Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải bài toán trong đó có chứa giá trị tuyệt đối

A. Đặt vấn đề: Giá trị tuyệt đối của một số là một phạm trù kiến thức rất hẹp, tương đối trừu tượng. Đây là một vấn đề mà học sinh đã được học ở chương trình lớp 6 (đối với số nguyên) và tiếp tục được học ở lớp 7 (đối với số thực) nhưng không phải là vấn đề đơn giản đối với học sinh. Khi gặp một bài toán có giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đặc biệt không biết xoay sở ra sao. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuết cơ bản song số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh. Qua giảng dạy phần “Giá trị tuyệt đối của 1 số” tôi tự rút ra một số vấn đề trọng tâm sau: 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối. 2. Phương pháp giải bài toán trong đó có chứa giá trị tuyệt đối. 3. Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối. 4. Một số bài toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối. Để học sinh nắm bắt được kiến thức một cách chặt chẽ và lô gíc, giúp học sinh có năng khiếu nâng cao kiến thức một cách có mọi hệ thống theo chương trình được tiếp thu ở trên lớp học hàng ngày. B. Nội dung: I. Một số vấn đề về lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối. Trước khi đưa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phương pháp giải thì giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ được định nghĩa về giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập. 1. Định nghĩa: Với a ẻ R thì |a| = a nếu a ³ 0. - a nếu a Ê 0. 2. Tính chất: Từ định nghĩa suy ra các tính chất sau: * |a| = 0 a = 0 * |a| = |- a| với aẻ R. * |a| ³ 0 với a ẻ R. Dấu “=” xảy ra a = 0. * |a| ³ a với a ẻ R. Dấu “=” xảy ra a ³ 0. * |a| ³ - a với a ẻ R. Dấu “=” xảy ra a Ê 0. * |a +b| Ê |a| +|b| với a,b ẻ R. Dấu “=” xảy ra ab ³ 0. II. Phương pháp giải bài toán trong đó có chứa giá trị tuyệt đối. Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức) để đưa bài toán trên về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến hành các phép tính đại số quen thuộc. III. Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số. 1. Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức: Đối với dạng toán này giáo viên phải cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa bài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối. a. Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức. A = 3x2 - 2x + 1 với |x| = 2 thì x = 2 hoặc x = -2 từ đó sẽ có 2 giá trị của biểu thức A tương ứng. Bài giải: Vì |x| = 2 => x = 2 x = -2 * Với x = 2 ta có : A = 3.22 - 2.2 + 1 = 9. * Với x = -2 ta có : A = 3.(-2)2 - 2.(-2) + 1 = 17. Vậy với |x| = 2 thì : A = 9; A = 17. b. Ví dụ 2: Tìm giá trị của các biểu thức. B = 2 |x - 2| - 3 |1- x| tại x = 4 Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x = 4 vào biểu thức B sau đó bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức B. Bài giải: Với x = 4 ta có: B = 2 |4 - 2| - 3 |1 - 4| = 2.2 - 3.3 = - 5. 