Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc cao

PHầN II : NộI DUNG Đề TàI A. Đặt vấn đề 1. Mục đích ý nghĩa của việc giải phương trình đại số bậc cao. Việc dạy giải phuơng trình đại số bậc cao rèn luyện cho học sinh những kĩ năng thục hành giải toán về phương trình . Rèn cho học sinh các thao tác tư duy, so sánh, khát quát, trừu tượng hoá rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động chí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở trườngTHCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế . NgoàI ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo II .Các kỹ năng kiến thức khi học để giảI phuong trình đại số bậc cao. Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số. các hăng đẳng thức đáng nhớ. phép phân tích da thức thành nhân tử. B .Một số kiến thứ cơ sở về phuong trình bậc cao. I. Cơ sơ lý luận. 1.Khái niệm về phương trình: Xét hai biêủ thức f(x,y, z) và g(x,y,z) với các biến số x,y, z trong Miền xác định chung của chúng (khác rỗng),ta đI tìm tập hợp các giá trị x = a;y = b,, z = c sao cho f(a,b,,c) Khi đó dẳng thức f(x,y,z) = g(x,y,z) gọi là phương trình với các ẩn số x,y, z Miền xác định chung của f(x,y,z)và g(x,y, z) gọi là miến xác dịnh của phương trình (1) Bộ giá trị x = a ; y = b,,z = c thoả mãn f(a,b,c) =g(a,b,,c) goi là một nghiệm của phương trình (1) Giải phương trình là tập hợp các nghiệm của phương trình đó 2. Định nghĩa hai phương trình tương đương Hai phương trình gọi là tương đương nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng nhau. 3. Các phép biến đổi tương đương các phương trình Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình: Biến đổi một phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn gọi là tương đương. Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ: 3x=27 3x+2x=27+2x. Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : 5x+7=16x-3 5x-16x=-3-7 Hệ quả 2:nếu xoá hai hạng tử giống nhau của hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : 7x3+8x-5=14+7x3 8x-5=14 b.Định lí 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. Ví dụ : 1/2x+9=2x-10 x+18=4x-20 II. Các dạng phương trình. Các định nghĩa ở chương trình THCS : Định nghĩa phương trình một ẩn: Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x. Khi nói A(x)=B(x) là một phương trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x gọi là ẩn. Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm. Mỗi biểu thức là một vế của phương trình Việc tìm nghiệm gọi là giảI ohương trình. Phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình có dạng ax+b=0 Trong đó : a,b là những hằng số. a#0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. b được gọi là hạng tử tự do. 1.2. Tập xác định: Tập xác định của phương trình là R Cách giải: Phương trình bậc nhất ax+b=0 có nghiệm duy nhất x=-b/a Phương trình bậc hai một ẩn 2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai có một ẩn số là phương trình có dạng ở đó x là ẩn số;a,b,c là các hệ số,a#0 Nghiệm của phương trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của vế trái bằng 0. 2.2. Cách giải: - Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải để tìm nghiệm của phương trình. - Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt sốcủa phương trình : gọi là biệt số của phương trình bậc hai vì biểu thức quyết định nghiệm số của phương trình bậc hai. Ta thấy có các khả năng sau xay ra <0 thì phương trình bậc hai vô nghiệm =0 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép(hai nghiệm trùng nhau) x1=x2= >0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt : 2.3. Hệ thức Viet. Cho phương trình bậc hai : Giả sử phương trình có hai nghiệm x1,x2 khi đó ta có hệ thức Viet sau: x1+x2 = x1x2 = Phương trình bậc cao Dạng tổng quát của phương trình bậc cao Phương trình tổng quát bậc n có dạng: Trong đó: x là ẩn an,..,a0: là hệ số Đối với phương trình bậc cao hơn 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức nhưng việc tìm nghiệm của phương trình cũng hết sứt phức tạp nằm ngoài chương trìnhTHCS và THPT. Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiện của phương trình đại số bậc cao. Định lí Viet cho phương trình bậc n Cho phương trình có n nghiệm 0 Giả sử phương trình có n nghiệm x1,x2,..,xn trong các nghiệm được kê ra một số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau: Với Đảo lại: Cho trước n số bất kì x1,x2,,xn Đặt với Khi đó là nghiệm của phương trình sau: Ví dụ: Định lí Viet cho phương trình bậc ba có dạng như sau: Cho phương trình bậc ba: có 3 nghiệm Khi đó: Hệ thức Viet cho phương trình bậc bốn: Có dạng như sau: C. Một số phương pháp giải một số loai phương trình đại số bậc cao Khi gặp cấc phương trình đại số bậc cao thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến hai phương pháp cơ bản để giải phương trình đại số bậc cao. Đó là: + Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích. + Đặt ẩn phụ. I.Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1. Cơ sở lí luận: Ta biết rằng phương trình: Vì vậy phương trình bậc cao nếu ta phân tích được vế trái thành nhân tử thì sẽ đưa phương trình về dạng phương trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải. 2. Nội dung Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi hướng dẫn học sinh sử dụng 5 phương pháp sau: Đặt nhân tử chung. Dùng hằng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Tách hạng tử. Thêm bớt cùng một hạng tử Ví dụ: Giải phương trình. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=0, x=-2, x=2. Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=1. Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=3. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x=2, x=-2. có vô nghiệm có vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 2.2. Ngoài 5 phương pháp trên ta còn sử dụng định lý Bơzu giúp các em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử. Định lý Bơzu được phát biểu như sau: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x)=x-a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a. -Khai thác cách nhẩm nghiệm: +) Nếu thì phương trình (1) có một nghiệm x=1 +) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình (1) có nghiệm x=-1 +) Nếu số hữu tỉ (p,q nguyên tố cùng nhau là nghiệm của phương trình (1) thì p là ước của , q là ước của Ví dụ: Giải phương trình: (*) Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phương trình (*) nhận x=-1 là nghiệm. Theo định lý Bơzu ta thấy vế phải của phương trình (*) chia hết cho x+1 Ta có thể viết phương trình (*) dưới dạng: (1) (2) Ta thử với các ước của 4 và thấy x=2 là nghiệm của (2), nn (2)phân tích được thành: vô nghiệm Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là x=-1, x=2 Bài toán áp dụng : 1.Giải phương trình: 2.Cho phương trình: a.Xác định m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt. b.Giải phương trình với m=1. Hướng dẫn: 2a) Ta thấy phương trình (*)luôn có 1 nghiệm x= Muốn phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác Đặt f(x)= thì f(x) phải thoả mãn các điều kiện sau: Vậy với 1<m<2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác Phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt khi 1<m<2 II. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. 1.Cở sở lí luận. Khi giải phương trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải. 2. nội dung phương pháp. Trong chương trình THCS học sinh thường gặp các dạng phương trình sau: 2.1. Phương trình trùng phương: a. Dạng t6ổng quát : Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: Trong đó : x là ẩn số. a,b,c là các hệ số. b. Cách giải : Khi giải phương trình loại này ta thường dùng phương pháp đổi biến số. Đặt y= (2) Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc hai trung gian: Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào (2) ta được phương trình bậc hai rút gọn với biến x. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu. c.ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Đặt Phương trình (1) trở thành: Cả hai nghiệm này đều thoả mãn + Với y=1 ta có + Với y=2 ta có Vậy phương trình (1)có 4 nghiệm là: * Ví dụ 2: xác định a để phương trình : (1) Có 4 nghiệm phân biệt đồng thời 1 nghiệm nhỏ hơn -2,3 nghiệm kia lớn hơn -1 Giải Đặt (1) (2) Giả sử (2)có nghiệm thì (1) có 4 nghiệm phân biệt: Muốn phương trình (1)có 1 nghiệm nhỏ hơn -2;3 nghiệm kia lớn hơn -1 thì: Vậy phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt , thoả mãn 0<y< 1 < 4 < Vậy với a thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm nhỏ hơn -2 và 3 nghiệm kia lớn hơn -1 d. Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình: 4x4-5x2+1=0 2) Cho phương trình: x4-2(2m-1)x2+4m2-3=0 (*) a. Với giá trị nào của m thì phương trìnhcó 4 nghiệm phân biệt. b. Giải phương trình với m = Hướng dẫn giải: 2a. Đặt y=x2(y0) phương trình(*) trở thành: y2-2(2m-1)y+4m2-3=0 (1) '= (2m-1)2-4m2+3=-4(m-1) Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt tưc (1) thoả mãn: 2.2. Phương trình bậc bốn đối xứng: a. Dạng tổng quát: Phương trình bậc bốn đối xứng là phương trình có dạng: (a b. Cách giải: Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương trình cho rồi đặt : y= () c. Ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phương trình: x4-7x3+8x2-7x+1=0 (*) Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (*). Chia cả hai vế của phương trình (*) cho x2 ta có: Đặt x+=y ( Ta có phương trình: y2-2-7y+8=0 y2-7y+6=0 Có ( loại) Với y=-6 ta có: =-6x2+6x+1=0 Có x=-3+ Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm là: * Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x5+5x-13x2+5x+2=0 (1) Ta thấy x=-1 là nghiệm của phương trình (1). Phương trình(1) tương đương với phương trình sau: (x-1)(2x4+3x2-16x2+3x+2)=0 Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình(3) cho x2 ta có: 2x2+3x-16+ 2(x2+)+3()-16=0 Đặt y= y2-2=x2+ ( Ta có: 2(y2-2)+3y-16=0 Với y= ta có: 2x2-5x+2=0 x x Với yta có: x d. Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình: x4+mx3+3mx2+mx+1=0 (1) a. Xác định m để phương trình (1) có nghiệm. b. Giải phương trình. 2. Giải phương trình : x4+2x3+4x2+2x+1=0 Hướng dẫn: 1. a) x=0 không là nghiệm của (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x2 ta được: x2+mx+3m+ Đặt y= () Phương trình (1) trở thành dạng: y2+my+3m-2=0 (2) ( Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm thoả mãn điều kiện . Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phương trình (2) vô nghiệm + Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc (-2;2) + Phương trình (2) vô nghiệm: + Phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc (-2;2) Tức Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi Do đó phương trình (1) có nghiệm khi: hoặc 2.3. Phương trình bậc bốn phản đối xứng. a. Dạng tổng quát: Phương trình co dạng: ax+ bx+ cx- bx+ a = 0 (a 0) gọi là phương trình bậc bốn phản đối xứng. b. Cách giải: Vì x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho xrồi đặt y=x- c.Ví dụ: * Ví dụ1: Giải phương trình: x+ x+ x+ x+1=0 (1) Vì x=0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả hai vế của (1) cho x ta có: x+x+1-+=0 (x+) + (x-)=0 Đặt y=x- y+2=x+ Thay vào ta có: y+2+y+1=0 (2) y+y+3=0 =1- 12 < 0 Phương trình (2) vô nghiệm Phương trình (1) vô nghiệm * Ví dụ 2: Cho phương trình: x- ax-(2a+1)x+ax+ 1 = 0 (1) Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Giải Vì x=0 không phảI là nghiệm của (1) nên chia 2 vế của (1) cho x 0 ta có: x- ax-(2a+1)+ += 0 (x+)-a(x-)-(2a+1)=0 Đặt y=x-(*) x+= y+2 Ta được phương trình: y+2-ay-(2a+1)=0 y-ay-2a+1=0 Ta thấy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm với y. Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép: =0 a+8a-4=0 ’ = 16+4=20 =2 a1 =-4-2 a2 =-4+2 Vậy với a=- 4- 2 hoặc a=-4+2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. d) Bài tập áp dụng : Giải phương trình: x- 3x- 6x+ 3x - 1=0 x- 4x+ 2x+ 2x - 1=0 6x- 35x+ 62x+ 35x + 6=0 Hướng dẫn giải: 2) x- 4x+ 2x+ 2x - 1=0 (1) Ta thấy x=1 là nghi ệm của (1) (1) (x - 1)(x + x - 3x - x + 1) = 0 (2) x-1=0x=1 (3) Vì x=0 không là nghiệm của (3) Chia hai vế của (3) cho x 0 ta có: x+x-3-=0 Đặt y= x- y+2=x+ Ta được phương trình: y+2+y-3=0 + y - 1 = 0 = 4 + 1 =5 y1 = y2 = Với y = x - = (-1 + )x =2x - 2 2x + ( - 1) x – 2 = 0 = 6 - 2 + 16 = 22 - 2 x1 = x2 = Với y = x- = - ( 1 + ) x = 2x - 2 2x+ ( 1 + ) x – 2 = 0 = 6 + 2 + 16 = 22 + 2 x3 = x4 = Vậy phương trình (1) có 5 nghiệm : 1;;;; 2.4. Một số dạng phương trình khác . Ngoài các dạng phương trình đã nêu ở trên , trong một số kì thi tốt nghiệp Vào trung học phổ thông học sinh còn gặp một số dạng phương trình sau : 2.4.1. Phương trình dạng : ax + bx + c = 0 (a0) Cách giải : Đặt x= y sau đó đưa về phương trình bậc hai đối với biến y : ay + by + c = 0 Ví dụ minh hoạ : ví dụ 1 : Giải phương trình : x - 3x + 2 = 0 Đặt x = y y1 = 1 y2 = 2 Thay trở lại ta có : y1 = 1 x = 1 x = 1 Y2 = 2 x = 2 x = Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 ; x = * Ví dụ 2: Cho phương trình: (1) Tìm m để phương (1) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó? Giải Đặt Phương trình (1) (2) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) phải