Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a khác 0) (gv: lưu công hoàn)

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a > 0 Trường hợp 2: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2' 3 2y ax bx c 12 1 2 2 ' 0 3 2 0 ( ) x x y ax bx c x x x x Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a) x 1x 2x y’ + 0 – 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng 1( ; )x và 2( ; )x Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 2( ; )x x – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = x1 ; yCĐ = y(x1) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x2 ; yCT = y(x2) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 1x 2x y’ + 0 – 0 + y yCĐ yCT  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: x 4x 1x 3 1 2x (x x ) / 2 2x 5x y y(x4) yCĐ y(x3) yCT y(x5) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x3; y(x3)) làm tâm đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2' 3 2y ax bx c 12 1 2 2 ' 0 3 2 0 ( ) x x y ax bx c x x x x Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a) x 1x 2x y’ – 0 + 0 – Hàm số đồng biến trên khoảng 1 2( ; )x x Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1( ; )x và 2( ; )x – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = x2 ; yCĐ = y(x2) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 ; yCT = y(x1) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 1x 2x y’ – 0 + 0 – y yCT yCĐ  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: x 4x 1x 3 1 2x (x x ) / 2 2x 5x y y(x4) yCT y(x3) yCĐ y(x5) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x3; y(x3)) làm tâm đối xứng) O x y x2 yCĐ x1 yCT I . O x y x2 yCĐ x1 yCT I . SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 3: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2' 3 2y ax bx c 2 0' 0 3 2 0y ax bx c x x (nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,y x (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x0) Hàm số đồng biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x x0 y’ + 0 + y y(x0)  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0) x x1 x2 x0 x3 x4 y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2' 3 2y ax bx c 2 0' 0 3 2 0y ax bx c x x (nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,y x (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x0) Hàm số nghịch biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x x0 y’ – 0 – y y(x0)  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0) x x1 x2 x0 x3 x4 y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng) I O x y y(x0) ) x0 . O x y y(x0) ) x0 . I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 5: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a > 0 Trường hợp 6: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2' 3 2y ax bx c 2' 0 3 2 0y ax bx c (vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,y x (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x) Hàm số đồng biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x ’ + y  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0 = –b/3a) x x1 x2 x0 = –b/3a x3 x4 y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2' 3 2y ax bx c 2' 0 3 2 0y ax bx c (vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,y x (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x) Hàm số nghịch biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x y’ – y  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0 = –b/3a) x x1 x2 x0 = –b/3a x3 x4 y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng) I O x y y(x0) ) x0 . I O x y y(x0) ) x0 . SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax4 + bx2 + c (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a > 0 Trường hợp 2: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2 02 0 0 0 ' 0 2 (2 ) 0 (x ) 2 2 x x b y x ax b b x x ax a Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a) x - 0x 0 0x y’ – 0 + 0 – 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng 0( ;0)x và 0( ; )x Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0( ; )x và 0(0; )x – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = y(0) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ; yCT = y( x0 ) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x - 0x 0 0x y’ – 0 + 0 – 0 + y yCT yCĐ yCT  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = yCĐ – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x 1x 0x 0 0x 2x y y(x1) yCT yCĐ yCT y(x2) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt;lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2 02 0 0 0 ' 0 2 (2 ) 0 (x ) 2 2 x x b y x ax b b x x ax a Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a) x - 0x 0 0x y’ + 0 – 0 + 0 – Hàm số đồng biến trên các khoảng 0( ; )x và 0(0; )x Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0( ;0)x và 0( ; )x – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ; yCĐ = y( x0 ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = y(0) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x - 0x 0 0x y’ + 0 – 0 + 0 – y yCĐ yCT yCĐ  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = yCT – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x 1x 0x 0 0x 2x y y(x1) yCĐ yCT yCĐ y(x2) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng) O x y yCĐ -x0 yCT x0 O x y yCĐ -x0 yCT x0 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax4 + bx2 + c (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 3: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x (lưu ý nên sử dụng MTBT) Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a) x 0 y’ – 0 + Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) – Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = y(0) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 0 y’ – 0 + y yCT  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = yCT – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 y y(-2) y(-1) yCT y(1) y(2) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực tiểu và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x (lưu ý nên sử dụng MTBT) Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a) x 0 y’ + 0 – Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = y(0) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 0 y’ + 0 – y yCĐ  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = yCĐ – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 y y(-2) y(-1) yCT y(1) y(2) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực đại và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng) yCT O x y -1 1 yCĐ O x y -1 1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = (ax+b)/(cx+d) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: D = ad – bc > 0 Trường hợp 2: D = ad – bc < 0  Tập xác định: \ d D c  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 - ' 0, ( ) ad bc d y x cx d c Hàm số đồng biến trên các khoảng d c ( ; ) và d c ( ; ) – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Tiệm cận: lim d x c y ; lim d x c y đường thẳng d x c là tiệm cận đứng. x a y c lim ; x a y c lim đường thẳng a y c là tiệm cận ngang. – Bảng biến thiên:  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = b/d – Giao với trục Ox: y = 0 x = –b/a – Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần) Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. (Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị, rồi lấy đối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp) x d c y’ + + y a c a c  Tập xác định: \ d D c  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 - ' 0, ( ) ad bc d y x cx d c Hàm số nghịch biến trên các khoảng d c ( ; ) và d c ( ; ) – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Tiệm cận: lim d x c y ; lim d x c y đường thẳng d x c là tiệm cận đứng. x a y c lim ; x a y c lim đường thẳng a y c là tiệm cận ngang. – Bảng biến thiên:  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = b/d – Giao với trục Ox: y = 0 x = –b/a – Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần) Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. (Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị, rồi lấyđối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp) x d c y’ – – y a c a c “GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG HOÀN – TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI ” TCN I TCĐ O x y TCN I TCĐ O x y