Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương trình bậc hai để tìm cực trị biểu thức

Cơ sở lí luận Cơ sở chung : Cho biểu thức f(x) , + ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) nếu thỏa mãn các điều kiện sau : f(x) ≤ M với mọi giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) và tồn tại giá trị x0 sao cho f(x0) = M + ta nói m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) nếu thỏa mãn các điều kiện sau : f(x) ≥ M với mọi giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) và tồn tại giá trị x0 sao cho f(x0) = M Phân tích đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử . Nếu đa thức f(x) có hai nghiệm x1 , x2 thì f(x) = a(x – x1)(x – x2) Xét dấu của đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c trong trường hợp có nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2) Nếu x1 < x < x2 thì f(x) trái dấu với hệ số a ( hay a.f(x) < 0) Nếu x x2 thì f(x) cùng dấu với hệ số a ( hay a.f(x) > 0) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 D = b2 – 4ac hoặc D’ = b’2 – ac Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hoặc D’ ≥ 0 II) BÀI TẬP VẬN DỤNG BIỂU THỨC CÓ DẠNG LÀ TAM THỨC BẬC HAI ax2 + bx + c Bài mẫu : Hãy tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các đa thức sau y = 2x2 – 3x + 1 b) y = -2x2 + 5x – 11 c) y = x2 – 3x + 5 Giải Từ y = 2x2 – 3x + 1 Þ 2x2 – 3x + 1 – y = 0 (1) , ta có D = 9 -8(1 – y) = 1 + 8y Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hay 1 + 8y ≥ 0 Þ y ≥ -18 Vậy giá trị nhỏ nhất của y = - 18 khi x = 34 Từ y = - 2x2 + 5x -11 Þ - 2x2 + 5x - 11 – y = 0 (2) , ta có D = 25 -8(11 + y) = - 63 - 8y Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hay -63 - 8y ≥ 0 Þ y ≤ -638 Vậy giá trị lớn nhất của y = - 638 khi x = 54 Từ y = x2 – 3x + 5 Þ x2 – 3x + 5 – y = 0 (3) , ta có D = 9 – 4(5 – y) = - 11 + 4y Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hay -11 + 4y ≥ 0 Þ y ≥ 114 Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 114 khi x = 34 BIỂU THỨC CÓ DẠNG LÀ PHÂN THỨC Bài tập 1 : Tìm GTNN của biểu thức y = ? Giải : Từ y = ta có y(6x – 5 – 9x2) = 2 hay 9yx2 – 6yx + 5y + 2 = 0 (1) Ta có D’ = 9y2 – 9y(5y + 2) = - 36y2 – 18y = - 18y(2y + 1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 Vậy -18y(2y + 1) ≥ 0 Û -12 ≤ y < 0 . GTNN của y = -12 khi x = Bài tập 2 : Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức ? Giải : Đặt y = , ta có y(x2 – 2x +1) = 3x2 – 8x + 6 hay (y – 3)x2 – 2(y – 4)x + y -6 = 0 (2) ; ta có D’ = (y-4)2 – (y – 3)(y – 6) = y – 2 Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 hay y – 2 ≥ 0 Û y ≥ 2 . Giá trị nhỏ nhất của y = 2 khi x = 2 Biểu thức trên không có giá trị lớn nhất . Bài tập 3 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức y = Giải : Từ y = , ta có y(x2 – x + 1) = x2 + 1 hay (y-1)x2 – yx + y – 1 = 0 (3) Từ phương trình (3) ta có D = y2 – 4(y – 1)2 = -3y2 + 8y + 4 Tam thức -3y2 + 8y + 4 = -3(y2 – 8/3 y - 4/3) = - 3 [(y – 4/3)2 – 28/9] = =-3 Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , cho nên Vậy GTNN của y = khi GTLN của y = khi Bài tập 4 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức y = Giải : Từ y = ta có y(x2 + 1) = 3 – 4x , hay yx2 + 4x + y – 3 = 0 (4) Nên ta có D’ = 4 – y(y – 3) = - (y2 – 3y – 4) = -(y – 4)(y + 1) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 hay – (y – 4)(y + 1) ≥ 0 Û - 1 ≤ y ≤ 4 GTNN của y = -1 khi x = 2 GTLN của y = 4 khi x = - ½ Bài tập 5 : Với x ≥ 0 . tìm GTNN của biểu thức y = Giải : Từ y = ta có y(2x + 2) = x2 + 2x + 17 , hay x2 + 2(1-y)x + 17 – 2y = 0 (5) Nên ta có D’ = (1-y)2 – (17 – 2y) = y2 – 16 = (y – 4) (y + 4) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 hay (y – 4)(y + 4) ≥ 0 Û y ≤ -4 hoặc y ≥ 4 Vì x ≥ 0 cho nên y > 0 , do vậy GTLN của y = 4 khi x = 3 Bài tập 6 : Cho 0 < x < 1 , hãy tìm GTNN của biểu thức y = Giải : Từ Þ y(x – x2) = 1 hay yx2 – yx + 1 =0 (6) Nên ta có D = y2 – 4y = y(y – 4) Phương trình (6) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , nên y(y – 4) ≥ 0 Û y ≤ 0 hoặc y ≥ 4 Vì 0 0 Vậy GTNN của y = 4 khi x = ½ Bài tập 7 : Cho 0 < x < 1 , hãy tìm GTNN của biểu thức Giải : Từ Þ y(x – x2) = 4 – x hay yx2 – (y + 1)x + 4 = 0 (7) Nên ta có D = (y+1)2 – 16y = y2 – 14y + 1 ) = Phương trình (7) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , nên ≥ 0 Û hoặc Vì 0 < x < 1 nên 1 – x < 1 Þ Vậy GTNN của khi Bài tập 8 : Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của Giải : Từ Þy(2x – x2) = 9x2 – 2x + 4 Hay (9 + y)x2 – 2(y + 1)x + 4 = 0 (8) , nên ta có D’ = (y + 1)2 – 4(9 + y) = y2 – 2y – 35 = (y – 7)(y + 5) Phương trình (8) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , nên ( y – 7)(y + 5) ≥ 0 Û y ≥ 7 hoặc y ≤ -5 Vì 0 0 Vậy GTNN y = 7 khi x = ½ III) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 : Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau : a) y = 3x2 – 7x + 11 b) y = 12-x-3x2 c) y = (x+3)(x+4)(x+5)(x+6) d) y = x(x-3)(x-4)(x-7) Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau : a)y = b) y = c) Bài 3 : Cho x > 1 . Tìm GTLN của biểu thức A = Bài 4 : Cho x > 1 . Tìm GTNN của biểu thức B = Bài 5: Cho 0 < x < 1 . Tìm GTNN của biểu thức C =