Sáng kiến kinh nghiệm - Một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số ở cấp THCS

MỤC LỤC A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI B. NỘI DUNG I. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng: A(x) ³ 0 hoặc A (x) £ 0. II. Phương pháp giải bài toán tìm giá nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng III. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi 1. Dưới dạng căn thức. 2. Dưới dạng lũy thừa IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ V. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski 1. Viết dưới dạng lũy thừa : 2. Viết dưới dạng căn thức. C. KẾT LUẬN A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bộ môn toán vốn dĩ đã rất đa dạng, gây không ít hứng thú lòng say mê tìm kiếm. Tuy nhiên có những dạng toán có thể nói là rất khó, để đi tới đích không phải học sinh cấp II nào cũng thực hiện được. Trong khi đó học sinh là đối tượng mà ta trực tiếp phải quan tâm truyền tải những vấn đề còn vướng mắc. Một trong nhiều dạng toán khó đó là những bài toán cực trị. Toán cực trị quả thật rất phong phú, nó mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất trong một bài toán, để dần dần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó cho cuộc sống sau này. Sự phong phú và đa dạng của toán cực trị đã dẫn đến rất nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải. Có rất nhiều bài không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức gì trong chương đã học. Nhiều học sinh rất ngại khi gặp loại toán này và tìm lời giải một cách mò mẫm, thiếu định hướng. Là giáo viên dạy toán chúng ta không thể không trăn trở trước những băn khoăn lo ngại và những bế tắc của học sinh. Bởi vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để giải trôi chảy các bài toán cực trị trong đại số. Hay nói một cách khác để giải được những bài toán đó, các em cần trang bị những kiến thức cơ bản nào? những kiến thức nào trực tiếp nhất và thông thường cần sử dụng các phương pháp cụ thể nào? Với suy nghĩ đó tôi xin đưa ra một số phương pháp giải toán cực trị đại số ở cấp THCS để cùng tham khảo. B. NỘI DUNG I. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng: A(x) ³ 0 hoặc A (x) £ 0. a) Cơ sở lý luận - Trong tập hợp các số (nguyên, hữu tỷ, thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất. - Trong tập hợp các số (nguyên, hữu tỷ, thực) không dương thì số 0 có giá trị lớn nhất. Từ đó, có suy ra rằng: Trong tập hợp M = {A(x)/A(x) ³ 0} thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A (x) = 0 và trong tập hợp N = {B(x)/B(x) £ 0} thì B(x) đạt giá trị lớn nhất khi B (x) = 0. b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A(x) = 2x2 - 8x + 1 Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ. Lời giải: A(x) = 2x2 - 8x + 1 = 2x2 - 2. 4.x + 1 = 2(x2- 2. 2. x + 4 - 4) + 1 = 2[(x - 2)2 - 4] + 1 = 2(x - 2)2 - 7 với mọi giá trị của x, (x - 2)2 ³ 0 nên ta có: A(x) = 2(x - 2)2 - 7 ³ = -7 Vậy A (x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7, khi đó x = 2. Đáp số: A(x) nhỏ nhất = -7; với x = 2. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M(x) = -5x2 - 4x + 1 Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ. Lời giải: Từ M (x) = -5x2 - 4x + 1 ta có: M(x) = -5 = -5 = -5 = -5 hay M(x) = -5 với mọi giá trị của x, ³ 0 nên -5 £ 0. Từ đó suy ra rằng: M(x) = -5 Vậy M (x) đạt giá trị lớn nhất khi M (x) = lúc đó x = II. Phương pháp giải bài toán tìm giá nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: A(x) = Với x thuộc miền số thực dương. Lời giải: Từ A(x) = , ta có: A(x) = Vì x > 0 nên ta có: A(x)= Với mọi x > 0 thì (x - 4)2 ³ 0 do đó A(x) = . Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) = lúc đó x = 4. Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số: M(x) = Với x thuộc tập hợp số thực. Lời giải: Từ M(x) = , ta có: M(x) = Vì x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 + 2 > 0 Với mọi giá trị thực của x, nên sau khi chia cả tử và mẫu thức cho x2 + 2x + 3, ta được: M(x) = 3 + Mặt khác, vì (x + 1)2 ³ 0 với mọi x, nên (x + 1)2 + 2 ³ 2 với mọi x, và do đó £ . Từ đó ta có: M(x) = 3 + £ 3 + = 3 M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M (x) = 3 lúc đó (x + 1)2 = 0, hay x = -1. III. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi Cơ sở lí luận Bất đẳng thức Côsi được viết dưới các dạng khác nhau dưới đây (chỉ áp dụng với các số không âm) 1. Dưới dạng căn thức. 1) 2) 3) Một cách tổng quát. 2. Dưới dạng lũy thừa 1) 2) 3) Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số A(x) = , với x > 0 Lời giải Từ A(x) = ta có A(x) = Ta thấy ngay rằng 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương thay đổi, nhưng tích của chúng 8x = 16 luôn luôn không thay đổi. Vậy A (x) = đạt giá trị nhỏ nhất chỉ khi: hay 8x2 = 2 Từ đây, ta tính được , suy ra x = . Kết hợp với điều kiện x > 0, ta chỉ lấy giá trị x = Với x = , A (x) nhỏ nhất = 8. + Đáp số A (x) nhỏ nhất = 8, với x = Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số B(x) = 16x3 - x6 Với x thuộc tập hợp các số thực dương Lời giải Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng được các bài toán áp dụng bất đẳng thức Côsi. Từ B (x) = 16x3 - x6, ta có B(x) = x3 (16 - x3). Rõ ràng x3 > 0; còn 16 - x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < (*) Đến đây ta nhận thấy rằng x3 và 16 - x3 là hai đại lượng biến đổi nhưng tổng của chúng x3 +( 16 - x3) = 16 luôn luôn không thay đổi, vậy tích của chúng B (x) = x3 (16 - x3) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x3 = 16 - x3. Từ đây ta có: 2x3 = 16 hay x3 = 8. Ta tính được x = 2. Giá trị x = 2 thoả mãn điều kiện (*) Vậy B (x) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị x = 2 B(x) lớn nhất = 16.23 -26 = (16 - 23)23 = 8.8 = 64 Đáp số: B(x) lớn nhất = 64, với x = 2 IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 7 Với giá trị nào của x thì biểu thức P (x) = đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải. Đây là một bài toán rất khó giải đối với học sinh. Bởi vì trong bài toán còn ẩn tàng cả phép giải phương trình, xét các dấu hiệu có thể áp dụng được bất đẳng thức Côsi hay không, ngoài ra việc biến đổi đồng nhất để rút gọn được biểu thức không phải không khó khăn. 1) Trước hết ta biến đổi biểu thức về dạng để có thể áp dụng được các bài toán về bất đẳng thức Côsi. Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta cũng có thể biến đổi tử thức thành tích các nhân tử và sau đó rút gọn. Cách này khá dài dòng và gặp không ít khó khăn. Để đơn giản hơn, ta dùng phương pháp chia đa thức cho đa thức. Kết quả ta thu được. P(x) = 4x2 + 8x + 20 + Vì x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4 > 0(*), nên P(x) luôn luôn xác định với mọi giá trị của x. 2) Đặt ẩn phụ để đưa về xét biểu thức có dạng đơn giản hơn. Từ P(x) = 4x2 + 8x + 20 + ta có P(x) = 4(x2 + 2x + 5) + Đặt y = x2 + 2x + 5 ta có P(x) = 4y + và y = x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 > 0 với mọi x. 4y và là các đại lượng luôn luôn lấy các giá trị dương và có tích 4y. = 4.256 = 1024 (không đổi). Vậy tổng 4y + đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 4y = . Từ đây tính được y2 = 64 Giải phương trình y2 = 64, được y = ± 8. Từ trên vì y > 0 nên ta chỉ lấy giá trị y = 8 Với y = x2 + 2x + 5 = 8, giải phương trình bậc hai này ta tìm được hai giá trị của x: x = -3; x = 1. Vậy P (x) lấy giá trị nhỏ nhất khi x = -3 hoặc x = 1 (ứng với y = 8), ta tính được. P(x) nhỏ nhất = 4.8 + = 64. Đáp số: P (x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 64 khi x = - 3 hoặc x = 1 V. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski 1. Viết dưới dạng lũy thừa : (ax2 + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy ra khi (ax + by + cz)2 (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) Dấu đẳng thức xảy ra khi Tổng quát ta có: 2. Viết dưới dạng căn thức. Dấu bằng xảy ra khi Tổng quát ta có : Ví dụ 8. Tìm các giá trị của x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất. P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Biết rằng x + y + z = 1995 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các bộ số 1,1,1 và x, y, z ta có: (x.1 + y.1 + z.1)2 (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2) Hay (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2) Từ đó ta có: P = x2 + y2 + z2 Theo giả thiết: x + y + z = 1995 nên ta có: P = x2 + y2 + z2 P đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xảy ra, tức là P = chỉ khi C. KẾT LUẬN Để học sinh có thể giải được các bài toán cực trị một cách dễ dàng, thuận lợi chúng ta cần trang bị cho các em không những chỉ kiến thức mà còn phương pháp. Ngoài ra các em cần phải có cách nhìn bao quát, toàn diện để khi gặp dạng nào cũng lập tức có ngay hướng giải quyết đúng đắn và thích hợp. Trên đây là một số hướng giải quyết khi giải toán cực trị, chắc chắn rằng sẽ còn nhiều khiếm khuyết và chưa thể đáp ứng được nhu cầu của học sinh. Hơn nữa do kinh nghiệm còn hạn chế, năng lực chưa thật tốt. Tôi chỉ hy vọng rằng những gì tôi ghi ra đây chỉ là tài liệu giúp các em có thêm hoặc biết thêm để tham khảo. Rất mong được sự quan tâm góp ý của các đồng nghiệp. Thanh Hương, ngày 20 tháng 05 năm 2009 Người thực hiện Nguyễn Phương Lợi