Sáng kiến kinh nghiệm quy đồng mẫu số

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI A/ Lý do: Quy đồng mẫu là một mảng nhỏ so với các nội dung Toán cấp 2 THCS, tuy nhiên nó có giá trị xuyên suốt từ lớp đầu cấp đến cuối cấp. Qua thực dạy nhiều năm với môn học Toán 7, tôi thấy rằng có không ít học sinh còn lúng túng khi đối diện với các bài toán cần phải quy đồng mẫu số, mặc dù dạng toán này không mấy xa lạ với các em (ở chương trình lớp 5 bậc Tiểu học các em đã được làm quen). Chẳng hạn, với hai bài toán sau: Bài toán 1: Tìm x biết: Bài toán 2: Tính: Một học sinh giỏi Toán dễ dàng tìm được mẫu số chung cũng như tìm được thừa số phụ để quy đồng mẫu nhưng không ít học sinh sẽ làm theo cách nhân chéo tử và mẫu theo kiểu tiểu học, thậm chí có em còn không biết phải làm thế nào để tính toán. Để giúp các em vượt qua những vướng mắc như trên, trong đề tài này, tôi xin chọn trình bày vấn đề “Rèn luyện kĩ năng quy đồng mẫu cho học sinh lớp 7”. Đây là một chủ điểm rất nhỏ trong môn học Toán 7, với mục đích đóng góp chút ít công sức cho thế hệ tương lai, cũng như mong muốn nhận được sự đồng tình đóng góp của các bậc thầy cô nhằm làm phong phú thêm kho tư liệu cho môn học này. B/ Thuận lợi: Được sự tin tưởng, hỗ trợ của Ban Giám Hiệu, Công đoàn trường và sự động viên, giúp đỡ của Tổ chuyên môn, của các thầy cô giảng dạy nhiều năm giàu kinh nghiệm cộng với nhu cầu học hỏi, trau giồi nghề nghiệp của bản thân. Ngoài ra, sự ý thức về những thế hệ học sinh vững vàng trong tương lai cũng là một thuận lợi. C/ Khó khăn: Do những năm gần đây, học sinh từ tiểu học được xét tuyển vào THCS không qua thi tuyển nên chất lượng học sinh không cao. Hơn nữa, chương trình Toán lớp 7 được đánh giá khá nặng trong chương trình Toán THCS, các em phải làm quen với khá nhiều kiến thức mới, nên việc dạy cũng vì đó mà gặp nhiều trở ngại. Ngoài ra, không ít học sinh có tinh thần và thái độ học tập chưa tự giác…Đòi hỏi giáo viên cần có sự gần gũi, bám sát trình độ của mỗi học sinh, việc đó là một khó khăn rất lớn. CHUẨN BỊ 1/ Đặc điểm lớp học thực hiện đề tài: Lớp 7A7 – năm học 2010 – 2011 Sĩ số : 43 Giáo viên chủ nhiệm: Nguyễn Hoàng Phước Phân loại bộ môn: Giỏi: 5 11,6% Khá: 12 27,9% TB: 15 34,9% Yếu: 9 20,9% Kém:2 4,7% 2/ Những tài liệu liên quan đến đề tài: Sách giáo viên Toán 6 tập 2 – NXB GD (trích dẫn) Sách giáo viên Toán 7 tập 1 – NXB GD (trích dẫn) Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7 tập 1 (trích dẫn) BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH 1/ Cơ sở lí luận của đề tài: Quy đồng mẫu là một nội dung nhỏ trong chương trình Toán cấp II THCS nhưng lại có giá trị xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp (cụ thể là từ học kì 2 lớp 6 chương phân số đến học kì 1 lớp 7 chương số hữu tỉ rồi mở rộng ra cho phần phân thức ở lớp 8 và ở đây được áp dụng đến cả lớp 9). Mở đầu từ việc học sinh quy đồng mẫu để so sánh hai phân số, sau đó là để cộng trừ các phân số đến tính toán trên tập số hữu tỉ và sau đó là nền tảng của việc tính toán các phân thức. Trong chương trình Toán lớp 6, nội dung quy đồng mẫu được định nghĩa như sau: Quy đồng mẫu số các phân số là biến đổi các phân số đã cho thành các phân số tương ứng bằng chúng nhưng có cùng một mẫu. VD1: Điền vào chỗ trống rồi so sánh hai kết quả: VD2: Quy đồng mẫu các phân số: Nhận xét: Ở VD1 cho ta thấy cơ sở của việc quy đồng mẫu số là tính chất cơ bản của phân số tức là khi nhân hay chia cả tử và mẫu của phân số cho cùng một số thì giá trị phân số không thay đổi. Mặt khác, khi quy đồng mẫu thì mẫu chung phải là bội chung của các mẫu. Ở VD2 cho ta thấy khi lấy mẫu chung ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của các mẫu. Đây cũng là điểm mới so với cách quy đồng mẫu ở tiểu học. Như vậy, khi thực hiện quy đồng mẫu học sinh cần phải nắm vững những điểm sau: A. Về mặt lí thuyết: Học sinh cần nắm vững các bước quy đồng mẫu số: 1/ Tìm mẫu chung: thường là bội chung nhỏ nhất của các mẫu. 2/ Tìm thừa số phụ: lấy mẫu chung vừa tìm được chia cho các mẫu riêng. 3/ Quy đồng: nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. Đối với bước tìm mẫu chung: Học sinh cần nắm vững ba bước tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Học sinh cần nắm vững BCNN của hai số nguyên tố cùng nhau bằng tích của chúng, trong các số đã cho nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của chúng chính là số lớn nhất đó. Đối với bước phân tích các số ra thừa số nguyên tố: Học sinh cần nắm vững khái niệm số nguyên tố, hợp số. Phân tích được một số ra thừa số nguyên tố bằng cách chia số đó cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn. Ngoài ra, với tình hình lớp yếu kém có thể cho học sinh phân tích và học thuộc các dạng phân tích của các hợp số nhỏ hơn 100. Cụ thể như dưới đây: 4= 22 6=2.3 8=23 9=32 10=2.5 12=22.3 14=2.7 15=3.5 16=24 18=2.32 20=22.5 21=3.7 22=2.11 24=3.23 25=52 26=2.13 27=33 28=22.7 30=2.3.5 32=25 33=3.11 34=2.17 35=5.7 36=22.32 38=2.19 39=3.13 40=23.5 42=2.3.7 44=22..11 45=32.5 46=2.23 48=24.3 49=72 50=2.52 51=3.17 52=22..13 54=2.33 55=5.11 56=23.7 57=3.19 58=2.29 60=22.3.5 62=2.31 63=32.7 64=26 65=5.13 66=2.3.11 68=22.17 69=3.23 70=2.5.7 72=23.32 74=2.37 75=3.52 76=22.19 77=7.11 78=2.3.13 80=24.5 81=34 82=2.41 84=22.3.7 85=5.17 86=2.43 87=3.29 88=23.11 90=2.32.5 91=7.13 92=22.23 93=3.31 94=2.47 95=5.19 96=25.3 98=2.72 99=32.11 Mặt khác, để quy đồng mẫu học sinh cũng cần biết rút gọn phân số như là một kiến thức hổ trợ đắc lực. B. Về bài tập: Khi thực hiện quy đồng mẫu để khỏi bị nhầm lẫn học sinh cần phải bình tĩnh để nhận xét đề bài, mục đích là để xét xem các phân số đã cho đã tối giản hay chưa? Có mẫu nào là mẫu âm không? Sau đó xét sự liên hệ giữa các mẫu, có mẫu nào là bội của các mẫu còn lại hay không? Bởi vì đề bài toán cần quy đồng mẫu cũng rất đa dạng và phong phú như: so sánh các phân số, cộng trừ phân số, tính giá trị biểu thức, tìm x mà các hạng tử là phân số..vv.. Lúc này khó khăn mà các em thường gặp là phải tính toán các bước thật chính xác và hợp lí : có bước cần thực hiện ngoài nháp, có bước cần ghi vào bài làm, bước nào có thể bỏ qua, bước nào không thể bỏ qua.. Cho nên giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh cách thực hiện hợp lí nhất, nhanh nhất nhưng vẫn bảo đảm chính xác. Đề tài này với nội dụng cung cấp cho học sinh các kĩ năng quy đồng mẫu và áp dụng quy đồng mẫu trong việc giải các bài tập liên quan. Giúp các em quy đồng mẫu các phân số một cách nhanh chóng thay vì trước đó các em sẽ lúng túng hay khó khăn khi gặp nó. 2/ Các bước thực hiện: Tìm hiểu đề bài: Trước tiên, giáo viên cần hướng dẫn học sinh đọc kĩ bài toán xét xem đề bài yêu cầu làm gì? Các mẫu của các phân số có gì đặc biệt không? VD: Bài 50c trang 10 Sách bài tập toán 6 - Khối lượng nào lớn hơn: kilôgam hay kilôgam? học sinh dễ dàng hiểu : đề bài yêu cầu so sánh hai phân số có cùng đơn vị. Bài 57 trang 11 Sách bài tập toán 6 - Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông: học sinh phải hiểu : để điền được số nguyên vào ô vuông thì ta cần phải đưa các phân số về cùng một mẫu. Sau đó dùng tính chất cơ bản của phân số để tìm số nguyên ở ô vuông. Bài 8a trang 10 Sách giáo khoa toán 7 -Tính : học sinh phải hiểu: cần quy đồng mẫu các phân số rồi thực hiện phép cộng đối với các tử. Bài 9a trang 10 Sách giáo khoa toán 7 -Tìm x, biết: học sinh phải hiểu: để tìm x ta cần chuyển vế hạng tử sau đó thực hiện quy đồng mẫu rồi thực hiện phép tính. Sau khi đọc kĩ đề bài học sinh cần phải phân tích các mẫu trước khi quy đồng mẫu. VD1: Bài 50c trang 10 Sách bài tập toán 6 - Khối lượng nào lớn hơn: kilôgam hay kilôgam? Phân tích: Đối với bài toán này do , là hai phân số đã tối giản và 7; 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên mẫu chung chính là tích của hai số đó. VD2: Bài 57 trang 11 Sách bài tập toán 6 - Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông: Phân tích: Đề bài chứa hai mẫu là 15 và 40. Ta cần thực hiện các bước quy đồng ngoài nháp, sau đó tìm số nguyên ở tử rồi ghi kết quả tìm được vào ô trống VD3: Bài 8a trang 10 Sách giáo khoa toán 7 -Tính : Phân tích: Đây là bài toán cộng các số hữu tỉ trong đó có hai số hữu tỉ âm nên có thể đưa bài toán về dạng như sau , sau đó quy đồng mẫu các phân số rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung. VD4: Bài 9a trang 10 Sách giáo khoa toán 7 -Tìm x, biết: Phân tích: Để giải bài toán tìm x như trên ta có thể thực hiện chuyển vế hạng tử để bài toán có dạng , sau đó quy đồng mẫu để tìm x. Nói thêm về thứ tự thực hiện các bước quy đồng mẫu: Thường thì khi quy đồng mẫu các phân số ta thực hiện ba bước: Bước 1: Tìm mẫu số chung (thường là BCNN của các mẫu). Bước 2: Tìm thừa số phụ bằng cách chia mẫu số chung vừa tìm được cho từng mẫu riêng. Bước 3: Quy đồng mẫu các phân số bằng cách nhân tử và mẫu của các phân số với thừa số phụ tương ứng. Tuy nhiên, khi thực hiện bước 2 tìm thừa số phụ ta có thể thay việc “chia mẫu chung cho từng mẫu riêng” bằng việc “giản ước dạng phân tích (ra thừa số nguyên tố) của mẫu chung cho dạng phân tích của từng mẫu riêng” để có thừa số phụ một cách nhanh chóng. Ở đây tạm gọi là cách tính nhẩm thừa số phụ. Cụ thể, ta xét ví dụ sau để thấy rõ: VD1: Quy đồng mẫu các phân số: (Ở đây xin trình bày các bước quy đồng mẫu một cách đầy đủ và các bước quy đồng mẫu có giản ước ở hai khung để tiện theo dõi. Ngoài ra, có phần ngoài nháp là các bước thực hiện trên nháp và phần bài làm chứa các nội dung học sinh ghi vào bài làm) Các bước thực hiện theo trình tự Các bước thực hiện có giản ước Phần ngoài nháp Bước 1: Tìm mẫu số chung (MC) 320 = 26.5 80 = 24. 5 MC: 26.5 = 320 Bước 2: Tìm thừa số phụ (TSP) TSP I: 320 : 320 = 1 TSP II: 320: 80 = 4 Phần bài làm Bước 3: Quy đồng mẫu Phần ngoài nháp Bước 1: Tìm mẫu số chung (MC) 320 = 26.5 80 = 24. 