Sổ tay Toán cấp 3

Tập hợp 1.  Một số khái niệm +  Tập hợp A, chứa các phần tử x, y, ...,                    A = {x, y, ...}, x ẻ A, y ẻ A +  Tập hợp A chứa các phần tử x thỏa mãn điều kiện P.                    A = {x\ x thỏa mãn điều kiện P} +  ặ gọi là tập rỗng (tập hợp không có phần tử). +  A è B thì A là tập con của tập B. +  A = B thì tập A và tập B đều là tập con của nhau. 2.  Các phép toán về tập hợp +  Hợp                    A ẩ B = {x ẻ A hoặc x ẻ B} +  A ẩ B = B ẩ A ; (A ẩ B) ẩ C = A ẩ (B ẩ C) A ẩ A = A ; A è A ẩ B ; B è A ẩ B A ẩ ặ = A +  Giao        A ầ B = {x ẻ A và x ẻ B} +  A ầ B = B ầ A ; A ầ B è B ; A ầ B è A A ầ A = A ; (A ẩ B) ầ C = (A ầ C) ẩ (B ầ C) A ầ ặ = ặ ; (A ầ B) ẩ C = (A ẩ C) ầ (B ẩ C) +  (A ầ B) ầ C = A ầ (B ầ C) +  Hiệu        A \ B = {x | x ẻ A và x ẽ B}        A \ A = ặ        (A \ B) ầ C = (A ầ C) \ B = (A ầ C) \ (B ầ C)        A \ B = A \ (A ầ B)        A = (A ầ B) ẩ (A \ B) +  Phần bù                     CAS = A\ S (S è A) 3.  Tập hợp số +  Tập hợp số tự nhiên                    N = {0, 1, 2, ...} +  Tập hợp số nguyên                    Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...} +  Tập hợp số hữu tỉ +  Tập hợp số thực                           R = {a0, a1, a2, ...| a0 ẻ Z, ak ẻ {0, 1, 2, ..., 9}} Nh vậy ta có :                  N è Z è Q è R Hàm số ánh xạ Hàm số Những hàm số cơ bản anh xạ  Cho hai tập hợp X, Y. Một ánh xạ f từ X đến Y, Y là một qui tắc cho ứng với mỗi x ẻ X một và chỉ một phần tử y ẻ Y, ký hiệu là X là tập nguồn, Y là tập đích, phần tử y = f(x) là ảnh của phần tử x ẻ X. ánh xạ tích Thì F gọi là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g, ký hiệu là F = g0f. Hàm số Cho hai tập hợp số X và Y (X è R, Y è R). Một ánh xạ f từ X đến Y là một hàm số f từ X đến Y, ký hiệu là : x gọi là đối số y = f(x) gọi là hàm số *  Tập xác định Tập hợp các số thực x sao cho nhờ biểu thức của hàm số ta tính đợc y = f(x), đó là tập xác định X = Df *  Tập giá trị                    E = {f(x)| x ẻ X}                    E = f(X) +  Đồ thị hàm số                    (C) = {(x ; y)| x ẻ X, y = f(x)} +  Tính chất của hàm số *  Hàm số đơn điệu Y = f(x) đồng biến trên y = f(x) nghịch biến trên *  Hàm số chẵn "x ẻ X ị -x ẻ X và f(-x) = f(x) *  Hàm số lẻ "x ẻ X ị -x ẻ X và f(-x) = -f(x) *  Hàm số tuần hoàn chu kỳ T "x ẻ X ị x + T ẻ X; x - T ẻ X và f(x + T) = f(x) = f(x - T) +  Hàm số hợp y = f(u) tập xác định D, u = g(x) tập xác định D y = f[g(x)] là hàm hợp với tập xác định +  Hàm số ngợc Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên D và miền giá trị T. Hàm số ngợc của f là : Thờng ký hiệu là Giả sử đồ thị của hàm số y = f(x) là (C) và hàm số  là (C') trong hệ tọa độ Oxy thì (C) đối xứng với (C') qua đờng phân giác của góc I và góc III : y = x. Những hàm số cơ bản 1.  Hàm số bậc nhất y = ax + b  (1) (a 0; a, b ẻ R), D = R, E = R. a > 0 hàm số (1) đồng biến, a < 0 hàm số nghịch biến. (C) là một đờng thẳng 2.  Hàm số bậc hai                                D = R Với a > 0, Hàm số đồng biến : Hàm số nghịch biến : Đồ thị (C) là một parabol có trục đối xứng là đờng thẳng , có tọa độ đỉnh  và có bề lõm quay về phía trên. Với a < 0, Hàm số đồng biến : Hàm số nghịch biến : (C) là parabol, có trục đối xứng và đỉnh  và có bề lõm quay xuống dới. 3.  Hàm số lũy thừa       y = xa , tập xác định và tập giá trị, đồ thị tuỳ thuộc vào a ẻ R. 4.  Hàm số mũ y = ax D = R, E = (0 ; +Ơ) Với a > 1 hàm số đồng biến Với 0 < a < 1 hàm số nghịch biến Đồ thị 5.  Hàm số logarit D = (0 ; +Ơ), E = R Với a > 1 hàm số đồng biến Với 0 < a < 1 hàm số nghịch biến Đồ thị Trờng hợp a = e > 1 ta có y = lnx (đồ thị nh hình dới) Giới hạn của hàm số 1. Giới hạn của dãy số 2. Các định lí về giới hạn của dãy Định lí 1 (Điều kiện cần) Nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn. Định lí 2 (tính chất duy nhất của giới hạn) Nếu một dãy (Un) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Định lí 3 (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) Một dãy số có tăgn và bị chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm và bị chặn dới thì có giới hạn. Định lí 4 Cho hai dãy số (Un) và (Vn) có các giới hạn thì : 3. Giới hạn của hàm số Định nghĩa 4. Một số giới hạn đáng chú ý 5. Các định lí về giới hạn Định lí 1 :  là duy nhất Định lí 2 : Định lí 3 : Ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định tại một lân cận của điểm x0 (có thể trừ ra điểm x0) "x x0 thuộc lân cận đó f(x) Ê g(x) Ê h(x) Hàm số liên tục 1. Một số định nghĩa Cho hàm số y = f(x), tập xác định D. Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu : Thay cho (2), nếu chỉ có thì hàm số f(x) liên tục về bên phải của x0. Thay cho (2), nếu chỉ có  thì hàm số liên tục về bên trái của x0. Hàm số y = f(x) là liên tục tại điểm x0, x0 ẻ D nếu Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a ; b). Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) đồng thời nó liên tục về bên phải điểm a và liên tục về bên trái điểm b. 2. Các định lí về hàm số liên tục Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hàm số liên tục tại x0 thì : f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) và f(x)g(x) liên tục tại x0.  liên tục tại x0 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và x1, x2 ẻ (a ; b) với f(x1) f(x2). Khi đó với mỗi số M nằm giữa f(x1), f(x2) đều tồn tại một điểm c ẻ (a ; b) sao cho f(c) = M. Hệ quả : giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) có giá trị dơng và giá trị âm trên khoảng đó, thì phơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x = c thuộc khoảng (a ; b). 3. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp y = f(x) là hàm số sơ cấp xác định trên D thì hàm số này liên tục trên D. 4. Tính liên tục của hàm số hợp Nếu y = f(u), u = g(x) là những hàm số liên tục thì hàm số hợp y = f[g(x)] là một hàm số liên tục. Đạo hàm Định nghĩa đạo hàm Các công thức tính đạo hàm Đạo hàm cấp cao Vi phân Đạo hàm và liên tục Qui tắc L'hospital Định nghĩa đạo hàm Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là : Đạo hàm bên phải tại x0 : Đạo hàm bên phải tại x0 : Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b)  hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x0 ẻ.(a ; b) Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b. Cách tính đạo hàm : Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bớc sau : 1) Cho số gia x tại x0 và tính 2) Lập tỉ số : 3) Tìm Các công thức tính đạo hàm 13)  y = f(x) có hàm số ngợc Đạo hàm cấp cao y = f(x) có đạo hàm tại x, y' = f'(x) y' = f'(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm này là đạo hàm cấp 2, ký hiệu là y'' = f''(x) = [f'(x)]'. Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp n của một hàm số Vi phân y' = f(x), D = (a ; b) và có f'(x) tại , vi phân của hàm số tại điểm x là dy = y'dx (hoặc df(x) = f'(x)dx) Vi phân hàm số hợp : y = f(u) và u = g(x) thì dy = f'(u)du ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng Đạo hàm và liên tục Nếu hàm số y = f(x) đạo hàm tại điểm  thì nó liên tục tại điểm đó. Điều đảo lại không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm  có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Qui tắc L'hospital Dùng để tính giới hạn các dạng vô định  và . NƠu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) xác đ̃nh trên (a ; b) chứa  và có đạo hàm trên (a ; b) thì : Đờng tiệm cận 1. Nhánh vô tận (C) là đồ thị hàm số y = f(x) có nhánh vô tận Û x đ Ơ hay f(x) đ Ơ. 2. Tiệm cận của đờng cong Đờng thẳng (D) đợc gọi là tiệm cận của nhánh vô tận (N) è (C) nếu khoảng cách MH từ M đến (D) (M ẻ (N)) dần đến 0 khi M chạy trên (N) ra xa vô tận. 3. Các đờng tiệm cận của (C) : y = f(x) Tiệm cận đứng x = x0 nếu :  hay Tiệm cận ngang (C) có tiệm cận ngang y = y0 nếu : Có tiệm cận ngang về bên phải y = b nếu : Có tiệm cận ngang về bên trái y = b' nếu : Tiệm cận xiên Đờng thẳng (D) y = ax + b là tiệm cận xiên về bên phải nếu : Đờng thẳng (D) y = ax + b là tiệm cận xiên về bên trái nếu : Đờng tiệm cận xiên (D), y = ax + b (về bên phải) (hữu hạn) (D) về bên trái thì tơng tự. 4. Đờng tiệm cận của đồ thị (C) một số hàm hay gặp : có hai đờng tiệm cận Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang có hai đờng tiệm cận. Tiệm cận đứng Tiệm cận xiên  với  có hai đờng tiệm cận. Tiệm cận xiên về bên phải (D1) : Tiệm cận xiên về bên phải (D2) : Chú ý : Nếu phân tích đợc f(x) = g(x) + (x), trong đó g(x) là đa thức bậc lớn hơn 1 và  thì (C) có tiệm cận cong y = g(x). Khảo sát hàm số 1. Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến của hàm số +  Định lí Lagơrăng Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c ẻ (a ; b) sao cho f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). +  Nếu f'(x) > 0  "x ẻ (a ; b) ị f(x) đồng biến trên (a ; b). +  Nếu f'(x) > 0  "x ẻ (a ; b) ị f(x) nghịch biến trên (a ; b). +  Điểm tới hạn y = f(x), tập xác định D. Điểm x0 ẻ D mà f'(x0) = 0 ị x0 gọi là điểm tới hạn của hàm số f(x). 2. Cực đại và cực tiểu +  Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa x0 +  Điểm x0 đợc gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x), nếu tồn tại một  - lân cận của x0(x0 – d ; x0 + d) sao cho với mọi x x0 của lân cận đó ta có f(x) > f( x0) +  Điểm  x0 đợc gọi là điểm cực đại của hàm số f(x), nếu tồn tại một  - lân cận của x0(x0 – d ; x0 + d)  sao cho với mọi x x0  của lân cận đó ta có f(x) < f( x0) +  Các dấu hiệu điểm cực trị +  Điều kiện cần Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a ; b) chứa x0. Hàm số đạt cực trị tại x0 khi x0 là điểm tới hạn của hàm số (f '(x0) = 0) +  Điều kiện đủ Dấu hiệu 1 : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận x0(x0 – d ; x0 + d) của điểm x0 và có đạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ x0) Nếu f'(x) > 0 trên (x0 – d ; x0) và f'(x) < 0 trên (x0 ; x0 + d) ị y = f(x) đạt cực tiểu tại x0. Dấu hiệu 2 : Nếu hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận noà đó của điểm x0,  có đạo hàm liên tục cấp 2 tại x0 và f'(x) = 0, f ''(x0) 0 thì x0 là một điểm cực trị. +  x0 là một điểm cực tiểu nếu f ''(x0) > 0 +  x0 là một điểm cực đại nếu f ''(x0) < 0 3. Quy tắc tìm Max và Min của hàm số y = f(x) liên tục và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn [a ; b] 1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, ..., xn của f(x) trên [a ; b]. 2) Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn) và f(a), f(b) 3) Chọn số max{f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a), f(b)} Ký hiệu Max[a ; b]f(x)  Hoặc min{f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(xa), f(xb)} kí hiệu là min[a ; b]f(x) 4. Tính lồi lõm và điểm uỗn của đồ thị +  Khái niệm lồi, lõm, điểm uốn. Trên đồ thị (C) của hàm số y = f(x) ta nói (C) lồi trên khoảng (a ; b) lõm trên khoảng (b ; d) và B là điểm uốn. Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại mọi điểm M ẻ (C) *  (C) lồi trên (a ; b) Û (C) nằm dới d. *  (C) lõm trên (a ; b) Û (C) nằm trên d *  B là điểm uốn của (C) Û qua B(C) thay đổi tính lồi lõm. +  Dấu hiệu lồi, lõm, điểm uốn *  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a ; b) -  Nếu f''(x) < 0  "x ẻ (a ; b) ị (C) lồi trên (a ; b) -  Nếu f''(x) > 0  "x ẻ (a ; b) ị (C) lõm trên (a ; b) *  Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (x0 - d ; x0 + d) và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó (có thể trừ điểm x0). Nếu f''(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì B(x0 ; y0) là điểm uốn của (C). Đảo lại giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên khoảng (a ; b). Khi đó nếu điểm (x0 ; y0) với x0 ẻ (a ; b) là điểm uốn của (C) ị f''(x) = 0 *  Quy tắc tìm điểm uốn -  Giải phơng trình f''(x) = 0 -  Lập bảng xét dấu của f''(x). Hoành độ điểm uốn là các nghiệm của f''(x) = 0 tại đó f''(x) đổi dấu. 5. Các bớc tiến hành khảo sát mọt hàm số 1) Tìm tập xác định D của hàm số, xét tính chẵn và lẻ và tuần hoàn (nếu có). Nếu hàm đã cho là hàm chẵn (hay hàm lẻ) thì chỉ khảo sát nửa tập xác định rồi lấy đối xứng qua trục Oy (hay qua gốc tọa độ O). +  Nếu hàm đã cho là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ khảo sát trên một chu kỳ, rồi tịnh tiến dọc theo trục Ox một đoạn bằng T. 2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số +  Tính đạo hàm. +  Tìm các điểm tới hạn (f'(x) = 0). +  Xét dấu của f'(x) suy ra chiều biến thiên của hàm số. +  Tìm các cực trị (nếu có). Khảo sát tính lồi, lõm, điểm uốn (nếu có) 3) Xét nhánh vô cực của đồ thị (C), tìm các tiệm cận của (C) (nếu có). 4) Lập bảng biến thiên. 5) Vẽ đồ thị +  Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. +  Lấy thêm một điểm (ngoài những điểm đã ghi ở bảng biến thiên). Nguyên hàm 1. Định nghĩa và tính chất của nguyên hàm +  Định nghĩa *  Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) Û F'(x) = f(x), "x ẻ (a ; b). *  Nếu thay (a ; b) là [a ; b] thì phải có thêm điều kiện F’(a+) = f(a) v–) = f(b) Ký hiệu : ũ f(x)dx = F(x) + C. +  Tính chất +  Sự tồn tại của nguyên hàm Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 2. Các phơng pháp tính nguyên hàm +  áp dụng tính chất Vận dụng các tính chất của nguyên hàm để đa việc tính nguyên hàm phức tạp về những nguyên hàm đơn giản hơn. +  Phơng pháp đổi biến số *  Ta có ũ f(x)dx = ũ f[g(t)]g'(t)dt khi f(x), g(t), g'(t) liên tục và x = g(t). *  Quy tắc tính 1)  Đặt x = g(t)  (2) hoặc t = j(x)  (3). 2)  Lấy vi phân hai vế của (2) hoặc (3). 3)  Biểu thị f(x)dx theo t và đờng tròn, giả sử f(x)dx = F(t)dt. 4)  Tính ũ F(t)dt = F(t) + C 5)  Thay t = j(x) trong F(t) +  Phơng pháp tính nguyên hàm từng phần. *  Công thức tính nguyên hàm từng phần                    ũ udv = uv - ũ vdu                                   (*) *  Quy tắc tính 1)  Viết f(x)dx dới dạng udv 2)  Tính du và v 3)  Tính ũvdu 4)  áp dụng tính công thức (*) +  Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ dạng * Nếu  không có nghiệm ta viết : Sử dụng phơng pháp đổi biến số sẽ tìm đợc : *  Nếu x2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1, x2 thì : Trong đó : 3. Bảng các nguyên hàm cơ bản Tích phân 1. Định nghĩa và tính chất +  Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của nó thì tích phân của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] là : a, b gọi là cận tích phân, f(x) là hàm số dới dấu tích phân (đây cũng là công thức Niutơn - Laibônit) +  Tính chất 3) Nếu f(x) Ê q(x) và a < b thì : Trong trờng hợp f(x) ³ 0, a < b thì : 2. Các phơng pháp tính tích phân +  Sử dụng định nghĩa +  Phơng pháp đổi biến số + Phơng pháp tích phân từng phần 3. ứng dụng của tích phân +  Tính diện tích các hình phẳng *  Cho hàm số y = (f) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), x = a, x = b, y = 0 là *  Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x), đờng phẳng x = a, x = b. + Tính thể tích vật thể tròn xoay *  Hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trục Ox *  Hình phẳng giới hạn bởi x = g(y), y = a, y = b, x = 0 quay quanh trục Oy : Biểu thức đại số 1.  Tính chất các phép toán trên số +  Tính chất giao hoán của phép cộng và nhân                    a + b = b + a                    ab = ba +  Tính chất kết hợp của phép cộng và nhân                    (a + b) + c = a + (b + c)                    (a.b).c = a.(b.c)            +  Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng                    (a + b)c = ac + bc +  Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ                    (a - b)c = ac - bc 2. Biểu thức phân +  Tính chất cơ bản của phân thức +  Các phép toán của phân thức      3. Tỉ lệ thức +  Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a, d là hai ngoại tỉ ; b, c là hai trung tỉ. +  Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức :                    ad = bc +  Một số tính chất khác Với a, b, c, d 0 và  thì : Luỹ thừa và căn số Lũy thừa Căn bậc n Luỹ thừa + Một số định nghĩa * Luỹ thừa số mũ nguyên * Luỹ thừa số mũ hữu tỉ * Luỹ thừa số mũ vô tỉ  (a > 0, x là số vô tỉ > 0)       (xn) là dãy số gần đúng thiếu của x) +  Các tính chất cơ bản của luỹ thừa Giả sử a > 0, b > 0 "x, y ẻ R ta có : +  Một số tính chất khác *  x, y ẻ R, x < y + Với a > 1 ị ax < ay + Với 0 ay * (xn) ẻ R, a > 0 mà : Căn bậc n +  Đ̃nh nghĩa : n ẻ N*, căn bậc n của số a là một số b sao cho bn = a,  kí hiệu là *  Mọi số a chỉ că một căn bậc lẻ *  Số âm không că căn bậc chẵn *  Số dơng că hai căn bậc chẵn, hai căn ấy că số tr̃ đối nhau. Giá tr̃ dơng của căn bậc chẵn n của số a > 0 kƯ hiệu là . +   với a > 0 gọi là căn số học +  Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân Một số công thức khác Dãy số +  Định nghĩa Gọi N* = {1, 2, 3, ...} Một dãy số là một hàm số u từ N* tới R        u : N* đ R            n đ U(n) Kí hiệu Un = U(n), viết dãy số dới dạng        U1, U2, U3, ....Un +  Cách cho dãy số *  Dãy số cho bởi công thức :                                  Un = 2n + 1 *  Dãy số cho bởi cách mô tả các số hạng liên tiếp của nó *  Dãy số cho bởi công thức truy hồi chẳng hạn dãy số Phibonasi :                        U1 = U2 = 1, Un = Un - 2 + Un - 1    với n ³ 3 Dễ dàng ta có dạng khai triển của dãy : 1, 1, 2, 3, 5, 8... *  Dãy số bằng quy nạp : -  Cho số hạng thứ nhất U1 -  Với n > 1 cho công thức Un khi biết Un - 1 +  Dãy số tăng, giảm *  Dãy số (Un) gọi là tăng nếu "n ẻ N*, Un < Un + 1  *  Dãy số (Un) gọi là giảm nếu "n ẻ N*, Un > Un + 1  +  Dãy số bị chặn *  Dãy số (Un) bị chặn trên nếu $ M sao cho "n ẻ N*, Un Ê M  *  Dãy số (Un) bị chặn dới nếu $ M sao cho "n ẻ N*, Un ³ m *  Un gọi là bị chặn nếu $ M, m sao cho m Ê Un Ê M. +  Các phép toán trên dãy số * (Un) ± (Vn) = (Un ± Vn) * l(Un) = (lUn) * (Un).(Vn) = (Un.Vn) Cấp số cộng +  Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.         "n ẻ N*, Un + 1 = Un + d +  Tính chất của cấp số cộng * Un + 1 - Un = Un + 2 - Un + 1 +  Số hạng tổng quát        Un = U1 + d(n - 1) +  Tổng n số hạng đầu Cấp số nhân +  Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.         "n ẻ N*, Un + 1 = Un.q  +  Tính chất : +  Số hạng tổng quát : Un = U1.qn - 1 +  Tổng n số hạng đầu tiên +  Tổng của cấp số nhân vô hạn Với |q| < 1 Một số công thức khác của dãy số Lôgarít 1. Khái niệm LogaN (a > 0, a  1, N > 0) là logarit của N theo cơ số a. 2. Các đẳng thức cơ bản của logarit *  lgN là logarit thập phân (cơ số 10) *  LnN là logarit tự nhiên (logarit cơ số e) 3. Tính chất của logarit 4.  Đổi cơ số 5.  Logarit thập phân Tổ hợp - Công thức Newtơn Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp Tam giác Pascal Công thức Newtơn Hoán vị +  Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, đợc sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là Pn +  Công thức :         Pn =1.2.3.....n = n ! Chỉnh hợp +  Định nghĩa Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 < k Ê n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là . Công thức : (Qui ớc 0! = 1) Tổ hợp +  Định nghĩa Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n nguyên dơng). Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 Ê k Ê n) là một tập con của A gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là +  Công thức +  Tính chất Tam giác Pascal n = 0           1 n = 1           1          1 n = 2           1          2          1 n = 3           1          3          3          1 n = 4           1          4          6          4          1 n = 5           1          5          10        10        5          1 n = 6           1          6          15        20        15        6          1 n = 7           1          7          21        35        35        21        7          1 n = 8           1          8          28        56        70        56        28        8          1 n = 9           1          9          36        84        126      126      84        36        9          1 n = 10         1          10        45        120      210      252      210      120      45        10        1 Công thức Newtơn Tk là số hạng thứ k + 1 của khai triển nhị thức : Phơng trình và hệ phơng trình Phơng trình Hệ phơng trình Phơng trình 1.   Một số khai triển +  Đẳng thức f(x) = g(x)  (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x, đợc gọi là phơng trình một ẩn số, x là ẩn số. +  Giải phơng trình (1) là tìm giá trị x = x0 để có đẳng thức đúng f(x0) = g(x0). +  Tơng tự f(x1, x2, x3, ...., xn) = g(x1, x2, x3, ...., xn) đợc gọi là phơng trình n ẩn, (n ẻ N*) +  Tập hợp các giá trị x0 gọi là tập hợp các nghiệm của phơng trình kí hiệu là M, nếu phơng trình không có nghiệm thì tập hợp các nghiệm là tập ặ. 2.  Phơng trình tơng đơng - phép biến đổi tơng đơng +  Phơng trình f(x) = 0  (1) có tập hợp nghiệm là M1. Phơng trình g(x) = 0  (2) có tập hợp nghiệm là M2. *  Nếu M1 = M2 ị (1) và (2) tơng đơng +  Nếu M1 è M2 Û (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1). +  Hai phơng trình f(x) = 0  (1) và f(x) + h(x) = h(x)  (2) là tơng đơng nếu h(x) có miền xác định chứa tập nghiệm (1). +  Hai phơng trình f(x) = 0  (1) và f(x).h(x) = 0  (2) tơng đơng Û h(x) 0 và miền xác định h(x) chứa miềm xác định của f(x). 3.  Phơng trình bậc nhất +  Dạng ax + b = 0 (x là ẩn a, b ẻ R miền xác định là R). Nghiệm *  a 0 : có nghiệm duy nhất : *  a = 0, b 0 : Vô  nghiệm *  a = 0, b = 0 : Vô số nghiệm trên R 4.  Phơng trình bậc hai +  ax2 + bx + c = 0.  D = b2 - 4ac *  Nếu D > 0 thì M = {x1, x2} khi b = 2b', D'' = b'2 - ac thì : *  Nếu  D = 0, thì M = {x1} *  Nếu D < 0, thì M = ặ. +  Một số trờng hợp thờng gặp Nếu D > 0, M = {x1, x2}  D < 0, M = ặ. * ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 Định lí Viét Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có +  Xét dấu nghiệm (quy ớc x1 > x2) 5.   Phơng trình quy về bậc hai * ax4 + bx2 + c = 0  (1)  (a 0) (phơng trình trùng phơng) Đặt : Phơng trình (1) đa về ay2 + by + c = 0   (2). Giải phơng trình (2) tìm nghiệm y ³ 0, sau đó tìm x bằng công thức * (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 với a + b = c + d. Đặt y = (x + a)(x + b) Đặt : Chia hai vế của phơng trình cho x2 (vì x = 0 không phải nghiệm của phơng trình). 6.  Phơng trình bậc ba +  Dạng x3 + px + q = 0     (1)  Công thức nghiệm của phơng trình (1) (công thức Cacđanô) +  Dạng y3 + ay2 + by + c = 0 Đặt  ta có phơng trình dạng x3 + px + q = 0 và có công thức giải nh trên. 7.  Phơng trình chứa căn bậc hai 8.  Phơng trình tuyệt đối 9.  Phơng trình mũ *  N Ê 0 phơng trình vô nghiệm *  N > 0 phơng trình có nghiệm duy nhất 10.  Phơng trình logarit     logax = N (a > 0, a  1) có nghiệm duy nhất x = aN Hệ phơng trình 1.    Hệ phơng trình bậc nhất *  Nếu D 0 hệ phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất *  Nếu D = 0 và (Dx 0) hoặc (Dy 0) hệ phơng trình (1) vô nghiệm. *  Nếu D = Dx = Dy = 0 -  Trờng hợp a = a' = b = b' = 0, c 0, c' 0 hệ phơng trình (1) vô nghiệm. -  Các trờng hợp khác hệ (1) vô số nghiệm. 2.    Hệ phơng trình bậc hai +  Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn số có dạng Ta chỉ xét hai hệ sau : +  Hệ phơng trình đối xứng đối với x và y (khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì hệ phơng trình không đổi) Chẳng hạn : Đối với hệ phơng trình trình này đặt S = x + y, P = xy. +  Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng Nếu x = 0, y = 0 không phải là nghiệm thì đặt y = kx và ta đợc phơng trình bậc hai theo k. Bất phơng trình Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất Bất phơng trình bậc hai Một số bất phơng trình khác Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất +  Dấu của nhị thức ax + b +  Bất phơng trình bậc nhất thờng có dạng ax + b > 0, ax + b ³ 0, ax + b < 0, ax + b Ê 0. ax + b > 0 Û ax > -b *  Nếu a = 0, b > 0 bất phơng trình  có nghiệm tuỳ ý M = R. *  Nếu a = 0, b < 0 bất phơng trình vô nghiệm M = ặ. +  Hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số là tập hợp gồm nhiều bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số. Tìm miền nghiệm của từng bất phơng trình, sau đó tổng hợp tìm miền nghiệm của hệ. Bất phơng trình bậc hai +  Tam thức  có hai nghiệm  thì : +  Dấu của tam thức * D 0  "x ẻ R *  D = 0 thì a.f(x) > 0  *  D > 0 +  So sánh nghiệm phơng trình bậc hai +  Bất phơng trình bậc hai Chỉ việc nhân hai vế của bất phơng trình với -1 sẽ đa về hai trờng hợp trên. Một số bất phơng trình khác +  Bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối * |f(x)| < m m > 0 Û -m < f(x) < m        m < 0 ị M = ặ * |f(x)| > m +  Bất phơng trình chứa căn bậc hai +  Bất phơng trình mũ * ax > N * ax < N +  Bất phơng trình logarit Bất đẳng thức 1.    Bất đẳng thức +  Mệnh đề A > B (A lớn hơn B) hoặc A < B (A nhỏ hơn B) gọi là bất đẳng thức. +  Bất đẳng thức suy rộng : A ³ B hoặc A Ê  B +  Kiểm nghiệm bất đẳng thức A > B Û A - B > 0 2.    Tính chất 1)    a > b và b