có nghiệm kép hay Vậy với m=5 hoặc m=-3 thì phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm + Với Thay giá trị của y vào (*) ta có + Với Thay giá trị của y vào (*) ta có Kết luận: Với m= 5 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất Với m=-3 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất Bài tập áp dụng: Giải phương trình: 2.4.2: Phương trình dạng: a) Cách giải: Đặt Ta có: Khi đó phương trình (1) trở thành: Đây là phương trình trùng phương mà ta đã biết cách giải. b) Ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Đặt y=x+7 khi đó phương trình (1) trở thành: Đặt t=y2 với t 0 Ta có phương trình: (loại) Với t =1 ta có: y2=1 => y=1 hoặc y=-1 Nếu t =1 => x + 7=1 => x = 6 Nếu t =-1 => x + 7=-1 => x = -8 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x=- 6; x=- 8 * Ví dụ 2: Cho phương trình sau: (1) Tìm điều kiện của m và n để phương trình có nghiệm Giải phương trình với m=, n=2 Giải: a. Phương trình (1) (1) Đặt y = x + m + 1 Phương trình trở thành: Đặt t = y2 0 ta được: Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) phải có ít nhất 1 nghiệm không âm. Ta thấy: Vậy muốn phương trình (3) có một nghiệm không âm thì: Vậy với thì phương trình (1) có nghiệm b. Khi m = 3, n = 2 phương trình (1) trở thành: Đặt y = x + 4 => Phương trình (1) Đặt ta được: (Loại) Với t = 0 => y = 0 => x =- 4 Vậy phương trình có nghiệm x=- 4 c) Bài tập áp dụng: 2.4.3. Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m Trong đó: a+d=b+c a) Cách giải: Nhóm [(x+a)(x+d)] và [(x+b)(x+c)] rồi khai triển các tích đó, ta đưa về dạng: [x2 + (a + d)x + ad] [x2 + (b + c)x + bc] = m Do a+d=b+c => đặt x2 + (a + d)x + k = t (Trong đó k có thể là ad hoặc bc) Ta sẽ đưa phương trình về dạng: At2 + Bt + c = 0 (A = 1) Giải phương trình trên ta tìm được t. Sau đó thay t vào giải tiếp phương trình: x2 + (a + d)x + k = t Ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu b) Ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 (1) Ta thấy 1+7=3+5 Ta biến đổi phương trình (1) như sau: [(x + 1)(x + 7)] [(x + 3)(x + 5)] = 9 (x2 + 8x +7)(x2 + 8x + 15) = 9 (2) Đặt y = x2 + 8x + 7 (2) +) Với y = 1 ta có: => +) Với y = - 9 ta có x2 + 8x + 7 = - 9 => x2 + 8x + 16 = 0 (x + 4)2 = 0 => x3 = - 4 Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm: * Ví dụ 2: Cho phương trình: (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = m (*) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm. Giải phương trình với m = - 6 Giải: Phương trình (*) (x – 1)(x + 3)(x – 2)(x + 4) = m (x2 + 2x – 3)(x2 + 2x – 8) = m Đặt x2 + 2x – 3 = y (1) ta có: y(y - 5) = m y2 - 5y – m = 0 (2) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm: Ta xét bài toán phủ định tìm m để phương trình (*) vô nghiệm: => Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm nhưng phương trình (1) vô nghiệm. + Phương trình (2) vô nghiệm khi: < 0 25 + 4m < 0 m < + Phương trình (2) có nghiệm, phương trình (1) vô nghiệm: (Vô lí) Vậy phương trình (*) vô nghiệm khi m < => Phương trình (*) có nghiệm khi b. Thay m = - 6 vào (*) ta có: (x – 1)(x + 3)(x – 2)(x + 4) = - 6 Khi đó (2) y2 – 5y – 6 = 0 + Thay y = - 1 vào (1) ta có: x2 + 2x – 3 = -1 x2 + 2x – 2 = 0 => + Thay y = 6 vào (1) ta có: x2 + 2x – 3 = 6 x2 + 2x - 9 = 0 Vậy với m = - 6 phương trình (*) có 4 nghiệm: c) Bài tập áp dụng: 1. Giải phương trình: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x + 2)(x – 3)(x + 1)(x + 6) = - 96 c) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 2. Giải phương trình: (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m (1) a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm b. Giải phương trình khi m = 40 Hướng dẫn giải: Nhóm (x + 1)(x + 4) và (x + 2)(x + 3) Nhóm (x + 2)(x + 1) và (x – 3)(x + 6) Nhóm (x – 1)(x + 5) và (x – 3)(x + 7) 2.a) (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m (1) [(x + 5)(x + 9)][(x + 6)(x + 8)] = m (x2 + 14x + 45)(x2 + 14x + 48) = m Đặt x2 + 14x + 45 = y (*) Ta có : y(y + 3) = m => y2 + 3y – m = 0 (2) Để phương trình (1) có hai nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt và phương trình (*) phải có nghiệm kép hoặc phương trình (2) có nghiệm kép và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. 2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phương trình: y2 + 3y – 40 = 0 Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x.