Sáng kiến kinh nghiệm - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ”  I . ĐẶT VẤN ĐỀ. Như chúng ta đã biết, toán học là bộ môn khoa học đặc biệt quan trọng trong chương trình giáo dục THCS cũng như trong các chương trình giáo dục khác. Đây là môn học được coi là nền tảng cho các môn học tự nhiên . Nhà trường THCS là cầu nối giữa bậc học tiểu học và trung học phổ thông, chính vì vậy việc đặt nền móng, trang bị cho học sinh những kiến thức sơ cấp phải thực sự chuẩn mực và vững chắc. Người giáo viên phải biết dạy cái gì, dạy cho ai, dạy như thế nào? Đặc biệt khi dạy cho học sinh cách giải toán , rèn luyện kỹ năng giải toán, giáo viên cần phải biết sáng tạo vận dung linh hoạt, không máy móc để giúp cho các em có kỹ năng giải toán thật cơ bản,vững vàng,chính xác,khoa học.Theo định hướng về phương pháp giảng dạy mới là làm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh ,khơi dậy và phát triển khả năng tự học,nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực , rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng vào thực tiển tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh . Trong SGK hiện hành  đã được biên soạn theo hướng phù hợp với phương pháp giảng dạy này . Song đối với bài toán “phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách  hạng tử” trong chương trình toán 8 tập I đề cập còn ít , trong khi đó học sinh làm bài tập bắt gặp rất nhiều bài phải sử dụng phương pháp này thì mới phân tích được.Chính vì thế khi giảng dạy giáo viên phải biết linh động đưa ra một số ví dụ để  học sinh được làm quen và dựa vào đó để làm một số bài tập khi phải sử dụng phương pháp “phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử”. Vì vậy trong  khuôn khổ kinh nghiệm tôi xin được đưa ra một số phương pháp để hướng dẫn học sinh giải toán bằng phương pháp này với các hệ số nguyên, tôi hy vọng sẽ giúp học sinh tự mình xây dựng được các kĩ năng, tích luỹ được các kinh nghiệm giải toán, và trong một chừng mực có thể nêu lên các phương pháp giải toán. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ . 1 . Tình hình thực tế : Trường tôi  học sinh  khối 8 được chia thành 4 lớp.Tôi trực tiếp giảng dạy một lớp đó là lớp 8D.(sĩ số 33)    Trong quá trình giảng dạy bài phân tích đa thức thành nhân tử " Bằng cách phối hợp nhiều phương pháp " , tôi đã đưa ra một số ví dụ  và yêu cầu  hoc sinh làm . Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử . a. x2 -3x +2   ( bài tập 53 SGK ) GV gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích  được , nhưng nếu ta tách hạng tử -3x = -x-2x thì ta có x2 - 3x +2 = x2 - x -2x +x  và  từ đó áp dụng các phương pháp đã học để phân tích tiếp , cũng có thể tách 2 = -4 + 6  khi đó ta có x2-3x +2 = x2 - 4  - 3x + 6  từ đó dễ dàng phân tích tiếp . Sau khi được giao viên gợi ý thì khoảng 15 các em phân tích được . Tiếp theo cho học sinh cả lớp làm bài tập ( 35 SGK b, c )  b. x2   + x - 6        ;  c. x2 + 5x + 6       Khoảng 15 học sinh làm được đó là những bài phân tích chỉ cần tách một hạng tử  ,còn đối với những bài cần tách hai , ba  hạng tử thì sao? Và bước đầu nên suy nghĩ cách tách như thế nào  học sinh còn lúng túng .Căn cứ vào tình hình thực tế  tôi  mạnh dạn đưa ra phương pháp . 2. Phương pháp Phân tích tam thức bậc hai ax2 +bx +c thành nhân tử ,ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x   sao cho tức là b1 b2 = ac Trong thực hành ta làm như sau:  1. Tìm tích ac 2. Phân tích ac ra tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách . 3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b .  Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. x2 - 6x +8 ; b. 9x2 + 6x - 8 GV gợi ý  : Ta nhận thấy với các phương pháp thông thường thì không thể phân tích các đa thức trên thành nhân tử được vì các đa thức trên không có nhân tử chung,không có dạng một hằng đẳng thức nào.Các đa thức đó chỉ có ba hạng tử nên không thể dùng phương pháp nhóm hạng tử.Vì vậy ta biến đổi các đa thức ấy thành các đa thức có nhiêu hạng tử : a)   Cách 1: x2 - 6x + 8 =  x2- 2x - 4x + 8 = x(x - 2 ) -4( x -2 ) =(x-2) ( x- 4)       Cách 2: x2  - 6x +8 = x2 - 6x + 9 - 1 = ( x- 3 )2 - 1 = ( x- 2) ( x -4) Cách 3: x2 - 6x + 8=x2 - 4 - 6x +12 = ( x+2 ) ( x - 2) - 6 ( x-2 )= ( x- 2 ) ( x-4) Cách 4: x2- 6x + 8 = x2 - 16 -6x + 24 = ( x+4 )( x- 4 )-6( x - 4)=( x-2 )( x - 4) Cách 5: x2 - 6x +8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4= ( x- 2)2 - 2(x-2)  = ( x-2 ) ( x- 4) b) Có  nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác , trong đó hai cách tách sau là thông dụng nhất :       Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.     9x2 + 6x -  8 = 9x2- 6x +12x - 8 = 3x( 3x- 2) +4( 3x-2) = ( 3x-2 ) ( 3x+ 4)     Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu của bình phương . 9x2 + 6x - 8 = 9x2  + 6x + 1 -9 = (3x+1)2 -32= ( 3x +4) ( 3x-2).  Trong đa thức 9x2 + 6x - 8 thì a = 9 , b =6 , c= -8 Bước 1: Tính ac = 9 (-8) = -72 . Bước 2: Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu ,trong đó thừa số dương có giá trị tuyệt  đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số bằng 6). -72=(-1)72=(-2)36=(-3)24=(-4)18=(-6)12=(-8)9 Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6 . Đó là -6 và 12. Trong trường hợp tam thức ax2+bx +c có b là số lẻ ,hoặc a không là bình phương của một số nguyên thì giải  theo cách 1 gọn hơn  so với cách 2. Qua ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử thường nhằm mục đích: *Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ,nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung *Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên,để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ,ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức * Kiến thức bổ sung: +Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0.Như vậy,nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a thì nó chứa nhân tử x-a. + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất + Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 + Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 + Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do mà không phải là nghiệm của đa thức. Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : f(x)=x3-x2-4 Hướng dẫn:Lần lượt kiểm tra với x=1;x=-1;x=2;x=-2;x=4;x=-4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4=0. Đa thức có nghiệm bằng x = 2, do đó chứa nhân tử (x - 2). Ta tách các hạng tử như sau: * Cách 1. x3 – x2 – 4 = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – 4 = x2(x – 2) + x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(x2 + x + 2). * Cách 2. x3 – x2 – 4 = x3 – 8 – x2 + 4 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) – (x – 2)(x + 2) = (x – 2)(x2 + 2x + 4 – x – 2) = (x – 2)(x2 + x + 2). Ví dụ: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 Nhận xét: không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = = Vì với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa Ví dụ: x3 + 5x2 + 8x + 4 Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1 x3+5x2+8x + 4=(x3+x2)+(4x2+4x)+(4x+4)=x2(x +1)+ 4x(x + 1)+ 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2) Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa Ví dụ: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1)+(1996x2+1996x + 1996) =(x2 +x+1)(x2 - x+1) + 1996(x2+x+1)=(x2 +x+1)(x2 -x+ 1+1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2- x–20012 -2001=(x2–20012)–(x + 2001)=(x+2001)(x – 2002) 3. Một số kết quả thu được qua việc thử nghiệm đề tài: Như vậy sau khi hướng dẫn và làm một số bài trên tôi đã ra một đề kiểm tra 15 phút với đề tương tự như các dạng bài tập trên thì kết quả thu được là 25   em làm được điểm 7,điểm 8 trở lên .Học sinh ham học và ham giải toán hơn. Tư duy học toán của học sinh được nâng cao. . III.KẾT LUẬN : Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi nhằn hướng dẫn học sinh tìm cách “phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách  hạng tử” mà trong khi đó SGK còn đề cập ít  ,để giúp các em có thêm phương pháp giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dể hiểu,dể nhớ và hứng thú học tập hơn .  IV.Ý KIẾN ĐỀ XUẤT:Theo tôi đối với dạng bài toán “phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử” cần được soạn thành một tiết dạy để giáo viên có thời gian hướng dẩn học sinh kỷ hơn giúp học sinh lĩnh hội kiến thức để làm được nhiều dạng bài tập. Ý kiến của HĐKH trường: Bố trạch ,ngày 01 tháng 12 năm 2012 Người viết Nguyễn Thị Thanh Nhàn