Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán để dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là môn khoa học mang tính thực tiễn , nó có mối quan hệ mật thiết đối với đời sống con người chúng ta và là cầu nối để đưa con người có những bước tiến mới trong xã hội . Hơn thế nửa trong thời kì hội nhập hiện nay môn toán học lại càng được coi trọng và có những đóng góp cực kì quang trọng trong các ngành công nghiệp , xây dựng , Toán học là môn học cơ bản cung cấp kiến thức , kĩ năng , phương pháp cần thiết để học tốt các môn học khác trong nhà trường ngoài ra môn toán còn phát triển những nhân cách thông qua việc học tập , học sinh phát triển những năng lực trí tuệ , rèn luyện những phẩm chất đạo đức . Đặc biệt toán học là môn học không thể thiếu trong các kì thi học sinh giỏi hằng năm . Môn toán học là môn học mà học mà học sinh thường ít ham học , ít chịu khó học bài và làm bài tập cho nên chất lượng của môn toán còn rất thấp . Qua thực tế giảng dạy ở các năm học , qua chất lượng các kì thi học kì, qua các tiết thao giảng dự giờ rút kinh nghiệm ở các đồng nghiệp tôi nhận thấy học sinh ở các khối từ khối 8 đến khối 9 khi thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử thì các em chưa thực hiện thành thạo . Đặc biệt là học sinh ở khối 8 khi học bài giải phương trình tích thì các chưa được về dạng tích của các đa thức ở các dạng đơn giản cũng như các dạng phức tạp vì hầu như các em chưa thực hiện thành thạo ở khâu phân tích đa thức thành nhân tử trong các trường hợp không phải ở dạng đặt nhân chung , không phải ở dạng dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm hạng tử . Là giáo viên trực tiếp giảng dạy bản thân tôi thiết nghĩ làm thế nào để giúp học sinh học tốt môn toán nói chung và thực hiện thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử , để giúp các em vận dụng tốt vào việc giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích hoặc giúp các em tính nhanh giá trị của một đa thức nào đó hoặc dùng để chứng minh đẳng thức . Xuất phát từ những nguyên nhân trên và qua nhiều năm dạy toán khối 8 ở trường , bản thân tôi cũng rutù được một ít kinh nghiệm để dạy tốt phần phân tích đa thức thành nhân tử . Sau đây tôi trình bày một số dạng toán để dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử . PHẦN II : TÓM TẮT KIẾN THỨC PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì : · Viết các hạng tử thành dạng tích trong đó có một thừa số là nhân tử chung · Đặt nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc , phần trong ngoặc là các nhân tử còn lại của dạng tích mỗi hạng tử A . B + A . C = A ( B + C ) 2) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức : Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức · Xác định các hạng tử và dạng hằng đẳng thức · Sử dụng công thức hằng đẳng thức tương ứng để biên đổi đa thức thành dạng t ích 3) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử: · Tách đa thức đã cho thành nhóm các hạng tử thích hợp . · Phân tích mỗi nhóm hạng tử thành nhân tử . · Đặt nhân tử chung đối với đa thức thu gọn 4) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp Đặt nhân tử chung Dùng hằng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử và các phương pháp khác · Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc . Sau đó phân tích tiếp đa thức trong ngoặc bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử hay dùng hằng đẳng thức · Trường hợp các hạng tử của đa thức không có nhân tử chung htif sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử hoặc tách một hay một số nhân tử sau đó nhóm các hạng tử , tiếp theo dùng phương pháp đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng thức đối với mỗi nhóm hạng tử , cuối cùng đặt nhân tử chung đối với các tích thu được , sau đó tiếp tục phân tích nếu có thể được PHẦN III . CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN KHAI THÁC A) . DẠNG 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: + Bài tập : 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 3x – 3y 2x2 + 5x3 + x2y 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 x(y – 1 ) – y(y – 1) 10x(x – y) – 8y(y – x) Giải: 3x – 3y = 3(x – y) 2x2 + 5x3 + x2y = x2(2 + 5x + y) 14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 = 7xy( 2x – 3y + 4xy) x(y – 1 ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2 (x – y)(5x + 4y) 2) Tìm x , biết : a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 b) 5x2 = 13x Giải: a) Ta có : 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0 (x – 2000)(5x – 1) = 0 x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0 · x – 2000 = 0 x = 2000 · 5x – 1 = 0 5x = 1 x = Vậy x = 2000 hoặc x = 5x2 = 13x 5x2 – 13x = 0 x(5x – 13 ) = 0 5x = 0 hoặc 5x – 13 = 0 · x = 0 · 5x – 13 = 0 x = Vậy x = 0 hoặc x = 3) Chứng minh rằng : 55n+1 – 552 chia hết cho 54 ( Với n là số tự nhiên ) Giải: Ta có : 55n+1 – 55 = 55n.55 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 Mà 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 ( đpcm) 4 ) Tính nhanh a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65 b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41 Giải: 15,8 . 35 + 15,8 . 65 = 15,8(35 + 65) = 15,8 . 100 = 1580 1,43 . 141 – 1.43 . 41 = 1,43 ( 141 – 41 ) 1,43 . 100 =143 + Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 6x4 – 9x3 x2y2z + xy2z2 + x2yz2 (x + y ) 3 – x3 – y3 2x(x + 3) + 2(x + 3) Tìm x , biết 5x(x – 2) – x – 2 = 0 4x(x + 1) = 8( x + 1) x(2x + 1) + = 0 x(x – 4) + (x – 4)2 = 0 Chứng minh rằng : Bình phương của một số lẻ chia cho 4 thì dư 1 Bình phương của một số lẻ chia cho 8thì dư 1 + Khái quat hóa bài toán : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = pm+2.q – pm+1.q3 – p2.qn+1+ p.qn+3 + Đề xuất bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4x(x – 2y) + 8y(2y – x ) 3x(x + 7)2 – 11x2(x + 7 + 9(x + 7) -16a4b6 – 24a5b5 – 9a6b4 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 B) . DẠNG 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dung hằng đẳng thức + Bài tập : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x2 + 6x + 9 10x – 25 – x2 (a + b)3 + (a – b)3 (a + b)3 – (a – b)3 x3 + 27 81x2 – 64y2 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 Giải: x2 + 6x + 9 = x2+ 2 .x . 3 + 32 = (x + 3)2 10x – 25 – x2 = -( x2 – 2.x.5 + 52) = - (x – 5)2 (a + b)3 + (a – b)3= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2 = 2a[a2 + 2ab + b2 – (a2- b2) + a2 – 2ab + b2 = 2a(a2 + 3b2) (a + b)3 – (a – b)3 = [(a + b) - (a – b)][(a + b)2 + (a + b)(a – b) + (a – b)2] = ( a + b – a + b) (a2 + 2ab + b2 + a2- b2+ a2 – 2ab + b2 = 2b(3a2+ b2) x3 + 27 = ( x + 3)(x2 – 3x + 9) 81x2 – 64y2 = (9x)2 – (8y)2 = (9x + 8y)(9x – 8y) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.(2x).y2 + y3 = (2x + y)3 Tìm x , biết : x2 – 25 = 0 x2 – 4x + 4 = 0 Giải : x2 – 25 = 0 ( x – 5 )(x + 5) = 0 x2 – 4x + 4 = 0 x2 – 2.2x + 22 = 0 (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 3) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8 Giải: Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2a – 1 và 2a + 1 ( a là số nguyên ) . Hiệu các bình phương của chúng là: ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2. Ta thấy ( 2a + 1)2 – (2a – 1)2. = (2a + 1 + 2a – 1 )(2a + 1 -2a + 1) = 4a.2 = 8a chia hết cho 8 4)Tính nhẩm: 732 – 272 372 – 132 20022 – 22 Giải: 732 – 272 = ( 73 + 27) (73 – 27) = 100 . 46 = 4600 372 – 132 = (37 – 13 )(37 + 13) = 24 . 50 = 1200 20022 – 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000 . 2004 = 4008000 + Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ( a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 8(x + y + z)3 – (x + y)3 – (y + z)3 – (z – x)3 8x3 – 27 – x3 + 9x2 – 27x + 27 Tìm x , biết : 4x2 – 49 = 0 x2 + 36 = 0 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có : (4n + 3)2 – 25 chia hết cho 8 Tính nhanh giá trị của biểu thức sau với a = 1982 M = (a + 4)2 + 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)2 + Khái quat hóa bài toán : - Chứng minh hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8 - Chứng minh hiệu các bình phương của hai số chẳnû liên tiếp thì chia hết cho 16 + Đề xuất bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( 3x – 2y)2 – (2x + y)2 27x3 – 0,001 [4abcd + (a2 + b2)(c2 + d2)]2 – 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2 x6 + 2x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + 1 2) Chứng minh rằng biểu thức : 4x(x + y) ( x + y + z)(x + y) y2z2 luôn luôn không âm với mọi giá trị của x , y và z C) . DẠNG 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử + Bài tập : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4x – y2 + 4 3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2 x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2 x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: x2 + 4x – y2 + 4 = x2 +2.x.2 + 22 – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + 2 – y)(x + 2 + y) 3x2 + 6xy + + 3y2 – 3z2 = 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] = 3[(x + y)2 – z2] = 3(x + y + t)(x + y – z) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt - t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 - 2zt + t2) = (x – y)2 – (z – t)2 = (x – y + z – t )(x – y – z + t) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) + Cách 1: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện nhân tử chung y – z x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) + y2z – y2x + z2x – z2y = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2- z2) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)[x(x – y) – z(x – y)] = (y – z )(x – y)(x – z) + Cách 2:Tách z – x = -[(y – z) + (x –y)] x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = x2(y – z) – y2[(y – x) + (x – y)] + z2(x – y) = (y – z)(x2 - y2) – (x – y)(y2 – z2) = (y – z)(x + y)(x – y) – (x – y)(y + z)(y – z) = (y – z)(x – y)(x + y – y – z ) = (y – z)(x – y)(x – z) Tìm x , biết : x(x – 2) + x – 2 = 0 5x(x – 3) – x + 3 = 0 Giải: x(x – 2) + x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x – 2 = 0 hoặc x +1 = 0 x = 2 hoặc x = -1 b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 5x(x – 3) – (x – 3) = 0 (x – 3)(5x – 1) = 0 x – 3 = 0 hoặc x – 1 = 0 x = 3 hoặc x = 1 + Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 27x3 + 27x2 + 9x + 1 + + x2y + xy2 – x – y 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z Tìm x , biết : x2 – 6x + 8 = 0 9x2 + 6x – 8 = 0 x3 + x2  + x + 1 = 0 x3 - x2 - x + 1 = 0 + Khái quát hóa bài toán : Phân tích đa thức thành nhân tử : pm + 2 q – pm + 1 q3 – p2 qn + 1 + pq n + 3 + Đề xuất bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) x(x + 1)2 + x(x – 5) – 5(x + 1)2 ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) x3z + x2yz – x2z2 – xyz2 Tìm tất cả các giá trị của x , y sao cho: xy + 1 = x + y Phân tích đa thức thành nhân tử rồi tính giá trị của đa thức với x = 5,1 ; y = 3,1 của đa thức : x2 – xy – 3x + 3y D) . DẠNG 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp + Bài tập : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 Giải: •° Cách 1: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b) c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac –bc + c2 – 3ab =(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) • ° Cách 2: a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + a2b + a2c + b3 + ab2 + b2c + c3 + ac2 + bc2 – a2b – abc - a2c – ac2 – abc –b2c – abc – bc2 = a2(a + b + c) + b2(b + a + c) + c2(c + a + b) – ab(a + b + c) – ac((a + c + b) – bc(b + a + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) • ° Cách 1: Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c, thì a + b + c = 0 Khi đó theo câu a ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 Hay a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) •° Cách 2: Để ý rằng (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 Và (y – z) = (y – x) + (x – z ) Do đó : (x – y)3 + (y –z )3 + (z – x)3 = [(y – x) + (x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 +3(y – x)(x –z)[( y – x) + (x –z)]+ + (x – z)3 – (x –z )3 – (y – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) •° Cách 3: Khai triển các hằng đẳng thức rồi sử dụng phương pháp đặt thừa số chung (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + y3 – 3y2z + 3yz2 – z3 + z3 – 3z2x + 3zx2 – x3 = - 3x2y + 3xy2 – 3y2z + 3yz2 – 3z2x + 3zx2 = 3(-x2y + xy2 – y2z + yz2 – z2x + zx2) = 3[-xy(x – y) – z2(x – y) + z(x – y)(x + y)] = 3(x – y)( - xy – z2 + xz + yz) = 3(x – y)[y(z – x) – z(z – x)] = 3(x – y)(z – x)(y –z ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách các hạng tử: x3 – 7x – 6 Giải: ° Cách 1: Tách số hạng -7x thành –x – 6x , ta có : x3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 = (x3 – x) – (6x + 6) = x(x + 1)(x – 1) – 6(x + 1) = (x + 1)(x2 – x – 6) Để tiếp tục phân tích đa thức x2 – x – 6 thành nhân tử , ta lại tách số hạng – 6 thành – 2 – 4 . Khi đó : x3 – 7x – 6 = (x + 1)(x2 – x – 2 – 4 ) = (x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2)] = (x + 1)(x + 2)(x – 3) ° Cách 2 : Tách số hạng – 7x thành – 4x – 3x , ta có: x3 – 7x – 6 = x3 – 4x – 3x – 6 = x( x + 2)(x – 2) – 3(x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x – 3) Tiếp tục tách số hạng – 3 của nhân tử thứ hai thành – 1 – 2 , Ta có : x3 – 7x – 6 =(x + 2)(x2 – 1 – 2x – 2) = (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2( x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x – 3 ) ° Cách 3: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 , Ta có: x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7(x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x – 3) Tiếp tục tách số hạng – 3 thành + 1 – 4 , Ta có : x3 – 7x – 6 = (x + 2)(x2 – 2x + 1 – 4 ) = (x + 2)[(x – 1)2 – 22] = (x + 2)(x + 1)(x – 3) Dùng phương pháp đặt ẩn phụ , phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 Giải: Đặt: x2 + x + 1 = y , ta có x2 + x + 2 = y + 1 . Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay x2 + x + 1 = y , ta được : (x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5) b)4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m , ta có : 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz , ta được : (x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 4) Dùng phương pháp hệ số bất định để : a) Phân tích đa thức x3 – 19x – 30 thành tích hai đa thức bậc nhất và bậc hai b) Phân tích đa thức x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giải: Kết quả cần phải tìm có dạng : (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Ta phải tìm bộ số a , b , c thỏa mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Vì hai đa thức này đồng nhất , nên ta có: Vì a , c Z và tích ac = - 30 , do đó a , c Và a = 2 , c = -15 , Khi đó b = -2 thỏa mãn hệ thức trên . Đó là bộ số phải tìm , tức là : x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) Dể thấy rằng 1 không là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên , cũng không có nghiệm hữu tỉ . Như vậy nếu đa thức đã cho phân tích được thành thừa số thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Suy ra : Từ hệ này ta tìm được a = b = d = 1 , c = 5 Vậy x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = ( x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1) 5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + 1 Giải: ° Cách 1 x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 + x + 1 = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) ° Cách 2 : x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1 = x2(x3 – 1) + 1(x2 + x + 1) = x2(x – 1)(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x2(x – 1) + 1] = (x2 + x + 1)[x3 – x2 + 1) 6)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 8x + 12 Giải: ° Cách 1: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x + 12 = (x2 – 2x) – (6x – 12) = x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 6) ° Cách 2 : x2 – 8x + 12 = (x2 – 8x + 16) – 4 = (x – 4)2 - 22 = (x – 4 + 2)(x – 4 – 2 ) = (x – 2 )(x – 6) ° Cách 3 : x2 – 8x + 12 = x2 – 36 – 8x + 48 = (x2 – 36) – (8x – 48) = (x + 6)(x – 6) – 8(x – 6) = (x – 6)(x + 6 – 8) = (x – 6)(x – 2) ° Cách 4 : x2 – 8x + 12 = x2 – 4 – 8x + 16 = (x2 – 4) – (8x – 16) = (x + 2)(x – 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 8) = (x – 2)(x – 6) ° Cách 5: x2 – 8x + 12 = x2 – 4x + 4 – 4x + 8 = (x2 – 4x + 4) – (4x – 8) = (x – 2)2 – 4(x – 2) = (x – 2)(x – 2 – 4) = (x – 2)(x – 6) ° Cách 6: x2 – 8x + 12 = x2 – 12x + 36 + 4x – 24 = (x2 – 12x + 36) + (4x – 24) = (x – 6)2 + 4(x – 6) = (x – 6)(x – 6 + 4) = (x – 6)(x – 2) 7)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4xy + 3y2 Giải: ° Cách 1: x2 + 4xy + 3y2 = x2 + xy + 3xy + + 3y2 = (x2 + xy) + (3xy + + 3y2) = x(x + y) + 3y(x + y) = (x + y)(x + 3y) ° Cách 2 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 4xy + 4y2 – y2 = (x2 + 4xy + 4y2) – y2 = (x + 2y)2 – y2 = (x + 2y + y)(x + 2y – y) = (x + 3y)(x + y) ° Cách 3 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – y2 + 4xy + 4y2 = (x2 – y2) + ( 4xy + 4y2) = (x + y)(x – y) + 4y(x + y) = (x + y)(x – y + 4y) = (x + y)(x + 3y) ° Cách 4 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – 9y2 + 4xy + 12y2 = (x2 – 9y2) + (4xy + 12y2) = (x + 3y)(x – 3y) + 4y(x + 3y) = (x + 3y)(x – 3y + 4y) = (x + 3y)(x + y) ° Cách 5 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 2xy + y2 + 2xy + 2y2 = (x2 + 2xy + y2) + (2xy + 2y2) = (x + y)2 + 2y(x + y) = (x + y)(x + y + 2y) = (x + y)( x + 3y) ° Cách 6 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 6xy + 9y2 – 2xy – 6y2 = (x2 + 6xy + 9y2) – (2xy + 6y2) = (x + 3y)2 – 2y(x + 3y) = (x + 3y)(x + 3y – 2y) = (x + 3y)(x + y) ° Cách 7 : x2 + 4xy + 3y2 = 4x2 + 4xy – 3x2 + 3y2 = (4x2 + 4xy) – (3x2 – 3y2) = 4x(x + y) – 3(x + y)(x – y) = (x + y)(4x – 3x + 3y) = (x + y)(x + 3y) 8)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) Giải: ° Cách 1: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) = a3(b2 – c2) + b3[(c2 – b2) – (a2 – b2) ] + c3(a2 – b2) = a3(b2 – c2) + b3(c2 – b2) – b3(a2 – b2) + c3(a2 – b2) = (b2 – c2)(a3 – b3) – (a2 – b2)(b3 – c3) = (b + c)(b – c)(a – b)(a2 + ab + b2) – (a + b)(a – b)(b – c)(b2 + bc + c2) = (a – b)(b – c)[(b + c)(a2 + ab + b2) – (a + b)( b2 + bc + c2)] = (a – b)(b – c)(a2b + ab2 + b3 + a2c + abc + b2c – ab2 – abc – ac2 – b3 – b2c – bc2 = (a – b)(b – c)(a2b + a2c – bc2 – ac2) = (a – b)(b – c)[b(a2 – c2) + ac(a – c)] = (a – b)(b – c)[b(a – c)(a + c) + ac(a – c)] = (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ac) ° Cách 2 : M = a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) Xem M là đa thức biến a , khi a = b thì M = 0 nên M chia hết cho a – b . Do vai trò của a , b , c giống nhau khi ta hoán vị vòng quanh nên M chia hết cho b – c , M chia hết cho c – a Ta có : M = (a – b)(b – c)(c – a)(ab + bc + ca). P Cho a = - 1 , b = -1 , c = 0 ta có P = -1 Do đó : a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) = (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ca) 9)Tìm x , biết : (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 5x(x – 3) + 3 – x = 0 Giải: a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 [(2x – 1) + (x +3)][ (2x – 1) - (x +3) = 0 ( 2x – 1 + x +3)( 2x – 1 – x – 3 ) = 0 (3x + 2)(x – 4 ) = 0 5x(x – 3) + 3 – x = 0 5x(x – 3) – (x – 3) = 0 (x – 3)(5x – 1) = 0 10)Tìm x , biết : (5 – 2x)(2x + 7) = 4x2 – 25 x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0 4(2x + 7) – 9(x + 3)2 = 0 (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2 Giải (5 – 2x)(2x + 7) – 4x2 + 25 = 0 (5 – 2x)(2x + 7) – (5 – 2x)(5 + 2x) = 0 (5 – 2x)( 2x + 7 – 5 – 2x ) = 0 (5 – 2x).2 = 0 5 – 2x = 0 x = x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0 (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) + ( x + 3)(x – 9) = 0 (x + 3)( x2 – 3x + 9 + x – 9) = 0 (x + 3)(x2 – 2x) = 0 x(x – 2)(x + 3) = 0 4(2x + 7)2 – 9(x + 3)2 = 0 [2(2x + 7)]2 – [3(x + 3)]2 = 0 (4x + 14)2 – (3x + 9)2 = 0 (4x + 14 + 3x + 9)(4x + 14 – 3x – 9 ) = 0 (7x + 23)(x + 5) = 0 (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2 (5x2 + 3x – 2 )2 - (4x2 – 3x – 2 )2 = 0 (5x2 + 3x – 2 + 4x2 – 3x – 2)( 5x2 + 3x – 2 – 4x2 + 3x + 2) = 0 (9x2 – 4 )(x2 + 6x) = 0 (3x – 2 )(3x + 2)x(x + 6) = 0 11)Chứng minhrằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n Z Giải: Ta có : n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1) ° Với mọi n Z , khi chia n cho 2 xảy ra hai trường hợp : + Trương hợp 1: n chia hết cho 2 , khi đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2 + Trương hợp2: n chia hết cho 2 dư 1 , khi đó n – 1 chia hết cho 2 nên tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2 ° Với mọi n Z , khi chia n cho 3 xảy ra ba trường hợp: + Trương hợp 1: n chia hết cho 3 , khi đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3 + Trường hợp 2 : n chia cho 3 dư 1 , khi đó n – 1 chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3 + Trường hợp 3: n chia cho 3 dư 2 , khi đó n + 1 chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3 Vậy trong mọi trường hợp n3 – n chia hết cho 2 và 3 . Do 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau . Suy ra : n3 – n chia hết cho 2 x 3 = 6 12) Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc Giải: ° Cách 1 : a + b + c = 0 a + b = - c (a + b)3 = (- c)3 a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3 a3 + b3 + c3 = 3abc ° Cách 2 : a + b + c = 0 a + b = - c - ab(a + b) = abc - a2b – ab2 = abc Tương tự: - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc Do đó : 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b) 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c) a3 + b3 + c3 = 3abc ° Cách 3 : a + b + c = 0 a + b = - c - c2(a + b) = c3 -a2c – bc2 = c3 Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3 Do đó : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3 - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3 -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3 a3 + b3 + c3 = 3abc 13)Tính nhanh : x2 + vơi x = 49,75 x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93 , y = 6 Giải: x2 + = x2 + = = (x + 0,25)2 Với x = 48,75 thì (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500 + Khái quát hóa bài toán : 1) Phân tích đa thức x3m + 2 + x3n + 1 + 1 ( m ,n N ) thành nhân tử 2) Cho đa thức : B = a4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 a) Phân tích B thành bốn nhân tử bậc nhất b) Chứng minh rằng nếu a , b , c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì b < 0 3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 105 + Đề xuất bài tập : 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x5 – x4 – x3 – x2 – x – 2 b) x8 + x6 + x4 + x2 + 1 c) x8 + x7 + 1 d) x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ : a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6 3) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp thêm , bớt hoặc tách các hạng tử: a) bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) b) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc c) y(x – 2z)2 + 8xyz + x(y – 2z)2 – 2z(x + y)2 PHẦN IV : KẾT LUẬN 1) Rèn cho học sinh có các nămg lực: - Rèn luyện cho học sinh có khả năng phân tích đa thức thành nhân tử ở tất cả các dạng như đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức , nhóm các hạng hạng tử ở các dạng đơn giản hoặc phức tạp - Rèn luyện cho học sinh có kĩ năng tư duy , kĩ nằng phân tích và kĩ năng phán đoán để thực hiện thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử , hoặc thêm bớt các hạng tử để đưa về dạng có nhân tử chung hoặc dùng hẳng đẳng thức hoặc nhóm các hạng tử 2) Một số bài tập bồi dưỡng học sinh năng khiếu : 1) Cho các số p > q > 0 và các biểu thức : a = p2 + q2 ; b = p2 – q2 ; c = 2pq . Chứng tỏ rằng a , b , c là các số đo các cạnh của một tam giác vuông . 2) Chứng minh rằng nếu : (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = ( a + b – 2c)2 + (b + c – 2a)2 + (c + a – 2b)2 Thì a = b = c 3 ) Chứng minh rằng : (5x + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọ