Sáng kiến kinh nghiệm Tìm thiết diện của hình chóp,hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE TRƯỜNG THPT PHAN VĂN TRỊ GIỒNG TRÔM TỔ TOÁN - TIN HỌC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI TÌM THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP,HÌNH LĂNG TRỤ KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG NĂM HỌC: 2008-2009 GIÁO VIÊN : TRẦN THỊ MỸ LINH PHẦN I :MỞ ĐẦU I/GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI Môn hình học không gian lớp 11 là môn học mà đa số học sinh cho là khó khăn. Học sinh thưôøng thấy “sợ”khi học môn này.đặc biệt dạng toán tìm thiết diện của hình chóp ,hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng (P) là dạng toán gây khó khăn nhiều trong đa số học sinh, các em thường bỏ hẳn khi gặp câu toán này Qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm ở nhiều năm ,tôi xin được trình bày vấn đề này .Bằng cách höôùng daãn cụ thể ,chi tiết thông qua việc hiểu nhieàu ví dụ ,học sinh sẽ tự giải quyết các bài tập tương tự từ đó hiểu rõ vấn đề này .Chắc chắn rằng học sinh sẽ không còn thấy ngại khi gặp dạng toán này II / PHƯƠNG PHÁP Lựa chọn các ví dụ từ đơn giản , dần nâng cao Nêu phương pháp giải ,hướng dẫn cách suy nghĩ tìm lời giải Bài tập tương tự PHẦN II : NỘI DUNG I/CƠ SỞ KHOA HỌC Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người, “qui lạ về quen”,các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh II/ NỘI DUNG CỤ THỂ Thiết diện của hình chóp (hlt) khi cắt bởi mặt phẳng (P) là một đa giác có: + đỉnh nằm trên cạnh (cạnh bên ,cạnh đáy) của hình chóp (hlt) + cạnh của thiết diện là đoạn giao tuyến của mp(P) và mặt (mặt bên ,mặt đáy) của hình chóp (hlt) Daïng 1:Söû duïng phöông phaùp sau ñaây ñeå tìm thieát dieän : +xem trong maët phaúng (P) coù nhöõng ñieåm naøo (nhöõng ñieåm ñaõ coù teân saün) +tìm trong mp(P) ñöôøng naøo caét ñöôïc caïnh cuûa hình choùp,hlt .Giao ñieåm ñoù chính laø ñieåm chung cuûa mp (P) vaø maët cuûa hình choùp,hlt.Töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc giao tuyeán cuûa mp(P) vôùi maët cuûa hình choùp,hlt Chuù yù ñænh cuûa thieát dieän laø ñieåm chung cuûa caïnh hình choùp ,hlt vôùi mp(P) Ví duï 1:cho hình choùp S.ABCD vôùi AB vaø CD caét nhau, goïi A’ laø moät ñieåm naèm giöõa hai ñieåm S vaø A.Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi mp(A’CD) ** HÖÔÙNG DAÃN : HS caàn phaûi coù suy nghó: +(A’CD) ñaõ coù saún giao tuyeán vôùi caùc maët (SAD),(SCD),(ABCD) +noù coù ñieåm chung vôùi caùc (SAB) (ñieåm A’),(SBC) (ñieåm C) Do ñoù ta phaûi tìm giao tuyeán cuûa noù vôùi caùc maët naøy. Roõ raøng hai mp(SAB) vaø (SBC) coùSB chung . Vì vaäy ta chæ caàn tìm giao ñieåm cuûa SB vaø (A’CD) **BAØI GIAÛI: -)caùch 1 Goïi Olaø giao ñieåm cuûa AC vaøBD +noái S vôùi O ,SO caét A’C taïi I .Vì I neân +keùo daøi DI caét SB taïi B’ Suy ra B’ laø giao ñieåm cuûa SB vaø (A’CD) TOÙM LAÏI: (A’CD) (SAB) = A’B’ (A’CD) (SBC) =B’C’ (A’CD) (SCD) =CD (A’CD) (SAD) =DA’ Thieát dòeân caàn tìm laøtöù giaùc A’B’CD caùch giaûi 2: Goïi Klaø giao ñieåm cuûa AB vaø CD. Khi ñoù giao tuyeán cuûa (SAB) vaø (A’CD) laø A’K,nhöng vì K khoâng thuoäc caïnh cuûa hình choùp neân K khoâng laø ñænh cuûa thieát dieän Noái A’vôùi K , A’K caét SB taïi B’.thieát dieän caàn tìm la øtöù giaùc A’B’CD Ví duï 2 cho hình choùp S.ABCD A’,B’,C’ laàn löôït laø caùc ñieåm treân ba caïnh SA, SB, SC, nhöng khoâng truøng vôí S,A,B,C .Xaùc ñònh thieät dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (A’B’C’) HÖÔÙNG DAÃN:+ goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD +SO caét A’C’ taïi I + keùo daøi B’I caét SD taïi D’ TH1:D’ thuoäc ñoaïn SD thì D’ laø moät ñænh cuûa thieát dieän . Thieát dòeân caàn tìm laøtöù giaùc A’B’C’D’(hình a) TH2:D’ naèm treân phaàn keùo daøi cuûa SD (hình b) neân D’ khoâng laø ñænh cuûa thieát dieän ,(SCD) vaøØ ((A’B’C’) coù hai ñieåm chung C’ vaø D’ , khi ñoù noái C’ Vaø D’ caét CD taïi M. M laø moät ñænh cuûa thieát dieän .,nhö vaäy (A’B’C’) vaø (ABCD) coù ñieåm M chung do ñoù phaûi tìm giao tuyeán cuûa ((A’B’C’) vaø (ABCD) , ((A’B’C’) Vaø(SAD) Roõ raøng (SAD) vaø ((A’B’C’) coù hai ñieåm chung laø A’ vaø D’ A’D’ caét AD taïi N .N laø ñænh cuûa thieát dieän Thieát dieän laø nguõ giaùc A’B’C’MN ***HS caàn hieåu roõ:ôû th1 ((A’B’C’) chæ caét (SAB),(SBC),(SCD),(SAD) ÔÛ th2 ((A’B’C’) caét luoân (ABCD) VÍ DUÏ 3 Cho hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù M,N,P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB,AA’,A’C’.Tìm thieát dieän cuûa laêng truï vôùi (MNP) HD:+keùo daøi MN caét B’B taïi J ,caét B’A’ taïi I Nhö vaäy I,J thuoäc (MNP).Khi ñoù (MNP)vaø(A’B’C’) coù hai ñieåm chung I vaø P nhöng I khoâng naèm treân caïnh cuûa laêng truï neân I khoâng laø ñænh cuûa thieát dieän +Noái I vôùi P , IPcaét B’C’ taïi K .Klaø ñænh cuûa thieát dieän +Noâí K vôùi J caét BC taïi H Thieát dieän caàn tìm la ønguõ giaùc MNKPH VÍ DUÏ 4 cho hình choùp S.ABCD,N laø moät ñieåm treân caïnh SD .Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (BCN) Hs phaûi nhaän xeùt ñöôïc : (BCN) ñaõ coù giao tuyeán vôùi (ABCD) laø BC ,vôùi (SBC) laø BC ,vôùi (SCD) laø CN . (SAB) vaø (BCN) coù ñieåm B chung do ñoù ta phaûi tìm giao tuyeán cuûa hai mp naøy. Muoán vaäy ta tìm giao ñieåm cuûa SA vaø (BCN) HD: +Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD +SO caét BN taïi I +Keùo daøi CI caét SA taïi E (trong (SAC)) Thieát dieän caàn tìm laø töù giaùc BCNE VÍ DUÏ 5: Cho hình choùp S.ABCD goïi M laø moät ñieåm trong tam giaùc SCD .T thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (ABM) HS caàn nhaän xeùt thaáy : +(ABM) ñaõ coù giao tuyeán vôùi (ABCD) laø AB,vôùi (SAB)laø AB +vôùi (SAD) coù ñieåm A chung ,vaäy phaûi tìm giao tuyeán cuûa (ABM) vaø (SAD) ,do ñoù caàn tìm giao ñieåm cuûa SD vaø (ABM) +Suy ra phaûi tìm giao tuyeán cuûa (ABM) vaø (SCD) Höôùng daãn: +keùo daøi SM caét DC taïi N +goïi P laø giao ñieåm cuûa AC vaø B +SP caét BM taïi Q +keùo daøi AQ caét SC taïi R +keùo daøi RM caét SD taïi I Thieát dieän caàn tìm laø töù giaùc ABRI BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: 1) cho hình choùp S.ABCD coù AB vaø CD caét nhau goïi M laø moät ñieåm treân SD(khoâng truøng vôùi S vaø D) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (MAB) 2)Cho töù dieän ABCD H,K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB,BC treân CD laáy ñieåm Msao cho KM khoâng song song vôùi BD.Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi (HKM) HD:phaân bieät th M ôû giöõa C vaø D ,vaø M naèm ôû ngoaøi ñoaïn CD 3)Cho hình choùp coù ñaùy laøhbh taâm O ,goïi M,N,I laàn löôït laø ba ñieåm treân caùc ñoaïn AD,CD,SO . Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (MNI) 4)Cho hình choùp coù ñaùy laø hình thang vôùi hai ñaùy laø AB vaø CD goïi I,J laàn löôït laø trung d0ieåm cuûa AD vaø BC .Goïi G laø troïng taâm tam giaùc SAB .Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (IJG) 5)Cho töù dieän ABCD goò M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC .P laø ñieåm treân caïnh BD sao cho PB=2PD. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (MNP) 6) Cho hình choùp coù ñaùy laøhbh taâm O,goïi I,J,K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SB, SD, OC . Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (IJK) DAÏNG 2 :duøng quan heä song song Söû duïng caùc caùch tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng nhö sau: +) (neáu hai mp laàn löôït chöùa hai ñöôøng thaúng song song vaø coù moät ñieåm chung thì giao tuyeán cuûa chuùng laø ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm ñoù vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng aáy) +) (Mp (Q) phaûi laø mp chöùa a vaø coù ñieåm chung vôùi (P)) +) (mp (R) phaûi laø mp ñaõ coù giao tuyeán saün vôùi (P) vaø coù ñieåm chung vôùi (Q)) Ví duï 6 cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình thang (AB//CD) .Goïi I,J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC ,G laø troïng taâm tam giaùc SAB .Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (IJG) Nhaän xeùt: (SAB) vaø (IJG) coù ñieåm G chung ta phaûi tìm giao tuyeán cuûa (SAB) vaø (IJG) (SBC) vaø (IJG) coù ñieåm J chung, (IJG) vaø(SAD) coù ñieåm I chung phaûi tìm giao tuyeán cuûa (IJG)vaø hai mp naøy HD: Gx caét SA taïi H caét SB taïi K Thieát dieän caàn tìm laø hình thang IJKH Ví duï 7 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh I,J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc SAB vaø SAD M laø trung ñieåm cuûa CD. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (IJM) HD MX caét BC taïi N ,caét BA keùo daøi taïi K I,J laø ñieåm chung cuûa (IJM) vaø (SAB) +Noái I vôùi K caét SA taïi R,caét SB taïi P (IJM) vaø (SAD) coù R vaø J chung nhöng J khoâng laø ñænh cuûa thieát dieän +ta keùo daøi RJ caét SD taïi F Thieát dieän caàn tìm laø nguõ giaùc MNPRF VÍ DUÏ 8 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh.Goïi G laø troïng taâm tam giaùc SAC.(P) qua G vaø song song vôùi SC,BD .Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi maët phaúng (P) NHAÄN XEÙT: G laø troïng taâm tam giaùc SBD cuõng laø troïng taâm tam giaùc SAC GXcaét AC taïi N, caét SA taïi M NY caét BC taïi H,caét CD taïi K Töông töï qua K, H keõ ñöôøng thaúng song song vôùi SC laàn löôït caét SD taïi J,caét SB taïi R Thieát dieän caàn tìm laø nguõ giaùc KHJMR VÍ DUÏ 9: Goïi M laø moät ñieåm treân caïnh AD cuûa hình hoäp ABCD.A’B’C’D’. Tìm thieát dieän cuûa hình hoäp khi caét bôûi mp(P) qua M vaø song song vôùi BD;AC’ HD:ta coù: +BD//(P),BD(ABCD),Hai maët naøy coù ñieåm Mchung .suy ra giao tuyeán cuûa chuùng laø ñöôøng thaúng ñi qua M vaø song song vôùi BD,ñöông thaúng naøy caét CD,CB keùo daøi laàn löôït taò F vaø E ,caét AC taïi I ,caét BA taïi N +Töông töï AC’//(P),AC’ naèm trong (ACC’) vaø hai maët naøy coù ñieåm I chung . suy ra giao tuyeán cuûa chuùng laø ñöôøng thaúng ñi qua I vaø song song vôùi AC’, ñöôøng thaúng naøy caét CC’ taïi Q +(CDD’C’) vaø (P)coù hai ñieåm chung Q vaø F nhöng F khoâng naèm treân caïnh cuûa hình hoäp neân khoâng laø ñænh cuûa thieát dieän. Do ñoù noái Q vôùi F,caét DD’ taïi H + töông töï noái Q vôùi R caét BB’ taïi R Thieát dieän caàn tìm laø nguõ giaùc MNRQH VÍ DUÏ 10 : Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O.Tam giaùc SBD ñeàu . moät maët phaúng (P) ñi qua ñieåm I naèm treân ñoaïn AC vaø song song vôùi (SBD) . Tìm thieát dieän cuûa hình hoäp khi caét bôûi mp(P) HD: I coù theå thuoäc ñoaïn OA hoaëc ñoaïn OC neân phaûi chia laøm hai tröôøng hôïp +TH1:IOA Vì (SBD)//(P),(ABCD) caét ø (SBD) theo giao tuyeán laø BD. Nhö vaäy ((ABCD) caét (P) theo giao tuyeân laø ñöôøng thaúng ñi qua I vaø song song vôùi BD,giao tuyeán naøy caét AB taïi M, caét AD taïi N Töông töï (P) caét (SAB) theo giao tuyeán MP//SB,caét (SAD) heo giao tuyeán NQ// SD thieát dieän caàn tìm laø tam giaùc ñeàu MNP Lí luaän töông töï cho th2 Ñaëc bieät :neáu I O thì thieát dieän laø tam giaùc SBD Baøi giaûi: TH1: IOA Ta coù: IX caét AB taïi M, caét AD taïi N My caét AD taïi N Toùm laïi: (P)(ABCD)=MN (P)(SAD)=NQ (P)(SAB)=QM Thieát dieän caàn tìm laø tam giaùc ñeàu MNQ TH2 töông töï VÍ DUÏ 11: Cho töù dieän ABCD , G1 ,G2 ,G3 laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC ,ACD, ADB.Tìm thieát dieän cuûa töù dieän khi caét ( G1 G2 G3 ) HD Goïi M,N,I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC,CD,BD Ta chöùng minh ñöôïc ( G1 G2 G3 ) //(BCD). Nhö vaäy hai mp naøy cuøng caét (ABC) theo hai giao tuyeán song song maø (BCD) caét(ABC) theo giao tuyeán laø BC Suy ra ( G1 G2 G3 ) vaø (ABC) coù giao tuyeán ss vôùi BC ngoaøi ra (ABC) vaø ( G1 G2 G3 ) coù ñieåm G1 chung .Nhö vaäy giao tuyeán cuûa chuùng laø ñöôøng thaúng qua G1 vaø song song vôùi BC BAØI GIAÛI: Ta coù:(1) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra (BCD)// ( G1 G2 G3 ) G1 x caét AC taïi E,caét AB taïi F Keùo daøi EG2caét AD taïi H Toùm laïi: ( G1 G2 G3 )(ABC)=FE ( G1 G2 G3 )(ACD)=EH ( G1 G2 G3 )(ABD)=HF Thieát dieän caàn tìm laø tam giaùc FEH VÍ DUÏ 12 Cho hình laêng truï ABC.A’B’C’ goïi d laø giao tuyeán cuûa (AB’C’) vaø (A’BC).H laø trung ñieåm cuûa A’B’ . Tìm thieát dieän cuûa hình laêng truï khi caét bôûi mp(H,d) BAØI GIAÛI Goïi O ,O’ laàn löôït laø taâm cuûa hình bình haønh ABB’A’ vaø ACC’A’ Thì (AB’C’) ø (A’BC).