Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

CHƯƠNG I 1.Lời nói đầu: Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS. Tôi nhận thấy, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là môn Khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán. Nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải Toán và phát hiện những học sinh có năng lực về Toán. Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải Toán. Chuẩn bị cho việc vận dụng các kiến thức Toán vào thực tiễn công tác sau này. Số bài toán thì nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phân tích bài toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài. Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thông nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân. Với thực tế và yêu cầu chung đó việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài “Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Toán THCS” Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm tốn chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán. Xin trân trọng cảm ơn! 2.Lý do chọn đề tài: Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng. Một trong những dạng toán đó là: phương pháp tìm cực trị đại số toán Trung học cơ sở. Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoàn chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Chuyên đề này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đó những phương pháp quan trọng như đưa về tổng các bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 … Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Tìm cực trị đại số Toán Trung học cơ sở”. 3.Mục đích nghiên cứu: Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán. Hơn nữa trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có bài toán tìm cực trị đại số nên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu của học sinh làm cho các em yêu thích môn Toán hơn. 4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: a.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối lớp 6,7,8,9 Trường trung học cơ sở Bình Khương. b.Phạm vi nghiên cứu: +Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8,9 từ năm 2005 đến 2010. +Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, các loại sách tham khảo. +Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn. 5.Nhiệm vụ nghiên cứu: -Nắm được định nghĩa, tính chất của phân thức, giá trị tuyệt đối của một số và một số bất đẳng thức cơ bản…. -Hệ thống hóa kiến thức và phương phaùp giải toán tìm cực trị đại số toán trung học cơ sở. -Đưa ra được những kó năng cần thiết khi biến đổi và tìm GTLN, GTNN. -Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học toán. 6.Phương pháp nghiên cứu: Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu trong tài liệu và từ thực tế. a.Nghiên cứu tài liệu: -Trong nhiều năm liền tôi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, tích góp những nội dung, những kinh nghiệm quan trọng về tìm GTLN, GTNN theo trình tự từ lớp 6à9 cho từng dạng bài toán riêng. b.Nghiên cứu từ thực tế: b.1 Điều tra từ thực tế: Trước khi viết đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra 15 em học sinh giỏi Toán khối 8 trường THCS Bình Khương (Nội dung thuộc một số bài tập dạng 1,2,3) thống kê được kết quả như sau: Khối Điểm Số lượng 1à2 3à4 5à6 7à8 9à10 SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 8 15 8 53.3% 5 33.3% 2 3.4% b.2 Phân tích tổng hợp giữa lý luận và thực tiễn: -Trên cơ sở những lý luận về đổi mới phương pháp dạy học và thực tế học sinh của trường tôi tiến hành nghiên cứu nội dung tìm cực trị đại số môn Toán và thiết kế hoạt động dạy học này theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và khi giảng dạy tôi kiểm tra, so