5 MC: 26.5 = 320 Bước 2: Tìm thừa số phụ (TSP) TSP I: 26.5 : 26.5 = 1 TSP II: 26.5 : 24.5 = 22 = 4 Phần bài làm Bước 3: Quy đồng mẫu Ta thấy rằng việc đem chia 320 cho 80 cũng đồng nghĩa với chia 26.5 cho 24. 5, nhưng với 320: 80 học sinh phải thực hiện sắp tính để chia còn (26.5) : (24. 5) học sinh có thể quan sát các thừa số nguyên tố để suy ra kết quả và như vậy có thể tiết kiệm được nhiều thời gian cho các em. VD2: Quy đồng mẫu các phân số: Các bước thực hiện theo trình tự Các bước thực hiện có giản ước Phần ngoài nháp Bước 1: Tìm mẫu số chung (MC) 14 = 2.7 20 = 22 .5 70 = 2 .5.7 MC: 22.5.7 = 140 Bước 2: Tìm thừa số phụ (TSP) TSP I: 140 : 14 = 10 TSP II: 140 : 20 = 7 TSP III: 140 : 70 = 2 Phần bài làm Bước 3: Quy đồng mẫu Phần ngoài nháp Bước 1: Tìm mẫu số chung (MC) 14 = 2.7 20 = 22 .5 70 = 2 .5.7 MC: 22.5.7 = 140 Bước 2: Tìm thừa số phụ (TSP) TSP I: 22.5.7 : 2.7 = 10 TSP II: 22.5.7 : 22.5 = 7 TSP III: 22.5.7 : 2 .5.7 = 2 Phần bài làm Bước 3: Quy đồng mẫu Ở đây ta dùng: (22.5.7) : ( 2.7) thay cho phép chia 140 : 14 (22.5.7) : (22.5) thay cho phép chia 140 : 20 (22.5.7):(2 .5.7) thay cho phép chia 140 : 70 Ta thấy đối với việc quy đồng mẫu càng nhiều phân số thì việc thực hiện tìm thừa số phụ bằng cách giản ước càng tiết kiệm được thời gian. Như vậy, sau khi hướng dẫn học sinh giản ước để tìm thừa số phụ dần dần học sinh có thể tính nhẩm được thừa số phụ.Lúc này các em sẽ tiết kiệm được rất nhiều thời gian đòng thời kích thích các em ham thích giải các bài toán cần phải quy đồng mẫu. Giải bài toán cụ thể: Dạng toán so sánh phân số: VD: (bài 3a/8 SGK Toán 7) So sánh các số hữu tỉ: và Phân tích: Đây là bài toán so sánh hai số hữu tỉ x và y với x là phân số có mẫu âm, ta cần sử dụng tính chất cơ bản của phân số để đưa x về phân số có mẫu dương rồi thực hiện quy đồng mẫu và so sánh. Mặt khác, hai số 7 và 11 là hai số nguyên tố cùng nhau nên có mẫu chung bằng tích của hai số đó. Quy đồng MC: 7.11 Bài làm Ta có: Do nên x < y Dạng thực hiện phép tính : VD1:(bài 6c/10 SGK Toán 7) Tính: Phân tích: Đây là phép tính cộng hai số hữu tỉ trong đó 0,75 là số hữu tỉ viết ở dạng số thập phân, ta cần đưa nó về một phân số tối giản rồi thực hiện quy đồng mẫu rồi thực hiện phép tính. Hơn nữa ta thấy: có mẫu là 4 có mẫu là 12. Do 12 là bội của 4 nên mẫu chung của hai phân số là 12. Quy đồng MC: 12 Bài làm VD2:(bài 67a/35 SGK Toán 6) Tính: Phân tích: Ở bài toán này cả 3 phân số đều là phân số tối giản nên ta chỉ cần đưa tất cả về phép cộng các phân số có mẫu dương là có thể quy đồng mẫu để thực hiện phép cộng Quy đồng 9 = 32 12 = 22 .3 4 = 22 MC: 22. 32 = 4.9 = 36 TSP I: 22. 32 : 32 = 4 TSP II: 22. 32 : 22 .3 = 3 TSP III: 22. 32 : 22 = 9 Bài làm MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Quy đồng mẫu các phân số: Phân tích: Ta thấy các phân số trên vẫn có phân số chưa tối giản nên ta cần rút gọn chúng rồi mới quy đồng mẫu. Ta có các mẫu là : 21; 28; 12 21= 3.7 28= 22 .7 12= 22 .3 MC: 22 .3 .7 = 4.3.7 = 84 TSP I: 22 .3 .7 : 3.7 = 4 TSP II: 22 .3 .7 : 22 .7 = 3 TSP III: 22 .3 .7 : 22 .3 = 7 Giải Quy đồng mẫu các phân số cũng chính là quy đồng mẫu các phân số . Ta có: Bài toán 2: Tìm x biết: Phân tích: Ta thấy x = và hai số 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên mẫu chung bằng tích của hai số đó và bằng 35. Giải Bài toán 3: Tính: Phân tích: Thực hiện bỏ dấu ngoặc. Ta có: 16 = 24 12 = 22.3 8 = 23 MC: 24 .3 = 16.3 = 48 Học sinh dễ dàng tính nhẩm được: TSP I: 24 .3 : 24 = 3 TSP II: 24 .3 : 22 .3 = 4 TSP III: 24 .3 : 23 = 6 Giải = = KẾT QUẢ a/ Kết quả bước đầu: Khi thực hiện rèn luyện học sinh kĩ năng quy đồng mẫu các phân số tôi thấy rõ học sinh vô cùng hứng thú với cách nhẩm thừa số phụ, đa số các em đều có thể quen dần với cách này khi thực hiện các bước quy đồng mẫu. Bên cạnh đó sự phân vân lưỡng lự với các bài toán này đã không còn nữa, bởi vì các em dễ dàng làm được bài tập có liên quan đến quy đồng mẫu số. Tránh được sự nhầm lẫn khi thực hiện phép chia bị sai. Chỉ một mẹo nhỏ này thôi cũng giúp ích cho các em rất nhiều trong việc lấy lại hứng thú học tập của các em. Qua đó, giáo viên không còn thấy hình ảnh các em lúng túng và thực hiện bài toán một cách nặng nề. b/ Kết quả cuối học kì I của lớp 7A7: Loại Đầu năm Cuối HKI Giỏi: 11,6% 11,6% Khá: 27,9% 27,9% TB: 34,9% 44,2% Yếu: 20,9% 13,9% Kém: 4,7% 2,3% NHỮNG ƯU ĐIỂM CỦA ĐỀ TÀI Dựa trên các tính chất cơ bản của phân số cộng với các bước quy đồng mẫu các phân số mà hình thành nên đề tài. Đề tài này mang lại cho học sinh phương pháp rèn luyện kỹ năng thực hiện quy đồng mẫu một cách hữu hiệu, tiết kiệm được thời gian làm bài của học sinh, cũng như tránh được sự sai sót khi làm bài. Tuy nhiên, để áp dụng hiệu quả đề tài này đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh cặn kẽ các kiến thức về quy đồng mẫu, về tính chất cơ bản của phân số, biến đổi qua lại giữa các cách biểu diễn số hữu tỉ, cũng như các bước phân tích một số ra thừa số nguyên tố. Về phía học sinh, việc thực hiện nhanh hay chậm tùy vào khả năng phân tích một số ra thừa số nguyên tố của các em, để thực hiện tốt việc này đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức toàn chương I chương trình toán 6 cùng với kỹ năng thực hiện phép tính của các em. Đề tài này áp dung được cho mọi đối tượng học sinh: Đối với học sinh khá giỏi: Nếu không áp dụng đề tài này, các em vẫn tự tin và thực hiện rất tốt các bài toán quy đồng mẫu bởi vì các em có kỹ năng làm tính chia từ cấp I. Nếu áp dụng theo đề tài này thì các em lại càng tiết kiệm được thời gian làm bài, tránh nhầm lẫn và sẽ kích thích các em tìm đến những bài toán khó hơn giúp cho kiến thức các em ngày càng sâu rộng. Đối với học sinh trung bình yếu: Đề tài này là phương thuốc hữu hiệu giúp cho các em đối mặt với sự lưỡng lự khi gặp dạng toán cần quy đồng mẫu số, bởi vì các em tìm được thừa số phụ một cách chính xác, làm cho các em thích thú khi thực hiện cộng trừ phân số. Từ đó các em sẽ lấy lại sự tự tin của chính bản thân mình, thúc đẩy tinh thần tự giác của các em trong học tập. MỤC LỤC I. Lý do chọn đề tài 3 a/ Lý do 3 b/ Thuận lợi 3 c/ Khó khăn 4 II. Chuẩn bị 5 a/ Đặc điểm lớp thực hiện đề tài 5 b/ Các bước cụ thể 5 III. Các biện pháp tiến hành 6 1/ Cơ sở lí luận của đề tài 6 2/ Các bước thực hiện 9 IV. Các bài toán minh họa 18 V. Kết quả 21 a/ Kết quả bước đầu 21 b/ Kết quả cuối học kì 21 VI. Những ưu điểm của đề tài 22 VII. Mục lục 23 VIII. Nhận xét của hội đồng xét duyệt 24 Nhận xét của hội đồng xét duyệt Nhận xét của hội đồng xét duyệt