Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn luyện tư duy cho học sinh qua bài toán: "Tìm số hạng tổng quát của dãy số "

I- Đặt vấn đề 1) Cơ sở lý luận: Đất nước ta đang trên đường đổi mới và phát triển, nền kinh tế tri thức đòi hỏi cần phải có những con người toàn diện, có đủ Đức - Trí - Thể - Mỹ. Nhu cầu đó đặt ra cho nền giáo dục nước ta nhiệm vụ mới, trước hết cần phải đổi mới nội dung chương trình sách giáo khoa sao cho phù hợp với thực tiễn, phải đưa ra được phương pháp dạy học thích hợp, có hiệu quả. Phương pháp dạy học mới phải làm thế nào để giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động tích cực đồng thời biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tiễn một cách linh hoạt, sáng tạo, phương pháp đó phải lấy trò làm trung tâm, thầy là người hướng dẫn học sinh đi tìm tri thức - Đó là phương pháp dạy học tích cực, thầy thiết kế, trò thi công. 2) Cơ sở thực tiễn: Thực tế trong những năm qua, nhìn chung chất lượng giáo dục của nước ta nói chung và trường THPT Đô Lương 2 nói riêng còn thấp. Đại bộ phận học sinh vẫn tiếp thu các kiến thức một cách thụ động và vận dụng các kiến thức đã học vào giải toán một cách máy móc, thiếu sáng tạo. Hầu hết các em chưa có cách học tập hiệu qủa, việc học còn mang tính áp đặt, bắt buộc, các em chưa thấy được nhu cầu cần phải học – chưa ý thức được học để làm gì; Số ít còn lại đã thấy được nhu cầu cần phải trang bị cho mình vốn tri thức để làm hành trang vào đời, tuy nhiên các em vẫn chưa thực sự chủ động, tích cực, sáng tạo trong việc chiếm lĩnh tri thức. Trước thực trạng đó, nghành giáo dục nước ta đã không ngừng sửa đổi, chỉnh lý sách giáo khoa, đổi mới nội dung và phương pháp dạy học cho phù hợp phù hợp, trang bị các thiết bị, phương tiện dạy học phong phú, hiện đại . Cá nhân tôi, qua sáu năm giảng dạy tôi đã cố gắng sử dụng các phương pháp dạy học thích hợp để phần nào khắc phục các nhược điểm trên của học sinh; Qua thực tế cho thấy những kiến thức tôi đưa ra đều đã được các em tiếp thu một cách chủ động tích cực, hầu hết các em đã biết linh hoạt sử dụng các kiến thức đó vào giải toán. 3- Thực trạng B ài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi công thức truy hồi là một bài toán khó đối với học sinh THPT nói chung và học sinh khối 11 nói riêng. Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo khoa đề cập đến, tuy nhiên có rất ít cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải mà chỉ đưa ra một công thức, một quy trình giải một cách áp đặt, “thiếu tự nhiên”. Có thể vì trong phạm vi cuốn sách đó các tác giả không tiện đề cập đến hoặc việc chứng minh các công thức đó không phù hợp với kiến thức học sinh phổ thông. Do không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại sao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì không có đủ cơ sơ lý thuyết nên các em rất khó nhớ công thức, không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quan trọng đối với người làm toán. Việc nắm vững bản chất của dãy số và các kiến thức về dãy số sẽ giúp học sinh phát triển tư duy hàm, tạo nền cho việc học tốt môn giải tích phổ thông. Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới và đẹp về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về dãy số tôi đã tích luỹ, tìm tòi để đưa ra một hệ thống các bài toán cùng với quy trình giải các bài toán đó. Xuất phát từ một bài toán đơn giản, bằng các hoạt động toán toán học, giáo viên đã giúp học sinh khái quát hóa các bài toán và đưa ra phương pháp giải các bài toán mới, qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học sinh. II- Giải quyết vấn đề A- Kiến thức áp dụng 1- Dãy số: 1.1) Định nghĩa: Là một hàm số xác định trên M = - dãy số hữu hạn, (hoặc xác định trên N* - dãy số vô hạn) Kí hiệu: (un) hoặc nếu không sợ nhầm lẫn ta kí hiệu dãy số u là un Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1, u2, ..., un, ... u1: gọi là số hạng đầu hay số hạng thứ nhất u2: gọi là số hạng thứ hai ... un: gọi là số hạng thứ n hay “số hạng tổng quát” của dãy số u 1.2) Cách cho dãy số: Người ta thường cho dãy số dưới các dạng sau: - Cho số hạng tổng quát un của dãy số bằng công thức. - Cho bằng phương pháp truy hồi - Cho bằng mệnh đề mô tả các số hạng của dãy 2- Cấp số cộng 2.1) Định nghĩa: Là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn: un+1 = un + d () d là số thực không đổi gọi là “công sai” 2.2) Tính chất: - Số hạng tổng quát của cấp số cộng: un = u1 + (n-1)d - Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: S=u1+ u2+ u3+...+ un = = 3- Cấp số nhân 3.1) Định nghĩa: Là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un .q () q là số không đổi gọi là “công bội” 3.2) Tính chất: - Số hạng tổng quát: un = u1 .qn-1 - Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân S=u1+ u2+ u3+...+ un = , (q1) (Nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1) B- Nội dung  Chúng ta bắt đầu từ bài toán đơn giản được trình bày ở nhiều sách bài tập như sau: Bài toán 1: Cho dãy số (un) xác định như sau : Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Nhận xét: Việc giải quyết bài toán trên không có gì khó khăn. HS có thể giải theo 2 cách như sau : Cách 1: (Tạm gọi là phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có : u1 = 1 = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2 u2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2 ... Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta dễ dàng chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Cách 2:(Tạm gọi là phương pháp đơn giản từng số hạng) Từ giả thiết ta có : un+1 – un = 2 nN* Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, un = 1+(n-1).2 công sai d=2 suy ra : un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 Vậy : Việc định hướng để học sinh tìm ra các cách giải trên là không khó. Tuy nhiên từ cách giải trên giáo viên có thể đặt ra cho học sinh một vấn đề mới : "Liệu có thể thể đề xuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó" (Thực chất, các bài toán tổng quát sẽ nêu sau đây đều được giải quyết triệt để nhờ lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh THPT (trừ các lớp chuyên) thì các kiến thức đó là quá tầm. Hơn nữa, như ở trên đã nói: Trong phạm vi đề tài này tác giả không hy vọng tìm ra một kết quả mới về toán học mà chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thức phổ thông) Từ cách đặt vấn đề của GV, học sinh có thể đưa ra bài toán như sau : Bài toán 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định như sau : Bài toán này có khái quát hơn Bài toán 1 nhưng ta thấy nó chưa có gì “đặc sắc”, cách giải bài toán này không có gì mới và khác với việc giải bài toán trên Giáo viên có thể gợi ý để giúp học sinh phát triển bài toán theo hai hướng: Hướng 1: Ta thấy hệ số của un trong bài toán trên là 1. Nếu ta thay hệ số đó bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi. Hướng 2: Thay b bởi một biểu thức phụ thuộc n thì sao? Từ đó ta có bài toán mới: Bài toán 2 Cho dãy số (un) xác định như sau : Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? (Chú ý rằng: nếu k= 1 thì bài toán trên trở thành bài toán 1.1 đã xét) Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toán này đòi hỏi sự tư duy và sáng tạo mới của học sinh. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán mới này một số học sinh suy nghĩ và giải được theo cách 1 (phương pháp quy nạp) nhưng các em gặp khó khăn khi đoán tìm số hạng tổng quát un . Liệu có thể giải quyết bài toán này theo cách 2 ? Từ giả thiết bài toán ta có: un+1 - un = k(un – un-1) Đến đây nhiều học sinh có thể chưa nhìn nhận ra vấn đề, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt vn = (un+1 - un) thì ta có điều gì ?" - (vn) lập thành một cấp số nhân với công bội k, từ đó ta có cách giải quyết Bài toán 2 như sau : Từ giả thiết bài toán ta có: un+1 - un = k(un – un-1) Đặt vn = un+1 - un nN* lúc đó : vn+1 = k.vn , nN* suy ra dãy (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là k, v1 = (k-1)a + b Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân thì : vn = v1.kn-1 Mặt khác ta có : un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + + (u2 – u1) + u1 = vn-1 + vn-2 + vn-3 + + v1 + u1 = v1 + u1 (áp dụng công thức tính tổng n-1 số hạng đầu của cấp số nhân (vn), ở đây k 1) un = ((k-1)a + b) + a Vậy ta có: Hay: un =a.kn-1 + b Bài toán 3: (Được đề xuất theo hướng 2) Cho dãy số (un) xác định như sau: Trong đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? + Với bài toán mới này học sinh sẽ gặp khó khăn. Lúc này giáo viên cần có các hoạt động để giúp học sinh tư duy, tìm tòi cách giải. - Đặc biệt hóa Bài toán 3 với k =1, Hãy giải bài toán sau: Bài