Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn tư duy sáng tạo qua bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

A.đặt vấn đề: Chẳng phải ngẫu nhiên mà bộ môn hình học lại được coi là ông hoàng của trí tuệ, là một trong ba chân trong thế vững chắc của tri thức nhân loại. Bên cạnh bà chúa số học, người khổng lồ đại số thì việc nghiên cứu hình học đem lại cho người học những thao tác tư duy nhanh nhạy, khả năng quan sát phán đoán tinh tường và năng lực hệ thống hoá các thao tác để giải quyết vấn đề hợp lý nhất, tối ưu nhất . Hình học cũng là những động lực vô cùng mạnh mẽ cho sự lớn mạnh của toán học hiện đại và bản thân bộ môn này đã đi được những bước chân dài của người khổng lồ. Hình học cổ điển chỉ phản ánh những hình ảnh hết sức đơn giản, hết sức thô sơ và những quy luật vốn có trong thực tế. Chẳng bao lâu sau, hình học đã trở thành bộ môn sinh động hơn, có sức sống hơn, từ đó đã xây dựng lên lý thuyết về các phép biến hình kì lạ và lý thú. Hình học hiện đại chắp cánh cho những ước mơ của con người bay cao hơn, bay xa hơn khi bước chân vào xa lộ thông tin. Người học hình phải chăng là những nhà khoa học viễn tưởng ưu tú nhất, chẳng phải chỉ những người theo học lý thuyết Tôpô thì mới có đủ “bản lĩnh” cho rằng ta có thể cho một con voi chui qua lỗ kim !!! Hình học hiện đại đã dần thoát khỏi những hình ảnh trực quan cố hưũ để tìm đến những ý tưởng cao xa hơn, bắt buộc người học phải có hàng loạt các thao tác tư duy thuần thục,có trí tuệ minh mẫn, tinh thần lao động miệt mài, óc sáng tạo và ý chí quyết tâm cao. Như chúng ta đã biết, việc khuyến khích các hoạt động trí tuệ thông qua môn toán hiện nay đang từng bước được coi trọng hơn. Việc tổ chức các giờ học, giờ ôn luyện cho học sinh để có thể phát huy nhiều nhất những hoạt động trí tuệ đòi hỏi mỗi giaó viên đứng lớp phải có sự đầu tư suy nghĩ và nắm vững cơ sở lý thuyết căn bản nhất mới có thể thành công trong quá trình dạy toán ở trường phổ thông. Một trong những hoạt động cơ bản đó là tư duy sáng tạo. B. giải quyết vấn đề: I. Cơ sở lý luận Chúng ta biết rằng tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyêt vấn đề cao. ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra hiệu quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ và hiếm, không quen thuộc hoặc tìm ra lời giải duy nhất. Có ba thành phần của tư duy sáng tạo đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo. * Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật là: hoá, cụ thể hoá các phương pháp pháp suy luận như quy nạp suy diễn tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác,điều chỉnh kịp thời hướng suy linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá khái quát Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng nghĩ khi gặp trở ngại. -Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiên mới trong đó có những yếu tố thay đổi, có khả năng thoát khỏi những ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những phương pháp những cách nghĩ đã có từ trước. -Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thâý chức năng mới của đối tượng quen biết. *Tính nhuần nhuyễn của tư duy chỉ thể hiện ở hai đặc điểm sau: - Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm được nhiều phương án giải quyết khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu. -Khả năng xem xét đối đượng nhiều khía cạnh khác nhau. Có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến , phiến diện, cứng nhắc . *Tính độc đáo chỉ thể hiện ở ba đặc trưng: -Khả năng tìm ra những liên tưởng và kêt hợp mới. -Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự việc bên ngoài tưởng như không có quan hệ với nhau. -Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. Ba thành phần của tư duy sáng tạo không tách rời nhau mà chúng còn quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Trong học tập toán ở trường THCS, các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo thường chỉ thể hiện ở các học sinh khá và giỏi toán. việc khuyến khích và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là một việc khó và không thể thực hieen được với mọi học sinh và trong mọi hoàn cảnh.Người giáo viên muốn sử dụng được có hiệu quả các thao tác tư duy này cần phải biêt lựa chọn những nội dung toán thích hợp cho hoạt động đó C. Cơ sở thực tiễn. Hiện nay do xu hướng phát triển rất nhanh chóng của khoa học kỹ thuật, đứng trước những thách thức mới của nhân loại, và nói cụ thể hơn là xuất phát từ mục đích giáo dục trong nhà trường phổ thông THCS, chúng ta cần chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, đầy đủ nhất giúp các em có thể học tốt ở các bậc học trên. Bài toán chứng minh hình học là một trong những bài toán cơ bản nhất của chương trình toán cấp 2. Qua bài toán này đã giúp cho các em học sinh trưởng thành nhanh chóng về khả năng tư duy lôgic, cách lập luận vấn đề chặt chẽ có căn cứ. Có thể nói, bài toán chứng minh hình học là sự chuẩn bị tốt nhất cho các em học sinh có năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề khó khăn trong thực tiễn công tác và học tập sau này. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng thường được các em học sinh cho vào loại bài toán khó trong các bài toán chứng minh, khi gặp các bài toán này các em thường hay lúng túng trong cách lựa chọn phương pháp để chứng minh, vì chúng ta đã biết để chứng minh ba điểm thẳng hàng có rất nhiều cách, nên với học sinh hay bị lúng túng là điều dễ hiểu. Trước thực tế như vậy, với bản thân là một giáo viên làm công tác giảng dạy tôi rất trăn trở và suy nghĩ mạnh dạn đưa ra đề tài này, hi vọng với nội dung đề tài này phần nào giúp các em học sinh và các thầy cô giáo có thêm một tài liệu tham khảo để tháo gỡ những khó khăn mà tôi đã nêu ở trên. D. Nội dung đề tài Phần1:Phương pháp chứng minh ba điểm A, B, C, thẳng hàng: Phương pháp 1: Chứng minh ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường đặc biệt(đường trung trực của một đoạn thẳng, đường cao của một tam giác .) Phương pháp 2: Chứng minh là một góc bẹt ABx +CBx = 1800 A, B, C thẳng hàng Phương pháp3: Chứng minh AB và AC cung là cạnh của hai góc đối đỉnh ABx = CBy A, B, C thẳng hàng Phương pháp 4: Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng (áp dụng tiên đề Euclide) AB// d và AC//d A, B, C, thẳng hàng. Phương pháp5: Chứng minh AB và AC cùng vuông góc với một đường thẳng; AB d và ACd A, B, C thẳng hàng Phương pháp 6: Chứng minh AB và AC là hai cạnh còn lại nằm về một phía của cạnh chung của hai góc bằng nhau. Nếu: xAB = xAC A, B, C thẳng hàng . Phương pháp7: Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B Phương pháp 8: Chứng minh ba điểm A, B, C, nằm trên đường chéo của hình bình hành hoặc hình thoi .. PhầnII: Một số bài toán áp dụng. Bài toán1: Cho hai đường tròn tâm (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ hai đường kính AOC và AO’D. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Bài giải Cách1: Nối AB ta có: ABC = ABD = 90o . (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). ABC +ABD = 180o Vậy ba điểm D, B, C thẳng hàng . Nhận xét: Theo cách này, bài toán đã được áp dụng phương pháp thứ 2 để chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng Lưu ý: Khi chứng minh ba điểm nào đó thẳng hàng chúng ta không nên vẽ nét liền, vì để tránh ngộ nhận ba điểm đó đã thẳng hàng, như vậy dẫn đến lời giải sai của bài toán. Cách2: (sử dụng phương pháp thứ 4 để chứng minh) -Chứng minh được BD // O’O - Chứng minh được BC // O’O suy ra BD // BC Ba điểm B, C, D thẳng hàng ( theo tiên đề Ơcơlít) * * Nhận xét : Cách này yêu cầu phải nhớ được tính chất đường trung bình của tam giác, nội dung ý nghĩa tiên đề ƠClít là tính duy nhất. Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD O là giao điểm hai đường chéo, trên các cạnh DA, BC lấy E và F sao cho DE = BF. Chứng minh: F, O, E thẳng hàng Gợi ý: Cách giải bài toán này tương tự bài toán 2 ; Có thể sử dụng cộng góc hoặc cũng có thể chứng minh theo định nghĩa hai góc đối đỉnh. Bài toán 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) Và tiếp xúc với AB . Gọi giao điểm của CA và CB với (O) là D và E. Chứng minh ba điểm D, O’, E thẳng hàng. Bài giải Ta có :ACB = 90o (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ) Suy ra : DCE = 90o Mà : D, C, E (O'). Vậy DCE cũng là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’) DE là đường kính . Vậy: D, O, E thẳng hàng. Nhận xét: - Yêu cầu đầu tiên là học sinh phải biết vẽ hình. Vẽ được chính xác đường tròn (O’ ) tiếp xúc với đường tròn (O) và đường kính AB , dựa trên hai tính chất của tiếp tuyến . - Nắm vững hệ quả của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn . Tức là nếu có góc nội tiếp có số đo bằng 90o thì giao điểm của hai cạnh của góc với đường tròn là hai đầu mút của đường kính tức là đi qua tâm O. Bài toán 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và BK găp nhau tại H. vẽ đường kính BOE. Gọi I là trung điểm AC. Chứng minh H, I, E thẳng hàng Bài giải Nối AE, CE, CH ta có: AHBC (vì AH là đường cao của tam giác ABC ) Mặt khác: BCE = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) CE BC Vậy: AH // CE ( cùng vuông góc với BC) (1) Ta lại có : CH AB ( vì CH là đường cao của tam giác ABC) Mặt khác: BAE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )EAAB Vậy: EA // CH (cùng vuông góc với AB) (2) Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác AECH là hình bình hành ( Theo định nghĩa ) Suy ra: HE là đường chéo vậy HE đi qua trung điểm I của AC. Hay: ba điểm H, I, E thẳng hàng . Nhận xét: -Bài toán trên được giải theo phương pháp 8. Tức là chúng ta phải biết gắn hai trong ba điểm cần chứng minh vào đường chéo của một hình (hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) nào đó, còn điểm tứ ba là trung điểm của đường chéo kia. Khi đó ba điểm cần chứng minh cùng nằm trên một đường chéo của hình đó. Suy ra ba điểm thẳng hàng. Bài toán 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A. Kẻ bán kính OC và O’D song song và cùng chiều. Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng. Bài giải Ta có hai tam giác cân AOC và AO’D có góc ở đỉnh bằng nhau ( AOC = AO’D vì là hai góc đồng vị nên góc ở đáy của chúng cũng bằng nhau. Tức là: OAC = O’AD Mà: O, A, O’ thẳng hàng .Và D và C nằm về cùng một phía có bờ là đường thẳng OA. Suy ra: ba điểm A, C, D thẳng hàng . Nhận xét: -Lời giải bài toán trên được áp dụng phương pháp 6. Tức là hai góc bằng nhau có một cạnh chung và chung đỉnh, hai cạnh còn lại nằm về cùng một nửa mặt phẳng thì chúng sẽ trùng nhau, suy ra các điểm trên hai cạnh đó thẳng hàng. -Theo cách này, yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức về: Tính chất hai đường thẳng song song, hai góc có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau ( nếu cùng nhọn hoặc cùng tù ), tính chất tam giác cân và đặc điểm hai đường tròn tiếp xúc nhau thì đường nối tâm đi qua tiếp điểm. Bài tập 1: Cho tam giác ABC với trực tâm H, trọng tâm G và tâm của đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC. 1. Chứng minh ABH và DOE đồng dạng rồi chứng minh AH = 2.OD. 2.Chứng minh AHG và DOG đồng dạng 3. Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng, rồi định rõ tỉ số Bài giải 1. Chứng minh ABH và DOE đồng dạng rồi chứng minh AH = 2.OD ABH và DOE có các cạnh song song từng đôi một. AH // OD ( cùng vuông góc với BC ) BH // OE ( cùng vuông góc với AC ) AB // DE ( đường trung bình ). Nên ABH và DOE đồng dạng . Tỉ số của chúng là : == 2 Suy ra: AH = 2.DO 2.Chứng minh AHG và DOG đồng dạng. Vì G là trọng tâm nên ta có: = Lại có: ODG = HAG ( so le trong ) Vậy : AHG và DOG đồng dạng. 3.Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng, rồi định rõ tỉ số Theo chứng minh trên: AHG = DOG Mà : A, D, G thẳng hàng . Vậy H, G, O thẳng hàng. Biết tỉ số đồng dạng của hai tam giác DOG và AHG là Nên ta có: