Sáng tác phương trình vô tỷ

Park Sung Buyl Trường THPT A Nghĩa Hưng Từ những phương trình đại số cơ bản ta có thể sáng tạo ra một số bài toán về phương trình vô tỷ mang tính chất cực khó. Dưới đây tôi xin giới thiệu một vài hướng mà tôi đã sáng tạo và thiết lập ra. Bài viết này có sử dụng luận án Phương trình vô tỷ cùng một tác giả. Bắt đầu là một đẳng thức khá đẹp : 3 310 108 10 108x     Ta có : 3 310 108 10 108x       3 3 3 3 3 3 20 3 . 10 108 10 108 20 3 . 100 108 20 6 6 20 0 x x x x x x x x                 Lưu ý rằng các phép biến đổi trên là tương đương Như vậy phương trình 3 6 20 0x x   có một nghiệm duy nhất đó là 3 310 108 10 108x     Khi đó ta có ngay bài toán thú vị sau : Bài toán 1. Giải phương trình : 3 6 20 0x x   Dừng lại ở việc giải phương trình trên phải chăng là hơi sớm ? Hoàn toàn tương tự ta có hai bài toán sau : Bài toán 2. Giải phương trình : 3 6 20 0y y   Bài toán 3. Giải phương trình : 3 6 20 0z z   Liệu từ ba bài toán trên ta có thể tạo ra một bài toán về hệ phương trình không ? Câu trả lời là có. Ta có bài toán về hệ khá hay như sau : 2 Bài toán 4. Giải hệ phương trình 3 3 3 6 20 0 6 20 0 6 20 0 x y y z z x             Chú ý : hệ phương trình trên được gọi là hệ hoán vị vòng quanh. Ta có thể giải hệ này như sau : Không làm giảm tính tổng quát giả sử x y và x z Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra : 3 3 3 6 20 0 6 20 6 20 6 6 y y y y y z y z y z              Từ phương trình thứ ba ta lại suy ra tiếp : 3 3 3 6 20 0 6 20 6 20 6 6 y x y x y z x z x z              Do đó ta có ngay x y z  Kết hợp với ba bài toán đầu ta có : 3 310 108 10 108x y z      Bây giờ ta sẽ thiết lập một phương trình vô tỉ cực khó như sau : Từ phương trình 3 36 20 0 20 6y z y z      Từ phương trình 3 36 20 0 20 6z x z x      Kết hợp với phương trình 3 6 20 0x y   ta có bài toán sau : Bài toán 5. Giải phương trình : 3 3 36 20 6 20 6 0x x    Bài toán 6. Giải phương trình :  9 3216 20 6 20 6 0x x    Bài toán 7. Giải phương trình : 9 3 4 10 20 6 6 3 x x  