toán 3a: Cho dãy số (un) xác định như sau: Trong đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Với bài toán này học sinh dễ tìm ra hướng giải quyết như sau: un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + + (u2 – u1) + u1 = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) + a Trong đó f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) biết được Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định như sau: Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Giải: Ta có: un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + (un-2 – un-3) + + (u2 – u1) + u1 =(1/2)n-1 + (1/2)n-2 + ... + 1/2 + 1 = = 2 – 2(1/2)n Vậy: un = 2 – 2(1/2)n Trở lại với Bài toán 3, giáo viên đặt vấn đề: "Có thể giải như Bài toán 3a Giáo viên tiếp tục gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 – kun = f(n), từ đó hãy biểu diễn un tương tự như cách làm ở trên" Ta có: un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + +kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1 = f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + ... +kn-2f(1) + kn-1u1. (Tổng này tính được tùy theo k và f(n) của bài toán cho) Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định như sau: Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Giải: áp dụng kết quả trên với f(n) = n, k = 2 ta được un = (un - 2un-1 ) +2 (un-1 – 2un-2) +22 (un-2 – 2un-3) + +2n-2 (u2 – 2u1) +2n-1 u1 = (n-1) + 2.(n-2) + 22(n-3) + ... +2n-2(1) + 2n-1. 2 = n(20 + 21 + ...+ 2n-2) – (1.20 + 2.21 + 3.22+...+(n-1).2n-2) + 2n = 2n+1 – n – 1. Đáp số: . un= 2n+1 – n – 1. Đến đây giáo viên đặt vấn đề: - Liệu ta có thể phát triển bài toán trên ở mức độ tổng quát hơn và tìm ra cách giải bài toán mới đó? - ở bài toán trên nếu ta thay f(n) bởi một biểu thức chứa un-1 thì sao ? Cụ thể hơn, nếu hệ thức truy hồi ở bài toán 2 được cho bởi dạng : Thì việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này sẽ được giải quyết như thế nào? Ví dụ: Cho dãy số (un) được xác định như sau: Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó (Bài ra ở sách nâng cao ĐS> 11, NXBGD năm 1993 của Phan Huy Khải) Với bài này, Sách giáo khoa đã trình bày bài giải như sau: Trước hết ta xét phương trình: x2-px+q = 0 (*) . Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = p ; x1.x2 = q Đặt Sn = x1n + x22 dễ thấy : Sn+1 = p.Sn – q.Sn-1 áp dụng cho bài toán trên với p = 6 ; q = 2 ta có phương trình x2 - 6x + 2 = 0 Phương trình này có hai nghiệm là x1 = , x2 = Chú ý rằng: x10 + x20 = 2 ; x11 + x21 = 6 Vậy un = Sn = ()n + ()n Bài toán đã được giải quyết. Tuy nhiên khi tham khảo cách giải này học sinh sẽ thắc mắc: “Tại sao lại có phương trình (*) ?, Nếu (*) vô nghiệm thì sao?, ” .ở bài toán trên chúng ta thấy “rất may” là phương trình x2-px+q = 0 có nghiệm và hơn nữa: 2 = u1 = x10 + x20 Từ đó ta đặt ra câu hỏi: “Nếu ta thay 2 bởi một số thực bất kỳ thì bài toán trên có giải quyết được không?” Chẳng hạn bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci (Dãy số Fibonaci là dãy un được cho bởi công thức: Tổng quát hơn ta đề xuất bài toán sau : Bài toán 4: Cho dãy số (un) xác định như sau: Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó? (Rõ ràng đây là bài toán tổng quát của cả Bài toán 1, 2 và Bài toán 3. ) Bây giờ GV định hướng để HS tìm cách giải bài toán này. Giáo viên có thể định hướng cho học sinh giải quyết bài toán trên theo hướng giải Bài toán 3, muốn vậy ta cần tìm 2 số và sao cho: un+1 - un = (un - un-1) Do un+1 = pun – qun-1 nên ta có : (ta luôn có thể giả thiết rằng 0, vì nếu = 0 thì q = 0, bài toán trên trở thành Bài toán 2 đã xét) Đặt vn = un+1 - un ta có vn = .vn-1 do đó dãy số (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là và v1 = u2 – u1 = b – a suy ra vn = n-1v1 Hay un+1 - un = n-1(u2 – u1) (1) Cũng từ un+1 - un = (un - un-1) un+1 - un = (un - un-1) Nên tương tự trên ta cũng có un+1 - un = n-1(u2 – u1) (2) TH1: Nếu thì lấy (2) trừ (1) ta có ( - )un = n-1(u2 – u1) - n-1(u2 – u1) TH2: Nếu = (ứng với trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép) ta có: un = (un - un-1 ) + (un-1 – un-2) + 2(un-2 – un-3) + + n-2 (u2 – u1) + + n-1u1 = vn-1 + vn-2 + 2vn-3 + + n-2v1 + n-1u1 = n-2v1 + n-3v1 +2n-4v1 + + n-2v1 + n-1u1 = (n-2 +n-2 + + n-2)v1 + n-1u1 (n-1) số hạng = (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1u1 = (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1.a = (n – 1)b. n-1 + (n – 2)a. n-1 Như vậy ta đã hướng dẫn HS tìm được kết quả sau: Số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định bởi là: (nếu ) un = (n – 1)b. n-1 + (n – 2)a. n-1 (nếu =) với , được xác định bởi: Bài toán đã được giải quyết. Trở lại với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci  : Cho dãy số (un) xác định bởi công thức : Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó ? Giải : áp ụng kết quả trên với a = b = 1 ; p = 1 ; q = -1 Ta cần tìm các số , thoả mãn: Giải ra được:  ; Suy ra : un = = Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là : un= Như vậy, với cách làm trên ta đã hướng dẫn học sinh tự xây dựng các bài toán mới và quy trình giải các bài toán đó một cách tự nhiên. Điều đó ngoài việc giúp học sinh nhớ và giải được toán mà điều quan trọng hơn là đã giúp học sinh tự học, tự sáng tạo – một phẩm chất quý của người làm toán. Thực tế có nhiều sách nâng cao đã đưa ra các bài toán thuộc dạng trên, theo dõi các đề thi HSG tỉnh nhiều năm qua cũng thấy có một số bài toán tương tự. Sau đây là một số bài tập đề xuất Bài 1: (Trích ở sách bài tập ĐS & GT 11 năm 2000) Cho dãy số (un) xác định như sau : Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Bài 2: Cho dãy số (un) xác định như sau : Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Bài 3: (Đề thi HSG tỉnh năm 1999) Cho dãy số (un) được xác định như sau: Hãy tìm: limun Bài 4: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan Huy Khải) Cho dãy số (un) được xác định như sau: Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên Bài 5: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan Huy Khải) Cho dãy số (un) được xác định như sau: Chứng minh u1996 chia hết cho 1997 Bài 6: (Trích sách: chuyên đề số học và dãy số của tác giả Phan Huy Khải) Cho dãy số (un) được xác định như sau: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 2 và thương là số chính phương Bài 7: Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức : un+1 = aun + b, (n 1) a) Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua u1 và a, b và n ? b) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số (Trích sách Tuyển tập 200 bài vô địch toán) Bài 8: (Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”) Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn đẳng thức : un-2 = a1un+1 + a2un , (n 1) trong đó a , a2 là hai số dương cho trước. Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua a1 , a2, u1 , u2 và n ? Bài 9: Cho dãy số u1, u2, , un, được xác định như sau : u1= 2, un = nun-1 + 1 , (n 2) Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số trên là : , (n 1) (Số e =) (Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”) Bài 10: Cho dãy số u1, u2, , un, thoả mãn các điều kiện : và , với mọi n > 1. Chứng minh rằng : (Trích sách “ Tuyển tập 200 bài vô địch toán”) V – Kết Quả Với cách xây dựng và phát triển các bài toán, xây dựng quy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” như vậy, trong quá trình giảng dạy toán tôi thấy các em đã nắm được vấn đề, các em đã biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyết các bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Với hình thức như vậy tôi đã giúp cho các em yêu thích môn toán hơn, giờ học toán của tôi luôn được các em chờ đón và thực hiện giờ học một cách nghiêm túc, tự giác, chất lượng giờ học đã được nâng cao rõ rệt. Bài tập về nhà được các em tự giác nghiên cứu và trao đổi kết quả với nhau, ngoài ra các em còn đọc và nghiên cứu trao đổi thêm các bài tập ở các sách tham khảo. VI - Kết luận Trên đây là một số kinh nghiệm tôi tích luỹ được trong quá trình giảng dạy bộ môn toán. Tôi đã có dịp trao đổi những suy nghĩ trên với nhiều bạn bè đồng nghiệp và đều được sự đồng tình hưởng ứng, thực tế tôi đã trực tiếp vận dụng vào giảng dạy và thấy có kết quả rõ rệt. Do vậy tôi mạnh dạn viết ra đây không ngoài mục đích trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các thầy giáo, cô giáo. Vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, kinh nghiệm giảng dạy của tôi chưa nhiều nên đề tài chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự góp ý nhiệt thành của quý thầy cô để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn Đô Lương, tháng 5 năm 2009