Sáng kiến kinh nghiệm: Tìm chữ số tận cùng - Trường THCS Yên Luật

A – Phần mở đầu I- Lý do chon đề tài 1. Cơ sở khoa học - Giải bài toán tìm chữ số tận cùng rèn cho học sinh được phương pháp tư duy phân tích tổng hợp và có được sự linh hoạt về tư duy giải toán khác nhau như chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phương Học sinh có trí tưởng tượng cao phát huy tích cực chủ động trong tư duy, có tính sáng tạo trong khi giải toán. - Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán tìm chữ số tận cùng là dạng bài toán khó, bất quy tắc và khi giải bài tập có các dạng toán khác nhau. Khi làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đưa về bài toán quen thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn. - Khi giáo viên được nghiên cứu sâu về các dạng toán. Cụ thể là bài toán tìm chữ số tận cùng, sẽ nâng cao tư duy và năng lực chuyên môn. Để từ đó truyền đạt cho các em những bài toán được dễ hiểu hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: - Khi học sinh chưa được phân dạng về các bài toán tìm chữ số tận cùng thì các em thường lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng. Các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ là tham số. - Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về dạng toán tìm chữ số tận cùng, tôi đã phân rõ các phương pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm được cách phân dạng Toán; từ đó các em đưa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để có cách giải nhanh nhất. - Với những giáo viên chưa được nghiên cứu về dạng Toán tìm chữ số tận cùng, nếu nắm được các phương pháp tìm chữ số tận cùng thì sẽ nâng cao được năng lực tư duy và năng lực chuyên môn. II. Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu về bài toán tôi đưa ra được các phương pháp giải bài tập khác nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi đó học sinh sẽ có được phương pháp phân tích tư duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vượt khó để giải bài toán. - Khi nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để tôi nâng cao năng lực chuyên môn và làm tư liệu dạy học sinh giỏi. III. Phương pháp nghiên cứu: * Phương pháp tìm hiểu tài liệu: * Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng trong cách tìm chữ số tận cùng. Từ đó tôi đã tìm hiểu các tài liệu để phân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn. Mỗi dạng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các cách làm đối với những dạng Toán đó. B. phần nội dung: Phần I: Phương pháp tìm chữ số tận cùng hoặc một số cuối cùng của một số tự nhiên. Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số: I. Cơ sở lý thuyết: Xem số tự nhiên: A = nk với n, k N. 1. Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng: A = 10a + b = b là chữ số cuối cùng của A. Ta viết: A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với rN; 0r9 Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk - Nếu A = 100a + = thì là hai chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 1000a + = thì là ba chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 10m.am + = thì là m chữ số cuối cùng của A. 2. Vận dụng nghị thức Newtơn: (a + b)n = + +. II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9 Giải: Xem số M = 9k; k N - Nếu k chẵn k = 2m ta có: M = 92m = 81m = (80 + 1)m =(10q + 1)m = 10 t + 1 (với m, q, t N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn. - Nếu k lẻ k = 2m + 1 ta có: M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 = 10q + 9 (với m, t, q N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 là một số lẻ. Do đó: A = 9 có chữ số cuối cùng là 9. Bài 2: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2 Giải: B = 2 = 2 81 = (25)16.2 = 3216.2 = (30 + 2)16. 2 = 10q + 217 = 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 . 22 = 10t + 25 = 10t + 2 Vậy B có chữ số cuối cùng là 2. Bài 3: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 2999 Giải: Ta có : 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 210 – 1 25 Ta lại có 21000 – 1 = ( 220)50 – 1 220 – 1 suy ra 21000 - 125 Do đó 21000 chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhưng 21000 4 suy ra 21000 tận cùng là 76 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 4 2999 tận cùng là 88 Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88. Bài4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3999 Giải Ta có: 92m tận cùng là 1 ; 92m + 1 tận cùng là 9 Ta hãy tìm số dư của phép chia 95 + 1 cho 100 Ta có : 95 + 1 = 10( 94 – 93 + 92 – 9 +1 ) Số : 94 + 92 +1 tận cùng là 3 93 + 9 tận cùng là 8 suy ra ( 94 – 93 + 92 – 9 +1) tận cùng là 5 94 – 93 + 92 – 9 +1 = 10q + 5 95 + 1 =100q + 50 910 – 1 = ( 95 +1 )( 95 – 1 ) = 100t Ta lại có :31000 – 1 = 9500 – 1 = (910)50 – 1 suy ra 31000 – 1 100 31000 tận cùng là 01 . Mặt khác 31000 3 Suy ra chữ số hàng trăm của 31000 phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 ) 31000 chữ số tận cùng là 201 Do đó 3999 tận cùng là 67. Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 99 Giải A = 99 = ( 10 – 1)9 có dạng: ( 10 – 1)n với n = 99 ta lại có A = C . 10n - C.10n-1 + + C.10 - C Suy ra A có hai chữ số cuối cùng Với a = C.10 - C = 10n – 1 Số n = 99 tận cùng là 9 Suy ra 10n tận cùng là 90 a = 10n – 1 tận cùng là 89 Vậy số A = 99 có hai chữ số cuối cùng là 89. Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B = 99 Giải B = 99= (10-1) với m = 99 = B có hai chữ số cuối cùng với số: B = Số m = 99 tận cùng là 9 Suy ra: Số b tận cùng là 89. Vậy: Số B = 99 có 2 chữ số tận cùng là 89. Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa. I. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa. - an là một lũy thừa Các trường hợp đặc biệt: 1. Các số có dạng: + ()n tận cùng bằng 0. +)n; ()n; ()n tận cùng lần lượt là 1; 5; 6. + ()4 ; ()n; ()n tận cùng bằng 1. + ()4; ()4; ()4 tận cùng bằng 6. 2. Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận cùng 01 264, 65, 184, 242, 684, 742 có 2 chữ số tận cùng là 76. 125n, 25n, 52 tận cùng là 25. 3. Các số có dạng: ()n; ()n, ()n có 2 chữ số tận cùng lần lượt là: 01, 25, 76. II. Bài tập: Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9 Giải Ta có: 92m tận cùng là 1 92m+1 tận cùng là 9 Suy ra: 99 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.) Vậy A = 9 tận cùng là 9. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 62002, D = 22001. Giải: Ta có: 61 tận cùng là 6 62 tận cùng là 6 63 tận cùng là 6 Vậy 6n tận cùng là 6 suy ra 62002 tận cùng là 6 Ta có 24 = 16 tận cùng là 6 Suy ra 22002 = (24)500.22 = ().4 = với a,k N 22002 tận cùng là 4 Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 71999; G = 18177 Giải *Ta có 74 = 2401 tận cùng là 1 M = 71999 = (74) = ().343 = tận cùng là 3 Vậy M = 71999 tận cùng là 3 *Ta có 184= tận cùng là 6 Suy ra: G = 18177 = (184)44 . 181 = .18 = Vậy G = 18177 tận cùng là 8. Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2999, D = 3999 Giải: * Ta có: 220 có 2 chữ số tận cùng là 76. Suy ra: C = 2999 = (220)49 .219 = (). = (với y,n,q N) Vậy C = 2999 có 2 chữ số tận cùng là 88 * Ta có: 3D = 31000 = (320)50 = ()50 = . Nên 3D tận cùng là 01 , mà 3.3999 3 Chữ số hàng trăm của 31000 là 2 31000 tận cùng là 201 Vậy 3999 có hai chữ số tận cùng là 67 Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số a, M = 78966 b, N = 247561 c, Q = 816251 Giải a, Ta có 74 có hai chữ số tận cùng là 01 Suy ra M = 78966 = (74)2241.72 = ()2241.49 = .49 = (với a,c,n N) Suy ra M = 78966 có hai chữ số tận cùng là 49 b,Ta có 242 tận cùng là 76 Suy ra N = 247561 = (242)3765.24 = ()3765.24 = .24 = (với m,k,n N) Vậy N = 247561 có hai chữ số tận cùng là 24. c, ta có 815 có hai chữ số tận cùng là 01 Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = ( )1250.81 = .81 = (với k, t, m N ) Vậy Q = 816251 có hai chữ số tận cùng là 81. Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số a, Z = 26854 b, C = 68194 Giải a, Ta có 264 có hai chữ số tận cùng là 76 Z = 26854 = (264)213.262 = ()213.676 = .676 = ( Với n, k, c N ) Vậy Z = 26854 có hai chữ số tận cùng là 76 b, Ta có 684 có hai chữ số tận cùng là 76 Suy ra C = 68194 = (684)48.682 = ()48.4624 = .4624 = ( Với n, k, t N ) Vậy C = 68194 có hai chữ số tận cùng là 24. Bài 7: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946 Giải Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125 Suy ra T = 5946 = (53)315 . 5 = ( )315.5 = .5 = ( Với n, m, t N ) Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là 125. Bài 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 51994 Giải Ta có: 54 = 0625 tận cùng là 0625 55 tận cùng là 3125 56 tận cùng là 5625 57 tận cùng 8125 58 tận cùng là 0625 59 tận cùng là 3125 510 tận cùng là 5625 511 tận cùng là 8125 512 tận cùng là 0625 Chu kỳ lặp là 4 Suy ra: 54m tận cùng là 0625 54m+1 tận cùng là 3125 54m+2 tận cùng là 5625 54m+3 tận cùng là 8125 Mà 1994 có dạng 4m+2. Do đó M = 51994 có 4 chữ số tận cùng là 5625. Phương pháp 3: Dùng đồng dư I. Cơ sở lý thuyết: 1. Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng số dư ta nói a đồng dư với 6 theo mô đun m và viết a b (mod m). 2. Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau: a. a đồng dư với b theo mô đun m b. a – b chia hết cho m c. có một số nguyên t sao cho a = b+m.t 3. Tính chất: 1. a a (mod m) 2. a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m) 3. suy ra: Hệ quả: a+c b (mod m) (mod m) ab (mod m) (mod m) 4. Nếu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì 5. suy ra ka kb (mod m). 6. d ƯC (a,b,m) thì: ab (mod m) suy ra (mod ) 7. Nếu ab (mod m1) và a b (mod m2) suy ra a b (mod m) m = BCNN (m1, m2) Hệ quả: (m1, m2, , mn) =1 và ng tố từng đôi Suy ra: ab (mod m1), a b (mod m2) a b (mod mn) a b (mod m1 . m2 . Mn). II. Bài tập 1. Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 và 21000 Giải: Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số dư trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng dư với N theo mod 10 * Ta có: 62 = 36 6 mod 10 suy ra 6n 6 mod 10 Với N là số tự nhiên khác o Suy ra: 6195+ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6195 là 6. * Ta có: 21000 = 24 . 250 = (2n)250 Vì 2n 16 6 (mod 10) Suy ra: (2n)250 16250 6250 6 (mod 10) Do đó: 21000 6250 6 (mod 10) Nghĩa là chữ số tận cùng của 21000 là 6. Vậy ta vận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của số N với: Một chữ số tận cùng là N a (mod 10) suy ra tận cùng là a < 10 Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng là b:b <100 Ba chữ số tận cùng là N c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:c <1000 .. m chữ số tận cùng là N K (mod 100) suy ra tận cùng là K:K <100 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của a. D = 2999 b. G = 3999 Giải: a. Ta có: 2999 = 21000 : 2 Ta có: 220 = 1048576 1 (mod 25) Suy ra: (220)50 150 (mod 25) 21000 1 (mod 25) 21000 chia cho 25 dư 1 21000 có hai chữ số tận cùng là 1; 26; 51; 76 nhưng 21000 4 suy ra hai chữ số tận cùng của nó là 88. b. Ta có: 34 19 (mod 100) suy ra 38 192 6 (mod 100) 310 61.9 49 (mod 100) suy ra 3100 492 1 (mod 100) Suy ra: 31000 01 (mod 100) Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000 là 01 Số 31000 3 nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải dư 2 (chia tiếp thì số 201 : 3 nếu số dư là 0,1 thì 001; 101 không chia hết cho 3) Vậy 3999 = 31000 3 có hai chữ số tận cùng là 76. Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D = 99 Giải Ta có: 92 = 81 1 (mod 10) suy ra 98 (92)n 1 (mod 10) Suy ra 99 1.9 9 (mod 10) suy ra 99 10k + 9 (k) 94 = 6561 61 (mod 100) 98 612 21 (mod 100) 9100 2k81 01 (mod 100) 910k 1 (mod 100) Suy ra: 99 = 910k+9 = (910)k.99 1. 99 (mod 100) Ta lại có: 93 = 729 29 (mod 100) 99 = 293 89 (mod 100) Vậy 99 có hai chữ số cuối cùng là 89 Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của số 19911997; 19971996 Giải a. Ta có: 1991 1 (mod 10) suy ra 19911997 1 (mod 10) Vậy 19911997 có chữ số tận cùng là 1 b. Ta có: 1997 7 (mod 10) suy ra 19972 49 9 (mod 10) suy ra 19974 1 (mod 10) suy ra (19974)409 1 (mod 10) suy ra 19971996 1 (mod 10) Vậy 19971996 có chữ số tận cùng là 1 Bài 5: Tìm ba chữ số tận cùng của 213 Giải: Ta có 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000) Có 23 8 (mod 1000); 213 192 (mod 100) Vậy ba chữ số cuối cùng của 213 là 192. Phần II: Các bài toán liên quan Có thể dùng bài toán tìm chữ số tận cùng để chứng minh chia hết, nhận xét số có phải là số chính phương hay không, tìm số dư trong phép chia. Bài 1: Chứng minh rằng tồn tài n N / 3n tận cùng 000001 Giải Ta chứng minh tồn tại n N để 3n – 1 106 Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32; 33; ; 310 (*) Chia các số hạng của dãy (*) cho 106 số dư các phép chia là 1; 2; 3; ; 99999 có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số cùng số dư cho 106 Gọi 2 số đó là 3i và 3j với i, j N, 1 i < j 106 suy ra: 3j – 3i 106 3i(3j-i – 1) 106 mà (3i,10) =1 (3i: 106) = 1 3j-i – 1 106 Vậy tồn tại n N cho 3n tận cùng bằng 000001. Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại m N / 3m tận cùng với 001 Giải Chứng minh tương tự bài 1 Bài 3: Chứng minh rằng n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau Giải Để chứng minh n5 và n có cùng chữ số tận cùng là đi chứng minh n5 – n 10 Ta có: A = n5 – n = n(n4-1) = n(n2 -1).(n2+1) = (n-1).n(n+1).(n2+1) Ta có 10 =2.5 và (2.5)=1 (n-1), n, n+1 là các số tự nhiên liên tiếp Suy ra A 2 Chứng minh A 5 nếu n 5 thì A 5 Nếu n 5 dư 1 suy ra n-1 5 A 5 n: 5 dư 2 suy ra n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1 5 A 5 n: 5 dư 3 suy ra n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1 5A 5 n: 5 dư 4 suy ra n+1 5 A 5 Vậy A 2 và A 10 Vậy n5 và n có cùng chữ số tận cùng. Bài 4: Chứng minh rằng 19911997-19971996 10 Giải Là chứng minh 2 số có cùng chữ số tận cùng: Theo bài 4 phương pháp 3 ta có 19911997 và 19971996 cso cùng chữ số tận cùng là 1 Suy ra 19911997-19971996 : 10 Bài 5: Tích 1125! tận cùng là bao nhiêu chữ số 0 Giải Ta thấy 2.5 =10 tận cùng là 1 chữ số 0 Suy ra có 1 thừa số 5 tận cùng là 1 số 0 Với 51 suy ra 11125 có +1 = 225 (chữ số 5) Với 52 suy ra +1 =45 (số) Với 53 suy ra +1=9 (số) Với 54 có 625 có 1 (số) Vậy có 225+45+9+1=280 số Vậy tận cùng có 280 chữ số 0 Phần III: Kết quả đạt được * Khi chưa giảng dạy cho học sinh về các phương pháp tìm chữ số tận cùng. Tôi đã kiểm tra ở học sinh với bài toán: Tìm chữ số tận cùng của số B = 23 Kết quả thu được như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Không 2 học sinh 10 học sinh 24 học sinh * Sau khi đã đưa ra phương pháp tìm chữ số tận cùng về cơ sở lý thuyết và các bài tập minh họa. Tôi thấy các em đã có cách tư duy đúng và biết cách phân dạng bài toán Tìm chữ số tận cùng để đưa ra cách giải hợp lý. Tôi đã kiểm tra ở học sinh với bài toán: Tìm chữ số tận cùng của số B = 178253 Kết quả kiểm tra thu được như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu 5 học sinh 10 học sinh 17 học sinh 4 học sinh C. Kết luận chung Qua tìm hiểu các bài toán về tìm chữ số tận cùng có vai trò quan trọng trong việc nâng cao năng lực chuyên môn của tôi. Làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và giúp cho học sinh biết tổng hợp kiến thức và phát huy được tư duy sáng tạo trong giải toán. Với việc giảng các phương pháp tìm chữ số tận cùng. Qua tìm hiểu của bài kiểm tra tôi thấy học sinh đã có phương pháp làm bài tập nhanh hơn. Do vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên biết phân dạng Toán cho học sinh thì các em sẽ nắm được kiến thức một cách dễ ràng hơn. Khi đưa các dạng Toán giáo viên cần đưa các cơ sở lý thuyết và các bài tập vận dụng với mức độ từ thấp đến cao để gây hứng thú học tập cho học sinh và không gây cảm giác sợ, chán nản khi gặp các dạng toán đó. Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm tôi không tránh khỏi những sai sót. Rất mong các thầy cô giáo xem và bổ sung sửa chữa cho tôi để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Xác nhận của nhà trường Người viết đề tài Nguyễn Ngọc Hùng