Sáng kiến kinh nghiệm: Vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán

§Ò tµi: Vai trß cña tø gi¸c néi tiÕp trong gi¶i to¸n I- §Æt vÊn ®Ò. Trong ch­¬ng tr×nh h×nh häc líp 9 viÖc chøng minh ®­îc vËn dung nhiÒu ®Õn kh¸i niÖm gãc liªn quan ®Õn ®­êng trßn, nªn viÖc sö dông tø gi¸c néi tiÕp trong chøng minh ®ãng vai trß quan träng . Nh­ng ®èi víi häc sinh líp 9 khi chøng minh mét tø gi¸c néi tiÕp mét ®­êng trßn cßn h¹n chÕ ë tÝnh chÊt “ Tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng hai gãc vu«ng “ do ®ã ®èi víi häc sinh trung b×nh , kh¸ th­êng gÆp khã kh¨n trong viÖc gi¶i to¸n h×nh häc ë líp 9 . V× vËy qua ®Ò tµi nµy t«i muèn gióp c¸c em nh×n l¹i c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt mét tø gi¸c néi tiÕp vµ ®Æc biÖt lµ vËn dông tø gi¸c néi tiÕp mét ®­êng trßn ®Ó chøng minh mét sè d¹ng bµi to¸n kh¸c nhau ë møc ®é ®¬n gi¶n ®Ó c¸c em hiÓu râ h¬n vÒ viÖc chøng minh tø gi¸c néi tiÕp vµ vai trß cña tø gi¸c néi tiÕp trong gi¶i to¸n. II- Néi dung ®Ò tµi. 1) X©y dùng kiÕn thøc c¬ b¶n Bµi to¸n: Cho tø gi¸c ABCD . Hai ®­êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i N, hai c¹nh AB vµ CD c¾t nhau t¹i M. C¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y lµ t­¬ng ®­¬ng. Tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong mét ®­êng trßn. ACB = ADB ABC + ADC = 1800 DAB = MCB MA.MB = MC.MD NA.NC = NB.ND AB.CD + AD.BC = AC.BD (§Þnh lý Pt«-lª-mª) 2) T×m hiÓu chøng minh tø gi¸c néi tiÕp th«ng qua bµi tËp. Bµi tËp 1: Cho ®­êng trßn (O) vµ ®iÓm A n»m ngoµi (O). Qua A kÎ tiÕp tuyÕn AB vµ c¸t tuyÕn AMN víi ®­êng trßn (O). LÊy I lµ trung ®iÓm MN . Chøng minh A, B, O, I cïng thuéc mét ®­êng trßn. H­íng dÉn: *) T/h 1. C¸t tuyÕn AMN vµ tiÕp tuyÕn AB n»m vÒ 2 nöa mp bê lµ ®­êng th¼ng chøa ®o¹n th¼ng OA Ta cã ABO + AIO = 900 + 900 = 1800 ABOI néi tiÕp 1 ®­êng trßn *) T/h 2. C¸t tuyÕn AMN vµ tiÕp tuyÕn AB n»m cïng nöa mp bê lµ ®­êng th¼ng chøa ®o¹n th¼ng OA + Lîi dông ®Þnh nghÜa ®­êng trßn. LÊy C lµ trung ®iÓm cña OA => CA = CB = CO = CI ABIO néi tiÕp 1 ®­êng trßn + Lîi dông cung chøa gãc . Ta cã I vµ B cïng thuéc cung chøa gãc 900 dùng trªn OA ABIO néi tiÕp 1 ®­êng trßn Bµi tËp 2: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB . Trªn nöa ®­êng trßn ®ã lÊy 2 ®iÓm C vµ D sao cho AC = CD = DB, c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ C vµ B cña ®­êng trßn c¾t nhau t¹i I . Hai tia AC vµ BD c¾t nhau t¹i K. Chøng minh tø gi¸c KIBC néi tiÕp mét ®­êng trßn (b»ng hai c¸ch) H­íng dÉn: C¸ch 1: Ta cã KCI = KBI Tø gi¸c KIBC néi tiÕp mét ®­êng trßn C¸ch 2. Gäi giao ®iÓm DK vµ CI lµ M DKMI = DDMC (c- g - c) Nªn KI // CD => KIB = KCB = 900 Tø gi¸c KIBC néi tiÕp mét ®­êng trßn NhËn xÐt : Qua hai bµi tËp nªu trªn phÇn nµo ®· cho häc sinh thÊy ®­îc viÖc chøng minh 1 tø gi¸c néi tiÕp 1 ®­êng trßn b»ng nhiÒu c¸ch. Do ®ã qua bµi tËp nµy ®· rÌn thªm häc sinh c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp 1 ®­êng trßn. Víi ®Ò tµi nµy t«i môc ®Ých khai th¸c khai th¸c tø gi¸c néi tiÕp ®Ó chøng minh mét sè yÕu tè th«ng qua c¸c bµi tËp ®Ó häc sinh thÊy ®­îc vai trß tø gi¸c néi tiÕp trong gi¶i to¸n cã phÇn qua träng nh­ thÕ nµo. 3) Vai trß cña tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn trong gi¶i to¸n. D¹ng 1: Vai trß tø gi¸c néi tiÕp trong chøng minh c¸c gãc b»ng nhau. Bµi tËp 1a: Cho ®­êng trßn t©m (O) vµ mét ®iÓm C ë ngoµi ®­êng trßn. Tõ C kÎ hai tiÕp tuyÕn CE,CF vµ c¸t tuyÕn CMN tíi ®­êng trßn. §­êng th¼ng CO c¾t ®­êng trßn (O) t¹i hai ®iÓm A vµ B. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AB víi EF. Chøng minh r»ng AIM = BIN H­íng dÉn: Ta cã CM. CN = CI. CO (= CE2) L¹i cã CEM = CNE (cïng ch¾n cung ME) S DCMI DCON (c- g - c) Tø gi¸c IONM néi tiÕp 1 ®­êng trßn Nªn IOM = INM = s® MM/ s® AM = s® MM/ AM = AM/ VËy AIM = BIN (= AIM/) Bµi tËp 1b: Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn (O) lÊy ®iÓm C , gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÓ tõ C xuèng AB . M vµ N lÇn l­ît lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ACH vµ BCH. Gäi giao ®iÓm MN víi AC vµ BC lÇn l­ît lµ P vµ Q. Chøng minh CPQ = MHC Khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn t©m O th× ®­êng trung trùc PQ lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh H­íng dÉn: S Ta cã DNCH DMAH (g- g) V× MHA = NCH = 450 vµ MAH = NCH => S DMHN DAHC (c- g - c) Nªn tø gi¸c APMH néi tiÕp 1 ®­êng trßn CPQ = MHC (®pcm) Tam gi¸c PCQ vu«ng c©n t¹i C §­êng trung trùc PQ lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh D¹ng 2: Vai trß tø gi¸c néi tiÕp trong chøng minh c¸c ®o¹n th¼ng b»ng nhau. Bµi tËp 2a: Cho tam gi¸c ABC (AB < AC) , ®­êng trung tuyÕn AD vµ ®­êng ph©n gi¸c AE. §­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADE c¾t AB vµ AC lÇn l­ît t¹i M vµ N. Chøng minh BM = CN. H­íng dÉn: VÏ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABE c¾t AC t¹i F V× BAE = CAE => EB = EF vµ EM = EN Do tø gi¸c ABEF vµ tø gi¸c AMEN BEF = MEN do ®ã BEM = FEN Nªn DBEM = DFEN (c-g-c) => BM = FN (1) L¹i cã tø gi¸c AEDN néi tiÕp nªn CDN = EBF (= EAN) Do ®ã DN // BF XÐt DCBF cã DB = DC, DN // BF => CN = FN (2) Tõ (1) vµ (2) => BM = CN (®pcm) Bµi tËp 2b: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O, ®­êng ph©n gi¸c AD. Gäi H,K theo thø tù lµ t©m c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ACD . Chøng minh OH = OK. H­íng dÉn: Ta cã OH, OK vµ HK lÇn l­ît lµ trung trùc cña AB, AC vµ AD Nªn AIHM vµ AMNK lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp Do BAD = CAB => OHK = OKH OH = OK Bµi tËp 2c: Tõ ®iÓm A bªn ngoµi ®­êng trßn (O) , vÏ c¸c tiÕp tuyÕn AB, AC (B vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn ADE . §­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi OB c¾t BC , BE theo thø tù t¹i H vµ K. Chøng minh r»ng DH = HK H­íng dÉn: KÎ OM ^ DE, c¸c ®iÓm B, C, M cïng thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AO => BCM = BAM L¹i cã BAM = HDM (soletrong) => HDM = BCM Do ®ã tø gi¸c CDHM néi tiÕp 1 ®­êng trßn DCH = HMD L¹i cã DCH = AEB => HMD = AEB => MH // EB Nªn DH = HK (®pcm) D¹ng 3: Vai trß tø gi¸c néi tiÕp trong chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng. Bµi tËp 3a: Tø gi¸c ABCD cã ABC = 700, ADC = 1100 . Gäi H, I, K theo thø tù lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ D ®Õn c¸c ®­êng th¼ng AB, AC vµ BC . Chøng minh r»ng 3 ®iÓm H, I, K th¼ng hµng. H­íng dÉn: Ta cã c¸c tø gi¸c AHDI vµ DIKC néi tiÕp DIH + DIK = DAH + 1800 – DKC (1) Do tø gi¸c ABCD néi tiÕp mét ®­êng trßn Nªn DCK = DAH (2) Tõ (1) vµ (2) => DIH + DIK = 1800 Nªn ba ®iÓm H, I, K th¼ng hµng Bµi tËp 3b: Cho tam gi¸c nhän ABC, ®­êng cao AD, trùc t©m H . Gäi AM, AN lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh BC (M, N lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Chøng minh ba ®iÓm M, H, N th¼ng hµng. H­íng dÉn: Ta cã AN2 = AE. AC Do tø gi¸c DHEC néi tiÕp 1 ®­êng trßn Nªn AE . AC = AH. AD S => AN2 = AH. AD => DAHN DAND (c- g - c) => AHN = AND Chøng minh t­¬ng tù ta cã AHM = AMD Do tø gi¸c AMDN néi tiÕp (c/m dÔ dµng) AHN + AHM = AND + AMD = 1800 Ba ®iÓm M, H, N th¼ng hµng (®pcm) Bµi tËp 3c: §­êng trßn t©m O néi tiÕp tam gÝc ABC , tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, AC lÇn l­ît t¹i F vµ E . Gäi H lµ h×nh chiÕu cña B trªn CO; K lµ h×nh chiÕu cña C trªn BO . Chøng minh r»ng 4 ®iÓm E, F, H, K th¼ng hµng. H­íng dÉn: Ta cã tø gi¸c HFOB vµ HKCB néi tiÕp OHF = FBO = KBC vµ CHK = CBK Do ®ã OHF = CHK => H, F, K th¼ng hµng Chøng minh t­¬ng tù ta cã H, E, K th¼ng hµng VËy 4 ®iÓm E, F, H, K th¼ng hµng. (®pcm) D¹ng 4: Vai trß tø gi¸c néi tiÕp ®Ó t×m quü tÝch. Bµi tËp 4a: Cho ®­êng trßn (O, R) AB vµ CD lµ hai d©y cña ®­êng trßn (O) sao cho AB // CD. M lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn (O) MD c¾t AB tai Q . T×m quü tÝch t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCQ. H­íng dÉn: PhÇn thuËn: XÐt M ch¹y trªn cung lín CD cña (O) T¹i C kÓ tiÕp tuyÕn cña (O). Gäi giao ®iÓm Cña tiÕp tuyÕn t¹i C víi AB lµ E => E cè ®Þnh Ta cã MCE = MQE = MDC MECQ néi tiÕp Nªn t©m I cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCQ trïng víi t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MEC => T©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCQ thuéc trung trùc CE XÐt M ch¹y trªn cung nhá CD cña (O) T¹i C kÓ tiÕp tuyÕn cña (O). Gäi giao ®iÓm Cña tiÕp tuyÕn t¹i C víi AB lµ E => E cè ®Þnh Ta cã xCM = EQD => EQM + ECM = 1800 MCEQ néi tiÕp Nªn t©m I cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCQ trïng víi t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MEC => T©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCQ thuéc trung trùc CE VËy M chuyÓn ®éng trªn (O) th× t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCQ thuéc trung trùc EC PhÇn ®¶o: LÊy I/ thuéc trung trùc EC . VÏ ®­êng trßn (I/; I/C) c¾t AB nt¹i Q/ vµ c¾t (O;R) t¹i M/ chøng minh Q/, M/ , D th¼ng hµng (chøng minh dÔ dµng) VËy quü tÝch t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCQ lµ trung trùc cña CE Bµi tËp 4b: Cho h×nh vu«ng ABCD t©m O. Mét ®­êng th¼ng xy quay quanh O vµ c¾t hai c¹nh AD vµ BC lÇn l­ît t¹i M vµ N. Trªn CD lÊy ®iÓm K sao cho DK = DM. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña K trªn xy. T×m quü tÝch ®iÓm H. H­íng dÉn PhÇn thuËn: Ta cã tø gi¸c MHKD, NHKC néi tiÕp Nªn DMK = DHK =450 V× CN = AM vµ DM = DK => CK = CN KHC = KNC = 450 Do ®ã DHC = 90 0 VËy H n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD Giíi han: §iÓm H chØ n»m trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD n»m trong h×nh vu«ng PhÇn ®¶o: LÊy H bÊt k× n»m trªn n÷a ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD. VÏ ®­êng th¼ng HO c¾t c¹nh AD vµ BC t¹i M vµ N, lÊy ®iÓm K trªn CD sao cho DK = DM. Chøng minh H lµ h×nh chiÕu cña K trªn MN Ta cã tø gi¸c HOCD néi tiÕp => DHM = DCO = 450 MÆt kh¸c DKM = 450 => DHM = DKM => tø gi¸c HKDM néi tiÕp => KHM = 900 => KH ^ MN => H lµ h×nh chiÕu cña K trªn MN VËy: Quü tÝch cña ®iÓm H lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD n»m trong h×nh vu«ng D¹ng 5: Vai trß tø gi¸c néi tiÕp trong chøng minh ®iÓm cè ®Þnh. Bµi tËp 5a: Cho gãc vu«ng xAy, ®iÓm B cè ®Þnh trªn Ay, ®iÓm C di chuyÓn trªn Ax. §­êng trßn t©m I néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi AC, BC theo thø tù t¹i M vµ N. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. H­íng dÉn: Gäi giao ®iÓm MN víi AI lµ H Ta cã tø gi¸c CNIM néi tiÕp 1 ®­êng trßn => BNH = BIA (cïng b»ng 900 + ) Tø gi¸c BIHN néi tiÕp 1 ®­êng trßn Nªn BNI = BHI = 900 hay BNI = BHA = 900 BH ^ AI Do tia AI vµ ®iÓm B cè ®Þnh H cè ®Þnh (®pcm ) Bµi tËp 5b: Cho 3 ®iÓm A, B, C theo thø tù th¼ng hµng . §­êng th¼ng D vu«ng gãc víi AB t¹i C , ®iÓm M di ®éng trªn d , vÏ BD vu«ng gãc víi AM t¹i D , BD c¾t d t¹i N. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AN vµ BM . Chøng minh r»ng ®­ên trßn ®­êng kÝnh MN ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh Chøng minh r»ng ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh Chøng minh t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN thuéc 1 ®­êng cè ®Þnh Chøng minh ®­êng th¼ng DE ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh H­íng dÉn: Gäi giao ®iÓm AB víi ®­êng trßn ®­êng kÝnh MN lµ J vµ L ta cã CJ . CL = CM . CN = CA . CB = h»ng sè mµ CJ = CL J vµ L cè ®Þnh VËy: §­êng trßn ®­êng kÝnh MN lu«n ®i qua 2 ®iÓm ccè ®Þnh J, L n»m trªn AB b) Gäi S lµ giao ®iÓm thø 2 cña AB víi (AMN) ta cã MC . NC = AC . SA = CA . CB = h»ng sè ®iÓm S cè ®Þnh VËy : §­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN lu«n ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh A vµ S n»m trªn AB Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN OA = OM = ON = OS (c/m trªn) Do A vµ S cè ®Þnh => t©m O n¨m trªn trªn trung trùc SA (cè ®Þnh) Gäi giao ®iÓm cña DE víi AB lµ K Ta thÊy tø gi¸c JLNE néi tiÕp 1 ®­êng trßn => AJ . AL = AE . AN (1) Ta chøng minh ®­îc tø gi¸c KSNE néi tiÕp 1 ®­êng trßn => AK . SA = AE . AN (2) Tõ (1) vµ (2) => SA . AK = AL . AJ Do A, S, L, J cè ®Þnh (c/m trªn) => K cè ®Þnh VËy: DE lu«n ®i qua ®iÓm K cè ®Þnh n»m trªn AB mµ AK = D¹ng 6: Vai trß tø gi¸c néi tiÕp trong chøng minh cùc trÞ h×nh häc. Bµi tËp 6a: Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O) Gäi M lµ mét ®iÓm trªn cung ABC. VÏ MD ^ BC ; ME ^ AC; MF ^ AB. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt. H­íng dÉn: Theo bµi 3a ta cã ba ®iÓm D, E, F th¼ng hµng Do bèn ®iÓm F, D, M, B cïng n»m trªn 1 ®­êng trßn => DFM = DBM t­¬ng tù ta cã DCM = DEM S nªn DMFE DMBC (g-g) => => EF ≤ BC Do ®ã EF lín nhÊt khi E trïng víi C, F trïng víi B Khi vµ chØ khi MA lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (O) Bµi tËp 6b: Cho tam gi¸c ABC nhän ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh BC. Gäi P, Q lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB , AC . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó PQ cã ®é dµi nhá nhÊt. H­íng dÉn: Do tø gi¸c APMQ néi tiÕp ®­êng trßn Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ KÎ OH ^ PQ. §Æt BAC = a => POH = a Ta cã PQ = 2PH = 2.OP.sin a = AM sina Do a kh«ng ®æi Nªn PQ nhá nhÊt khi AM nhá nhÊt Do ®ã AM nhá nhÊt ó AM ^ BC VËy PQ nhá nhÊt khi AM ^ BC 4) C¸c bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A néi tiÕp ®­êng trßn (O), ®iÓm D thuéc tia ®èi cña tia AD, CD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i E. tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i B c¾t EA t¹i F. Chøng minh r»ng FD song song víi BC . Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. vÏ ®­êng trßn (O) tiÕp xóc víi AB t¹i B vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C. Gäi I lµ mét ®iÓm thuéc c¹nh BC (IB > IC) ®­êng vu«ng gãc víi OI t¹i I c¾t AB, AC theo thø tù t¹i D vµ E . Chøng minh OD = OE vµ BD = CE. Bµi 3: Cho h×nh thang c©n ABCD (AB // CD) , ®iÓm E n»m gi÷a Cvµ D . VÏ ®­êng trßn (O) ®i qua E vµ tiÕp xóc víi AD t¹i D. VÏ ®­êng trßn (O/) ®i qua E vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C . Gäi K lµ giao ®iÓm thø hai cña hai ®­êng trßn ®ã. Chøng minh r»ng ba ®iÓm K, E, B th¼ng hµng. Bµi 4: Cho gãc vu«ng xOy , ®iÓm A cè ®Þnh thuéc tia Oy, ®iÓm B dy chuyÓn trªn tia Ox. Gäi C lµ ®Ønh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng ABC (C vµ O kh¸c phÝa ®èi víi AB). T×m quü tÝch c¸c ®iÓm C. Bµi 5: Cho tø gi¸c ABCD c¸c ®­êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau ë M, c¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau ë N . Chøng minh r»ng c¸ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp bèn tam gi¸c MBC, MAD, NAB, NCD cïng ®i qua mét ®iÓm. Bµi 6: Cho ®­êng trßn (O;R) BC lµ d©y cung cè ®Þnh kh¸c ®­êng kÝnh. §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho tam gi¸c ABC nhän. KÎ c¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm A ®Ó chu vi tam gi¸c DEF ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. III- KÕt luËn : Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· ¸p dông ®èi vãi nhiÒu ®èi t­îng häc sinh tõ häc sinh yÕu kÐm ®Õn häc sinh kh¸ giái t«i nhËn thÊy: - Häc sinh ®­îc rÌn luyÖn nhiÒu cho nªn viÖc chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn mét c¸ch thµnh th¹o. - Häc sinh tiÕp thu bµi mét c¸ch chñ ®éng , tÝch cùc vµ kh¸m ph¸ ®­îc tèt tÝnh chÊt vÒ tø gi¸c néi tiÕp mét ®­êng trßn vµ gióp cho häc sinh tr¸nh ®­îc nhÇm lÉn ®¸ng tiÕc khi chøng minh vÒ tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn vµ n¾m ®­îc tÊt c¶ c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn. - Häc sinh ®­îc hiÓu thªm vÒ b¶n chÊt cña tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn vµ c¸c mèi quan hÖ gi÷a gãc víi cung bÞ ch¾n. - RÌn luyÖn thªm cho häc sinh kü n¨ng kü x¶o trong chøng minh vµ biÕt cachs vËn dông hîp lý tø gi¸c néi tiÕp trong chøng minh th«ng qua c¸c gãc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung.Còng tõ ®ã gióp c¸c em cñng cè vµ kh¾c s©u ®­îc b¶n chÊt cña tø gi¸c néi tiÕp. Trªn ®©y lµ mét sè suy nghÜ cña b¶n th©n vÒ viÖc chøng minh tø gi¸c néi tiÕp mét ®­êng trßn vµ vai trß cña nã trong gi¶i to¸n. Còng thÊy ®­îc r»ng kh«ng ph¶i bµi tËp nµo thuéc d¹ng to¸n nµo còng lµm ®­îc nh­ vËy . Do ®ã khi chøng minh mét ®iÒu g× cÇn ph¶i xem xÐt mét c¸ch ®Çy ®ñ vµ toµn diÖn ®Ó chän ph­¬ng ¸n chøng minh hîp lý, cã nh­ vËy míi gióp cho c¸c em say s­a trong gi¶i bµi tËp vµ mang l¹i hiÖu qu¶ cao trong häc tËp VËy mong c¸c thÇy c« vµ ®ång nghiÖp ®äc vµ gióp t«i hoµn thiÖn h¬n ®Ò tµi nµy. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !!! Ng­êi viÕt Phan Xu©n Giang