Sáng kiến Sử dụng chương trình Cabri

Trong những năm gần đây cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học thì việc ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy ở tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu nói chung cũng như ở các huyện nói riệng như một cao trào. Bước đầu phần lớn giáo viên hiểu sai lệch rằng : “Có ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy là đã đổi mới phương pháp giảng dạy” bởi thế giáo viên ở các trường, các bộ môn chỉ sử dụng duy nhất một phần mềm cơ bản là Power Point để trình diễn, lạm dụng chức năng các hiệu ứng chỉ nhằm với mục đích thay cho việc viết bảng, một bộ phận giáo viên qua thực tế và qua các chuyên đề ở trường ở huyện đã hiểu được rằng : “Xem công nghệ thông tin như một phương tiện trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy” và phải phối hợp vối một số chương trình hổ trợ khác để giờ dạy có hiệu quả. Đối với môn toán hầu hết giáo viên trong tỉnh đã nghe, đã thấy chương trình Cabri Geometry II là chương trình rất mạnh không thể thiếu trong dạy học toán ở các cấp học THCS và THPT. Nhưng cũng chỉ một bộ phận giáo viên toán yêu thích công nghệ thông tin đã đam mê tìm hiểu để sử dụng, có nhiều giáo viên đã sử dụng thành thạo, sử dụng tốt chương trình Cabri Geometry II trong giảng dạy. Nhưng cũng chỉ dừng lại ở việc vận dụng các chức năng sẳn có chứ chưa biết phối hợp tạo ra cái mới chẳng hạn như tạo Macro Với các chức năng của từng nút lệnh, nhiều giáo viên biết chương trình Cabri Geometry II có thể vẽ được hình không gian quay quanh một trục của nó nhưng không thể nào khai thác được bởi lẽ : Muốn vận dụng chương trình Cabri Geometry II trong việc vẽ hình không gian quay quanh một trục của nó đòi hỏi giáo viên phải có khả năng tư duy cao rộng, phải biết phân tích mối liên quan giữa các đối tượng theo một chuỗi khá dài và có thể nói là khá phức tạp mà không phải bất kỳ giáo viên nào cũng làm được. Bởi thế qua đề tài này tôi muốn trình bày cách vẽ hình không gian quay quanh trục của nó để giáo viên có thể tham khảo và vận dụng. Cũng có thể nói có nhiều cách khác nhau để vẽ được một hình không gian quay quanh một trục và mỗi hình có một cách vẽ riêng nhưng cách vẽ mà tôi muốn trình bày mặc dù phải tốn rất nhiều thao tác nhưng lại dễ hiểu, dễ nhớ và vận dụng được trong nhiều hình khác bởi chỉ có một số thao tác cơ bản còn các thao tác khác chỉ tương tự. Vì để dễ hình dung và cảm nhận được nên trong tài liệu có dùng một số ngôn ngữ bình dân nhằm diễn tả hình ảnh trong trí tưởng tượng chứ chưa dùng được ngôn ngữ toán học mong bạn đọc bỏ qua và góp ý xây dựng thêm để cách trình bày chặt chẽ và lôgích hơn. Tài liệu này chỉ dùng cho bạn đọc đã biết sử dụng chương trình Cabri. I/ Yêu cầu 1 : Dựng hình lăng trụ đứng tứ giác đều quay quanh trục của nó : Khi dựng một hình ta quy về việc dựng các điểm. Dựng một điểm : Chúng ta đều biết khi một hình quay quanh trục thì tuỳ theo hướng nhìn mà ta thấy các điểm chuyển động trên một đường tròn hay một elíp. Chẳng hạn lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ (hình 1) khi quay quanh trục OO’ hướng nhìn theo phương chiếu đứng (từ trước ra sau) thì các điểm A, B chuyển động trên đường elíp (hình 2). (hình 2) Nhưng cũng hướng nhìn đó mà quay lăng trụ ABCDA’B’C’D’ ở bên sao cho trục quay OO’ vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng thì các điểm A, B, chuyển động trên đường tròn. (hình 3) Vậy làm thế nào để chuyển một điểm chuyển động trên đường tròn trong mặt phẳng OXY thành một điểm chuyển động trên elíp trong mặt phẳng OXZ (hình 4). (hình 3) Như thế ta hãy hình dung nếu quay đường tròn trong mặt phẳng OXY quanh trục OX một góc 900 khi đó đường tròn sẽ nằm trong mặt phẳng OXZ (chú ý chỉ quay đường tròn, không quay hệ trục toạ độ) và nó trở thành elíp (hình 4) lúc đó : Điểm Y sẽ quay đến trùng với điểm Z (xem như phép tịnh tiến Z là ảnh của Y) Các điểm trên đường thẳng OX vẫn không thay đổi. Như vậy nếu kẻ đường thẳng AY cắt OX tại điểm A’ thì với cách quay nói trên đường thẳng AY trở thành đường thẳng A’Z và điểm A cũng quay như điểm Y nên nằm trên đường thẳng song song với YZ do đó giao điểm của A’Z với đường thẳng đi qua A song song với YZ là ảnh của A, gọi điểm đó là A” (hình 5). * Qua các thao tác nói trên ta nói Z là ảnh của Y, A” là ảnh của A nhưng thực chất thì A là ảnh của Y, A” là ảnh của Z trong phép vị tự tâm A’ Với cách vẽ như trên chúng ta sẽ thấy khi điểm A di chuyển trên đường tròn thì điểm A” sẽ di chuyển trên elíp. Thực hiện các bước vẽ lăng trụ tứ giác ABCDA’B’C’D’ quay quanh trục : Bước 1 : Dựng hệ trục toạ độ OXYZ Vẽ đoạn thẳng OX Dựng đường thẳng a đi qua O vuông góc với OX Vẽ đường tròn tâm O bán kính OX cắt a tại Y. Vẽ đoạn thẳng OZ (theo góc nhìn thì OZ nhỏ hơn OX nhưng phải hiểu chúng bằng nhau) Bước 2 : Tạo nút điều khiển : Vẽ đường tròn tâm O’ bán kính tuỳ ý (chỉ cần nhỏ) tại một góc của màn hình Trên đường tròn đó lấy một I điểm tuỳ ý, Vẽ đoạn thẳng O’I Vẽ đường thẳng đi qua O song song với O’I cắt đường tròn tâm O tại A (tạo như vậy thì khi cho điểm I di chuyển trên đường tròn tâm O’ thì điểm A sẽ di chuyển trên đường tròn tâm O và các đối tượng liên quan phải chuyển động theo) Bước 3 : Vẽ đáy lăng trụ : Vẽ hình vuông ABCD tâm O (với A là điểm đã tạo ở bước 2) Vẽ đường thẳng OX và đoạn thẳng YZ Vẽ đường thẳng AY cắt OX tại A’ Vẽ đường thẳng A’Z Vẽ đường thẳng đi qua A song song với YZ cắt đường thẳng A’Z tại A” (Để dễ nhìn ta nên tịnh tiến điểm A” theo một vectơ cho trước đến vị trí khác ta được điểm A1 như hình 7 và ẩn tất cả các đối tượng như điểm, đường nào mới vừa thực hiện ở (iii), (iv), (v) bước 3, phần này cũng có nhiều cách khác tuy nhiên vì mới làm quen ta nên chọn cách tịnh tiến như trên khi đã hiểu thì các bạn có thể dùng các phương pháp khác nhanh chóng hơn). Tiếp tục lại các thao tác (iii), (iv), (v) như trên đối với các điểm B, C, D ta được các điểm : B1, C1, D1 và nối chúng lại như hình 8. Bước 4 : Vẽ các cạnh bên : Vẽ một đoạn thẳng tuỳ ý (độ dài cạnh bên) Qua điểm A1 vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng OX Vẽ đường tròn tâm A1 bán kính bằng đoạn thẳng vừa vẽ ở (i) bước 4. cắt đường thẳng vừa dựng ở (ii) bước 4 tại A’1.(lấy điểm phía trên để giảm bớt thao tác) Vẽ đoạn thẳng A1A’1 (ẩn các điểm, đường còn lại vừa dựng ở (ii), (iii) Tiếp tục như trên đối với các điểm B1, C1, D1. Bước 5 : Vẽ đáy còn lại ta được lăng trụ (hình 9) (bây giờ có thể cho điểm I chuyển động ta thấy lăng trụ sẽ quay quanh trục của nó. Tuy nhiên khi lăng trụ quay thì các đối tượng bị che khuất vẫn còn là đường liền nét do đó ta phải vẽ các nét khuất khi lăng trụ quay. Thực hiện các bước vẽ tạo nét khuất khi lăng trụ quay quanh trục : Ở phần này cũng có nhiều cách khác nhau. Nhưng các bạn hãy nhớ một điều là : “Không có một đối tượng nào ở vị trí này nó là đường nét đứt ở vị trí khác lại là đường nét liền, mà phải hiểu rằng nó có hai đối tượng thay thế cho nhau. Nghĩa là ở vị trí này thì đối tượng này xuất hiện đến vị trí ta cần thì đối tượng đó mất và đối tượng kia lại xuất hiện, hoặc đối tượng đó vẫn còn nhưng lại xuất hiện thêm một đối tượng khác”. Vẽ nét khuất bằng đường nét đứt hoặc khác màu : Do đặc điểm của chương trình Cabri là khi có hai đường chồng lên nhau mà có một đường vẽ bằng nét đứt thì đường đó không bị che lấp bởi đường kia nên chúng ta có ý tưởng là : Ở phần không bị che khuất thì có một đường nét liền, đến phần bị che khuất thì có hai đường chồng lên nhau (xuất hiện thêm một đối tượng khác) trong đó có một đường không liền nét như vậy ta có cách vẽ sau : (Tiếp tục thực hiện trên hình có được ở mục 2). Bước 6 : Trên nữa mặt phẳng chứa điểm Y bờ là đường thẳng OX vẽ một cung tròn chồng lên đường tròn tâm O bán kính OX (điểm đầu và điểm cuối không trùng với bất kỳ điểm nào đã có trên đường tròn) Vẽ một đường thẳng AO (hoặc AB, hoặc AC, ) cắt cung tròn vừa vẽ tại A2. (như vậy khi điểm A di chuyển trên đường tròn tâm O bán kính OX đến phần có chứa cung tròn thì tại đó sẽ xuất hiện thêm một điểm A2 chồng lên điểm A ban đầu). Thực hiện các thao tác như (iii), (iv), (v) ở Bước 3 đối với điểm A2 (như vậy khi điểm A di chuyển trên đường tròn tâm O bán kính OX đến phần có chứa cung tròn thì tại điểm A1 sẽ xuất hiện thêm một điểm nữa chồng lên điểm A1 gọi điểm đó là A1s (A1 sau) các bạn có thể tô màu khác nhau đối với hai điểm này để thấy rõ hơn). Tiếp tục thực hiện các thao tác (ii), (iii) như trên đối với các điểm B, C, D ta được thêm các điểm B1s, C1s, D1s Vẽ các đoạn thẳng và mặc định đường không liền nét (hoặc tô màu) A1A1s, A1sB1, A1sD1.(các đường chéo A1C1, B1D1 trục OO’nếu cần ) Điều chỉnh điểm đầu và điểm cuối của cung tròn đến vị trí thích hợp sao cho sự xuất hiện và mất đi của đường không liền nét hợp lý, và ẩn tất cả những đối tương không cần thiết ta có được một hình lăng trụ như ý. Vẽ hình với nét khuất không xuất hiện : Với ý tưởng “đường này mất đi đường kia xuất hiện thay chỗ”. Thì ta phải thực hiện từ đầu như sau (không sử dụng hình có được ở mục 2) : Bước 1 : Thực hiện như bước 1, bước 2. Bước 2 : Vẽ đáy lăng trụ Thực hiện thao tác (i), (ii) của bước 3 Dựng cung tròn như thao tác (i) ở bước 6 gọi là (c1) và dựng một cung thứ hai chồng lên phần đường tròn còn lại tạo thành đường tròn mới gọi là (c2). (Điểm đầu và điểm cuối hai cung này trùng nhau). Thực hiện như thao tác (ii) bước 6 đối với các điểm A, B, C, D. Nhưng mỗi đường thẳng AO, BO, cắt mỗi cung trên tại một điểm là Ac1, Ac2, Bc1, Bc2,..(khi điểm A di chuyển trên đường tròn ta luôn luôn có một điểm Ac1 trên cung (c1) hoặc Ac2 trên cung (c2) chồng lên điểm A ban đầu khi đó điểm Ac1 mất thì điểm Ac2 xuất hiện thay cho nhau, điểm B, C, D cũng vậy) Tiếp tục như các thao (iii), (iv), (v) của bước 3 nhưng đối với các điểm Ac1, Ac2, Bc1, Bc1, Dc1, Dc2, Cc1, Cc2 ta được 8 điểm A1(c1), A1(c2), B1(c1), B2(c2)..(nghĩa là vẽ đường thẳng Ac1Y cắt đường thẳng OX tại điểm A’, Vẽ đường thẳng A’Z và đường thẳng đi qua Ac1 song song với YZ chúng cắt nhau tại A”, tịnh tiến điểm A” để được A1(c1)..nhưng chúng chỉ lần lượt xuất hiện bộ 4 điểm trong 8 điểm nói trên) Vẽ các tứ giác A1(c1)B1(c2)C1(c2)D1(c2), .(có 4 tứ giác mỗi tứ giác phải có một và chỉ một đỉnh là A1(c1) hoặc B1(c1) hoặc C1(c1) hoặc D1(c1)) Bước 3 : Vẽ các cạnh bên tương tự như bước 4 mục 2 tuy nhiên chỉ vẽ các cạnh bên qua các đỉnh A1(c2), B1(c2), C1(c2), D1(c2) và ở thao tác (iii) bước 4 nên lấy điểm phía dưới để giảm bớt thao tác, đồng thời đáy dưới chỉ vẽ 2 cạnh nhìn thấy. II/ Yêu cầu 2 : Dựng hình lăng trụ đứng tam giác đều quay quanh trục của nó : Với những Ý tưởng như yêu cầu 1 tuy nhiên đối với lăng trụ tam giác đều cần một số chú ý như sau : Đối với các cạnh bên có lúc cả 3 đều không bị che khuất nhưng một cạnh đáy bị che khuất, có lúc chỉ có một bị che khuất nhưng hai cạnh đáy bị che khuất do đó : Chẳng hạn A’B’ nét đứt AA’ nét liền A’C’ nét liền (hình 10), A’B’ nét đứt AA’ nét đứt A’C’ nét đứt (hình 11), A’B’ nét liền AA’ nét liền A’C’ nét đứt (hình 12). Xét vị trí của điểm A’ : Ở vị trí như hình 1 ta cần một điểm A’ để vẽ A’B’ đứt A’A liền A’C’ liền nhưng sang vị trí như hình 2 ta cần có thêm điểm A’ nữa (hoặc điểm A’ khác thay thế) để vẽ đoạn A’B’ đứt A’A đứt và A’C’ đứt, sang vị trí như hình 3 thì cần điểm A’ nữa (hoặc điểm A’ khác thay thế) để vẽ A’B’ liền AA’ liền A’C’ đứtNhư thế ta cần có 2 cung tròn liên tiếp chồng lên đường tròn hoặc 3 cung tròn liên tiếp chồng lên che kín đường tròn như bước 6 III/ Yêu cầu 3 : Vẽ hình lập phương bị cắt bởi các đỉnh như hình 13 quay quanh trục của nó Cách vẽ tương tự nhưng cần lưu ý bề rộng của hai đáy và phần thân giữa có khác nhau nên phải vẽ hai đường tròn đồng tâm. * Nhận xét : Với cách vẽ như trên thì ta có thể thay đổi kích thước góc nhìn của hình như Bề rộng của hình phụ thuộc vào độ dài của đoạn OX nên ta có thể phóng to thu nhỏ bề rộng của hình. Chiều cao của hình phụ thuộc vào độ dài của đoạn thẳng ở thao tác (i) bước 4 mục 2 nên có thể co giản chiều cao. Góc nhìn của hình phụ thuộc vào góc tạo bởi trục OZ với OX và OY Có thể quay hình đã vẽ nếu quay điểm X quanh tâm O (khi đó phải OZ phải ràng buộc với OX và OY chẳng hạn OZ là tia phân gíc của góc XOY) Trên đây chỉ là một trong những cách vẽ hình không gian quay quanh trục của nó thông qua một số ví dụ cụ thể, qua đó ta có thể hình dung để vẽ một số hình khác. Tuy nhiên nếu tìm hiểu sâu hơn tính chất của mỗi hình, khả năng tư duy cao hơn thì bằng phép đối xứng tâm các hình vẽ trên sẽ giảm bớt thao tác hơn. Chúc các thầy cô giáo thành công khi sử dụng tài liệu này. Giáo viên biên soạn Phạm mạnh Cương