dô 2 Cho . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®iÓm : a=2 ( t­¬ng tù nh­ vÝ dô 1). Sai lÇm cña häc sinh : Ta cã . §Õn ®©y th× häc sinh kh«ng biÕt ®¸nh gi¸ thÕ nµo cho ®óng n÷a mÆc dï ®· x¸c ®Þnh ®­îc ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng . Nguyªn nh©n lµ c¸c em ch­a sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n mét c¸ch phï hîp . Khi sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi hai sè vµ th× khi ®¸nh gi¸ tõ tæng sang tÝch ta ®­îc , nh­ vËy ch­a hÕt a ë mÉu sè . Nh­ vËy ch­a t×m ®­îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T. Qu¸ tr×nh ph©n tÝch lêi gi¶i : NhËn thÊy . Nh­ vËy ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T ( tøc lµ T cã chiÒu ) th× ta ph¶i biÕn ®æi T sao cho khi sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n lµm mÊt sè h¹ng . Do ®ã khi sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n sÏ cã 1 sè h¹ng vµ 2 sè cßn l¹i cã d¹ng ( cã hai sè ®Ó khi nh©n vµo sÏ hÕt thõa sè a cña ). S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : Bµi gi¶i Ta cã VËy khi a=2. VÝ dô 3 Cho . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®iÓm : a=4 Qu¸ tr×nh ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : Do suy ra ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ta ph¶i sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®Ó lµm mÊt a ë d­íi mÉu sè . Tøc lµ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi c¸c sè trong ®ã cã 1 sè lµ S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : Bµi gi¶i VËy x¶y ra khi a=4 NhËn xÐt : Khi cÇn lµm mÊt sè h¹ng nµo th× chÝnh sè h¹ng ®ã lµ 1 sè h¹ng tham gia trong bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n . Qua 3 vÝ dô trªn chóng ta ®· lµm quen víi c¸c bµi to¸n mµ gi¶ thiÕt cho d¹ng . Sau ®©y chóng ta sÏ lµm quen víi gi¶ thiÕt . VÝ dô 4 Cho . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña . Sai lÇm cña häc sinh : Ta cã VËy . Sai lÇm c¸ch lµm trªn ë chç : , ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra v× . Râ rµng lµ c¸c em còng biÕt sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n song ch­a hîp lý cô thÓ lµ ch­a x¸c ®Þnh ®óng ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng trong bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n . Qu¸ tr×nh ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : T­¬ng tù c¸c vÝ dô trªn ta lËp mét b¶ng c¸c gi¸ trÞ t­¬ng øng cña T khi a thay ®æi nh­ sau : A . 2a 1 4 9 16 . 100 T 5 .. Nh­ vËy khi gi¸ trÞ cña a cµng nhá th× gi¸ trÞ cña T cµng t¨ng. tõ ®ã ta sÏ dù ®o¸n gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T lµ 5 khi . Hay ta cã thÓ nãi : ®¹t ®­îc t¹i ®iÓm a=2 . MÆt kh¸c v× . Nh­ vËy ta ph¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n nh­ thÕ nµo ®Ó lµm mÊt tham sè a ë trªn tö sè . Do ®ã chóng ta nghÜ ®Õn viÖc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n trong ®ã cã mét sè lµ a. S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : Bµi gi¶i VËy khi . NhËn xÐt: Qua 4 vÝ dô trªn ta thÊy khi sö dông kü thuËt x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng, nÕu ®· x¸c ®Þnh ®­îc mét sè tham gia bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n gi¶ xö lµ a th× sè cßn l¹i sÏ cã d¹ng lµ . Ta chän t¹i ®iÓm dù ®o¸n x¶y ra dÊu b»ng ®Ó x¸c ®Þnh sè k. Mét sè bµi to¸n ¸p dông Bµi to¸n 2 Cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña . Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : , suy ra MinT=2. Sai lÇm c¸ch lµm trªn lµ ®iÒu nµy m©u thuÉn v× . Râ rµng häc sinh ®· biÕt xö dông tÝch ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n song l¹i kh«ng ®Ó ý ®Õn rµng buéc bµi to¸n . Chóng ta còng thÊy bµi to¸n nµy cã hai biÕn x,y . Tuy nhiªn cã thÓ ®­a vÒ bµi to¸n 1 biÕn quen thuéc b»ng c¸ch ®Æt a=xy vµ nhí ®iÒu kiÖn cña Èn phô a . §Æt Bµi to¸n ®· cho trë thµnh : Cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ( néi dung t­¬ng tù vÝ dô 4). S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng Bµi gi¶i : VËy khi . Bµi to¸n 3 Cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña . Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : , suy ra MinT=2. Sai lÇm c¸ch lµm trªn lµ ®iÒu nµy m©u thuÉn v× . §Æt . Bµi to¸n ®· cho trë thµnh : Cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ( néi dung t­¬ng tù vÝ dô 4). S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng : . Bµi gi¶i: VËy khi . Bµi to¸n 4 Cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña . Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : Suy ra MinT=6 , sai lÇm c¸ch lµm trªn lµ m©u thuÉn . Qu¸ tr×nh ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i nhËn thÊy r»ng T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña a,b,c do ®ã dù ®o¸n MinT ®¹t ®­îc t¹i . S¬ ®å x¸c ®Þnh dÊu b»ng : Bµi gi¶i : VËy x¶y ra khi . Chó ý Ngoµi c¸ch gi¶i trªn bµi to¸n cßn cã thÓ gi¶i theo c¸ch kh¸c ch¼ng h¹n . NhËn xÐt : Tõ néi dung bµi to¸n 4 ta cã mét sè bµi to¸n cã c¸ch gi¶i t­¬ng tù nh­ sau. Bµi to¸n 4.1: Cho tam gi¸c ABC nhän . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau . Bµi to¸n 4.2: Cho tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau . Bµi to¸n 5 Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña . Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : Ph©n tÝch sai lÇm : Suy ra m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt . Tuy nhiªn viÖc t¸ch l¹ kh«ng hîp lý v× dÊu b»ng kh«ng x¶y ra . Qu¸ tr×nh ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Ta thÊy r»ng T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña a,b,c do ®ã dù ®o¸n MinT ®¹t ®­îc t¹i . S¬ ®å x¸c ®Þnh dÊu b»ng : Bµi gi¶i : VËy x¶y ra khi . Bµi to¸n 6 Cho x,y lµ hai sè d­¬ng tho¶ m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña . Ph©n tÝch lêi gi¶i: NÕu ®Ó nguyªn T nh­ trªn th× kh«ng thÓ nhËn biÕt ®­îc c¸ch gi¶i, do ®ã ta cã thÓ viÕt l¹i T nh­ sau : . Ta nhËn thÊy r»ng tæng c¸c mÉu sè cña 5 phÇn tö trªn b»ng , v× vËy ®Ó lµm bµi tËp trªn ta sÏ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi 5 sè trªn . Khi ®ã ta ph¶i cã . Tõ ®ã dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra khi . Bµi gi¶i VËy . Chó ý : Néi dung bµi trªn cã thÓ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ë d¹ng kh¸c . Bµi to¸n 7 : Cho x,y lµ hai sè d­¬ng tho¶ m·n . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Ph©n tÝch lêi gi¶i: BiÓu thøc T trong bµi to¸n trªn cã chøa c¸c ph©n sè , v× vËy ®Ó t×m Min ta ph¶i t×m c¸ch lµm mÊt c¸c ph©n sè nµy b»ng c¸ch ghÐp chóng víi c¸c sè kh¸c ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n . Qua ®ã ta biÕt c¸c sè tham gia bÊt ®¼ng thøc lµ . Râ rµng kh«ng thÓ ghÐp 3x víi vµ 4y víi v× khi ®ã kh«ng x¶y ra dÊu b»ng . Ta cã thÓ biÕn ®æi l¹i biÓu thøc T nh­ sau vµ lóc nµy ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n cho c¸c cÆp sè vµ . khi ®ã sÏ x¶y ra dÊu b»ng v× . Bµi gi¶i VËy . NhËn xÐt : + Trong thùc tÕ nhiÒu khi kh«ng ph¶i lócnµo biÓu thøc cÇn chøng minh còng cho d­íi d¹ng biÓu thøc ®èi xøng gi÷a c¸c biÕn . Khi ®ã ta nªn t¸ch ghÐp vµ kÕt hîp víi gi¶ thiÕt ®Ó dù ®o¸n dÊu b»ng x¶y ra t¹i ®iÓm nµo vµ biÕn ®æi biÓu thøc theo dù ®o¸n ®ã . + Néi dung c¸c bµi to¸n trªn ta ®Òu cã thÓ x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng cô thÓ . Tuy nhiªn nhiÒu bµi to¸n ta kh«ng thÓ x¸c ®Þnh ®­îc ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng mµ chØ t×m ra mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕn. Bµi to¸n 8 : Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : . Ph©n tÝch sai lÇm : v« lý v× . Ph©n tÝch lêi gi¶i: BiÓu thøc T lµ biÓu thøc ®èi xøng víi x,y nªn T ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x=y . MÆt kh¸c ta thÊy r»ng do ®ã ta sÏ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n trong ®ã cã mét sè lµ sè cßn l¹i cã d¹ng . S¬ ®å x¸c ®Þnh dÊu b»ng : . Bµi gi¶i VËy . Chó ý : Bµi to¸n trªn cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®Æt vµ cã thÓ ®­a T vÒ biÓu thøc quen thuéc trong c¸c vÝ dô trªn . Bµi to¸n 9 : Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Sai lÇm häc sinh m¾c ph¶i : VËy : MinT=6. Ph©n tÝch sai lÇm : DÊu b»ng x¶y ra khi v« lý Ph©n tÝch lêi gi¶i : Do T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña x,y,z lªn ta dù ®o¸n T ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x=y=z. S¬ ®å x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng Bµi gi¶i : VËy . Bµi to¸n 10 : Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : Do T lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a,b,c,d nªn dù ®o¸n T ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi a=b=c=d. Khi ®ã do ®ã ta nghÜ ®Õn viÖc t¸ch biÓu thøc sau ®ã ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi bé 5 sè nµy , víi c¸c biÓu thøc kh¸c hoµn toµn t­¬ng tù . Bµi gi¶i Nh©n hai vÕ víi vÕ c¸c biÓu thøc trªn ta ®­îc : VËy . NhËn xÐt : + ViÖc x¸c ®Þnh ®óng ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng còng lµ yÕu tè quyÕt ®Þnh ®Õn vuÖc biÕn ®æi bµi to¸n , ¶nh h­ëng ®Õn h­íng lµn cña bµi to¸n còng nh­ lêi gi¶i ®óng cña bµi to¸n. + Ph©n tÝch nh÷ng sai lÇm trªn lµ do häc sinh kh«ng kiÓm tra dÊu b»ng cña c¸c bÊt ®¼ng thøc, vµ v× vËy c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt ®Òu ph¶i yªu cÇu gi¸ trÞ ®ã ®¹t t¹i ®©u. PhÇn 2 : Kü thuËt x¸c ®Þnh ®iÓm x¶y ra dÊu b»ng khi ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh nh©n sang trung b×nh céng KiÕn thøc chuÈn bÞ : BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi hai sè kh«ng ©m a,b: DÊu “=” x¶y ra khi a = b. BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi ba sè kh«ng ©m a,b,c : DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n víi n sè kh«ng ©m : DÊu “=” x¶y ra khi . Mét sè bµi to¸n th­êng gÆp : Bµi to¸n 11: Cho T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña Ph©n tÝch : DÊu “ = “ khi VËy Bµi to¸n 12: Cho T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña Sai lÇm cña häc sinh : BiÕn ®æi Ph©n tÝch sai lÇm : ®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ®Çu bµi lµ a,b,c d­¬ng vµ . Râ rµng häc sinh ®· biÕt sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n tuy nhiªn kh«ng lé lý ®ång thêi t¹i ®iÓm ®ã kh«ng x¶y ra dÊu b»ng . Qu¸ tr×nh ph©n tÝch lêi gi¶i : NhËn thÊy r»ng T lµ biÓu thøc ®èi xøng cña a,b,c nªn T ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi a=b=c. Do ®ã ta cã : VËy . Bµi to¸n 13: Cho T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : NhËn thÊy T lµ mét biÓu thøc ®èi xøng cña a,b,c nªn T sÏ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi . Khi ®ã ta cã : Do ®ã : Suy ra : Bµi to¸n 14 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc biÕt Ph©n tÝch lêi gi¶i : MÆt kh¸c : Suy ra : . VËy . Bµi to¸n 15 : Cho vµ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : Ta nh©n thÊy r»ng T lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi cÆp vµ cÆp ®ång thêi ®iÒu kiÖn bµi to¸n còng cã tÝnh chÊt ®èi xøng cña cÆp vµ cÆp . Dù ®o¸n MaxT sÏ ®¹t ®­îc t¹i Ta cã : ( v× Suy ra DÊu “=” x¶y ra vµ VËy Bµi to¸n 16 : Cho T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc . Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : VËy : PhÇn 3 : Bµi tËp ®Ò nghÞ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè Cho . T×m x ®Ó y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Cho . T×m x ®Ó y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Cho x>0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : Cho , t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña víi x,y,z lµ c¸c sè d­¬ng vµ : a) b) Cho Cho 3 sè d­¬ng a,b,c tho¶ m·n: Cho Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Cho CMR Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Cho T×m gi¸ trÞ lín nhÊt Cho 3 sè d­¬ng x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Cho T×m gi¸ trÞ lín nhÊt PhÇn 4: KÕt luËn- kiÕn nghÞ Tr¶i qua thùc tiÔn gi¶ng d¹y, néi dung c¸c bµi gi¶ng liªn quan ®Õn ®Ò tµi vµ cã sù tham gia gãp ý cña ®ång nghiÖp, vËn dông ®Ò tµi vµo gi¶ng dËy ®· thu ®­îc mét sè kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh sau : Cñng cè, bæ sung thªm kiÕn thøc vÒ bµi to¸n gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt . Häc sinh thÊy ®­îc nh÷ng sai lÇm khi vËn dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n. Häc sinh trung b×nh trë lªn n¾m v÷ng ®­îc mét sè ph­¬ng ph¸p, kü n¨ng ph©n tÝch .. ®Ó vËn dông ®óng bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n . Mét sè ®Ò thi häc sinh giái, ®Ò thi tuyÓn sinh .. Häc sinh kh¸ giái cã thÓ sö dông ph­¬ng ph¸p tr×nh bµy trong ®Ò tµi ®Ó gi¶i bµi to¸n. Lµ mét ph­¬ng ph¸p tham kh¶o cho häc sinh vµ c¸c thÇy c« gi¸o. X©y dùng ph­¬ng ph¸p gi¶ng dËy theo quan ®iÓm ®æi míi lµ viÖc mµ toµn x· héi vµ nghµnh ®ang quan t©m. Tuy nhiªn, trong mét sè líp bµi to¸n gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt ë bËc THPT ta cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n nh­ng viÖc ph©n tÝch sai lÇm vµ h­íng dÉn häc sinh mét c¸ch cô thÓ ®Ó häc sinh vËn dông ®óng lµ mét trong môc tiªu cña ®Ò tµi nãi riªng vµ c«ng viÖc gi¶ng d¹y nãi chung. Qua néi dung ®Ò tµi t¸c gi¶ mong muèn cã sù t×m hiÓu s©u h¬n vÒ mèi quan hÖ gi÷a “Bµi to¸n cùc trÞ ” vµ “BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n”. Qua ®ã ta cã thÓ t×m ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i, x©y dùng ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y ®¹t hiÖu cao nhÊt theo tinh thÇn ®æi míi. Trong kho¶ng thêi gian h¹n chÕ vµ kinh nghiÖm cã h¹n. Néi dung ®Ò tµi kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu xãt rÊt mong ®­îc sù ®ãng gãp cña thÇy c« vµ c¸c b¹n. Xin ch©n thµnh c¸m ¬n! Tµi liÖu tham kh¶o TrÇn Ph­¬ng – NguyÔn §øc TÊn . Sai lÇm th­êng gÆp vµ c¸c s¸ng t¸c khi gi¶i to¸n , Nhµ xuÊt b¶n Hµ Néi 2003 TrÇn Ph­¬ng C¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¶ng thøc. Nhµ xuÊt b¶n Hµ Néi 2002. T¹p trÝ To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ Sè 325 , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc M¹ng Internet : ,