Sáng kiến kinh nghiệm - Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I . Lý do chän ®Ị tµi: - Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng và đẩy mạnh công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện đại. Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực. Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10. Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.Với ý nghĩ như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki vào giải một số bài toán như : chứng minh các bất đẳng thức đại số và hình học, hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học. - Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu lực là việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải. Học sinh được tiếp xúc rất nhiều về các phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức để giải các loại toán khác như: chứng minh các bất đẳng thức đại số va hình học hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học. II. PHẠM VI ĐỀ TÀI Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp. III. ĐỐI TƯỢNG Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 8-9. IV. MỤC ĐÍCH Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức.Qua đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. PHẦN II NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC. - Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10. - Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh. 2. ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9. 3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU A. ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ®Ĩ chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số - Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là 3 kỹ thuật thường gặp: Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại. Dồn phối hợp. Kỹ thuật nghịch đảo. 1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại. Ví dụ 1: Cho , a,bR Chứng minh rằng: 2 Lời giải: Ta viết a4+b4= Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski (đfcm) Ví dụ 2: cho Chứng minh rằng: Lờigiải: Tư øgiả thiết ta có: B.C.S Ví dụ 3: cho x,y . Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì Lời giải: Ta sử dụng Khi đó ta có: mà vậy 2. Kỹ thuật dồn phối hợp Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng: Lời giải: Ta viết Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng Lời giải Gọi S là vế trái ta có: (2) Mà (3) Vì (3) Từ (2), (3) (đpcm) Ví dụ 3: Cho Chứng minh rằng: (1) Lời giải : Xét hai dãy số: và Ta có: (2) Xét hiệu (3) Từ (2), (3) suy ra đpcm 3. Kỹ thuật nghịch đảo Dạng 1 Chứng minh: Ta viết Ví dụ Chứng minh rằng (1) Lời giải Ta có Ví dụ 2 Chứng minh rằng (1) a,b,c là độ dài cạch của ABC Lời giải Ví dụ 3: Chứng minh rằng (1) Lời giải: Theo bất đẳng thức B.C.S : Mặt khác ta có: Dạng 2 Chứng minh: Theo bất đẳng thức B.C.S ta có: Ví dụ 1 Chứng minh rằng Lời giải: Ta viết (Đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Lời giải: x A C B z x y y z Ta có Ta sẽ chứng minh II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học Cho có AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh rằng (1) Lời giải: Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0 Sao cho a=x+z b=z+x c=x+y Theo bất đẳng thức B.C.S (đpcm) Ví dụ 2: có AB=c, AC=b, BC=a. p là nửa chu vi. Chứng minh rằng (1) Lời giải (2) Theo CôSi: (3) Từ (2)và (3) suy ra ĐPCM. (dấu bằng xẩy ra khi đều) Ví dụ 3: A P N M B C Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạch của tại M,N,P. Chứng minh rằng: S(MNP) (S- Diện tích tam giác) Lời giải: Đặt S(ANP)=S1; S(BPM)=S2 , S(CMN)=S3 Ta phải chứng minh: (1) (Dấu “=” xẩy ra khi đều) B. Sư dơng bÊt ®¼ng thøc BUNHIACOPSKI ®Ĩ gi¶ng c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè : Sử dụng kết quả: a. Nếu , C là hằng số thì Dấu “=” xẩy ra khi b. Nếu thì Dấu “=”xẩy ra khi Ví dụ 1: Cho tìm Lời giải: Ví dụ 2: Cho Tìm Max, Min của A=(y-2x+5) Lời giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x4+y4+z4 Lời giải: Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2) Suy ra: (x2+y2+z2)2 42 Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z và x+y+z=1. Tìm MaxA biết Lời giải: Theo B.C.S ta có Ví dụ 5: cho Tìm Max (x+v) Lời giải: Aùp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: Mặt khác , , Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải: Đặt , Do C. Một số bài tập áp dụng 1. Cho (a,b,c). Chứng minh: 2. Cho a,b,c,d >0 . Chứng minh rằng: 3. Cho (a,b,c). Chứng minh rằng: 4. Cho nhọn. H là trực tâm. Chứng minh 5. Cho (a,b,c). Chứng minh: 6. Cho 2 số x,y thỏa mãn 2x+5y=7 Tìm giá trị nhỏ nhất của: a, A=x2+y2 b, B=2x2+5y2 7. Cho x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2 =1. Tìm Max = x+2y+3z Cho a+b+c=1 và vế trái có nghĩa. Chứng minh 8. Có tồn tại hay không 3 số: a1, b1, c1 thỏa mãn điều kiện: 9. Cho x, y, z 0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a, A=x2+y2+z2 b, B=x4+y4+z4 10. Cho: a, b,c và a+b+c=3 . Chứng minh: 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Trong đó x 0, y 0, z 0, x+y+z=1. 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:f(x,y)=2 Trong đó x 0, y 0, 4. KẾT QỦA Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp 8-9 vòng huyện và vòng tỉnh. Trong quá trình học đềø tài này, học sinh thực sự thấy tự tin khi gặp các bài toán về bất đẳng thức, tạo hứng thú với học toán, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu. 5. GIẢI PHÁP MỚI - Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Do đó học sinh cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan. II. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY 1. QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG - Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được mộït số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải. 2. HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG - Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu. 3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là: trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vận dụng linh hoạt các kiến thức này. Từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp ly ùvới các đối tựợng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập có sử dụng bất đẳng thức B.C.S từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy học sinh. 4. KIẾN NGHỊ - Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên các lớp chuyên đề, các cuộc hội thảo chuyên đề để giáo viên các trừờng có thể trao đổi, bàn luận nhất là vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao chất lượng, thay đổi thứ hạng về giáo dục của huyện nhà so vối các huyện thị khác trong tỉnh. PHẦN C KẾT LUẬN - Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ.Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong hàng chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vân dụng linh hoạt cáckiến thưc cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu. Tuy nội dung đề cập khá rộng song trong khuôn khổ thời gian hạn hẹn người viết cũng chỉ chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình. - Rất mong sựï đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn! B×nh Xuyªn, ngµy 10 th¸ng10 n¨m 2007 Người viết D­¬ng ThÕ NAm