sánh các yêu cầu sau: +Tích cực suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng. +Phát triển tư duy khái quát hóa, tổng hợp hóa. +Sáng tạo trong cách giải bài tập, mạnh dạn trình bày và bảo vệ ý kiến, quan điểm cá nhân. +Rèn luyện kĩ năng bộ môn Toán. Cùng những kinh nghiệm của đồng nghiệp, từ thực tế lên lớp, qua những tiết bồi dưỡng học sinh giỏi. Bản thân luôn có sự thử nghiệm, so sánh và ghi chép những điều cần thiết cho tiết dạy sau tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước. -Thực hiện chuyên đề về “Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Toán THCS” trong tổ chuyên môn để tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong tổ. 7.Ý nghĩa và hiệu quả thực tiễn: Với phương pháp nghiên cứu như trên bản thân đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và vận dụng kiến thức giải hàng loạt các bài tập tìm GTLN, GTNN một cách ngắn gọn, dễ hiểu.Các em còn đề xuất một số bài tập nâng cao hơn. Vì vậy nhiều năm qua cùng với những nghiên cứu các đề tài khác của môn Toán. Học sinh giỏi của trường tôi không những tăng về số lượng mà còn cả về chất lượng. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI. I.Cơ sở lý thuyết: 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN): Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn. +Với mọi x thuộc D thì f(x) M, M là hằng số. +Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M. -Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: +Với mọi x thuộc D thì f(x) m, m là hằng số. +Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m. 2. Mở rộng khái niệm trên đối với biểu thức f(x,y…), xác định trên miền D như sau: * Cho biểu thức f(x ; y …). Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn : - Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …) £ M (1). - Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = M (M là hằng số) (2). * Cho biểu thức f(x ; y …). Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn : - Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …) ³ m. (1)’. - Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = m (m là hằng số) (2)’. * Chú ý rằng : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1)’ thì chưa thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2. Mặc dù ta có A ³ 0 nhưng chưa thể kết luận Min A = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. Cách giải đúng như sau : A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 ³ 2. A = 2 Û x – 2 = 0 Û x = 2. Vậy Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2. 3.Ñònh nghóa vaø tính chaát giaù trò tuyeät ñoái cuûa moät soá a.Định nghĩa: = a nếu a 0 = - a nếu a < 0 b.Tính chất: 1) 0 2) + đẳng thức xảy ra khi ab > 0. 3) - ( đẳng thức xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 ) 4)| a | + | b | ³ | a + b |, 5)| a | – | b | ³ | a – b |. 6) với a > 0, b> 0. b)Chứng minh : Để chứng minh 2 mệnh đề trên ta dùng bất đẳng thức (a + b)2 ³ 4ab. Nếu hai số a và b có tổng a + b = k (hằng số) thì từ BĐT (a + b)2 ³ 4ab ta có do đó Max (a.b) = khi và chỉ khi a = b. Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 ³ 4ab Þ Min (a + b)2 = 4h, (khi và chỉ khi a = b) Þ Min (a + b) = , (khi và chỉ khi a = b). 3. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các giá trị x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. x -b/a ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích bằng cách xét dấu các nhân tử cổ tích (có trong dạng 1, ví dụ 4). Nếu số nhân tử âm mà chẳn thì tích dương, ngược lại tích sẽ âm. Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giá trị của biến. 4. Các hằng đẳng thức đáng nhớ, các bất đẳng thức đã học, các quy tắc so sánh phân số… 5. Sử dụng các mệnh đề tương đương: * A nhỏ nhất Û – A lớn nhất. * B lớn nhất Û B2 lớn nhất. (B > 0) * C nhỏ nhất Û lôùn nhất. (C > 0) 6. Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta GTLN của tích, GTNN của tổng. a) Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: Chứng minh :Nếu a, b có a + b = k ( k là hằng số ) thì (a + b)2 4ab ta có a.b do đó max(a.b) = khi và chỉ khi a = b. b)Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: Chứng minh :Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 ³ 4ab Þ Min (a + b)2 = 4h, (khi và chỉ khi a = b) Þ Min (a + b) = , (khi và chỉ khi a = b). II. Cơ sở lý luận: -Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán. -Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh. -Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS. -Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn. III. Cơ sở thực tiễn: -Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu. -Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu. -Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài liệu cụ thể, do đó làm mất nhiều thời gian. -Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng chuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn. -Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành. CHƯƠNG II: NGUYÊN NHÂN - THỰC TRẠNG GIẢI PHÁP I.Nguyên nhân-thực trạng Ngày càng cần phải có một hệ thống hoàn chỉnh các đề tài về phương pháp giải các dạng toán khó phục vụ cho việc dạy và học.đăc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Học sinh cần có tài liệu để tự học ,tự nghiên cứu về phương pháp tìm cực trị đại số môn toán và nhiều phương pháp giải khác. Từ kết quả thống kê điểm kiểm tra ban đầu cho thấy chất lượng bài làm của học sinh rất thấp,học sinh chưa nắm vững được kiến thức và kĩ năng giải bài tập tìm GTLN,GTNN nên khi tiến hành các bước giải thường mắc phải những sai lầm và không có tính sáng tạo trong cách giải. Tiềm năng của học sinh về môn toán chưa được khai thác hết. Chất lượng học sinh giỏi các cấp của trường trong những năm gần đây có tăng về số lượng và chất lượng nhưng chưa tương xứng với tiềm năng thực tế. II. Giải pháp: quá trình tiến hành để giải quyết vấn đề: 1.Phương pháp vận dụng định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối của một số. 1.1 Các dạng cơ bản: 1.1.1 Dạng f(x) = M - Vì 0 nên f(x) M. Do đó maxf = M. Khi A(x) = 0. *Dạng f(x) = + m , Vì nên f(x) m. Do đó minf = m. Khi A(x) = 0. Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự. 1.1.2 Dạng f(x) = + Áp dụng tính chất 2 ta có + = + = Suy ra minf = khi (mx – a) (b – mx) 0. 1.1.3 Dạng f(x) = , f(x) = + B(x). Ta nên xét từng khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu thức trong các khoản ấy để tìm GTLN, GTNN. 1.2Các ví dụ: Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 100 - có giá trị lớn nhất. Tìm GTLN đó. Giải: Với mọi x ta có 0 nên 100 - 100 Do đó maxA = 100 khi x + 5 = 0 hay x = - 5. Vậy maxA = 100 khi x= -5. Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 2 - 4 Giải: Với mọi x, ta có 0. Suy ra 2 0 nên 2 - 4 - 4. Do đó min B = - 4 khi 3x – 6 = 0 x = 2. Vậy minB = - 4 khi x=2 Ví dụ 3: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức C = + - 1 có giá trị nhỏ nhất. Tìm GTNN đó. Giải: Với mọi x, y ta có 0, 0. Nên + - 1 - 1. Do đó min C = - 1 khi x = 100, y = - 20. Vậy minC = - 1 khi x = 100, y = -2. Ví dụ 4: Tìm x Z để biểu thức D = + đạt GTNN. Giải: Ta có D = + = + = 6. Dấu “=” xảy ra khi (x-2) (8-x) 0. Lập bảng xét dấu: x 2 8 x - 2 - 0 + + 8 - x + + 0 - (x-2)(8-x) - 0 + 0 - Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x) 0 2 x 8. Vậy minD = 6 khi 2 x 8. Ví dụ 5: Tìm GTLN của biểu thức C = Với Giải: Nếu x - 2, C = = - 1 + 1 Nếu x = -1 thì c = = 1. Nếu x 1 khi đó A = = 1 + . Ta thấy C lớn nhất lớn nhất. Vì x 1 nên lớn nhất x nhỏ nhất x = 1, khi đó C = 3. So sánh các trường hợp trên suy ra GTLN của C = 3 khi x = 1. 1.3Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức: 1/ 2 - 1 2/ 5 - 1 3/ x2 + 3 - 1 4/ -x + 5/ 6/ - 7/ + 8/ + 9/ + 10/ + + Bài 2: Tìm GTLN của cácbiểu thức. 1/ 5 - 2/ x + - 3/ 4/ - 5/ 9 - 6/ 9 - 2 7/ - 8/ + - x 9/ 0, (21) – x - 2.Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức nguyên có bậc chẳn: 2.1.Các dạng cơ bản: 2.1.1.Dạng thứ nhất: f(x) = ax2 + bx + c. (a, b, c là hằng số, a). Ta có: f(x) = ax2 + bx + c = a ( x2 + x + ) - + c = = a (x + )2 + Nếu a > 0 ,GTNN của f(x) là x = và không có GTLN. Nếu a < 0 ,GTLN của f(x) là x = và không có GTNN. 2.1.2.Dạng thứ hai:f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f. (a,b,c,e,f là hằng số a.b ). Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f. = a - = ……. = a Suy ra GTNN, GTLN của f(x,y) ( khi x = và y = - q.) 2.1.3.Dạng thứ ba: Đa thức bậc cao hơn 2. Ví dụ : Tìm GTNN của A = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). Ta có A = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6). Đặt x2 + 5x + 5 = y thì : A = (y – 1)(y + 1) = y2 – 1 ³ – 1. Suy ra Min A = – 1 Û y2 = 0 Û x2 + 5x + 5 = 0 Û . 2.2. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x2 – 6x + 8. Giải: A = x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3)2 – 1 - 1. Nên minA = - 1 khi x – 3 = 0 hay x = 3 Vậy minA = -1 khi x = 3 Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 3x2 + 2x + 5 Giải: B = - 3x2 + 2x + 5 = - 3 (x2 - x + ) + + 5 = - 3(x - )2 + Nên maxB = khi x - = 0 hay x = Vậy maxB = khi x = Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15. Giải: C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + 2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 10 x + 2 – y = 0 x = - 3 Nên minC = 10 khi y + 1 = 0 y = - 1 Vậy minC = 10 khi x = -3, y = -1 2.3.Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức sau: 1/ x2 – x + 1 2/ 3x2 – 5x – 2 3/ x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5 4/ 5x2 + 8xy + 5y2 – 2x + 2y 5/ 2x2 + 4y2 – 4xy – 4x – 4y + 2003 6/ x2 + 5x + 8 7/ x(x – 6) 8/ x2 + 3x + 7 9/ (x – 2) (x – 5) (x2 – 7x + 10) 10/ 2x2 + 9y – 6xy – 6x – 12y + 2004 11/ x2 + y2 + xy + x + y 12/ (x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) 13/ x2 – x + 14/ 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2005 15/ x2 – 4xy + 5y2 – 2y + 5 16/ x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 17/ 3x2 + 2x + 1 18/ x2 + x + 3 19/ x4 + (3 – x)2 20/ xy(x – 2) (y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 21/ (2x – 1)2 + (x – 3)2 22/ (x + 2)2 + (y + )2 – 10 23/ (2x + )4 – 1 24/ x4 + 3x2 + 2 25/ (x4 + 5)2 26/ (x – 1)2 + (9 + 2)2 Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức sau: 1/ - x2 + 3x 2/ - 2x2 + x – 1 3/ - x2 – y2 + xy + 2x + 2y 4/ - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 1 5/ - 8x2 – 3y2 – 26x + 6y + 100 6/ - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – 8 7/ 11 – 10x2 – x2 8/ - x2 – y2 + xy + x + y 9/ x - x210/ - 11/ 5 – 3(2x – 1)2 3. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức: 3.1. Các dạng thường gặp: 3.1.1 Dạng thứ nhất: Phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của . Giải : Ta có . Ta thấy (3x – 1)2 + 4 ³ 4 do đó . Vậy Min A = khi x = . 3.1.2 Dạng thứ hai:Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức : Ví dụ 1: (Với a > 0, x > 0) Dấu “=” xảy ra khi x = a Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất của A = Giải Đặt x – 1 = y thì x = y + 1, (x ¹ 1 Û y ¹ 0). Ta được . Lại đặt : ( z Î R). Ta có A = 3 – 2z + z2 = (z – 1)2 + 2 ³ 2. Vậy Min A = 2 Û z = 1Û y = 1 Û x – 1 = 1 Û x = 2. 3.1.3 Dạng thứ ba:Phân thưc có bậc tử thức bằng bậc mẫu thức. Tổng quát: , . Từ đó suy ra GTLN, GTNN. Đặc biệt ; Dấu “=” xảy ra khi 3.1.4 Dạng thứ tư: các dạng khác thường gặp. Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của . Giải Với x = 0 thì = 0. Với x ¹ 0 thì x4 + 1 ³ 2x2 > 0 nên . Vậy Max B = khi x4 + 1 = 2x2 Û (x2 – 1)2 = 0 Û (x – 1)2(x + 1)2 = 0 Û Û . 3.2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN của phân thức: Giải: Ta có Vì nên Vậy ; Dấu “=” xảy ra khi x - 1 = 0 Vậy min E = -1 khi x = 1 Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức sau đạt GTLN: , x > 0 Tìm GTLN đó. Giải: Đặt a = 1999. Khi đó: (Vì a > 0 nên Với mọi x) Do đó khi Thay a = 1999 Ta có MaxA , khi x = 1999 Ví dụ 3: Tìm GTLN của Và giá trị x tương ứng Giải: Dấu “=” xảy ra khi x - 2 = 0 x = 2 Vậy MaxB = 4 khi x = 2 3.3.Bài tập tự luyện: Bài 1. Tìm GTLN của các biểu thức sau: 1) 2) 3) 4) Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau: 1) , 2) , 3) 1 4) , 5) 6) , 7) 8) , 9) 10) 11) 4. Phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm GTLN, GTNN. 4.1 Giới thiệu các bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki a) Bất đẳng thức Côsi Với thì (Dấu “=” xảy ra ) Vài dạng khác của bất đẳng thức Côsi: Dạng có căn thức: Với Với a > 0, b > 0 Dạng không có dấu căn b) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Cho hai bộ số . Ta có Dấu “=” xảy ra khi 4.2) Các ví dụ: *Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi. Vì vậy nếu ta bình phương biểu thức A thì ta sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây vận dụng bất đẳng thức Côsi: Giải: ĐKXĐ: Mà Nên , dấu “=” xảy ra Vậy maxA = 2 khi x = 2 *Ví dụ 2: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức Nhận xét: 3x và có tích không phải là hằng số. Muốn khử được thì ở tử phải có do đó phải biểu diễn 3x = x + x + x và dùng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương. Giải: Dấu “=” xảy ra khi x=2 Vậy minA = 8 khi x=2 *Ví dụ 3: Cho . Tìm GTNN của x + y Nhận xét: Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;2) và () Ta được: Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 16 Vậy min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16 4.3) Bài tập tự luyện 1) Cho x > 0, y > 0, x + y = 2a. (a > 0) Tìm GTNN của biểu thức 2) Tìm GTLN của biểu thức 3) Cho x + y = 15. Tìm GTNN; GTLN của biểu thức 4) Tìm GTNN của biểu thức 5) Cho a, b, x là những số dương. Tìm GTNN của biểu thức 6) Cho Tìm GTNN của 7) Tìm GTNN của biểu thức 8) Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức 9) Cho x > 0, y > 0, . Tìm GTNN của thức sau 10) Cho x > y, x.y = 5 Tìm GTNN của biểu thức 11) Cho x>1. Tìm GTLN của A = 4x + 12) Cho 0<x<1. Tìm GTNN của B= 13) Cho x, y, z. Thỏa điều kiện x+y+z =a a) Tìm GTLN của biểu thức A= xy+yz+xz b) Tìm GTNN của B= x+y+z 5. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến: 5.1 Cụ thể tìm GTLN hoặc GTNN của A(x) = f(x,y...) với x, y, ... thỏa mãn điều kiện cho trước. Với dạng toán này ta có thể sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn A, bình phương A ... từ đó đưa về một số dạng quen thuộc đã biết để tìm GTLN, GTNN. 5.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1. Giải: Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A. A = x3 + y3 + xy = (x + y) (x2 – xy + y2) + xy = x2 – xy + y2 + xy = x2 + y2 Đến đây có nhiều cách giải. +Cách 1: Biểu thị y theo x: thay y = 1 – x vào biểu thức A. A = x2 + (1-x)2 = 2(x2 – x) + 1 = 2(x- )2 + Nên minA = khi và chỉ khi x = , y = . +Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A. x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mặt khác (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2) Cộng (1) và (2) ta được: 2(x2 + y2) 1 x2 + y2 MinA = x = y = Và bạn đọc tìm hiểu thêm nhiều cách giải khác. Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3 a.Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b.Tìm GTLN của B = xy + yz + xz c.Tìm GTNN của a + b Giải: Bình phương hai vế của đẳng thức x + y + z = 3 ta được x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 hay A + 2B = 9 (1) Mặt khác ta có: A B (2) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z a.Từ (1) và (2) suy ra 3A A + 2B = 9 nên A 3 Do đó minA = 3 x = y = z = 1. b.Từ (1) và (2) suy ra 3B A + 2B = 9 nên B 3 Do đó maxB = 3 x = y = z = 1. c.Ta có A + 2B = 9 mà B 9 ( câu b) nên A + B 6 do đó min(A+B) = 6 x = y = z = 1. 5.3.Bài tập luyện: 1.Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x2 + 2y2 2.Cho 4x – 3y = 7. Tìm GTNN của 2x2 + 5y2 3.Cho a + b = 1. Tìm GTNN của a4 + b4 4.Cho a + b = 1. Tìm GTNN của a3 + b3 5.Cho x.y = 1. Tìm GTNN của x + y 6.Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3. Biết x 0, y 0, x2 + y2 = 1 7.Tìm GTLN của A = a2 + b2 + c2 . Biết – 1 a, b, c 3, a + b +c = 1 6. Phương pháp tìm GTLN, GTNN dựa vào tập giá trị hàm : Ví dụ : Tìm Max và Min của biểu thức E = . Hàm số xác định với mọi giá trị của x Î R (vì x2 + 1 > 0, "x ). Gọi yo là một giá trị của hàm. Phương trình yo = có nghiệm. Suy ra yo(x2 + 1) = x2 + 6x + 1 có nghiệm Û (yo – 1)x2 – 6x + yo – 1 = 0 có nghiệm. Ta xét : Nếu yo = 1 Þ x = 0 (thích hợp). Nếu yo ¹ 1, lập D’ = 9 – (yo – 1)2 ³ 0 Û (yo – 1)2 £ 9 Û | yo – 1 | £ 3 Û – 2 £ y £ 4. Vậy Min y = – 2 và Max y = 4. Bài tập áp dụng :tìm Max và Min của biểu thức D = x2 +y2 biết rằng x2 +y2 –xy = 4 7.Những sai lầm thường gặp khi giải Toán cực trị: Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức. A = Lời giải sai: Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 8 Min(x2 – 6x + 17) = 8 x = 3 Vì A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Vậy maxA = khi x = 3 Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định: “A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa nói rõ là điều kiện tử và mẫu điều dương. Chẳng hạn xét biểu thức B = với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có GTLN khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x = 0 nên maxB = - x = 0. Điều này không đúng vì không là giá trị lớn nhất của B. Chẳng hạn x = 3 thì B = . Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang phân số có tử và mẫu là số nguyên. Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = 4. Lời giải sai: ta có A = A = x2 + y2 2xy. Do đó A nhỏ nhất x2 + y2 = 2xy x = y = 2. Khi đó minA = 22 + 22 = 8. Phân tích sai lầm: đáp số không sai nhưng lập luận mắc sai lầm, ta mới chứng minh được f(x,y) g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y) m với m là hằng số. Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức đúng x2 4x – 4 sẽ suy ra x2 nhỏ nhất x2 = 4x – 4 (x – 2)2 = 0, do đó minx2 = 4 x = 2, nhưng dễ thấy kết quả đúng phải là minx2 = 0 x = 0. Cách giải đúng: x + y =4 suy ra x2 + 2xy + y2 = 16 (1) Ta lại có (x – y)2 suy ra x2 – 2xy + y2 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2(x2 + y2) 16 x2 + y2 8 Nên minA = 8 khi x=y=2. Một số bài tập mở rộng và nâng cao: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)M = x4 – 6x2 + 10 b)N = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2 c)P =x4 – 4x3 + 6x2 – 4x +5 d)Q=x4 – 4x3 +8x +20 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a)A = -2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5 b)B = 2x + 12y + 6z - x2 – 4y2 – z2 – 18 Bài 3: Cho biểu thức: A = Tìm giá trị của x, y để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: Tìm GTLN của: a)P(x) = 3x2 (5 – 3x2). b)Q(x) = x – x2 Bài 5: Cho A(x) = và B(x) = Tìm giá trị dương của x để c