Số phức and hàm giải tích (analytic function)

Số phức and hàm giải tích (analytic function) 1/ Số phức (complex number): z x + iy Khác với số thực được biểu diễn trên trục Ox (ko gian 1 chiều), số phức được biểu diễn trên mặt phẳng phức (ko gian 2 chiều). Mặt phẳng phức gồm 2 trục: trục thực Ox (trục nằm ngang) từ –∞ +∞ và trục ảo Oy (trục đứng) đi từ –i∞ +i∞ Đồ thị hàm 2 biến thực y f(x) (hay f(x, y) c) được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy Đồ thị hàm 2 biến phức w f(z) (hay f(z, w) c) được biểu diễn trong không gian 4 chiều: trục Ox, Oy, Ou, Ov. Nhưng ta sẽ ko xét đồ thị hàm 1 biến phức trong không gian 4 chiều mà sẽ xét trong 2 mặt phẳng riêng: mặt phẳng Oxy và ánh xạ là mặt phẳng Ouv. Vấn đề này sẽ khảo sát tiếp trong chương phép biến hình bảo giác trong mặt phẳng. Tương tự, đồ thị hàm 3 biến phức w f(z, t) (hay f(w, z, t) c) được biểu diễn trong không gian 6 chiều. thầy cô nào biết về phép biến hình bảo giác trong không gian 3 chiều và không gian n chiều thì chỉ em với, vì trong giáo trình này ko có. Nhân và chia số phức: cho 2 số phức: Số nghịch đảo nhân: thỏa điều kiện Số phức liên hợp: được gọi là số liên hợp của z Modun: . Các số phức (complex numbers) nằm trên (lie) vòng tròn bán kính (radial) R tâm zo (lie on round and round radius R center zo) thỏa phương trình (there is equation): Dạng cực (polar form) của số phức (polar form of complex number) : Mỗi (each) giá trị (values) của θ gọi là (get call) 1 acgument của z và tập tất cả các giá trị đó (all of those values tome) kí hiệu là argz Each riches value of get θ called 1 acgument of z Giá trị chính của argz, kí hiệu là Argz, là giá trị duy nhất θ sao cho Dạng mũ: Xét điểm nằm trên vòng tròn tâm O bán kính r. Khi θ tăng lên, z chạy quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương) và khi θ tăng lên 2π thì z trở về điểm cũ. Do đó 2 số phức khác 0 và Vòng tròn có biểu diễn thông số * Nhân và chia số phức dưới dạng mũ: Cho 2 số phức: Đây chính là công thức De Moirve nếu trong khoảng các công thức trên ko đúng thì phải chọn thêm các giá trị n VD: cho 2 số phức Giá trị chính của Argz phải ở trong khoảng: Tuy nhiên trong công thức: (chọn n = 1) Thì ta có: Căn và lũy thừa phân của số phức: Tất cả các căn bậc n của z đều nằm trên vòng tròn bán kính và phân bố cách đều nhau 1 góc , bắt đầu từ góc Trường hợp n = 2: * Ngiệm đa thức: 1/ Định lí Gauss: pt bậc n có n ngiệm (ngiệm bội k được coi là k ngiệm) Hệ quả: đa thức bậc n có thể khai triển thành tích của các nhị thức bậc nhất 1 đa thức bậc n ko thể có quá n nghiệm 2/ Đa thức với hệ số thực: Xét đa thức: Khi các hệ số là số thực, ta có tính chất nếu b là ngiệm thì số liên hợp cũng là nghiệm 3/ Định lí: đa thức bậc n với hệ số thực có thể khai triển thành tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2 với hệ số thực (tam thức bậc 2 ko có nghiệm thực mà có 2 nghiệm phức liên hợp) 4/ Công thức nghiệm pt bậc 3: Trường hợp 2 xét tương tự. 2/ Đạo hàm của hàm biến phức w = f(z) (trong đó z x + iy, w u + iv) Tuy nhiên, vì số gia Δw = ∆x + i.∆y, là số phức nên cách mà nó tiến đến zero sẽ khác so với khi khảo sát đạo hàm của các hàm biến thực. VD: khảo sát đạo hàm của hàm số Giải: cho z số gia Δz ∆x + i.∆y, ta có: Nếu ta lần lượt cho điểm (z + ∆z) tiến đến z theo 3 cách khác nhau: 1/ trên đường thẳng song song với Ox (∆y 0, ∆z = ∆x) 2/ trên đường thẳng song song với Oy (∆x 0, ∆z i∆y) 3/ trên đường thẳng có hệ số góc m (∆y m∆x) Nghĩa là hàm số không có đạo hàm. 2/ Điều kiện Cauchy – Riemann (điều kiện để hàm phức giải tích) Giả sử w f(z) có đạo hàm. Nếu đặt w f(z) u(x, y) + iv(x, y) thì Từ (1) và (2) suy ra: nếu muốn tồn tại thì điều kiện cần và đủ là: Lúc đó: VD: khảo sát đạo hàm của các hàm: 1/ Vì điều kiện Cauchy – Riemann thứ nhất không thỏa ở bất cứ điểm z nào nên không có đạo hàm tại bất cứ điểm nào của mặt phẳng z Như thế, điều kiện Cauchy – Riemann được thỏa khắp nơi và 4 đạo hàm riêng vừa tính liên tục khắp nơi. Vậy tồn tại ở mọi điểm của mặt phẳng z và: . f(z) giải tích tại mọi điểm của mặt phẳng z. 3/ Các tính chất của hàm giải tích: Định lí 1: Nếu f(z) u(x, y) +iv(x, y) giải tích trong miền D và u, v có các đạo hàm cấp 2 liên tục trong D thì u và v thỏa phương trình Laplace: Cm: theo giả thiết u, v thỏa điều kiện Cauchy – Riemann: 1 hàm 2 biến có các đạo hàm riêng cấp 2 thỏa phương trình Laplace gọi là hàm điều hòa. 2 hàm điều hòa u, v sao cho (u + iv) là hàm giải tích gọi là 2 hàm điều hòa liên hợp, và v được gọi là hàm liên hợp điều hòa của u Định lí 2: Nếu f(z) u(x, y) +iv(x, y) giải tích trong miền D thì trong D các đường cong u(x, y) c là những quỹ đạo trực giao với các đường cong v(x, y) k. Cm: gọi z x + iy là giao điểm của 1 đường cong u(x, y) c với 1 đường cong v(x, y) k. Tại z hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong u(x, y) c được tính bằng công thức đạo hàm ẩn: tương tự: hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong v(x, y) k tại z là: Tích 2 hệ số góc –1 2 tiếp tuyến vuông góc, nghĩa là mỗi đường u(x, y) c trực giao với mỗi đường v(x, y) k tại từng giao điểm của chúng Định lí 2: Nếu trong w u(x, y) +iv(x, y) ta thay thì w sẽ chỉ là hàm của z thôi. Cm: ta sẽ cm w ko phụ thuộc . Nghĩa là w chỉ phụ thuộc x và y qua tổ hợp z x + iy. 1 điểm trong mặt phẳng phức có thể xác định bởi tọa độ vuông góc (x, y), tọa độ cực (r, θ), tọa độ phức liên hợp . 4/ Các hàm sơ cấp: 1/ Hàm mũ: định nghĩa: . Modun và acgument của là: Nếu z là 1 số toàn ảo z x + iy iθ (x 0, y iθ) (công thức Euler) là hàm tuần hoàn với chu kì toàn ảo 2πi: có thể âm trong khi ko thể: VD: 2/ Hàm lượng giác: Từ đó ta định nghĩa hàm cosin và hàm sin biến phức z như sau: VD: tìm các giá trị của z sao cho sinz 0 Muốn sinz 0 ta phải có đồng thời: sinx.coshy 0 và cosx.sinhy 0 Vì . Với các giá trị này của x, ta có: cosx cosnπ 3/ Hàm hypebon: 4/ Hàm logarit: Cho z ≠ 0, ta đi tìm w sao cho: lnz là hàm vô số trị. Nếu chọn trước 1 số n ta sẽ được 1 nhánh của hàm, và lúc đó hàm trở thành đơn trị. Nếu n 0, ta được nhánh chính của hàm logarit, kí hiệu Lnz. Với mỗi n, nhánh tương ứng của lnz bị gián đoạn trên trục thực ko dương (x 0) Chỗ này em ko hiểu vì sao lnz bị gián đoạn trên trục thực ko dương (x 0) Các đẳng thức của logarit số thực vẫn đúng cho số phức: (1) trong đó nếu trong khoảng các công thức trên ko đúng thì phải chọn thêm các giá trị n Nghĩa là nếu chỉ xét nhánh chính thì các công thức (1) ko đúng. Nếu ta xét trên toàn tập giá trị: (chọn n 1) 5/ Hàm lũy thừa tổng quát: trong đó lnz là hàm vô số trị, do đó cũng là hàm vô số trị VD: Tìm các giá trị của Giải: ta có Nếu ta cố định n của hàm lnz thì hàm đơn trị và giải tích trong mặt phẳng z ngoại trừ trục thực ko dương (x 0). Đạo hàm của nhánh này là: Nhánh chính của là nhánh có được khi ta dùng nhánh chính Lnz (n 0) Nhánh chính của xác định trong miền: VD: tìm trị chính của Giải: 6/ Hàm lượng giác ngược và hàm hypebon ngược: (dấu căn được lấy giá trị dương) VD: tìm các giá trị của arcsin(–i) Giải: ta có là số thực dương là số thực âm Vì Nên tập các giá trị của có thể viết gộp trong biểu thức: là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Chứng minh: