Sáng kiến kinh nghiệm tính số đo góc

Th viện SKKN của Quang Hiệu Phần I: Đặt vấn đề I. Cơ sở lý luận Đổi mới phương pháp giảng dạy trong trường THCS là một vấn đề cấp thiết hàng đầu, từ năm học 2002 - 2003 Bộ GD & ĐT đã chỉnh lý và biên soạn SGK mới nhằm phù hợp với đối tượng học và phương pháp dạy học. Về tâm sinh lý đối với học sinh THCS chủ yếu ở lứa tuổi thiếu niên, các em đã có thói quen suy nghĩ độc lập. Tuy nhiên, khả năng tư duy của các em chưa phát triển hoàn chỉnh để nhận thức hoặc khẳng định một vấn đề nào đó, chủ yếu còn dựa vào phương pháp trực quan. Do đó, đối với yêu cầu bộ môn hình học 7, kiến thức được trình bày theo con đường trực quan suy diễn tăng cường tính thực tiễn, tăng cường luện tập thực hành, rèn luyện kỹ năng tính toán, giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lôgic, khả năng diễn đạt ý tưởng của mình và khả năng tưởng tượng. Tuy nhiên, Hình học là môn học mới tương đối khó với lứa tuổi 12, 13 đang chập chững bước đi ban đầu trong quá trình học Hình học. Khi đướng trước một bài toán học sinh rất lúng túng trước vấn đề cần chứng minh: Không biết bắt đầu từ đâu, làm gì, đi hướng nào? Không biết liên hệ giả thiết của bài toán với các kiến thức đã học, với vấn đề cần chứng minh. Do đó, việc định hướng tìm ra lời giải là một công việc rất quan trọng, đặc biệt là đối với học sinh lớp 7. II. Cơ sở thực tiễn Trong quá trình giảng dạy ở lớp 7 trong trường THCS, tôi đã nhận thấy bài toán "tính số đo góc" giúp các em vận dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn, đòi hỏi học sinh có kỹ năng tính toán số đo góc, kỹ năng chứng minh tam giác bằng nhau sử dụng tính chất của các hình đặc biệt vào giải toán giúp các em phát triển khả năng tư duy lôgic, diễn đạt ý tưởng của mình và khả năng tưởng tượng. Vì vậy bài toán "tính số đo góc" còn giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn công việc đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Trong mấy năm gần đây, các bài toán "tính số đo góc" luôn xuất hiện trong các kỳ thi Học sinh giỏi, điều đó cho thấy ý nghĩa của nó trong việc nâng cao kiến thức hình học cho học sinh, phát triển năng lực tư duy hình học cho học sinh. Tóm lại các bài tập về "tính số đo góc" là các bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán và kỹ năng tư duy, nó rất cấp thiết cho việc ôn tập và bồi dưỡng cho học sinh lớp 7 và cũng là tài liệu cần thiết cho việc tự bồi dưỡng của đội ngũ giáo viên. Vì vậy tôi muốn trao đổi cùng các đồng chí, đồng nghiệp về việc định hướng giải các bài toán "tính số đo góc" thông qua việc phát hiện và sử dụng tính chất của các cặp tam giác bằng nhau, tam giác chứa những góc có số đo xác định Tam giác cân có một góc có số đo xác định Tam giác vuông cân Tam giác đều Nửa tam giác đều Vì thế, khi gặp bài toán "tính số đo góc" ta chú ý đến quan hệ giữa các góc của tam giác liên hệ giữa các cạnh và góc của tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau và nghĩ đến việc tính số đo góc đó thông qua mối liên hệ với các góc của tam giác chứa những góc có số đo xác định nêu trên. Nhưng trong những bài toán cho việc tính số đo góc phức tạp hơn nhiều, nó không có hình nào là tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều, nửa tam giác đều thì sao? Chính điều đó đòi hỏi sự sáng tạo, từ đó ta có thể đặt câu hỏi: Bạn hãy tạo ra một hình đó được không? Với suy nghĩ như vậy giúp chúng ta vẽ được những hình phụ thích hợp làm xuất hiện những góc đặc biệt, những tam giác có chứa những góc có số đo xác định để có thể tìm ra lời giải của bài toán. Qua kinh nghiệm của bản thân, ngay từ đầu năm học tôi đã sưu tầm, tuyển chọn một số phương pháp giải toán tính số đo góc thông dụng ở lớp 7, với cách làm đó trong những năm học qua tôi đã thu được nhũng kết quả nhất định. Tuy là một vấn đề mới và khó song học sinh tiếp thu một cách tích cực và có hiệu quả. Phần II. Giải quyết vấn đề I. Nhận xét ban đầu Bài tập về phần "tính số đo góc" đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhanh và linh hoạt các định lý đã học, giả thiết của bài toán, có năng lực tư duy lôgic, kỹ năng phân tích, tổng hợp, suy tính, dự đoán kết quả tốt. Những học sinh trung bình trở xuống thường không tự lực làm được loại bài tập này, đối với học sinh khá, giỏi không phải lúc nào cũng vượt qua. Bởi vì: Chưa thành thạo trong việc tìm mối liên hệ giữa các góc phải tìm với các góc đã biết. kỹ năng biến đổi còn lúng túng. Không biết phát hiện mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận. Thường không biết bắt đầu từ đâu. Không biết dự đoán góc cần tính để có định hướng chứng minh gỡ ra đầu mối cần giải quyết. Không biết phân tích các góc cần tính để vẽ thêm đường phụ hợp lý nhằm xuất hiện các tam giác bằng nhau, các tam giác đặc biệt để vận dụng vào chứng minh Tóm lại, học sinh yếu về 3 mặt: Kiến thức, kỹ năng, phương pháp Để giúp học sinh khỏi bỡ ngỡ và tiến tới có định hướng khi giải bài toán. Tôi đã phân loại các kiến thức đã học theo đặc điểm của phương pháp. Vẽ hình đúng, chính xác. Dự đoán kết quả Phát hiện tam giác băng nhau, tam giác cân, tam giác vuông cân, nửa tam giác đều, tam giác đều. Xem xét, phân tích giả thiết, kết luận để dựng hình hợp lý. Xét đủ các khả năng xảy ra. Trong quá trình giảng dạy tạo mọi điều kiện cho học sinh luôn giữ vai trò chủ động, sáng tạo, đề ra các vấn đề giải quyết và từng bước thực hiện. II. Nội dung cụ thể Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra cặp tam giác bằng nhau. Ví dụ 1. Cho tam giác MNP có ở MNP dựng các tam giác đều MPQ, MNR, PR cắt NQ tại I. Tính góc NIP? Phân tích: Dựa vào giả thiết của bài toán phát hiện RMP = NMQ (c.g.c) (1) Từ đó có ngay: Gọi giao điểm của MN và RP là K (2) Nhận thấy: NIP tính được khi biết số đo RIN Từ (1) và (2) RIN = RMN = 600 Vậy tính được: NIP = 1200 Chứng minh Xét RMP và NMQ có: RM = MN (tính chất đều) MP = MQ (tính chất đều) RMP = NMQ (2 góc bằng nhau cùng cộng với một góc) RMP = NMQ (c.g.c) (2 góc tương ứng) Mà (đối đỉnh) RIN = RMN Mà PMN = 600 (gt) RIN = 600 NIP = 1200 Ví dụ 2. Cho ABC có  < 900, các đường cao BD, CE. Trên tia đối của BD lấy điểm M sao cho BM = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm N sao cho CN = AB. Tính MAN. Phân tích Dựa vào giả thiết của bài toán phát hiện ABM = NCA (c.g.c) Từ đó ; Dựa vào AEN vuôngÂ1 + Â2 + Â3 = 900 hay MAN = 900 Chứng minh Xét ABM và NCA có: AB = CN (gt) BM = CA (gt) ABM = ACN (tích chất góc ngoài , 2 góc đều bằng góc 900+Â3) ABM = NCA (c.g.c) (1) Ta có: MAN = Â1 + Â2 + Â3 = + Â2 + Â3 =900 (vì ) ( vì AEN vuông có Ê = 900 Vậy MAN = 900 Ví dụ 3. Cho ABC có  = 900 trên BC lấy điểm D sao cho BD = AB, đường thẳng đi qua D vuông góc với BC cắt AC ở E. Đường thẳng BE cắt đường thẳng PG của góc ngoài tại đỉnh C của ABC ở K. Tính BAK Phân tích: Phát hiện ABE = BDE (2 vuông có một cặp cạnh bằng nhau và một cạnh chung) Ktia phân giác của góc ABC Kết hợp GT: Ktia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C Từ đó nghĩ đến việc sử dụng tính chất đường phân giác trong Dự đoán: CAK = 450 , AK là phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của ABC. Do đó: Kẻ KMAB; KN AC; KP AC Chứng minh: KNC = KPC () KN = KP (1) KPB = KMB () KP = KM (2) Từ (1) và (2) KM = KN ANK = AMK () Â1 = Â2 = 450 BAK = 900 + 450 = 1350 (đpcm) Tính số đo góc thông qua việc dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữua các góc Ví dụ 4. Cho ABC cân ở A, đường cao CH. Biết BAC - BCH = 250. Tính BAC Phân tích: Góc BAC tính được khi biết BHC Do đó: Ta có thể đặt góc BHC = x để tính góc BAC Chứng minh: Đặt BHC = x Xét BHC vuông có: = 900 - x (tính chất ) Xét ABC cân ở A có: BAC = 1800 - 2. (tính chất cân) BAC = 1800 - 2(900 - x) = 2x Theo GT: BAC - BHC = 250 2x - x = 250 x = 250 BAC = 500 (đpcm) Ví dụ 5. Trên hai cạnh AC và BC của ABC lấy điểm M, N sao cho AN = BM = AB. Gọi O là giao điểm của BM và An biết AOM = 600. Tính ACB? Phân tích: Góc C tính được khi biết CAB = CBA Do đó: để tính số đo của góc C Ta có thể đặt: CAB = x; CBA = y và dựa vào giả thiết Â1 + Chứng minh: Đặt CAB = x; CBA = y = 1800 - (x + y) (1) Xét ABM cân ở B x = (1800 - 1) :2= 900 Xét ABN cân ở A y = x + y = Mà x + y = 1800 - 300 = 1500 (2) Từ (1) và (2) ACB = 300 có: BAC = 1800 - 2. (tính chất cân) BAC = 1800 - 2(900 - x) = 2x Theo GT: BAC - BHC = 250 2x - x = 250 x = 250 BAC = 500 (đpcm) Tính số đo góc phải xét đủ các tập hợp về số đo góc có thể xảy ra. Ví dụ 6. Tính góc A của ABC cân tại A. Biết rằng có một đường thẳng đi qua A chia tam giác đó thành hai tam giác cân. Phân tích: Gọi D là giao điểm của đường thẳng đi qua A với BC chia ABC thành 2 tam giác cân Do ADB, ADC bù nhau Tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 900 Chẳng hạn ADC > 900, khi đó ADB phải là đỉnh của ADB cân. Xét 3 trường hợp đối với ACD Chứng minh: Trường hợp 1: ACD cân ở A Khi đó ADC = (vô lý) Vì góc ADC > (tính chất góc ngoài ) Trường hợp 2: ACD cân ở C (hình 1) Đặt = BAD = x ADC = 2x; DAC = 2x; = x Ta có 2x + 2x + x = 1800 (tính chất tổng 3 góc của ) x = 360 BAC = 3x = 1080 (1) Trường hợp 3: ACD cân ở D (hình 2) Khi đó: DA = DB = DC Đặt = BAD = x = CAD = x Xét ABC có: + BAC = 1800 x + x + 2x = 1800 x = 450 BAC = 2x = 900 (2) Từ (1) và (2) ta có: BAC = 1800 hoặc BAC = 900 Ví dụ 7. Cho ABC, trực tâm H, AH = BC. Tính BAC Phân tích: Do bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác nên ta xét 3 trường hợp xảy ra: Trực tâm nằm bên trong Trực tâm nằm bên ngoài Trực tâm trùng với đỉnh của Do đó ta xét Trường hợp  < 900 Trường hợp  > 900 Trường hợp  = 900. Không xảy ra vì khi đó HA Chứng minh: a) Trường hợp 1:  < 900 Ta có 2 vuông AEH = BEC (cạnh huyền, góc nhọn) AE = BE ABE vuông cân tại E BAE = 450 Hay BAC = 450 b) Trường hợp 2:  > 900 Ta có: 2 vuông BEC = HEA (cạnh huyền, góc nhọn) HE = BE BEH vuông cân tại E BHE = 450 BAC = 1350 Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông nhờ định lý Pi-ta-go Ví dụ 8. Cho ABC vuông cân ở B và một điểm M nàm trong tam giác. Biết MA = 1cm; MB = 2cm; MC = 3cm. Tính góc AMB Phân tích: Dự đoán AMB khoảng 1350 AMB = 450 + 900 Mà 450 là góc của vuông cân Do đó nghĩ đến việc dựng vuông cân MBK ra ngoài BMC Chứng minh: Dựng MBK vuông cân tại B, ở phía ngoài BMC BK = BM Xét ABK và BMC có: BM = BK (Gt) AB = BC (Gt) ABK = MBC (cùng phụ với ) ABK = CBM (c.g.c) AK = MC = 3cm Ta có: KM2 = BK2 = 22 + 22 = 8 (cm) AK2 = 32 = 9 (cm) AM2 = 12 = 1 (cm) AK2 = KM2 + AM2 AMK vuông ở M AMK = 900 Mà KMB = 450 (cách dựng) AMB = 450 + 900 = 1350 Ví dụ 9. Cho ABC cân ở A,  = 300; BC = 2cm. Trên AC lấy điểm D sao cho AD = cm. Tính góc ADB và một điểm M nàm trong tam giác. Biết MA = 1cm; MB = 2cm; MC = 3cm. Tính góc AMB Phân tích: Dự đoán AMB khoảng 1350 AMB = 450 + 900 Mà 450 là góc của vuông cân Do đó nghĩ đến việc dựng vuông cân MBK ra ngoài BMC Chứng minh: Dựng MBK vuông cân tại B, ở phía ngoài BMC