Sáng kiến kinh nghiệm - Vận dụng hằng đẳng thức

Đề Tài: ? & @ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: ĐẶT VẤN ĐỀ: Việc học sinh học tập về hằng đẳng thức đáng nhớ là rất quan trọng của bộ môn đại số 8 nói riêng và phát triển tư duy toán học nói chung. Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh có nhiều yếu tố làm cho khả năng nhận thức và vận dụng hằng đẳng thứccủa học sinh không đạt được kết quả mong đợi. Do đó, việc khắc phục sự yếu kém trong học và áp dụng hằng đẳng thức là điều vô cùng cần thiết , cần phải tiến hành thường xuyên trong suốt quá trình giảng dạy và học tập của thầy và trò. MỤC ĐÍCH ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán THCS, học sinh được làm quen với việc học hằng đẳng thức từ lớp 8. Tuy nhiên trong phạm vi chương trình, ở lớp 8 học sinh cũng chỉ tiếp cận hằng đẳng thức ở mức độ phát hiện và áp dụng. Vì vậy việc hoàn thiện khả năng học tập và áp dụng hằng đẳng thức từ lớp 8 là rất quan trọng, làm tiền đề cho việc học tốt môn đại số trong những năm sau. Quá trình vận dụng hằng đẳng thức ở bậc học phổ thông là một quá trình liên tục kéo dài trong nhiều năm. Do đó nếu học sinh học tốt hằng đẳng thức sẽ vận dụng tốt trong bài tập, đồng thời trên cơ sở đó giúp học sinh nhớ được lâu hơn và từ đó có thể phát hiện và tiếp cận các dạng bài tập tiếp theo một cách tích cực và chủ động . Đây cũng là một yếu tố gây hứng thú và sự yêu thích bộ môn. Ngược lại, với một vốn kiến thức về hằng đẳng thức lỏng lẻo, mơ hồ thì việc học bộ môn đại số cực kỳ khó khăn với học sinh. Khắc phục được sự yếu kém trong học và áp dụng hằng đẳng thức sẽ giúp học sinh vận dụng tốt trong bài tập, có được tự tin, tránh sự chán nản, bất lực và sợ sệt trong học hằng đẳng thức nói riêng và môn toán nói chung. Lịch sử đề tài: Đề cương phụ đạo học sinh yếu kém lớp 8 – 9 năm học 2003 – 2004 Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 các năm học 2003 đến nay NỘI DUNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM: THỰC TRẠNG ĐỀ TÀI Tình hình chung: Đại đa số giáo viên tổ bộ môn của trường là những giáo viên có nhiều kinh nghiệm, tâm huyết trong giảng dạy. Vì vậy học sinh có mặt bằng kiến thức khá tốt. Là một trường có đa số học sinh sống trên địa bàn thị trấn, có điều kiện học tập khá thuận lợi Do nhiều nguyên nhân, trong thời gian qua thái độ học tập của học sinh còn nhiều thụ động, thiếu tính tích cực. Do đó kiến thức tiếp thu được còn hời hợt, không có hệ thống mạch lạc. Động cơ học tập của khá nhiều học sinh còn mơ hồ thậm chí không có động cơ học tập. Tình hình dạy và học bộ môn: Bộ sách giáo khoa mới đã từng bước thay đổi phương pháp dạy và học của thầy và trò. Đã có sự thay đổi cơ bản trong tiếp cận và hình thành kiến thức ở học sinh, đa số các bài học có cách tiếp cận gần gũi với trình độ học sinh. Là những năm đầu tiên thực hiện chương trình đổi sách giáo khoa, không thể tránh khỏi có nhiều vấn đề còn bở ngỡ cho cả giáo viên và học sinh. Do đó hiệu quả việc thực hiện ý đồ của SGK ít nhiều bị hạn chế Đối với HS do vẫn chưa thích nghi hoàn toàn với phương pháp học chủ động. Từ đó đã có không ít học sinh vẫn không phát huy được khả năng tự tiếp cận kiến thức NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT: Đối với học sinh trung bình, yếu, mất căn bản về hằng đẳng thức ở lớp 8 Qua những bài cụ thể cần làm cho học sinh hiểu rõ hơn ý nghĩa của hằng đẳng thức và đẳng thức khác nhau ở chổ nào, tại sao phải thuộc và nhận dạng hằng đẳng thức. Tập cho học sinh phân tích nhận dạng hằng đẳng thức trong một biểu thức đại số Cho học sinh khai triển hằng đẳng ở cả hai chiều, khả năng quan sát nhận dạng biểu thức đang ở vế nào của hằng đẳng thức Dần dần tập cho học sinh kỹ năng vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức, tìm mẫu chung các phân thức, chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản . . . thường xuyên củng cố và cho học sinh ôn tập các hằng đẳng thức đã học, đặc biệt là những hằng đẳng thức thường xuyên sử dụng. Đối với học sinh khá giỏi: Làm cho học sinh thấy ích lợi, sự cần thiết của các hằng đẳng thức và vai trò của hằng đẳng thức trong chứng minh biểu thức đại số và các tính chất toán học nói chung Tập cho học sinh tìm tòi, dự đoán, tự phát hiện ra dạng hằng đẳng thức Dần dần hình thành cho các em phương pháp chứng minh: Tổng hợp, phản chứng, phân tích đi lên và đi xuống. Tập cho học sinh nắm vững các dạng vận dụng hằng đẳng thức cho các bài toán Khi, chỉ khi, khi và chỉ khi, với mọi. Thông qua các bài tập cụ thể, tập cho học sinh đối chiếu, so sánh, phân tích, kiểm tra đề bài tập với dạng của một số hằng đẳng thức đã học Thường xuyên củng cố và cho học sinh ôn tập các hằng đẳng thứcđã học, bao gồm các hằng đẳng thức thường xuyên sử dụng BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT: Dạy học từng hằng đẳng thức : có thể tiến hành các bước sau: Bước 1: làm cho học sinh thấy cần thiết của hằng đẳng thức sắp học, nhằm tạo sự hứng thú cho học sinh. Thí dụ khi dạy hằng đẳng thức (a + b)2 lớp 8 ta có thể nêu vấn đề qua bài tập sau: Tính 1022 bằng cách mà em biết. Từ đó giới thiệu cách làm (100 + 2)2 theo cách khai triển bình phương của một tổng. Bước 2: Phát biểu hằng đẳng thức và tìm cách quan sát biến đổi hằng đẳng thức theo hai chiều Từ bước trên cho học sinh phát hiện, dự đoán và phát biểu thành một mệnh đề. Hướng dẫn học sinh nhận dạng biến đổi hằng đẳng thức theo hai chiều. Bước 3: Tập cho học nắm được một số biện pháp chủ yếu để củng cố kiến thức Nhận dạng và thể hiện hằng đẳng thức , tức là xem xét một tình huống đã cho có ăn khớp ( thích hợp) với hằng đẳng thức vừa học hay không. Thí dụ: sau khi học xong hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ta cho học sinh tiếp cận các dạng bài tập từ dễ đến khó. Chẳng hạn loạt bài tập sau: Viết biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2 9x2 + 4y2 + 12xy = (3x)2 + (2y)2 + 2.3x.2y = (3x + 2y)2 Hoạt động ngôn ngữ: Phân tích nội dung, cấu trúc logic của hằng đẳng thức. Sau mỗi hằng đẳng thức được học, GV yêu cầu học sinh nêu được nội dung chính (diễn đạt tóm tắt), sau đó phân tích cấu trúc, chi tiết cho từng phần. Cuối cùng diễn đạt bằng ký hiệu. Thí dụ khi dạy hằng đẳng thức bình phương của một tổng thì học sinh phải diễn đạt bằng lời nội dung mối quan hệ trong hệ thức đang học (bình phương một tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai cộng bình phương biểu thức thứ hai) ( chú ý khuyến khích học sinh phát biểu theo cách hiểu riêng của mình). Từ đó có thể phát triển tư duy ngôn ngữ, nắm rõ bản chất nối quan hệ các đại lượng trong hằng đẳng thức, đồng thời giáo viên uốn nắn kịp thời các kiểu hiểu lầm hoặc sai lệch của học sinh. Trong khi phát biểu hằng đẳng thức bằng lời giáo viên đặc biệt chú ý yêu cầu học sinh phát biểu hằng đẳng thức theo cả hai chiều, đây là một giai đoạn rất quan trọng, bước đầu rèn luyện kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức trong bài tập. Sau khi ôn tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích dạng chung của 4 hằng đẳng thức bình phương của tổng (hiệu) và lập phương của tổng (hiệu) theo hai nội dung: Phần hệ số ( triển khai của tam giác Pascal) Phần biến: (A + B)2 = A2B0 + A1B1 + A0B2 (A - B)2 = A2B0 - A1B1 + A0B2 (A + B)3 = A3B0 + A2B1 + A1B2 + A0B3 (A - B)3 = A3B0 – A2B1 + A1B2 – A0B3 Vận dụng hằng đẳng thức trong từng bài tập Đọc kỹ nội dung bài tập: Nhận dạng biểu thức đã cho gần giống hằng đẳng thức hoặc một nhóm trong biểu thức có dạng giống hằng đẳng thức nào đã học sau đó hướng dẫn học sinh kiểm tra toàn bộ biểu thức dự đoán có thỏa mãn đầy đủ hằng đẳng thức đó không (bước đầu cần cho học sinh phân tích cụ thể từng hạng tử trong nhóm xem có chính xác và đầy đủ không) Liệt kê các hằng đẳng thức mà học sinh dự đoán là có liên quan đến nội dung bài tập (bước đầu giáo viên có thể trình bài phân tích mẫu một số bài tập cho học sinh tham khảo, bắt chước) . Sau đó có thể so sánh các yếu tố đã cho với từng hằng đẳng thức, hoặc mục đích của bài tập với dạng của các hằng đẳng thức rồi loại dần những hằng đẳng thức không cần thiết. Sau đó phân tích và so sánh để áp dụng các hằng đẳng thức vào bài tập . Để phân tích và so sánh nhằm áp dụng các hằng đẳng thức vào bài tập, học sinh cần biết so sánh yếu tố đã cho của đề với dạng của hằng đẳng thức đang sử dụng, nếu thỏa mãn thì ta có được ngay kết luận của bài tập. Ngoài ra học sinh có thể so sánh mục tiêu của bài và các dạng của hằng đẳng thức(dự định áp dụng), nếu giống nhau thì học sinh tiếp tục đối chiếu dạng biểu diễn của hằng đẳng thức với dạng của bài: đủ giải bài; thiếu tìm hoặc thêm, bớt những yếu tố còn thiếu. Trong việc áp dụng hằng đẳng thức giải bài tập, cả hai cách phân tích trên cần cho học sinh rèn luyện từng bước, sau đó sẽ quen dần với mức độ quan sát và phân tích đồng thời hai chiều để nhanh chóng tìm ra hướng giải và trình bài lời giải * Thí dụ: phân tích đa thức x4 + 4y4 thành nhân tử HS nêu các hằng đẳng thức (dự đoán) liên quan (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) Học sinh có thể tự phân tích và kiểm tra: A4 = (A2)2; B4 = (B2)2 có thể là dạng của A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 hoặc A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 Nếu sử dụng dạng A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 thì đã có :(A2)2 + (B2)2 cần thêm và bớt lượng 2.A2.B2 ta có hệ thức x4 + 4y4 = (x2)2 + (2y2)2 + 2.x2.(2y)2 – 2.x2.2y2 = (x2 + 2y2)2 – (2xy)2 từ đây ta có thể dễ dàng áp dụng dạng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B) để phân tích đến kết quả cuối cùng Sau khi học sinh hiểu kỹ và vận dụng khá thành thạo các dạng hằng đẳng thức, đồng thời đã có được một số kinh nghiệm đối với các dạng toán có sử dụng hằng đẳng thức thì giáo viên có thể tổ chức cho các em cùng phân loại các dạng toán ứng dụng hằng đẳng thức, có thể liệt kê: Dạng tính giá trị biểu thức: Đưa về dạng viết gọn của hằng đẳng thức rồi thay giá trị của biến vào tính toán. Thí dụ: Tính giá trị biểu