Sáng kiến kinh nghiệm - Về dạy hoc sinh tìm tòi vận dụng định lý vi-ét

KINH NGHIỆN: VỀ DẠY HOC SINH TÌM TÒI VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT NGƯỜI VIẾT : MAI TRỌNG MẬU DƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU HUYỆN CƯ-KUIN ĐAK-LAK PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1) CƠ SỞ TÂM LÝ: Học sinh trường trung học cơ sở-trẻ em trong độ tuổi từ 11 đến 14 có được vị trí mới trong quan hệ đối với ngưòi lớn, có tính tự lập cao, có sự tự do trong hành động...mặc dầu những đòi hỏi đó vượt lên trước so với kinh nghiệm sống và khả năng thực hiện tự lập của chính các em. Ưu điểm lớn của lứa tuổi thiếu niên là sự sẵn sàng của nó đối với mọi hoạt động học tập làm cho nó trở thành người lớn trong con mắt của mình. Học sinh THCS bị cuốn hút vào các hình thức hoạt động tự lập trên lớp, vào tài liệu học tập phức tạp, vào khả năng tự xây dựng hoạt động nhận thức của mình trong giới hạn của nhà trường. Các nguyện vọng đang phát triển mạnh mẽ đó là tính tự lập. Các em càng lớn thì càng thiên về sự nhận thức các hành động học tập của mình, về việc hiểu biết tính nhất quán của chúng, về việc lập kế hoạch cho các hành động đó và cuối cùng, về điều khiển chúng. Như vậy ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở đã có những điều kiện thuận lợi cho sự hình thành khả năng tự điều chỉnh trong hoạt động học tập, tính tích cực chung của trẻ, sự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau, nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “người lớn”. 2) CƠ SỞ GIÁO DỤC: Bậc học trung học cơ sở thuộc bậc trung học (với hai giai đoạn là THCS và PTTH) đóng vai trò cầu nối giữa phổ thông trung học và bậc tiểu học. Đa số học sinh tốt nghiệp THCS sẽ ra đời hoặc vào các trường dạy nghề, số ít còn lại tiếp tục học lên THPT. Ngoài những yêu cầu chung về phẩm chất đạo đức, chính trị, thì dù thuộc luồng nào, mọi học sinh đều phải được để giáo dục trở thành người lao động năng động, sáng tạo, thích ứng với mọi sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã hội, người công dân có trách nhiệm cao, con người được phát triển toàn diện cùng với chất lượng cuộc sống ngày càng nâng cao. Những yêu cầu trên được phản ánh qua một hệ thống năng lực mà trong đó năng lực giải quyết các tình huống, năng lực tự học có vị trí vô cùng quan trọng. Tất nhiên mức độ đòi hỏi phải phù hợp với đối tượng và chức năng của trường THCS. Đổi mới phương pháp dạy học phải góp phần tích cực thực hiện mục tiêu đó trên cơ sở tương hợp với nội dung đào tạo được lựa chọn theo yêu cầu quán triệt mục tiêu. 3) CƠ SỞ THỰC TIỄN: Nghị quyết TW II khoá VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học". Trong Luật giáo dục đã khẳng định" Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học". Nói cách khác là việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo con người mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh từng ngày , từng giờ của khoa học kĩ thuật. Nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy toán 9 nói riêng, bản thân đã được giảng dạy chương trình toán 9 .Để học sinh được tiếp cận chương trình toán 9 theo chương trình cải cách và chuẩn kiến thức kỹ năng nên tôi mạnh dạn soạn và áp dụng dạy theo một hệ thống bài tập có tính hệ thống lôgíc giới hạn ở hệ thức Vi-ét với phương trình bậc hai một ẩn. Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình cải cách và nội dung SGK khoa mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cáh suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức phương pháp thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào , để học sinh hiểu và vận dụng hiệu quả hơn. Trong chương trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất hiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét, nhưng thời lượng chương trình dành cho học và vận dụng hệ thức Vi-ét là không nhiều. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Vi-ét nói riêng vào giải các bài tập liên quan phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó. Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và đúc kết thành kinh nghiệm “ Hệ thức vi- ét và ứng dụng “ trong giảng dạy theo hệ thống các nội dung sau: + Không giải phương trình bậc hai áp dụng định lý Vi-et tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai. + Áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện T cho trước. + Hệ thức Vi-ét trong sự tương giao hàm số y = ax2 ( a ≠ 0) và y = mx + n + Lập phương trình bằng định lý Vi-ét đảo. + Giải hệ phương trình bằng định lý Vi-ét đảo. PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG A- MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: 1/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Đề tài có thể giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề liên quan đến hệ thức Vi-ét, rút ra được những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp dạy-học cho học sinh có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này. - Thực hiện đề tài để thấy được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội dung hệ thức Vi-ét. Qua đó định hướng nâng cao chất lượng dạy-học môn toán. 2/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: - Thấy được vai trò của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán THCS đặc biệt là những dạng toán có liên quan. - Giảm bớt những khó khăn, những lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung có liên quan đến hệ thức Vi-ét. Học sinh xác định được cách giải của một số dạng bài toán cơ bản. 3) ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1. Nghiên cứu phần "phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số" và ứng dụng của định lý Vi-ét trong phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 2. Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó. 3. Giáo viên giảng dạy Toán cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối lớp 9. B- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : 1- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN : Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải + Các tạp chí giáo dục, toán học. +Sách giáo khoa, sách giáo viên. +Sách tham khảo. + Phương pháp dạy học môn toán THCS. 2- PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng đề tài. 3 - PHƯƠNG PHÁP TỔNG KẾT KINH NGHIỆM: Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn. I- LÝ THUYẾT CƠ BẢN. 1- Định lí Vi-ét. Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) có hai nghiệm x1 và x2 thì: 2- Định lí Vi-ét đảo. Nếu hai số có tổng và tích thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 -Sx + P = 0 . Điều kiện tồn tại hai số đó là: S2 - 4P 0. II- CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN. DẠNG 1: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: * Phương pháp giải: Để phương trình bậc hai có : Ÿcó hai nghiệm dương (): Ÿcó hai nghiệm dương phân biệt (): Ÿcó hai nghiệm âm (): Ÿcó hai nghiệm âm (): Ÿcó hai nghiệm cùng dấu: Ÿcó hai nghiệm phân biệt cùng dấu: Ÿcó hai nghiệm trái dấu (): hay (trong trường hợp cần thiết có thể chứng minh) Ÿcó hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm: Ÿcó hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương: Ÿ có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm : Ÿ có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương : Ÿcó hai nghiệm bằng nhau và bằng 0 (có nghiệm kép bằng 0) : hoặc Ÿ có đúng một nghiệm dương: i) có một nghiệm kép dương: ii) có hai nghiệm trái dấu: iii) có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương hoặc thay x=0 vào phương trình để tìm tham số. Ÿ có đúng một nghiệm âm: i) có một nghiệm kép âm: ii) có hai nghiệm trái dấu: iii) có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm hoặc thay x=0 vào phương trình để tìm tham số. Bài toán 1: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm. Khi đó tùy theo giá trị của m hảy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình. Bài giải Để phương trình có hai nghiệm, điều kiện là: . Khi đú phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: Để chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình ta xét: Nếu , phương trình có hai nghiệm dương. Nếu m=0, phương trình có hai nghiệm và . Nếu m<0, phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm. Bài toán 2: Cho phương trình . Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hai nghiệm dương phân biệt. Bài giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: P1 Vậy, với m>1 phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi: Vậy với thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Bài toán 3: Cho phương trình . Xác định m để phương trình: a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm cùng dấu. Bài giải a) Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Khi m-1=0m=1, phương trình đó cho trở thành: 6x=0x=0, là nghiệm duy nhất của phương trỡnh. Trường hợp 2: Với m-10m1. Khi đú, để phương trỡnh cú một nghiệm điều kiện là: 6m+3=06m=3 Vậy với m=1 hoặc thỡ phương trỡnh cú một nghiệm. b) Để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu điều kiện là: Vậy, với phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu. Bài toán 4: Cho phương trình . Xỏc định m để phương trình: a) Có hai nghiệm đối nhau. b) Có đúng một nghiệm âm. Bài giải a) Phương trỡnh cú hai nghiệm đối nhau, điều kiện là: Vậy, với m=3 phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu. b) Xột hai trường hợp: Trường hợp 1: Với m=0, Khi đú phương trỡnh cú dạng: -6x-4=0 (thỏa món). Trường hợp 2: Với m. Khi đú, để phương trỡnh cú đỳng một nghiệm õm, điều kiện là: i) Cú nghiệm kộp õm , điều kiện là: ii) Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu , điều kiện là: P<0 iii) Phương trỡnh cú một nghiệm bằng khụng, nghiệm cũn lại õm : Vậy, với hoặc phương trỡnh cú đỳng một nghiệm õm. Bài tập tự giải: Bài tập 1: Cho phương trỡnh . Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm. Khi đú, tựy theo m hóy hóy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trỡnh. Bài tập 2: Cho phương trỡnh . Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm. Khi đú, tựy theo m hóy hóy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trỡnh. Bài tập 3: Cho phương trỡnh . Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm. Khi đú, tựy theo m hóy hóy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trỡnh. Bài tập 4: Cho phương trỡnh . Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm. Khi đú, tựy theo m hóy hóy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trỡnh. Bài tập 5: Cho phương trỡnh . Xỏc định m để phương trỡnh: a) Cú hai nghiệm trỏi dấu. b) Cú hai nghiệm cựng dấu. Bài tập 6: Cho phương trỡnh . Xỏc định m để phương trỡnh: a) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. b) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. Bài tập 7: Cho phương trỡnh . Xỏc định m để phương trỡnh: a) Cú hai nghiệm õm phõn biệt. b) Cú hai nghiệm đối nhau. Bài tập 8: Cho phương trỡnh . Xỏc định m để phương trỡnh: a) Cú hai nghiệm trỏi dấu. b) Cú hai nghiệm dương phõn biệt. c) Cú đỳng một nghiệm dương. Bài tập 9: Cho phương trỡnh . Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm õm cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Bài tập 10: Cho phương trỡnh . Xỏc định m để phương trỡnh: a) Cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu. b) Cú hai nghiệm trỏi dấu. Bài tập 11: Tỡm k để cỏc phương trỡnh sau cú hai nghiệm trỏi dấu: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Bài tập 12: Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt cựng dấu: 1) 2) 3) 4) Bài tập 13: Khụng giải phương trỡnh hóy xột dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh (nếu cú): 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) Bài tập 14: Khụng giải phương trỡnh, chứng tỏ cỏc phương trỡnh sau khụng thể cú hai nghiệm cựng dương: 1) 2) 3) 4) Bài tập 15: Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu. Khi đú hai nghiệm mang dấu gỡ? 1) 2) 3) 4) Bài tập 16: Cho phương trỡnh . a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu. Chứng minh với giỏ trị m vừa tỡm được phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương. Bài tập 17: Tỡm a để phương trỡnh cú nghiệm và xột dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh đú: 1) 2) 3) 4) Bài tập 18: Cho phương trỡnh . a) Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm. b) Chứng tỏ rằng nếu phương trỡnh cú nghiệm, thỡ nú cú ớt nhất một nghiệm õm. c) Xỏc định m để phương trỡnh cú cả hai nghiệm õm. Bài tập 19: Cho phương trỡnh . Tỡm m để phương trỡnh: a) Cú hai nghiệm cựng dương. b) Cú hai nghiệm cựng õm. c) Cú hai nghiệm trỏi dấu. d) Có hai nghiệm phân biệt. e) Có hai nghiệm dương phân biệt. DẠNG 2: KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM X1, X2 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. * Bài toán cơ bản: Không giải phương trình bậc hai áp dụng định lý Vi-et tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai. * Phương pháp giải: -Tìm tham số để phương trình có nghiệm (nếu phương trình chứa tham số): (*) hoặc tính để kiểm tra phương trình có nghiệm hay không (nếu phương trình không chứa tham số) -Theo hệ thức Vi-et ta có: -Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số) * Lưu ý: Để học sinh làm tốt dạng bài tập này giáo viên nên trang bị cho các em hiểu thế nào là biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai (biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không thay đổi) đồng thời giáo viên hướng dẫn các em học sinh có thói quen biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số). Chẳng hạn như: 1) 2) 3) = = = 4) 5) 6) 7)= 8) (để tồn tại thì phương trình đã cho có hai nghiệm dưong) muốn tính được ta cần tính được = Từ đó suy ra 9) đến đây áp dụng công thức nêu ở trường hợp 8 để làm tiếp 10) đến đây áp dụng công thức nêu ở trường hợp 8 để làm tiếp. 11) để tính được trường hợp này giáo viên hướng dẫn học sinh làm như sau: = 12) để tính được trường hợp này giáo viên hướng dẫn học sinh làm như sau: đến đây để tính được giáo viên lại hướng dẫn học sinh làm như trường hợp 8. Ngoài các trường hợp nêu trên giáo viên cũng nên hướng dẫn thêm cho học sinh các trường hợp như sau: · hoặc hoặc *Ngoài việc giáo viên hướng dẫn các em học sinh có thói quen biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số) cũng cần rèn luyện kĩ năng biểu diễn biểu thức không đối xứng qua S và P. Chẳng hạn như: I) để tính được ta cần tính = II) đến đây áp dụng công thức I) để làm tiếp. III) = Đến đây áp dụng công thức I) để làm tiếp. IV) = đến đây áp dụng công thức I) để làm tiếp... V) để tính được ta cần tính VI) = và tiếp tục làm như trường hợp trờn. Bài toán 1: Cho phương trình a) Không tính biệt số chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tính c) Tính d) Tính e) Tính g) Tính h) Tính i) Tính k) Tính l) Tính Bài giải a) Ta có: a=4, c=-1 Suy ra: ac=4.(-1)=-4<0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Vì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nên theo hẹ thức Vi-et ta có: b) Lại có: = == = c) Lại có: =-3..= d) Lại có: = = == e) Ta có: == Do đó:= = g) Ta có:== h) Ta có:=== i) Ta có: = = = k) Ta có: ===== l) Ta có:=== Bài toán 2: Cho phương trình . Gọi là hai nghiệm của phương trình. không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1) 2) 3) Bài giải Ta có:===9-1=8>0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi-et ta có: >0 >0 Do đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. 1) Ta có: = 62-2.1=36-2=34 2) Vì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta có: =6+2=6+2=8 Suy ra = Lại có: ==10 3) Ta có: == ===== Bài toán 3: Cho phương trình (m là tham số) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tính: Bài giải Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: (*) Theo hệ thức Vi-et ta có: , Lại có: =- = = = Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho phương trình . Gọi là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài tập 2: Cho phương trình . Gọi là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2) Bài tập 3: Cho phương trình . Giả sử phương trình có nghiệm khác 0 là . Chứng minh rằng . Bài tập 4: Không giải phương trình hãy tính: với là nghiệm của các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) Bài tập 5: Cho phương trình: . Không giải phương trình hãy tính (là các nghiệm của phương trình và <): a) b) c) d) e) g) h) i) DẠNG 3: ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT VÀO TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ M ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN T CHO TRƯỚC. * Bài toán cơ bản: Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (I) Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trước. * Phương pháp giải: Để phương trình (I) có nghiệm ta phải có: Ä ≥ 0 (*) Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: Để tìm giá trị của tham số m ta giải hệ phương trình: so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài toán. *Cỏc điều kiện T cho trước cú thể là: ŒTrường hợp: (3) Giải hệ phương trỡnh tỡm Thay cỏc giỏ trị vào (2) tỡm tham số. Chọn cỏc giỏ trị tham số thỏa món điều kiện (*). Trường hợp: =K (theo (1) và (2)) Giải (4) tỡm được giỏ trị của tham số. Chọn giỏ trị tham số thỏa món điều kiện (*). ŽTrường hợp: Giải (5)tỡm được giỏ trị của tham số. Chọn giỏ trị tham số thỏa món điều kiện (*). Trường hợp: (theo (1) và (2)) Giải (6)tỡm được giỏ trị của tham số. Chọn giỏ trị tham số thỏa món điều kiện (*). Trường hợp: (theo (1) và (2)). Giải (7)tỡm được giỏ trị của tham số. Chọn giỏ trị tham số thỏa món điều kiện (*). Bài toán 1: Cho phương trình x2 - 2m x + 2m -1 = 0 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2. Bài giải: Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có: Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: Kết hợp với điều kiện x1 = 2 x2 Thay vào (*) ta có: Thay vào (**) ta có: Giải phương trình ẩn m ta được : (thoả mãn ) Vậy thì phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2. Bài toán 2: Cho phương trình x2 -mx + m + 1 = 0 (2) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0. Bài giải: Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có: Ä = m2 - 4m - 4 ≥ 0 (*) (**) Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức vi-ét ta có: Từ x1 x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0 Û m + 1 + 2m - 19 = 0 Û 3m = 18 Û m = 6 ( Thoả mãn (**)) Vậy m = 6 là giá trị cần tìm. *Lưu ý: Trong quá trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nếu điều kiện là một phương trình hay bất phương trình mà ta giải nó gặp khó khăn , chẳng hạn như bài tập trên điều kiện là m2 - 4m - 4 ≥ 0 thì ta có thể không giải phương trình hay bất phương trình đó. Sau khi tìm được m thì thay vào xem có thoả mãn không. Ví dụ ở bài tập trên tìm được x = 6 ta thay vào (*) ta có: Ä = 62 - 4.6 - 4 = 8 > 0 Vậy m = 6 thoả mãn (*) Bài toán 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (3 ) Tìm các giái trị của m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn : A = 10 x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Bài giải: Phương trình (3 ) có nghiệm Û Ä' = m2 - 9 ≥ 0 (*) Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: Từ A = 10 x1x2 + x12 + x22 = (x1 + x2 )2 + 8 x1x2 = (2m + 2 )2 + 8(2m +10) = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 ≥ 48 Min A = 48 khi 2m + 6 = 0 hay m = -3.( tmđk*) Vậy m =-3 thì A đạt giá trị nhỏ nhất và MinA = 48. Bài toán 4 : Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1) x + m2 + 4m + 3 = 0 (4 ) Tìm giá trị lớn nhất của M = Bài giải: Phương trình (4 ) có nghiệm Û Ä' = -m2 - 6m - 5 ≥ 0 Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: Từ M = = = = vì với thì m2 + 8m + 7 < 0. M = Max M = khi hay m = -4 .( tmđk*) Vậy m = - 4 thì M đạt giá trị lớn nhất và MaxM =. Bài toán 5 : Cho phương trình x2 - mx + m -1 = 0 (5 ) a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với " m. b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Bài giải: a/ Có Ä = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 ≥ 0 với " m. Vậy phương trình (5) luôn có nghiệm với " m. b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: Từ Để tồn tại P thì phải tồn tại m vậy phương trình ẩn m trên phải có nghiệm hay: Min P = khi m=-2.( tm) Max P = 1 khi m=1.( tm) Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng . * Nhận xét: Đối với những biểu thức chỉ chứa các nghiệm của phương trình cho trước muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta làm theo trình tự sau: +Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm . +Biến đổi biểu thức xuất hiện tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm . +Từ đó áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào được biểu thức chỉ chứa tham số m. Ta tiến hành tìm GTNN, GTLN của biểu thức với ẩn m. Bài toán 6: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = 0 (6 ) a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với " m. b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức: không phụ thuộc vào giá trị của m. Bài giải: a/ Có Ä' = với " m. Vậy phương trình (6 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với " m. b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: Từ Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của m. Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho phương trình: 1) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Tìm m để phương trình trên có nghiệm thoả mãn: a) b) c) d) e) g) Bài tập 2: Cho phương trình: . 1) Tìm m để phương trình có nghiệm. 2) Tìm m để phương trình trên có nghiệm thoả mãn: a) b) c) d) A= đạt giá trị lớn nhất Bài tập 3: Cho phương trình 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm số phân biệt. 2) Tìm m để phương trình có một nghiệm số là -2. Tính nghiệm còn lại. 3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: a) b) c) d) DẠNG 4: TèM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRèNH Cể MỘT NGHIỆM . TèM NGHIỆM CềN LẠI. * Phương phỏp giải: -Tỡm điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm (*) -Thay vào phương trỡnh đó cho để tỡm giỏ trị của tham số. -Chọn giỏ trị của tham số thỏa món điều kiện (*). -Tỡm nghiệm cũn lại (cú ba cỏch tỡm). Bài toỏn 1: Cho phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 1. Xỏc định m và tỡm nghiệm cũn lại. Bài giải Ta cú: a=1; b=7; c=m Vỡ a=1 khỏc 0 nờn phương trỡnh đó cho cú nghiệm điều kiện là: (*) Vỡ phương trỡnh đó cho cú nghiệm x=1 nờn ta cú: 3+7+m=0m=-10 (thỏa món điều kiện (*)) Vậy m=-10 thỡ phương trỡnh đó cho cú nghiệm x=1. * Tỡm nghiệm cũn lại: Cỏch 1: Khi m=-10 phương trỡnh đó cho trở thành cú nghiệm Cỏch 2: Khi m=-10 phương trỡnh đó cho trở thành . Theo hệ thức Vi-ột ta cú: Vỡ nờn Cỏch 3: Theo hệ thức Vi-ột ta cú: Vỡ nờn Bài tập tự giải: Bài tập 1: Xỏc định k để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng -1. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 2: Xỏc định b để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng . Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 3: Xỏc định a để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng . Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 4: Xỏc định a để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 1. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 5: Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 1. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 6: Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 1. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 7: Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 1. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 8: Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 1. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 9: Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng -1. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 10: Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 3. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 11: Xỏc định m để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng -2. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 12: Xỏc định để phương trỡnh cú một nghiệm trong cỏc nghiệm bằng 2. Tỡm nghiệm cũn lại. Bài tập 13: Cho phương trỡnh với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trỡnh cú nghiệm với mọi m. b) Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 1. Tỡm nghiệm cũn lại. DẠNG 5: TèM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH KHễNG PHỤ THUỘC VÀO