Sáng kiến kinh nghiệm - Một số sai lầm trong giải toán đại số tổ hợp

SỞ GD-ĐT NINH THUẬN TRÖÔØNG THPT NGUYỄN DU Toå Toaùn COÄNG HOØA XAÕ HOÄI CHUÛ NGHÓA VIEÄT NAM Ñoäc laäp – Töï do – Haïnh phuùc Ñeà taøi : Moät Soá Sai Laàm Trong Giaûi Toaùn Ñaïi Soá Toå Hôïp I/ĐẶT VẤN ĐỀ Qua một năm giảng dạy lớp 12 phần đại số tổ hợp,tôi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc chọn cách giải cho các bài toán có dạng như sau: Bài 1: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3. Bài 2: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3. Bài 3: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Hiển nhiên để giải quyết một bài toán thì có nhiều cách giải nhưng khi mang cách giải của bài toán này áp dụng cho bài toán khác có cùng dạng thì đôi khi không còn áp dụng được nữa.Và ba bài toán trên là một ví dụ minh chứng cho vấn đề tôi đã đặt ra.Và câu hỏi được đặt ra ở đây là tại sao hai bài toán có cùng dạng mà áp dụng một cách giải cho hai bài toán thì không giải quyết được cả hai bài toán đó.Vậy sai lầm trong quá trình giải toán đại số tổ hợp này là nằm ở đâu.Đó cũng chính là lý do để tôi chọn đề tài này để viết sáng kiến kinh nghiệm. Thực ra khi còn đang học lớp 12 tôi đã nhận ra điều kỳ diệu trong toán đại số tổ hợp,nó là một dạng toán thực sự khó và dể mắc nhiều sai lầm trong cách giải.Nó khiến cho người đọc,người nghiên cứu cần phải suy nghĩ và đầu tư nhiều.Kể từ thời gian đó cho đến nay tôi luôn tìm mọi cách để khắc phục những sai lầm đó.Cho đến hôm nay là một giáo viên trực tiếp giảng dạy phần đại số tổ hợp này thì tôi mới có điều kiện để chia sẽ với quý đồng nghiệp một vài kinh nghiệm trong dạy toán đại số tổ hợp, thông qua sáng kiến kinh nghiệm này. Hơn nữa đối với giáo dục và đào tạo hiện nay thì cần phải đổi mới phương pháp dạy học.Thầy đóng vai trò là người hướng dẫn để tự học sinh tự tìm tòi phát hiện ra kết quả,phát hiện ra mâu thuẫn và sự sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán.Và đó cũng chính là mục đích để tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này. Trong sáng kiến kinh nghiệm này rất mong được sự ủng hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp,nhằm biến nó thành một công cụ đích thực cho việc dạy và học toán đại số tổ hợp. II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1/Các bước tiến hành: Đề tài này tôi đã thực hiện trên phạm vi lớp 12 vào tiết phân phối chương trình 105-106.Các bước tiến hành như sau: -Mổi bài toán tôi đều trình bày theo hai cách nhất định. -Cho học sinh cả lớp nhận xét kết quả của hai cách giải,từ đó phát hiện ra cách giải nào không phù hợp và mắc phải sự sai lầm ở đâu. -Giáo viên chỉ ra những sai lầm bằng sơ đồ minh họa,từ đó giúp học sinh đúc rút được kinh nghiệm cũng như phương pháp trong quá trình giải toán. 2/Phương pháp và kỹ năng sử dụng -Giải quyết vấn đề thông qua vấn đáp gợi mở -Thông qua các hoạt động điều khiển tư duy. VÍ DỤ MINH HỌA a/Cách giải quyết bài toán theo hai cách Bài 1: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3. Giải Cách 1: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: , Số cách chọn có 5 cách Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 4 của 5: Suy ra : có 5. = 600 (số) Trong 600 số trên thì: Số không có chữ số 0 được lập từ tập là số chỉnh hợp chập 4 của 5 : = 120 (số) Số không có chữ số 3 được lập từ tập Số cách chọn có 4 cách Số cách chọn là số hoán vị Suy ra : có 4. = 96 (số) Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :600- (120 + 96) = 384 (số) Cách 2: Số cách chọn số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3,chính là số cách xếp 5 chữ số từ tập A vào 5 ô liên tiếp nhau: Vì nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 nên ta chọn số 0 và 3 xếp trước Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 