=OO’=d Keùo daøi HO caét AB taïi K Ta coù ,Kx caét AC taïi J Maët khaùc: Ht caét A’C’ taïi I Toùm laïi: (H,d) (ABC)=KJ (H,d) (ACC’A’) =JI (H,d) (A’B’C’) =IH (H,d) (ABB’A’) =HK Roõ raøng töù giaùc KJIH laø hình bình haønh (vì K,J,I,H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB,AC,A’C’,A’B’) Vaäy Thieát dieän caàn tìm laø hình bình haønh KJIH BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: 1)cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh, goïi I,J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA,SB,M laø moät ñieåm treân caïnh BC. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (IJM) 2) cho hình choùp S.ABCD ,M,N laø hai ñieåm treân AB,CD, (P) qua MN vaø song song vôùi SA. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (P) 3) cho hình choùp S.ABCD ,M.N laø hai ñieåm baát kì treân caïnh SB,CD . (P) qua MN vaø song song vôùi SC. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi (P) 4) cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø moät töù giaùc loài .Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD.Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi mp qua O vaø song song vôùi AB,SC 5)cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’.Goïi M,N,E laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB,AA’,A’D’. Tìm thieát dieän cuûa hình hoäp khi caét bôûi mp (MNE) 6) Cho hình laêng truï ABC.A’B’C’ goïi I,K,G laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc ABC,A’B’C’,ACC’ . Tìm thieát dieän cuûa hình laêng truï khi caét bôûi mp (IKG) III/ YEÂU CAÀU: Hoïc sinh ñoïc kó ví duï,töø nhöõng höôùng daãn cuï theå ñoù ,hoïc sinh phaûi töï giaùc töï trình baøy baøi giaûi (döïa vaøo caùc ví duï coù trình baøy lôøi giaûi saün),ñeå hieåu baøi moät caùch thaät söï.Töø ñoù seõ töï giaûi quyeát ñöôïc baøi taäp töông töï KEÁT LUAÄN Treân ñaây laø vaøi kinh nghieäm nhoû cuûa toâi khi daïy veà vaán ñeà tìm thieát dieän cuûa hình choùp ,hình laêng truï khi caét bôûi moät maët phaúng .Toâi ñaõ duøng caùch höôùng daãn naøy vôùi caùc lôùp mình daïy vaø thaáy raèng qua söï phaân tích ,höôùng daãn thaät kó cuûa giaùo vieân ,ñaõ giuùp hoïc sinh hieåu ñöôïc caùch giaûi quyeát daïng toaùn naøy .Caùc em ñaõ tích cöïc hôn khi laøm daïng baøi taäp naøy ,vôùi nhöõng baøi taäp töông töï vöøa söùc nhö ñaõ neâu chaéc chaén raèng caùc em seõ töï giaûi ñöôïc.Döïa vaøo kieán thöùc naøy caùc em coù theå aùp duïng môû roäng khi tìm thieát dieän cuûa moät ña dieän khi caét bôûi moät maët phaúng maø caùc em seõ gaëp Raát mong ñöôïc söï ñoùng goùp yù kieán cuûa Quùi Thaày Coâ ñeå ñeà taøi ñöôïc hoaøn chænh hôn SÔÛ GIAÙO DUÏC&ÑAØO TAÏO BEÁN TRE TRÖÔØNG THPT PHAN VAÊN TRÒ ÑEÀ THI HOÏC KÌ HAI Naêm Hoïc:2008-2009 MOÂN THI: TOAÙN LÔÙP:12 BAN : cô baûn