2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đối với dạng toán này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đối của nó (nếu biểu thức âm). Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm. Dấu của các biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu. a. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - |x - 8| ở bài toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét 2 trường hợp của biến x làm cho x - 8 ³ 0; x - 8 < 0. |x - 8| = x - 8 với x - 8 ³ 0; x ³ 8. - (x -8) = - x + 8 với x - 8 x <8. * Với x ³ 8 thì A = 3(2x - 3) - (x - 8) A = 6x - 9 - x +8. A = 5x - 1. * Với x < 8 thì: A = 3(2x - 3) - (-x + 8) = 6x - 9 + x - 8 = 7x - 17 Vậy A = 5x - 1 nếu x ³ 8. 7x - 17 nếu x < 8. b. Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = |x - 3| - |x - 4| ở đây biểu thức A có chứa tới 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối do đó để đơn giản trong trình bày giáo viên , cần hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu. x 3 4 x - 3 - 0 + + x - 4 - - 0 + |x - 3| = x - 3 nếu x ³ 3 3 - x nếu x < 3 |x - 4| = x - 3 nếu x ³ 4 3 - x nếu x < 4 Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x. * Nếu x < 3 thì A = (3 - x) - (4 - x) = 3 - x - 4+x = -1. * Nếu 3 Ê x Ê 4 thì. A = (x - 3) - (4 - x) = x - 3 - 4 + x = 2x - 7. * Nếu x > 4 thì. A = (x - 3) - (x - 4) = x - 3 - x + 4 = 1. Vậy: A = - 1 nếu x < 3. 2x - 7 nếu 3 Ê x Ê 4 1 nếu x > 4 Hoặc có thể cho học sinh lập biểu biến đổi sau: x 3 4 |x - 3| 3 - x 0 x - 3 x - 3 |x - 4| 4 - x 4 - x 0 x - 4 A = |x - 3| - |x - 4| - 1 2x - 7 1 Vậy: A = - 1 nếu x < 3. 2x - 7 nếu 3 x Ê 4 1 nếu x > 4 3. Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. ở dạng này giáo viên cần lưu ý cho học sinh các dạng cơ bản sau: 3.1. |f(x) | = a (a ³ 0) f(x) = a f(x) = - a 3.2. |f (x) | = | g(x) | f(x) = g(x) f(x) = - g(x) 3.3. |f(x) + g(x) = a. Phải xét 2 trường hợp: * f(x) ³ 0 thì |f(x)| = f(x). * f (x) < 0 thì |f(x)| = - f(x). 3.4. |f(x)| + |g(x)| = a. ở dạng này phải lập bảng xét dấu để xét hết các trường hợp xảy ra (lưu ý học sinh số trường hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1). a. Ví dụ 1: Tìm x biết: |2x - 1| = 3. Bài toán này thuộc dạng 3.1. Cách giải: |2x - 1| = 3. => 2x - 1 = 3 = > 2x = 4 = > x = 2 2x - 1 = - 3 2x = - 2 x = -1 Vậy x ẻ - 1; 2 b. Ví dụ 2: Tìm x biết: |x - 3,5| = |4,5 - x| Bài toán này thuộc dạng 3.2 Cách giải: |x - 3,5| = |4,5 - x| => x - 3,5 = 4,5 - x => x + x = 4,5 +3,5 x - 3,5 = x - 4,5 x - x = - 4,5 + 3,5. => 2x = 8 => x = 4 ox = -1,5 vô lý. Vậy x = 4. c. Ví dụ 3: Tìm x biết: | x-7| + x - 5 = 3. Bài toán này thuộc dạng 3.3. Cách giải. |x - 7| + x - 5 = 3 (1) Xét 2 trường hợp. * Nếu x - 7 ³ 0 x ³ 7 thì |x - 7| = x - 7. Từ (1) => x - 7 + x - 5 = 3. = > 2x - 12 = 3. => 2x = 15. => x = 7,5 > 7. Thoả mãn điều kiện. * Nếu x - 7 x < 7 thì |x - 7| = 7 - x Từ (1) = > 7 - x + x - 5 = 3. => ox + 2 = 3. => ox = 1 vô lý. Vậy: x = 7,5. d. Ví dụ 4: Tìm x biết: |x - 3| + |4 - x| = 6. Bài toán này thuộc dạng 3.4. Cách giải: |x - 3| + |4 - x| = 6 (2) * Lập bảng xét dấu: x 3 4 x -3 - 0 + + 4 - x + + 0 - * Nếu x < 3 thì |x - 3| = 3 - x; |4 - x| = 4 - x. Từ (2) => 3 - x +4 - x = 6. = > - 2x + 7 = 6. = > - 2x = -1. = > x = 0,5 < 3 TMĐK. * Nếu 3 Ê x Ê 4 thì |x - 3| = x - 3. |4 - x| = 4 - x. Từ (2) => x - 3 + 4 - x = 6. => 0x = 6 + 3 - 4 . => 0x = 5 vô lý. * Nếu x > 4. Thì |x - 3| = x - 3 ; |4 - x| = x - 4. Từ (2) => x - 3 + x - 4 = 6. = > 2 x = 6+3+4 => 2x = 13. => x = 6,5 > 4 TMĐK. Vậy x ẻ 0 6,5; 0,5 e. Ví dụ 5: Tìm x biết |x - 3| + |5 - x| = 0 Dạng này phải vận dụng |f(x)| ³ 0. Cách giải. Vì |x-3| ³ 0 và |5-x| ³ 0 với x ẻ R. Do đó: |x - 3| + |5-x| = 0 khi và chỉ khi x = 3 và x = 5. Điều này không thể đồng thời xảy ra. Vậy không tồn tại x thoả mãn yêu cầu của đề bài. 4. Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối. ở dạng này giáo viên lưu ý quy tắc sau: |f(x) | = f(x) nếu f(x) ³ 0 - f(x) nếu f(x) < 0 Sau đó lần lượt giải tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối cuối cùng tổng hợp các kết quả đạt được để có toàn bộ các giá trị của biến. a. Ví dụ 1: Tìm x biết: |3x - 2| < 4 (1). ở dạng này cần vận dụng với a là hằng số dương Nếu |f(x)| < a thì - a < f(x) < a; (f(x) (Nằm trong khoảng). Cách giải: Cách 1: |3x - 2| < 4. - 4 - 2 < 3x < 6. - < x < 2. Cách 2: |3x - 2| = 3x - 2 nếu x ³ Error! Not a valid link.. - 3x + 2 nếu x < * Nếu x ³ (*) thì (1) trở thành 3x - 2 x < 2 (**) Từ (*). (**) => Ê x < 2 (2) * Nếu x x > - (4) Từ (3) và (4) => - < x < (5). Từ (2), (5) => - < x < 2. Cách 3: Lập bảng biến đổi |3x - 2| |3x - 2| - 4 < 0. x |3x - 2| - 4 - 2 - 3x 3x - 6 Nghiệm thích hợp - < x < Ê x < 2 Vậy - Ê x < 2. b. Ví dụ 2: Tìm x biết |x + 5| >7. Với bài toán trên giáo viên hướng dẫn học sinh làm theo các cách sau: Cách giải. Cách 1: Ta có: |x + 5| = x + 5 nếu x ³ - 5.n - x - 5 nếu x < - 5. * Với x ³ - 5 thì (1) trở thành x + 5 > 7; x > 2 (Thoả mãn điều kiện đang xét). * Với x 7 x < 12 (Thoả mãn điều kiện đang xét). Vậy: x 2. Qua cách làm trên giáo viên chỉ ra cho học sinh vấn đề sau: Với a là hằng số dương Nếu |f(x) | > a thì f(x) > a. f(x) < - a (f(x) nằm ngoài khoảng). Cách 2: |x + 5| > 7. x + 5 > 7 x > 2 x + 5 < -7 x < - 12 Vậy x 2. Cách 3: Lập bảng biến đổi. |x + 5| > 7 |x +5| - 7 > 0. 5 x |x + 5| - 7 - x - 12 x - 2 Nghiệm thích hợp x < - 12 x > 2 Vậy x 2. Giáo viên chốt lại: Qua 2 ví dụ trên nên vận dụng với a là hằng số dương. * Nếu |f(x) | < a thì - a < f(x) < a. * Nếu |f(x) | > a thì f(x) > a f(x) < - a Hoặc chuyển hết về 1 vế là 1 biểu thức, vế kia bằng O sau đó lập bảng xét dấu. 5. Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức: A = 5|3x - 2| - 1. ở đây học sinh phải biết vận dụng được kiến thức | a| ³ 0 với a ẻ R để giải. Cách giải. Ta có |3x - 2| ³ 0 với x ẻ R. = > 5|3x - 2| ³ 0 với x ẻ R. = > A = 5 |3x - 2| - 1 ³ = - 1 với x ẻ R. Dấu “=” xảy ra 3x - 2 = 0 hay x = . Min A = - 1 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = |x - 5| + |x - 7| Dạng bài này giáo viên giới thiệu cho học sinh 4 cách giải sau: Cách 1: Bài toán phụ: Chứng minh rằng: |a|+|b| ³ |a + b| Dấu “=” xảy ra ab ³ 0 Giáo viên hướng dấn cho học sinh chứng minh dựa vào | a | > a ; | a | > - a => | a | + | b | > a+b (1) CM ta có: | a | > a | a | > b => | a | + | b | > - (a+b) => - (| a | + | b |) Ê a+b (2) | a | > - a | b | > - b Từ (1) và (2) => - (| a | + | b |) < a + b < | a | + | b | => | a + b | < | a | + | b | Dấu “=” xảy ra ab > 0 áp dụng bài toán phụ, ta có: B = | x - 5 | + | x - 7 | = | x - 5 | + | 7 - x | > | x - 5 + 7 - x| B > | 2 | = 2. Dấu “=” xảy ra: (x - 5) (7 - x) > 0 5 < x < 7. (Lập bảng xét dấu). Vậy Min B = 2 5 < x < 7. Cách 2: Ta có 3 trường hợp sau (dựa vào bảng xét dấu). * Nếu x < 5 thì B = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12 Vì: x -2x > -10 -2x + 12 > 2 Ta có: | x - 5 | + | x - 7 | > 2 * Nếu 5 < x < 7, ta có: B = x - 5 - x + 7 = 2 * Nếu x > 7, ta có: B = x - 5 + x -7 = 2x - 12. Vì x > 7 2x >14 nên 2x - 12 > 2 Do đó: | x - 5 | + | x - 7 | > 2 Vậy Min B = 2 5 < x < 7. 7 5 0 Cách 3: B = | x - 5 | + | x - 7 | là tổng các khoảng cách từ điểm x đến điểm 5 và điểm 7. Tổng này nhỏ nhất khi x ở giữa 5 và 7 hoặc trùng với 5, hoặc trùng với 7. Khi đó: | x - 5 | + | x - 7 | = 7 - 5 = 2 Vậy Min B = 2 5 < x < 7 Cách 4: | x - 5 | > x - 5. Dấu “=” xảy ra x - 5 > 0 x > 5 | x - 7 | = | 7 - x | > 7 -x Dấu “=” xảy ra 7 - x > 0 x < 7 Do đó: B = | x - 5 | + | x - 7 | > x - 5 + 7 - x = 2 Dấu “=” xảy ra x > 5 và x 5 < x < 7 Vậy Min B = 2 5 < x < 7 c. Ví dụ 3: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ nhất. C = | x + 5 | + | x + 13 | + | x + 20 | + | x + 77 | + | x + 2005 | Để giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh vận dụng định nghĩa và các tính chất sau: * | A | = A nếu A > 0 - A nếu A < 0 * | B | > B dấu “=” xảy ra B > 0 * | C | > - C dấu “=” xảy ra C < 0 * | D | > 0 dấu “=” xảy ra D = 0 Cách giải: | x + 5| > - ( x + 5) = - x - 5 | x + 13 | > - ( x + 13) = - x - 13 | x + 20 | > 0 | x + 77 | > x + 77 | x + 2005 | > x + 2005 Do đó C > - x - 5 - x - 13 + 0 + x + 77 + x + 2005 = 2064. Dấu “=” xảy ra x + 5 0; x + 2005 > 0 Từ đó ta có x = - 20. Vậy với x = - 20 thì Min C = 2064. 6. Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Vẽ đồ thì hàm số y = | x | Giải: y = | x | = A nếu A > 0 - A nếu A 0 - A nếu A < 0 x nếu x > 0 - x nếu x < 0 + Với x > 0 đồ thị hàm số y = x là tia phân giác của góc phần tư thứ I. + Với x < 0 thì đồ thị hàm số y = -x là tia phân giác của góc phần tư thứ II. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = (x + |x|) Giải: + Với x > 0 thì y = x + Với x < 0 thì y = 0 Đồ thị hàm số gồm tia phân giác của gốc phần tư thứ I và tia Ox’ Qua 2 ví dụ này giáo viên cho học sinh thấy được khi vẽ đồ thì hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng phải khử dấu giá trị tuyệt đối để đưa về dạng đồ thị hàm số đã học. IV. Một số bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối: Bài 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho | x | + | y | = 2. Giải: ở đây x và y có vai trò bình đẳng. Ta xét x chẳng hạn ta có: 0 < | x | < 2 vì x Z nên | x | N. Do đó: | x | {0; 1; 2} + Nếu | x | = 0 thì | y | = 2 => x = 0; y = + 2 + Nếu | x | = 1 thì | y | = 1 => x = + 1; y = + 1 + Nếu | x | = 2 thì | y | = 0 => x = + 2; y = 0 Vậy có tất cả 8 cặp số thoả mãn đề bài là: ( x = 0; y = 2); ( x = 0; y = -2); ( x = 1; y = 1) ( x = 1; y = -1); ( x = -1; y = 1); ( x = -1; y = -1) ( x = 2; y = 0); ( x = -2; y = 0); Bài 2: Trong 3 số nguyên a, b, c có 1 số âm, 1 số dương, 1 số bằng 0 ngoài ra còn có thêm | a | = b2 (b - c). Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0? Giải: + Nếu b = 0 thì | a| = 02 ( 0 - C). => | a | = 0 => a = 0 tức a = b trái với đề bài. + Nếu a = 0 => b2 ( b - c) = 0. => b2 = 0 => b = 0 => a = b trái với đề bài b - c = 0 => b = c trái với đề bài. Vậy c = 0 => | a | = b2 ( b - 0) => | a | = b3 mà | a | > 0 "a => b3 > 0 => b > 0 => a < 0 Vậy a 0; c = 0 thì thoả mãn đề bài. Bài 3: Cho đẳng thức | a | - 1 = b2007 (a, b Z). a. Xác định dấu của a và b biết rằng chúng là 2 số nguyên khác 0 và trái dấu nhau. b. Tính a nếu b = 0. c. Tính b nếu a = 0. Giải: a. Giả sử a > 0 thì b < 0 (vì a, b trái dấu). => b2007 < 0 mà | a | - 1 = b2007. => | a | - 1 | a | -1 < a < 1 mà aZ. => a = 0 trái vớu đề bài là a, b ạ 0 Vậy a 0 b. Khi b = 0 có | a | - 1 = 02007 => | a | - 1 = 0 => | a | = 1 => a - 1; 1 c. Khi a = 0 có | 0 | - 1 = b2007 => b2007 = -1 => b = - 1. III. Kết quả: Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như trên trong khi truyền thụ cho học sinh. Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các dạng toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối từ đó giải được hầu hết các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát, cảm thấy lý thú với chủ đề này và qua đó cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra học sinh đã giải được 90% một cách tự lập và tự giác. VI. Bài học kinh nghiệm: - Hầu hết học sinh đã nắm được cách trình bày, một số còn tỏ ra lúng túng và một số ít vẫn còn làm tắt, bỏ qua những bước lập luận cơ bản (nhất là những bài dễ). - Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng để rồi nhận được dạng trước 1 bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cần rèn luyện về cách lập luận và trình bày của học sinh. - Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đi nào đó để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được. Trên đây là một số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà tôi đã rút ra được khi dạy phần giá trị tuyệt đối. Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học. Tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục. Xin chân thành cảm ơn!