thức x3 + 12x2 + 48x + 64 với x = 6 Ta có x3 + 12x2 + 48x + 64 = (x + 4)3 Với x = 6, (x + 4)3 = (6 + 4)3 = 103 = 1000 vậy giá trị của biểu thức đã cho là 1000 Thực hiện phép tính: Dạng phân tích thành nhân tử: Với loại toán này học sinh thường bị hổng kiến thức rất nhiều. Do đó, giáo viên cần đặc biết chú ý rất kỹ phần này vì đây là các kỹ năng cơ bản làm nền tảng cho việc giải rất nhiều dạng toán đại số về sau Thí dụ: Làm phép tính sau x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) = (x + 2)2(x – 2) MTC = (x + 2)2(x – 2) Dạng chứng minh: Đây là loại toán rất đa dạng, nhiều mức độ. Khi giáo viên hướng dẫn cần lưu ý tính vừa sức. Tuy nhiên đây cũng là nội dung rất quan trọng, hết sức cần thiết cho việc học phân môn đại số ở cấp THCS và đặc biệt là cấp THPT sau này. Do đó, giáo viên cần chọn lọc bài tập dạng cơ bản giới thiệu, định hướng phân tích, cách giải cho tất cả học sinh . Đồng thời khuyến khích đối tượng học sinh khá giỏi thực hiện một số bài tập nâng cao. Thí dụ: a) Cho a, b, c . Chứng minh rằng: Ta có Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – 6x + 15 Ta có: A = x2 – 2.x.3 + 9 + 6 = (x – 3)2 + 6 Mà (x – 3)2 0 (x – 3)2 + 6 6 Hay A 6 Vậy Min A = 6 (x – 3) = 0 x = 3 Việc liệt kê, phân tích lựa chọn hằng đẳng thức áp dụng cho giải bài tập còn có tác dụng học sinh thường xuyên được ôn luyện hằng đẳng thức, tránh tình trạng không thuộc hằng đẳng thứcđang xảy ra phổ biến hiện nay. Song song đó, phân tích từng bước theo phương pháp nêu trên giúp học sinh yếu kém tự tìm được hướng giải cho bài tập, củng cố sự tự tin, hưng phấn trong giải bài tập, góp phần nâng cao sự yêu thích bộ môn. Riêng đối với đối tượng học sinh giỏi việc hiểu sâu về hằng đẳng thức sẽ hỗ trợ rất lớn cho hai hoạt động quan trọng là phát triển khả năng tư duy và kỹ năng phân tích giải các dạng bài tập nâng cao KẾT QUẢ CHUYỂN BIẾN CỦA ĐỐI TƯỢNG: Kết thúc HKI, đa số học sinh yếu kém chưa làm quen với phương pháp phân tích, do đã có thái độ học tập thụ động từ trước, rất sợ và không thuộc hằng đẳng thức đã học nên kết quả không khả quan như mong muốn. Trong HKII bằng nổ lực kiên quyết của giáo viên và sự cố gắng của đa số học sinh , các em đã quen dần với cách học chủ động. Từ những bài tập đơn giản vừa sức các em đã tự phân tích được một số phần của bài toán, tự thực hiện được vài giai đoạn phân tích rồi làm được cả bài từ đơn giản đến phức tạp. Đến cuối năm học thì đa số học sinh yếu kém đã tự mình làm trọn vẹn các bài tập ứng dụng ở mức tương đối đơn giản . Đa số các em đã hoàn thành được các bài kiểm tra cuối chương, thi học kỳ 2 với số điểm khá tốt so với đầu năm học. KẾT LUẬN: TÓM LƯỢC GIẢI PHÁP Học sinh tự tiếp cận hằng đẳng thức một cách chủ động, có phương pháp mà giáo viên đã hướng dẫn, cần nắm rõ cấu trúc và ý nghĩa của hằng đẳng thức. Học sinh nắm vững phương pháp tự củng cố hằng đẳng thức do giáo viên hướng dẫn, so sánh các hằng đẳng thức đã học nhằm khắc sâu và nhớ lâu các hằng đẳng thức. Học sinh biết dự đoán để liệt kê, phân tích, so sánh các hằng đẳng thức đã học và dạng biểu diễn ở biểu thức của bài tập đang giải để chọn hằng đẳng thức sử dụng và xác định đường hướng giải bài tập PHẠM VI ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG Học sinh lớp 9 KIẾN NGHỊ VỚI CÁC CẤP VỀ ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN