Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích trong giải toán

MỤC LỤC Mục lục ......................................................................................... trang 1 I - Đặt vấn đề ............................................................................... trang 2 II - Giải quyết vấn đề ........................... trang 2 A - Cơ sở lý luận ................... trang 2 B - Thực trạng của vấn đề...................... trang 3 C - Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề............. trang 3 D - Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm........................ trang 13 III - Kết luận.................................. trang 13 Tài liệu tham khảo..................... trang 14 Đánh giá của Hội đồng khoa học cấp trường ....................................... trang 14 Đánh giá của Hội đồng khoa học cấp Tỉnh .......................................... trang 14 Tên đề tài: “ ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TRONG GIẢI TOÁN” I – ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay phần hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng trong việc xác định đường cao của đa diện. Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện và tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Ứng dụng của tỉ số thể tích trong giải toán ”. 2. Đối tượng áp dụng: Đề tài áp dụng được cho học sinh các khối lớp 12 3. Phạm vi thực hiện đề tài: Đề tài được áp dụng trong phần tính thể tích khối đa diện chương trình hình học lớp 12 II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. Bài toán 1: (Bài 4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S. CMR: (1) Giải: Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét SAH ta có (*) Do đó (**) Từ (*) và (**) ta được đpcm □ Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’B và C’C ta được (1’) Ta lại có Vậy: (2) Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây: Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2An (, trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có (2’) Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2) B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong thực tế giảng dạy hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc xác định đường cao của đa diện. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được. Nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện và tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi nghiên cứu và viết đề tài: “ Ứng dụng của tỉ số thể tích trong giải toán ”. C. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ , Khối chóp , Khối hộp chữ nhật , ) rồi cộng các kết quả lại. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối. Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do đó Vậy Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’) Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’ Ta có ; Suy ra Kẻ OO’//AC’ ( . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C Do đó Hay * Bài tập tham khảo: Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng () qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính để mặt phẳng () chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS: DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,, và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: Áp dụng công thức (1) ta có Suy ra Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều 2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: Ta có Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được Gọi H là trung điểm của AD ta có mà nên . Do đó Vậy: (đvtt) Ví dụ 3: Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: Ta có AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có Tương tự Do đó VD.AMN = .VD.ABC =.VD.ABC. Suy ra VA.BCMN = .VD.ABC Mà VD.ABC = . Vậy VA.BCMN = (đvtt) Ghi chú: Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: N Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó nên (1) Mặt khác (2) Từ (1) và (2) suy ra Mà . Vậy (đvtt) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải: Từ giả thiết ta tính được . Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA. Ta có (đvtt) * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có . Tính thể tích tứ diện ABCD. ĐS: Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a ĐS: Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ĐS: Bài 4: (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. ĐS: và DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). Giải: Ta có AB2 + AC2 = BC2 Do đó Mặt khác CD = , BD = BC = 5 Nên cân tại B, gọi I là trung điểm của CD Vậy Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) Giải: Ta có vuông tại A và AH là đường cao nên Ta có Vậy Mà . vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2), do đó . Vậy Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C Giải: Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’ Suy ra B’C //(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có Ta có Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có Hơn nữa , nên ta được AE Mà AE = , vuông tại B nên vuông tại B nên Do đó Vậy: Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’) Giải: Theo giả thiết ta có A’H (ABC). Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = BC = a. vuông tại H nên ta có Do đó . Mặt khác Suy ra Ta có Vì vuông tại A’ Suy ra B’H = . cân tại B’. Gọi K là trung điểm của BH, ta có . Do đó Suy ra Vậy * Bài tập tham khảo : Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) ĐS: Bài 3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b ĐS: Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện ĐS: Bài 5: Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện của tứ diện. CMR: DẠNG 4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo công thức , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết rằng Giải: Gọi K là trung điểm của BC và I là trung điểm của MN. Ta có (1) Từ và (do cân tại A ) nên Mặt khác, do đó Từ (1) (O là trọng tâm của tam giác ABC) Ta có cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên AK = AS = Và SI = Vậy (đvdt) * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 ). Một mặt phẳng qua A và vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện. Xác định thiết diện đó Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a) ĐS: Thiết diện AMN có diện tích Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) Chứng minh rằng: Tính diện tích tam giác BCD ĐS: D. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tícht trong một số bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học trò các lớp kết quả như sau Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài 2013-2014 12A2 35 5 28 12A4 36 8 21 12A5 34 5 19 III – KẾT LUẬN Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là tỉ số thể tích, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu . Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học. Từ những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn. Bên cạnh đó tôi xin đề nghị các giáo viên giảng dạy bộ môn cần phải tìm hiểu chương trình giảng dạy từ đó tìm ra các phương pháp mới nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục qua môn học TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải toán hình học 12, tác giả: Trần Thành Minh ( chủ biên ) Sách giáo khoa: Hình học 12 Tuyển tập các đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2002 – 2012 – NXB Giáo Dục Phương pháp giảng dạy môn Toán, tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TỈNH ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................