4 cách xếp. Số 3 có 4 cách xếp vào 4 vị trí còn lại. Số cách xếp 3 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 3 của 4 : Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :4.4. = 384 (số) Nhận xét : Hai cách giải đều đúng. Bài 2: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3. Giải Cách 1: Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: , Số cách chọn có 4 cách Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 4: Suy ra : có 4. = 48 (số) Trong 48 số trên thì: Số không có chữ số 0 được lập từ tập là số chỉnh hợp chập 3 của 4 : = 24 (số) Số không có chữ số 3 được lập từ tập Số cách chọn có 3 cách Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 3 : Suy ra : có 3. = 18 (số) Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :48- (24 + 18) = 6 (số) Cách 2: Số cách chọn số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3,chính là số cách xếp 3 chữ số từ tập A vào 3 ô liên tiếp nhau: Vì nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 nên ta chọn số 0 và 3 xếp trước Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 2 cách xếp. Số 3 có 2 cách xếp vào 2 vị trí còn lại. Số cách xếp 1 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 1 của 3 : Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :2.2. = 12 (số) Nhận xét : Kết quả hai cách giải khác nhau. Vậy cách nào đúng ,cách nào sai và sai lầm ở đâu?.Tôi xin được giải thích ở mục b. Bài 3: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Giải Cách 1: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: , Số cách chọn có 6 cách. Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 4 của 6: Suy ra : có 6. = 2160 (số) Trong 2160 số trên thì số không có chữ số 5 được lập từ tập Số cách chọn có 5 cách. Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 4 của 5 : Suy ra : có 5. = 600 (số) Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :2160 - 600 = 1560 (số) Cách 2: Số cách chọn số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5,chính là số cách xếp 5 chữ số từ tập A vào 5 ô liên tiếp nhau: Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 4 cách xếp. Số 5 có 4 cách xếp vào 4 vị trí còn lại. Số cách xếp 3 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 3 của 5 : Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :4.4. = 960 (số) Nhận xét : Kết quả hai cách giải khác nhau. Vậy cách nào đúng ,cách nào sai và sai lầm ở đâu?.Tôi xin được giải thích ở mục b. b/ Vì sao dẫn đến sai lầm Bài 1: Hai cách giải đều đúng và cách 2 là cách có tính khả thi nhất, áp dụng được cho nhiều bài. Cách 2: ngắn gọn,dể hiểu và cô đọng hơn,học sinh dể áp dụng và dể trình bày hơn. Cách 1: áp dụng được vì trong 600 số đó chỉ có 3 loại số. Loại 1:Số không có chữ số 0. Loại 2:Số không có chữ số 3. Loại 3:Số có cả chữ số 0 và 3. Nên lấy 600 số gồm 3 loại trừ cho loại 1 và loại 2 thì còn lại loại 3. Bài 2: Cách 2 đúng. Cách 1 sai vì trong 48 số đó có hơn 3 loại số nên cách giải này không áp dụng được. Sơ đồ minh họa: 48 số gồm có: Trong bài 2 này nếu bỏ ra chữ số 0 và 3 thì còn lại 3 số 1;2;4 nên lập được số có 3 chữ số khác nhau không có số 0 và 3 .Chính vì thế mà trong 48 số đó có tới 4 loại số. Khi trừ đi số không có chữ số 0 thì: Trong 48 số chỉ còn : Khi trừ đi tiếp số không có chữ số 3 thì: Trong 48 số chỉ còn : Trên sơ đồ ta nhìn thấy số không có chữ số 0 và 3 bị trừ đi hai lần nên dẫn đến trường hợp mất số .Số không có chữ số 0 và 3 có tất cả 6 số và bị trừ đi hai lần nên kết quả của cách 1 bị mất đi 6 số so với kết quả của cách 2 là 12 số. Còn trong bài 1 nếu bỏ ra chữ số 0 và 3 thì còn lại 4 số 1;2;4;5 nên không thể lập được số có 5 chữ số khác nhau.Chính vì thế mà trong bài 1 chỉ có 3 loại số.Nên cách giải 1 áp dụng cho bài 1 hoàn toàn đúng. Bài 3 Cách giải 1 đúng cách giải 2 sai. Đến đây chúng ta đã thấy xuất hiện sự mâu thuẩn là tại sao bài 2 và bài 3 có cùng dạng nhưng tại sao đối với bài 2 thì cách 1 sai ,cách 2 đúng.Còn bài 3 thì cách 1 đúng ,cách 2 sai.Vậy vấn đề được đặt ra ở đây là khi nào chọn cách giải nào cho đúng với bài toán đặt ra.Vấn đề này tôi xin được đưa ra trong mục c tiếp theo. Thực ra cách giải 2 ở đây bị thiếu chứ không phải là không áp dụng được. Tôi xin bổ sung cho cách giải 2 để cách giải 2 trở thành cách giải đúng ,mang tính khả thi hơn và được áp dụng rộng hơn so với cách 1. “Bài 3: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Giải Cách 2: Số cách chọn số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5,chính là số cách xếp 5 chữ số từ tập A vào 5 ô liên tiếp nhau: Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 4 cách xếp Số 5 có 4 cách xếp vào 4 vị trí còn lại Số cách xếp 3 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 3 của 5 : Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :4.4. = 960 (số)” Phần bổ sung: Ta xem phần bài giải trên là trường hợp 1: số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 và 0. Trường hợp 2: số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 và không có mặt chữ số 0. Số 5 có 5 cách xếp. Số cách xếp 4 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 4 của 5 : Suy ra có :5. = 600 (số) Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :960 + 600 = 1560 (số) (Cùng kết quả với cách 1) c/Cách lựa chọn cách giải phù hợp với yêu cầu của bài toán Ở đây ta nên chọn cách 2 vì cách 2 có thể áp dụng cho mọi bài toán có dạng như tôi đã đưa ra.Cần chú ý thêm nếu bài toán có dạng bài 3 thì ta chia trường hợp cụ thể để cách giải đúng và chính xác hơn. Còn nếu áp dụng cách 1 thì trước khi giải ta cần kiểm tra,nếu từ tập A ta bỏ ra các số mà bài toán yêu cầu nhất thiết phải có mặt mà vẫn còn lập được số tự nhiên gồm k chữ số khác nhau như yêu cầu của bài toán thì cách 1 không còn áp dụng được. 3/Biện pháp sử lý Khi thực hiện các tiết dạy này giáo viên sẽ gặp khó khăn ở chỗ lựa chọn ví dụ không phù hợp dể dẫn đến việc không làm rỏ được mục đích của tiết dạy.Chính vì lí do đó cần phải thực hiện các bước như sau: -Lựa chọn ví dụ cho phù hợp ,như ba dạng bài tập tôi đã đưa ra -Thực hiện giải mỗi bài theo hai cách như tôi đã đưa ra,để làm rỏ được nội dung chúng ta cần truyền đạt cho học sinh. -Cần lựa chọn ví dụ 1 sao cho hai cách giải đều thực hiện đúng.Ví dụ 2 là cách giải 1 sai ,cách giải 2 đúng.Ví dụ 3 là cách giải 1 đúng ,cách giải 2 sai.Từ đó mới kích thích được tính tò mò,ham học hỏi của học sinh và từ đó tạo điều kiện cho việc phát hiện ra sai lầm và giải quyết sai lầm một cách thuận lợi. III/ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ Khi tôi thực hiện tiết dạy này đa số học sinh rất hiểu bài và không còn sự lúng túng trong việc chọn cách giải cho một bài toán.Kích thích được tính tò mò ham học hỏi của học sinh.Phát hiện ra điều kỳ diệu của :Đại số tổ hợp và tạo được sự thân thiện của học sinh đối với đề tài này. IV/KẾT LUẬN Đại số tổ hợp là một dạng toán thực sự khó,chính vì lý do đó mà học sinh dể buôn trôi ,không chịu đầu tư và học hỏi.Đó là một thiệt thòi rất lớn trong kỳ thi đại học và cao đẵng. Trên đây là giải pháp của tôi nhằm kích thích được tính tò mò,ham học hỏi và tạo được sự thân thiện của học sinh đối với môn học này. Qua đề tài này tôi rất mong được ủng hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp để đề tài này trở thành một công cụ thiết thực cho việc dạy và học.Nhằm đẩy mạnh việc đổi mới và tiến tới cải cách giáo dục. Trân trọng kính chào! Đánh giá của HĐKH Quảng sơn ngày 20 tháng 05 năm 2008 Người viết Trần Thanh Việt MỤC LỤC Trang Đặt vấn đề 1 Giải quyết vấn đề 3 Đánh giá hiệu quả 11 Kết luận 11