Sáng kiến kinh nghiệm một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán ở phân môn Đại số 9 biện pháp khắc phục

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN Ở PHÂN MÔN ĐẠI SỐ 9 BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC A. LÝ DO ĐỀ XUẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: I. KHÁI QUÁT: Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán.Vì sao dẫn đến điều này ta có thể chia làm hai nguyên nhân: - Nguyên nhân khách quan: + Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít. + Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải. + Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV. - Nguyên nhân chủ quan: + Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho những HS thường gặp phải khó khăn còn hạn chế. + Một số GV thường dùng tiết bài tập với cách là để chữa bài tập cho HS. + Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy của HS. + Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huy hết đặt thù của bộ môn. + Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học,chưa tự giác khắc phục những kiến thức mình bị hỏng trong quá trình giải bài tập. II. TỒN TẠI: Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thường mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẫu thả, chép bài của các HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả học tập. III. YÊU CẦU ĐẶT RA: Từ những tồn tại nêu trên, qua nhiều năm giảng dạy tôi đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm khắc phục những sai lầm của HS trong quá trình giải bài tập, khi thực hiện qua các lớp dạy có hiệu quả cao. Vì vậy tôi nghiên cứu soạn ra chuyên đề: “ Một số sai lầm thường gặp của HS khi giải toán ở phân môn đại số 9 - Biện pháp khắc phục”, với mong muốn giúp GV dạy toán đặc biệt GV dạy toán 9 bằng nhiều hình thức hướng dẫn nhằm hạn chế đến mức thấp nhất những sai sót mà HS vấp phải. B. NỘI DUNG: 1. Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a. - Tình huống: Giải bài tập 1 (sgk - 6) Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng. + HS giải: = 13 số 169 có 2 căn bậc hai được viết là = 13 và = -13 (!) + Cách giải đúng là: Căn bậc hai số học của 169 là: = 13, còn căn bậc hai của 169 là: = 13; - = - 13 . - Nguyên nhân: Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này. - Biện pháp khắc phục: + GV cần phải giảng thật kỹ cho HS nắm: Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là và số âm kí hiệu là -. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0. + Khi nói đến ta phải có: a0 và 0, nghĩa là không thể âm. Vì vậy không được viết : Số 169 có hai căn bậc hai là = 13 và = - 13. 2. Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số. - Tình huống: Giải bài tập sgk Rút gọn biểu thức sau: A = ( Với a < 0 ) + HS giải: A = = ( với a < 0 ) (!) + Cách giải đúng là: A = = ( với a < 0 ) - Nguyên nhân: HS chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà HS chỉ hiểu thì a<0 thì - Biện pháp khắc phục: + Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một số. + Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối: 3. Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: - Tình huống 1: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11) Tìm x, biết: + HS giải: Vì nên ta có: 3x = 12 x = 4. + Cách giải đúng là: Vì nên ta có: 3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4 - Tình huống 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5) Rút gọn biểu thức: + HS giải: HS1: HS2: + Cách giải đúng là: - Tình huống 3: Khi so sánh hai số a và b. Một HS phát biểu như sau: “ Bất kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau: Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b . Ta có : hay (1) Lấy căn bậc hai hai vế ta được: Do đó: Từ đó : Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau. HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: chứ không thể có a-b = b-a. - Nguyên nhân: HS chưa nắm vững hằng đẳng thức , giá trị tuyệt đối của một số âm. - Biện pháp khắc phục: Để tránh sai lầm khi giảng dạy phần này GV cần giải thích cho HS nắm rõ hằng đẳng thức , với mọi biểu thức A; cũng cố và mở rộng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số. = 4. Những khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức, mà biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương hay lập phương của một biểu thức. Chẳng hạn: Tính ; Để giải quyết vấn đề trên HS làm sao vận dụng hằng đẳng thức lần lượt biến đổi biểu thức và dưới dạng bình phương và lập phương của một biểu thức. Trong các hằng đẳng thức : học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập ở dạng trên. VD: Ở bài tập 15c ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 ) Chứng minh : HS dễ dàng biến đổi Nhưng ngược lại các em gặp khó khăn (nếu nắm không vững hằng đẳng thức và khả năng tính toán ) VD: Ở bài tập 15d (SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 ) Chứng minh Nếu HS không vận dụng bài tập 15c ở trên để giải mà các em lại viết dưới dạng bình phương của một biểu thức để tính là một điều khó ! Để tính nhanh và không nhầm lẫn. GV có thể hướng dẫn HS một số dạng biến đổi như sau: - Đối với biểu thức có dạng: với a,b 0 và x = a + b thì - Đối với biểu thức có dạng: với a,b 0 và x = a2 + b thì Áp dụng: Bài 1: Tính Bài 2: Tính Bài3: Tính Bài 4: Tính Bài 5: Bài 15d ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 ) Chứng minh: Ta có : Vế trái: 5. Sai lầm khi HS chưa nắm vững các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai - Tình huống: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 ) Rút gọn biểu thức sau: +HS giải: + Cách giải đúng là: - Nguyên nhân: Sai lầm ở chỗ HS chưa nắm vững công thức biến đổi: ( A,B Q+ ; x,y,z,m R ) - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu mà tránh những sai sót. 6. Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. - Tình huống 1: Có HS viết: + Vì và nên (!) + Vì và nên (!) - Tình huống 2: Giải bài tập sau: Tính + HS giải: - Tình huống 3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: + HS giải: Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để xác định mà vội vàng tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào mà biến đổi Vậy + Cách giải đúng: xác định khi . Do đó: - Nguyên nhân: + Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để tồn tại. + HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai. - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để xác định, điều kiện để có: ; . 7. Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số : - Tình huống: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19) Giải phương trình: (2) + HS giải: Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2. (!) + Cách giải đúng là: hoặc hoặc . Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: - Nguyên nhân: + HS quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số + HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a. - Biện pháp khắc phục: Khi giảng phần này GV cần cho HS nắm định căn bậc ba của một số a, đồng thời lưu ý HS hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số ; căn bậc hai số học của một số và căn bậc ba của một số a. 8. Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình. - Tình huống 1: Bài tập 1a ( Đề thi TN THCS năm học 1996-1997 ) Rút gọn: ( với ) +HS giải : + Cách giải đúng là : Với . Ta có: - Tình huống 2: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 ) Rút gọn biểu thức: +HS giải : + Cách giải đúng là: . Điều kiện để M xác định là: x < 0. Khi đó: - Tình huống 3: Bài tập 1 ( Sách nâng cao toán 9 - tập 1- trang 11 ) Giải phương trình : (*) + HS giải : (*) Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = -2 (!) + Cách giải đúng là : (*) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5. - Tình huống 4: giải tập sau: Rút gọn biểu thức: + HS giải : + Cách giải đúng là : Đk để M xác định: ; . Ta xét hai trường hợp: * ; y < 0 . * ; y>0. Vậy: nếu ; y0 thì - Nguyên nhân: HS năm chưa vững quy tắc với , điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương. - Biện pháp khắc phục: Khi dạy GV cần cho HS nắm vững: + với + + tồn tại khi + , + Nếu , B > 0 thì 9. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương HS thường mắc phải một số sai lầm: - Tình huống 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 ) Tính + HS giải: + Cách giải đúng là: - Tình huống 2: Giải các bài tập sau: Tính: a. ; b. + HS giải: a. (!) b. (!) + Cách giải đúng là: a. b. - Tình huống 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu + HS giải : a. b. hoặc hoặc hoặc hoặc c. hoặc d. hoặc - Cách giải đúng là a. b. c. d. . (với và ) - Nguyên nhân: + Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ ” tương tự như ( với và ) để tính . + HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương. + HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức. + HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: - Biện pháp khắc phục, khi dạy: + GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng tương tự như ( với và ) . + Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức. + Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau. + Cần khắc sâu các công thức: , với B > 0 , với và , với và 10. Sai lầm của HS khi không chú ý điều kiện để hai đường thảng song song. - Tình huống : Giải bài tập sau: Cho hai đường thẳng: (d1): y = (2m-1)x – 5 ( với m ) (d2): y = 3x +1 -2m Tìm tham số m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song. +HS giải: Hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau khi 2m – 1 = 3 m = 2 Vậy khi m = 2 thì hai đường thẳng (d1) và (d2) song song (!) + Cách giải đúng là: Với m , (d1) // (d2) (vô lí, vì không thể xảy ra đồng thời m = 2 và ) Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song. - Nguyên nhân: HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để hai đường thảng (d): y = ax + b () và (d’): y = a’x + b’ (a’0) song song. - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV cần nhấn mạnh nhằm cho HS khắc sâu điều kiện để hai đường thẳng (d) và (d’) song song. (d) // (d’) 11. Sai lầm do HS chưa nắm vững nghiệm của hệ phương trình. - Tình huống: Giải hệ phương trình sau: +HS giải : Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm + Cách giải đúng là: Thay x = 3; y= 5 vào vế trái của phương trình (3) ta có 3+5 9, suy ra là nghiệm của hai phương trình (1) và (2) mà không là nghiệm của phương trình (3). Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm. - Nguyên nhân: HS chưa nắm vững khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,chưa nắm vững nghiệm của hệ phương trình. - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV lưu ý HS hai phương trình (4) và (5) của hệ phương trình (II) có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (II). 12.Sai lầm của HS khi không chú ý đến điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 là phương trình bậc hai; phép biến đổi tương đương các phương trình. - Tình huống 1: Giải bài tập 6b ( sách đại số 9 nâng cao – trang 90 ) Tìm giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt : (m+1)x2 – 2mx + m + 2 = 0 (3) HS giải : pt (3) có : = m2 – (m+1)(m+2) = - 3m – 2 Pt (3) có 2nghiệm phân biệt khi : >0 Vậy khi m < thì pt (3) có 2 nghiệm phân biệt (!) Bài giải đúng : pt (3) có : = m2 – (m+1)(m+2) = - 3m – 2 Pt (3) có 2nghiệm phân biệt - Tình huống 2 : Bài tập 34 b(sgk toán 9 tập 1 – trang 56) Giải phương trình : 2x4 – 3x2 – 2 = 0 (4) + HS giải : Đặt 2 = t (4) trở thành : 2t2 – 3 t – 2 = 0 (5) Pt (5) có 2 nghiệm phân biệt : Với t = 2 ta có x2 = 2 và Với t = ta có x2 = và x = Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : (!) + Cách giải đúng là : Đặt 2 = t ( t 0) (4) trở thành : 2t2 – 3t – 2 = 0 ( 5) Pt (5) có 2 nghiệm phân biệt : Với t = 2 ta có x2 = 2 hoặc Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : - Tình huống 3 : Giải phương trình : (x – 1 )(5x + 3) = (3x – 8)(x –1 ) (6) + HS giải : (!) - Bài giải đúng : (6) (x – 1 )(5x + 3) – (3x – 8)(x -1 ) = 0 -Tình huống 4: Giải phương trình : + HS giải : (7) Vậy pt (7) có nghiệm x =2 (!) + Bài giải đúng : , ĐKXĐ: không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy pt ( 7) vô nghiệm - Nguyên nhân : + HS chưa nắm vững điều kiện để pt ax2 + bx +c = 0 là pt bậc hai + Khi giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 ( a ) , HS không chú ý đến đk của ẩn phụ. + HS chưa nắm vững các phép biến đổi tương đương của phương trình + HS sử dụng kí hiệu và ngôn ngữ toán học chưa chính xác. -Biện pháp khắc phục : +GV cần nhấn mạnh để học sinh nắm đk a để phương trình ax2 + bx + c = 0 là phương trình bậc hai +Khi hướng dẫn học sinh giải phương trình có đặt ẩn phụ thì chú đặt điều kiện của ẩn phụ ( nếu có ), chẳng hạn ở pt ( 4) : Đặt x2 = t ( t + Củng cố cho HS nắm chắc các phép biến đổi tương đương của phương trình. + Lưu ý Hs cẩn thận khi sử dụng kí hiệu và ngôn ngữ toán học khi giải toán. 13. Sai lầm của học sinh khi sử dụng hệ thức Vi – ét để tìm tổng và tích hai nghiệm của một phương trình, giải phương trình bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm. - Tình huống 1 : Không giải phương trình, hãy tìm tổng và tích 2 nghiệm của phương trình sau : x2 + x + 1= 0 +HS giải : phương trình x2 + x + 1= 0 có (!) + Bài giải đúng :phương trình x2 + x + 1= 0 (*) có : nên pt (*) vô nghiệm, do đó không tồn tại tổng và tích 2 nghiệm của phương trình. - Tình huống 2 : Bài tập 26 a,b ( SGK toán 9 - tập 2 - trang 35) Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a. 35x2 – 37x + 2 = 0 (8) b. 3x2 – 8x - 11 = 0 (9) + HS giải: a. Phương trình (8) có: a - b + c = 35 – 37 + 2 = 0 nên x1 = -1 ; x2 = (!) b. Phương trình (9) có: a + b + c = 3 + 8 – 11 = 0 nên x1 = 1 ; x2 = (!) + Cách giải đúng: a. 35x2 – 37x + 2 = 0 Ta xét a + b + c = 35 - 37 + 2 = 0 nên x1 = 1 ; x2 = b. 3x2 – 8x – 11 = 0 Ta xét a - b + c = 3 + 8 – 11 = 0 nên x1 = -1 ; x2 = - Nguyên nhân: + HS không nắm vững định lí Vi-ét, không chú ý đến điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0 () có nên dẫn đến sai lầm là phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm mà HS vẫn tìm được + HS chưa khắc sâu được điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 () - Biện pháp khắc phục: + Khi dạy định lí Vi-ét GV cần nhấn mạnh điều kiện của phương trình ax2 + bx + c = 0 () để có , để tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai trên trước tiên ta phải chứng minh hoặc tìm điều kiện để phương trình này có hai nghiệm. + GV khắc sâu kiến thức cho HS khi giải phương trình ax2 + bx + c = 0 () bằng cách nhẩm nghiệm . Khi nào ta sử dụng điều kiện a + b + c = 0 để có x1 = 1 ; x2 = , khi nào sử dụng điều kiện a – b + c= 0 để có x1 = -1 ; x2 = và thận trọng khi tính toán. C. KẾT QUẢ: Với những thiếu sót của HS đã giới thiệu ở trên được tôi và đồng nghiệp áp dụng để giảng dạy trong năm học 2006 – 2007. Bài kiểm tra chương IV rất ít HS mắc phải sai lầm đã nêu, sau đây là thống kê kết quả kiểm tra chương IV (Đại số 9). Loại Lớp Giỏi Khá TB TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 9D 10 21,28 18 38,30 12 25,53 40 85,11 7 14,89 9H 15 30,61 11 22,45 18 36,73 44 89,79 5 10,21 Khi dạy toán chúng tôi không dừng ở giới hạn đại số 9, mà ở tôi và đồng nghiệp còn áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy ở phân môn hình học 9 và môn toán ở các khối 6, 7, 8 . Từ chất lượng thực tế đã đạt được , tôi cùng đồng nghiệp nhân rộng và triển khai chuyên đề cho cả tổ tự nhiên của trường, tất cả các thành viên trong tổ chẳng những học tập được kinh nghiệm đã nêu mà còn tham gia đóng góp rất nhiều những tình huống “ Mắc phải sai lầm của HS khi giải toán ” và đưa những biện pháp khắc phục. Đây là một trong những biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của GV và HS. Tuy nhiên không phải chỉ có một kinh nghiệm như thế là đủ để đạt được kết quả cao mà nó còn phải kết hợp với các yếu tố tích cực khác. Song yếu tố tích cực nào làm khơi dậy được tính tự giác, nâng động, sáng tạo, . . . để HS tự tiếp thu kiến thức và vận dụng những điều đã học một cách vững chắc, đó là yếu tố quan trọng nhất đóng vai trò chi phối các yếu tố còn lại. Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân được đúc kết từ thực tế giảng dạy, từ kết quả học tập của HS và học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp. Rất mong Hội đồng Khoa học của trường và Hội đồng Khoa học Phòng GD Thành phố Cà Mau xem xét, điều chỉnh và bổ sung để qua đó nhằm rèn luyện tay nghề của tôi ngày một vững vàng hơn. Cà Mau, ngày 15 tháng 11 năm 2007 Người viết Đặng Hoàng Hải Hội đồng khoa học Trường THCS Nguyễn Du Tắc Vân, ngày tháng năm Chủ tịch Hội đồng khoa học Phòng GD Thành Phố Cà Mau